2019年卓越联盟数学试题3页word文档
安徽卓越县中联盟2019-2020学年高二上学期12月素质检测数学(理)试题 Word版含答案
安徽卓越县中联盟高二年级素质检测数学试卷（理）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1＞0}，则()R C A B ＝（ ）A ．（1，3）B ．（1，3]C ．[3，+∞）D ．（3，+∞）2．“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．函数f （x ）＝2x ﹣3+log 3x 的零点所在区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）4．已知平面向量(2,1)AB =，(3,3)AC t =-，若//AB AC ，则||BC =（ ）A ．B ．20C D ．25．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值 C ．230102030a a x a x a x +++的值D ．以上都不对6.若直线1:60l x ay ++=与023)2(:2=++-a y x a l 平行，则1l 与2l 间的距离为( ) A. 2B.328 C.3D.338 7．将函数()cos(3)6f x x π=+图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()3g π= ( )A ．2π B．-C ．12D ．12-8．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（ ） A ．()()22110x y x y ----=B．()221+0x y -=C ．()10x y --= D．0=9．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A ．36πB ．28πC ．20πD ．12π10．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则22(2)(2)a b -+-的最小值为( )AB ．5C．D ．1011．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） ABC．D ．212．已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为面体表面与球面的交线的总长度为( ) A ．4π B． C．D ．12π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点A （﹣2，﹣1），B （2，2），C （0，4），则点C 到直线AB 的距离为 .114．已知圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则圆C 的方程是 .15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱11A D ,CD 的中点，点P在平面 ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若PM =，则PQ 长度的最小值为 .16.已知椭圆22:14x C y +=上的三点C B A ,,，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且ABM ∆与CMO ∆的面积之比为23，则直线BC 的斜率为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）若1cos 7A =，a ＝8，求b 以及S △ABC 的值．18．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得112xm ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭成立． （Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；（Ⅱ）若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．19．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1且2a 3，a 5，3a 4成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足n nnb a =，求数列{b n }的前n 项和S n ．20.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约用水，市民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：用水量(立方米)（Ⅰ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w =3时，试完成该10000位居民该月水费的频率分布表，并估计该市居民该月的人均水费．21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB AD ⊥，矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且2,1AB BC DE AD ====.（Ⅰ）求证：AB AE ⊥； （Ⅱ）求证：DF ∥平面ABE ； （Ⅲ） 求二面角B EF D --的正切值.22．已知曲线C 上的任意一点到两定点()11,0F -、()21,0F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于,A B 两点，O 为坐标原点．AC高二数学（理） 第3页 (共4页)（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）若直线l 过点(0,2)Q ，求OAB ∆面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．安徽卓越县中联盟高二年级素质检测数学试题卷（理）参考答案一、选择题二、填空题13.145；14.()()22112x y -+-=；；16..三、解答题 17.解：（1）由余弦定理及已知得：cos B ＝＝;.….….….…5分（2）因为A ，B 为三角形内角，所以sin A ＝＝，sin B ＝＝，由正弦定理得：b ＝＝＝7，又∵cos A ＝＝．∴c 2﹣2c ﹣15＝0，解得 c ＝5 （c ＝﹣3舍）． ∴S △ABC ＝bc •sin A ＝．.….….….…10分18.解：（1）对任意x ∈[0，1]，不等式恒成立，当x ∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x ＝0时，y ＝log 2（x +1）﹣2的最小值为﹣2， ∴﹣2≥m 2﹣3m ，解得1≤m ≤2．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．.….….….…6分 （2）存在x ∈[﹣1，1]，使得成立，∴．命题q 为真时，m ≤1．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则解得1＜m ≤2； 当p 假q 真时，，即m ＜1．综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．.….….….…12分 19.解： （1）∵∴∴q ＝2，∵a n ＞0，∴q ＝2；.….….….…6分（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴．.….….….…12分20.解：【解析】（I ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．-------4分所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w 至少定为3．--------6分（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：---------9分根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10.5=（元）．--------12分21. 解：（Ⅰ）矩形平面，且平面平面=,又,平面.平面 . 又平面，且.平面.平面， ………4分（Ⅱ）取中点,连接,由已知条件易得及为平行四边形，于是////,由于==,故为平行四边形. // 面//平面.又//面 //平面平面//平面. 又平面∥平面 ………8分（III ）过点B 作,作，连接.由矩形平面，得平面,又所以就是所求二面角的平面角.在中，易知.故二面角的正切值为 . ………12分22.（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆，设其标准方程为，则有2,1a c ==，所以2223b a c =-=，………4分（2）证明：设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+≠≠，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y .可得()223412x kx b ++=，即()2223484120k xkbx b +++-=∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积. ………8分 （3）点()()1122,,,A x y B x y ，由可得()22341640k x kx +++=，>0∆，解得设()241,0,k t t -=∈+∞，当4t =时，AOB S ∆取得最大值此时2414k -=，即………12分。
浙江中职2019学年第二学期数学-试卷
.
ห้องสมุดไป่ตู้
数学试卷 第2页(共4页)
21.若圆x2+y2-4x-2y+F=0的半径为3,则 F=
.
22.若sin39°=a(a 为常数),则sin219°=
.(用含a 的式子表示)
三 、解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ,共 49 分 )
解答应写出文字说明及演算步骤。
23.(本 题 满 分 7 分 )已 知 f(x)=asinx+b(a>0)的 最 大 值 是 1,最 小 值 是 -3. (1)求a,b 的值;(4分)
ö
÷
ø
,则
m
的值为
()
() () () ()
A.2
B.3
1 C.2
3 D.2
二 、填 空 题 (本 大 题 共 7 小 题 ,每 小 题 3 分 ,共 21 分 )
16.化
简
æ sinç :è
π 2
ö +αø÷
·sin(π+α)·tan(3π+α)
æ3π ö
cosç è
2
+αø÷
·sin(-α)
=
.
浙江省卓越中职联盟
2019学年第二学期2019级期末考试数学试卷
姓名
准考证号
本 试 卷 共 三 大 题 。 全 卷 共 4 页 。 满 分 100 分 ,考 试 时 间 90 分 钟 。
2020.6
注意事项: 1.所有试题均须在答题纸上作答,未在规定 区 域 内 答 题,每 错 一 个 区 域 扣 卷 面 总 分 1 分。
数学试卷 第4页(共4页)
()
A.1
B.2
C.3
华一卓越联盟2018-2019学年度五月联合测试七年级数学试卷(含答案)
30°，现将射线 OB 绕点 O 逆时针旋转 30°，则图中 60°的角共有（ ）
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
8.若关于
m,
n
的方程组
2m 3m
3n 5n
13 30.9
的解
m 8.3 n 1.2
，则关于
x,
y
的方程组
2(3x 3(3x
2) 2)
3(2 5(2
y y
1) 1)
A． 2, 2
B． 2, 2
C． 2, 2
D． 2,2
3.在平面直角坐标系中， P( 4, m2 1) 在第（ ）象限。
A．一
B．二
C．三
D．四
4.已知关于
x,
y
的二元一次方程组
5x kx
2 y
y 0
4
中
x
4
，则
k
的值为（
）
A． 12
B．12
C． 3
D． 3
5.若实数 a,b 满足 b 1 a2 a2 1 4 ，则 a b 的值为（ ）
）
2
A: 2017,0
B: 2018,1
C: 2019, 1
D: 2020,0
10.如图，直线 l1 与 l2 相交于点 O，对于平面内任意一点 M，点 M 到直线 l1，l2 的距离分别为 p，q，则称有序实数 对（p，q）是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（5，3）的点的个数是（ ）
20. ( 8 分)（1）我们知道对于任意实数 x， ax b 成立的条件是 a = ____________ ，b = ___________； （2）对于任意实数 a，b，关于 x，y 的二元一次方程 (a b)x (a b) y a b 有一组公共解，请求出这些方程的
2019-2020学年安徽卓越县中联盟(舒城中学、无为中学等)高二12月素质检测数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽卓越县中联盟（舒城中学、无为中学等）高二12月素质检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B =ð（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)3,+∞ D ．()3,+∞【答案】C【解析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R ð的范围,最后根据交集的含义计算()R A B ⋂ð的结果. 【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð, 又因为()1,B =+∞,所以()[)3,R A B =+∞ð.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.2．“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】求出方程22143x y m m +=-+表示椭圆的充要条件是34-<<m 且12m ≠,由此可得答案.【详解】因为方程22143x ym m +=-+表示椭圆的充要条件是403043m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩,解得34-<<m 且12m ≠,所以“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的必要不充分条件.故选:B 【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的范围,考查了充要条件和必要不充分条件,本题易错点警示:漏掉43m m -≠+,本题属于基础题.3．函数3()23log xf x x =-+的零点所在区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞）【答案】B【解析】计算出(1),(2)f f ,并判断符号,由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为3(1)23log 110f =-+=-<,233(2)23log 21log 20f =-+=+>,所以根据零点存在性定理可知函数3()23log xf x x =-+的零点所在区间是(1,2), 故选:B 【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间,解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号,如果异号,说明区间内由零点,属于基础题.4．已知平面向量(2,1)AB =，(3,3)AC t =-，若//AB AC ，则||BC =（ ） A ．25 B ．20C ．5D ．2【答案】A【解析】根据两个向量平行的坐标表示列式求得2t =-,再根据BC AC AB =-求得向量的坐标,然后求得模长. 【详解】因为平面向量(2,1)AB =，(3,3)AC t =-，且//AB AC , 所以231(3)0t ⨯-⨯-=,解得2t =-, 所以(6,3)AC =,所以(62,31)(4,2)BC AC AB =-=--=, 所以22||(4)225BC =+=. 故选:A 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了求向量的模长,属于基础题.5．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值 C ．230102030a a x a x a x +++的值D ．以上都不对 【答案】C【解析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序运行输出的结果是什么. 【详解】模拟程序框图的运行过程,如下: 输入01230,,,,a a a a x ,33,,0k S a k ==>,是,202302,,0k S a S x a a x k ==+⋅=+>,是,10123001,()k S a S x a a a x x ==+⋅=++212030a a x a x =++,0k >,是,230001020300,,0,k S a S x a a x a x a x k ==+⋅=+++>否,输出S =230102030a a x a x a x +++.故选:C 【点睛】本题考查了模拟程序框图运行的过程,注意程序运行结束的条件是解题的关键,本题属于基础题. 6．若直线1l ：60x ay ++=与2l ：()2320a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为( ) A ．2 B ．823C ．3D ．833【答案】B【解析】∵直线1l ：60x ay ++=与2l ：(2)320a x y a -++=平行 ∴16232a a a=≠- ∴1a =-∴直线1l 与2l 之间的距离为222682331(1)d -==+-. 故选B.7．将函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫ ⎪⎝⎭=（ ） A ．2π B ．32-C ．12D ．12-【答案】D【解析】先求出平移后的函数解析式，进而可求出结果. 【详解】将函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移6π个单位长度后，得到函数()cos 3cos 3663g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 则21cos 3cos 33332g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题主要考查由三角函数平移后的解析式求函数值，熟记三角函数的平移原则即可，属于基础题型. 8．如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ）．A ．()()22110x y x y--⋅-+=B ．()22110x y x y --⋅-+=C ．()22110x y x y --⋅-+= D ．22110x y x y --⋅-+=【答案】C【解析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可. 【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项等价于10x y --=或2210x y -+=，表示折线y 1x =-的全部和双曲线， 故错误；B 选项，等价于221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩或10x y --=，又10x y --=表示折线y 1x =-的全部，故错误；C 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或2210x y -+=，∴221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，2210x y -+=表示双曲线2x -21y =，符合题中的图象，故C 正确.D 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩，221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分， 和221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的部分，故错误.故选C. 【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时同时需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题．9．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A ．36π B ．28πC ．20πD ．12π【答案】D【解析】根据题意可知, 旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,然后根据圆锥的体积公式可求得答案. 【详解】依题意可知,旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,如图所示:所以3sin 604232OA AB =⋅=⨯=,114222OB AB ==⨯=,所以所形成的几何体的体积是221133OC OA OB OA ππ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅115122121233πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选:D. 【点睛】本题考查了两个圆锥的组合体,考查了圆锥的体积公式,本题属于基础题.10．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为（ ） A ．5B ．5C ．25D ．10【答案】B【解析】试题分析：把圆的方程化为标准方程得()()22214x y +++=，所以圆心M 坐标为()2,1--半径2r =，因为直线l 始终平分圆M 的周长，所以直线l 过圆M 的圆心M ，把()2,1M --代入直线:10l ax by ++=得；210,a b --+=即210a b +-=，(),a b 在直线210x y +-=上，()()2222a b -+-是点()2,2与点(),a b 的距离的平方，因为()2,2到直线210a b +-=的距离42155d +-==，所以()()2222a b -+-的最小值为5，故选B.【考点】1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将()()2222a b -+-的最小值转化为点到直线的距离解答的.11．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） A ．15 B ．3C ．23D ．2【答案】A【解析】设另一个焦点为F ',由2AO =以及中位线求得4PF '=,由椭圆定义可知2PF =,所以1AF =,在△AFO 中由余弦定理求得AFO ∠的正弦与余弦值,再求得正切值即可求得斜率. 【详解】 如图所示:由22195x y +=得3,5,2a b c ===, 设椭圆的右焦点为F ',连接PF ',所以线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心,2为半径的圆上,连接AO ,可得24PF AO '==, 所以111(2)(64)1222AF PF a PF '==-=-=, 所以222144cos 2212AF FO AO AFO AF FO +-+-∠==⋅⋅⨯⨯14=. 所以2115sin 1cos 1164AFO AFO ∠=-∠=-=, 所以15sin 4tan 151cos 4AFOAFO AFO∠∠===∠,所以直线PF 的斜率是15. 故选:A 【点睛】本题考查了利用椭圆的定义和三角形中位线求焦半径,考查了利用余弦定理求得直线PF 的倾斜角的余弦值,利用同角公式求正弦值和正切值,根据斜率的定义求斜率,属于基础题.12．已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，球的半径为5,则正四面体表面与球面的交线的总长度为 A ．4π B ．82πC ．122πD ．12π【答案】A【解析】首先考查一个面的交线长度，然后求解所有交线的长度即可. 【详解】考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示，由题意结合几何关系可知：122sin 60MN OD =⨯=， 球心到截面的距离：32316d =⨯=， 则222OA r d =-=，4DAO π∠=，据此可得截面对应的弧长为：2322πππ-⨯=，则四面体的一个面截球面的弧长为：()222OA ππππ⨯⨯=，则正四面体表面与球面的交线的总长度为44ππ⨯=. 故选：A . 【点睛】本题主要考查正四面体的外接球，四面体与球的几何关系，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．已知点A （﹣2，﹣1），B （2，2），C （0，4），则点C 到直线AB 的距离为__________. 【答案】145【解析】由两点式求得直线AB 的方程后,由点到直线的距离可求得答案. 【详解】由两点式可得直线AB 的方程为:(1)(2)2(1)2(2)y x ----=----化简得3420x y+=-,则点C 到直线AB 的距离为22|0162|14534-+=+. 故答案为: 145. 【点睛】本题考查了直线方程的两点式,点到直线的距离,属于基础题.14．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是______． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】根据题意，设圆C 的圆心为(,)a a ，则有2222222(2)(2)11a r a a ⎛⎫=-+-= ⎪+⎝⎭，解可得a 的值，即可得圆心的坐标及半径r 的值，从而可得圆的标准方程． 【详解】根据题意，圆C 的圆心在直线0x y -=上，设圆C 的圆心为(,)a a ，半径为r . 又由圆C 过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则有2222222(2)(2)11a r a a ⎛⎫=-+-= ⎪+⎝⎭， 解得1a =，故圆心的坐标为(1,1)， 则222(2)(2)2r a a =-+-=， 则圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=. 故答案为：22(1)(1)2x y -+-=． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心，属于基础题． 15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱11A D ,CD 的中点，点P 在平面ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________.【答案】3555- 【解析】取AD 的中点为O ,则MO ⊥平面ABCD ,即MO OP ⊥,由5PM =,得到1PO =,从而点P 在以O 为圆心,1为半径的位于平面ABCD 内的半圆上,可得O 到BN 的距离减去半径,即为PQ 长度的最小值. 【详解】如图所示:取AD 的中点为O ,则MO ⊥平面ABCD ,即MO OP ⊥,因为5PM =,所以541OP =-=,所以点P 在以O 为圆心,1为半径的位于平面ABCD 内的半圆上, 可得O 到BN 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值, 作OH BN ⊥于H , △BON 的面积为:1113222121112222BONS =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=, 又11522BONSOH BN OH =⨯⨯=⨯⨯, 所以3522OH =,所以355OH =, 所以PQ 的长度的最小值为:35355155OH OP --=-=.故答案为:3555-. 【点睛】本题考查了正方体的结构特征,解题关键是将空间问题转化为平面问题解决,本题属于中档题.16．已知椭圆22:14x C y +=上的三点,,A B C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且ABM ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为__________.【答案】36-【解析】设出直线BC 的方程,将其代入到椭圆C 的方程,根据韦达定理,三角形的重心坐标公式,三角形的面积比,可求得点A 的坐标,再将A 的坐标代入椭圆方程即可得到直线BC 的斜率. 【详解】 如图所示:设1122(,),(,)B x y C x y ,33(0,),(,)M m A x y ,直线BC 的方程为y kx m =+,因为原点O 是三角形ABC 的重心,所以△BMA 与△CMO 的高之比为3,又△BMA 与△CMO 的面积之比为32,则2BM MC =,即2BM MC =, 所以1220x x +=,①联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩,消去y 并整理得222(41)8440k x mkx m +++-=,所以122814km x x k -+=+,21224414m x x k -=+,② 由①②整理得22223614m k m k =-+,③ 因为原点O 是△ABC 的重心,所以31228()14km x x x k =-+=+,3121222()[()2]14my y y k x x m k -=-+=-++=+, 因为223344x y +=,所以222282()4()41414km m k k -+=++, 化简得22144k m +=,④ 由③④可得2112k =,因为k 0<,所以36k =-. 故答案为:36-. 【点睛】本题考查了直线与椭圆相交的问题,三角形的重心坐标公式,韦达定理,运算求解能力,根据已知条件求出点A 的坐标后,再代入椭圆方程是解题关键,本题属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，222a c b ac +=+． （1）求cos B 的值； （2）若1,87cosA a ==，求b 以及ABC S ∆的值． 【答案】（1）12；（2）7，1037. 【解析】（1）利用余弦定理可求cos B 的值；（2）先利用同角三角函数关系式求出角,A B 的正弦值，再借助于正弦定理求出b ，代入已知条件求出c ，进而求出三角形的面积．【详解】（1）由余弦定理及已知得：2221cos 22a cb B ac +-==.（2）因为,A B 为三角形内角，所以22143sin 1cos 177A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，2213sin 1cos 122B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，由正弦定理得：38sin 27sin 437a Bb A ⨯⋅===， 又∵2221cos 72b c a A bc+-==．22150c c ∴--=，解得5c =（3c =舍）． 1103sin 27ABC S bc A ∆∴=⋅=． 【点睛】本题主要考查余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算能力，属于中档题目．18．已知m R ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存在[]1,1x ∈-，使得1()12x m ≤-成立.(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围. 【答案】(1)[]1,2；(2)()(],11,2-∞【解析】（1）由题得223m m -≥-，解不等式即得解；（2）先由题得max 1[()1]12xm ≤-=， 由题得p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解. 【详解】(1)对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立，当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知当0x =时，()2y log 12x =+-的最小值为2-，223m m ∴-≥-，解得12m ≤≤.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.(2)存在[]1,1x ∈-，使得1()12xm ≤-成立，max 1[()1]12xm ∴≤-=.命题q 为真时，1m £，p 且q 为假，p 或q 为真，p ∴，q 中一个是真命题，一个是假命题.当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩解得12m <≤；当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <.综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞.【点睛】本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列{n b }满足n nnb a =，求数列{n b }的前n 项和n S ． 【答案】(1) 12n n a -= (2) 1242n n n S -+=-【解析】(1)根据已知条件11a =且3542,,3a a a 可解得公比,再代入通项公式即可得到; (2)利用错位相减法可求得n S . 【详解】设正项等比数列{a n }的公比为q (0)q >,（1）∵53412231a a a a =+⎧⎨=⎩∴42311112231a a a a q q q ⎧=+⎨=⎩,所以22320q q --= ∴q ＝2，12q =-(舍去) 所以1112n n n a a q --==；（2）∵12n n n n n b a -==，∴01211232222n n n S -++++=，① 121112122222n n n n nS --=++++，② ①﹣②得211111122222n n n n S -=++++-＝112112n --=12212222n n n nn +⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， ∴1242n n n S -+=-. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题. 20．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约用水，市民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w =3时，试完成该10000位居民该月水费的频率分布表，并估计该市居民该月的人均水费． 组号 12345678分组 []2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12(]12,17(]17,22(]22,27频率【答案】(1)3；(2)图见解析，10.5元【解析】(1)根据用水量的频率分布直方图求得该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率,再根据w 为整数可确定w 至少定为3;(2)利用同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,结合直方图的频率利用均值公式可以求得答案. 【详解】（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w 至少定为3．（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 12345678分组 []2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12(]12,17(]17,22(]22,27频率 0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10.5（元）． 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求均值,本题属于基础题.21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB AD ⊥，矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且ED CD ⊥,2,1AB BC DE AD ====.（1）求证：AB AE ⊥； （2）求证：DF ∥平面ABE ； （3）求二面角B EF D --的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)255【解析】(1)根据面面垂直的性质定理证得ED ⊥平面ABCD ,从而可得AB ED ⊥,再根据AB AD ⊥以及线面垂直的判定定理可得.AB ⊥平面,从而可得AB AE ⊥.(3) 过点B 作,BH CD ⊥垂足为H ,作HK EF ⊥，垂足为K ,连接BK ,则BKH ∠就是所求二面角B EF D --的平面角,在三角形BHK 中,可求得答案.【详解】解：（1）矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且平面EDCF⋂平面ABCD =CD ,又,ED CD ED ⊥⊂平面EDCF .ED ∴⊥平面ABCD .又AB ⊂平面ABCD ，AB ED ∴⊥,AB AD ⊥且AD DE D ⋂=,.AB ∴⊥平面ADE .AE ⊂平面ADE ，则AB AE ⊥（2）如图所示:取BC 中点M,连接,,DM MF AM ,由已知条件易得AMCD 及ABMD 为平行四边形，于是////AM DC EF ,由于AM DC EF ==,故AMFE 为平行四边形. //MF AE .MF ⊄面ABE,所以//MF 平面ABE .又//MD AB , 所以MD P 面ABE , 又MF MD M ⋂=,所以平面DMF //平面ABE . 又DF ⊂平面DMFDF ∥平面ABE .（3）如图所示:过点B 作,BH CD ⊥垂足为H ,作HK EF ⊥，垂足为K ,连接BK .由矩形EDCF ⊥平面ABCD ，得BH ⊥平面CDEF ,又HK EF ⊥,BK EF ∴⊥所以BKH ∠就是所求二面角B EF D --的平面角. 在△BDC 中,根据面积关系可得1122BH DC DM BC ⨯=⨯,得221122BH DM MC DM BC ⨯+=⨯,得2111212222BH ⨯+=⨯⨯,解得455BH =. 在BKH 中， 452,5HK DE BH === 45255tan 25BH BKH HK∴∠===. 故二面角B EF D --的正切值为255. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理,线面垂直的判定定理,线面平行的判定定理,面面平行的性质定理,二面角的求法,本题属于中档题.22．已知曲线C 上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于,A B 两点，O 为坐标原点． （1）求曲线C 的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若直线l 过点(0,2)Q ，求OAB ∆面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析；（3）53,22y x =+或522y x =-+ 【解析】（1）利用椭圆的定义可知曲线为2,1a c ==的椭圆，直接写出椭圆的方程．（2）设直线:l ()0,0y kx b k b =+≠≠，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM ，然后推出直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （3）设直线方程是2y kx =+与椭圆方程联立，根据面积公式()21212121242AOB S x x x x x x ∆=⨯⨯-=+-，代入根与系数的关系，利用换元和基本不等式求最值.【详解】（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆，设其标准方程为22221x y a b+=，则有2,1a c ==，所以2223b a c =-=，∴22143x y+= .（2）证明：设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+≠≠， 设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y则由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()223412x kx b ++=，即()2223484120k x kbx b +++-= ∴122834kb x x k +=-+，∴12024234x x kbx k+==-+ ， 20022433434k b by kx b b k k =+=-+=++， 0034OM y k x k==-， ∴直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积=4334OM k k k k ⋅=-⋅=-为定值 （3）点()()1122,,,A x y B x y ，由222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()22341640k x kx +++=， >0∆ ，解得214k >121222164,3434k x x x x k k +=-=++ ∴()21212121242AOB S x x x x x x ∆=⨯⨯-=+- ()22222216164143343434k k k k k -⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭+设()241,0,k t t -=∈+∞ ()2143431648AOB tS t t t∆==+++ 16816t t++≥ 当4t =时，AOB S ∆取得最大值3.此时2414k -=，即52k =± 所以直线方程是522y x =±+ 【点睛】 本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．。
2018-2019学年河北省卓越联盟高二下学期第三次月考数学(理)试题Word版含解析
绝密★启用前2018-2019学年河北省卓越联盟高二下学期第三次月考数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数的模长公式以及复数的运算法则进行化简求解即可．详解：（﹣2﹣i）z=|3+4i|==5，则z==﹣=﹣=﹣=﹣=﹣2+i，故选：D．点睛：本题主要考查复数的计算，熟练运用复数的模长公式以及复数的除法运算是解决本题的关键．2．关于相关关系，下列说法不正确的是（）A. 相关关系是一种非确定关系B. 相关关系越大，两个变量的相关性越强C. 当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关D. 相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强【答案】B【解析】分析：根据相关系数的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可得结果.详解：对于，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，正确；对于，只有两个变量为正相关时，相关关系越大，两个变量的相关性越强，错误；对于，当两个变量相关且相关系数时，说明两个变量正相关，正确；对于，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，正确，故选B.点睛：本题主要考查了相关系数的定义与性质的应用问题，意在考查对基本概念的理解，属于简单题.3．已知随机变量的分布列为下表，则的标准差为（）A. 0.95B.C. 0.7D.【答案】D【解析】分析：先利用期望公式，求得Eξ=3.2，再利用方差公式，求得方差，进而可得ξ的标准差．详解：由题意，Eξ=1×0.4+3×0.1+5×（1﹣0.4﹣0.1）=3.2∴方差为：（1﹣3.2）2×0.4+（3﹣3.2）2×0.1+（5﹣3.2）2×0.5=1.936+0.004+1.62=3.56∴ξ的标准差为故选：D．点睛：本题考查随机变量ξ的期望、方差与标准差，熟练运用公式是解决问题的关键．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排列种数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有种排法，再将两位老师插入9个空中，共有种排法，根据分步计数原理得到结果．详解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有种排法，∴一共有种排法。
2019-2020学年河北省卓越联盟高一下学期第三次月考数学试题Word版含解析
11．已知向量
，向量
，函数
，则下列说法正确的( )
A. 是奇函数 B. 的一条对称轴为直线
C. 的最小正周期为 D. 在 上为减函数 【答案】B 【解析】分析：首先利用向量的数量积的坐标运算式将函数解析式求出，之后应用相关的公式将其化简， 接着根据其相应的性质，求得对应的结果，得到正确 选项.
详解：根据题意可知
4．已知
，则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】分析：首先利用向量垂直，得到向量的数量积等于零，之后应用向量数量积的运算法则，结合向
量数量积的坐标运算式，得到 所满足的等量关系式，求得结果.
详解：由
可得
，
即
，所以
，
解得 ，故选 A. 点睛：该题考查的是有关与向量垂直相关的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件就是向量的数量积等 于零，再者就是应用向量数量积的坐标运算式得到 所满足的等量关系式，求得结果.
，再结合图中的信息，得到函数图像的对
称轴的位置，求得
，从而求得结果.
详解：根据题中所给的图像可知，
最小正周期
，所以
，解得 ，
又图像的一条对称轴是
，
所以有
，解得
，故选 D.
点睛：该题考查的是利用图像确定函数解析式的问题，在解题的过程中，需要认真分析图像，从图像中快 速的读出有用的信息，从而确定出相关的系数，求得结果.
详解：因为 是第四象限角，所以
，
根据题意可知：
，故选 D.
点睛：该题考查的是有关三角函数式子的化简问题，在解题的过程中，注意对根式的化简的原则，注意结 合题中所给的条件，以及正余弦值的范围，求得结果.
华中师大一附中卓越联盟2019年八年级联考数学试题
华中师大一附中卓越联盟2019年八年级联考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次根式1-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ≥1D ．x ≤12．实数15的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间3．下列计算中，正确的是（ ）A ．55243=+B ．3327=÷C ．622232=⨯D ．3)3(2±=-4．下列线段，不能组成直角三角形的是（ ）A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．a ＝1，b ＝2，c ＝3C ．35134===c b a ，， D ．a ＝2，b ＝4，c ＝6 5．一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＝0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地，已知乙比甲先出发.他们离出发地的距离s /km 和骑行时间t /h 之间的函数关系如图所示．根据图象信息，以上说法错误的是（ ）A ．他们都骑了20 kmB ．两人在各自出发后半小时内的速度相同C ．甲和乙两人同时到达目的地D ．相遇后，甲的速度大于乙的速度7．已知四边形ABCD ，下列说法正确的是（ ）A ．当AD ＝BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形B ．当AD ＝BC ，AB ＝DC 时，四边形ABCD 是平行四边形C ．当AC ＝BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC ＝BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形8．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（ ）个平行四边形A ．22B ．24C ．26D ．289．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点0，AC ＝2，BD ＝32．将菱形按如图方式折叠，使点B 与点O 重合，折痕为EF ，则五边形AEFCD 的面积是（ ）A ．34B ．32C ．33D ．437 10．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点（点P 不与点B 、D 重合），PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF ，给出下列结论：⊥ AP ＝EF ；⊥ AP ⊥EF ；⊥ 仅有当⊥DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；⊥ ⊥PFE ＝⊥BAP ；⊥22PD ＝EC ，其中有正确有（ ）个 A ．2 B ． 3 C ．4 D ．5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式___________12．函数3112-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是___________ 13．定义运算“*”法则为a *b ＝b a 23+，则3*27＝___________14．如图，长方体的底面边长均为3 cm ，高为5 cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B ，那么所用细线最短需要___________cm15．如图，在△ABC 中，D 为BC 边中点，P 为AC 边中点，E 为BC 上一点且BE ＝72CE ，连接AE ，取AE 中点Q 并连接QD ，取QD 中点G ，延长PG 与BC 边交于点H ．若BC ＝9，则HE ＝___________16．华中师大一附中是各地中学生游学的向往之地，现有一组游学小分队从武汉站下车，计划骑自行车从武汉站到华中师大一附中，出发一段时间后，发现有贵重物品落在了武汉站，于是安排小李骑自行车以原速返回，剩下的成员速度不变向华中师大一附中前进．小李取回物品后，改乘出租车追赶车队（取物品、等车时间忽略不计），小李在追赶上自行车队后仍乘坐出租车，再行驶10分钟后遭遇堵车，在此期间，自行车队反超出租车．拥堵30分钟后交通恢复正常，出租车以原速开往华中师大一附中，最终出租车和自行车队同时到达．设自行车队和小李行驶时间为t 分钟，与武汉站距离s 千米，s 与t 的函数关系如图所示，则从第二次相遇到出租车堵车结束，经过了___________分钟三、解答题（共8题，共72分）17．（本题8分）计算：2)12(1821-+⨯18．（本题8分）已知y 与x ＋1成正比例，且x ＝－2时y ＝2(1) 求y 与x 之间的函数关系式(2) 设点P (a ，4)在(1)中的函数图象上，求点P 的坐标19．（本题8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝38°，∠C＝71°，求证：AB＋AD＝BC20．（本题8分）一次函数y＝kx＋b中（k、b为常数，k≠0），若－3≤x≤2，则－1≤y≤9，求一次函数的解析式21．（本题8分）如图，在4×3的正方形网格中，每个小正方形边长都是1(1) 直接写出线段AB、CD的长度并求四边形ABDC的面积(2) 直接写出边长分别为2、13、17的三角形的面积.22．（本题10分）如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F(1) 若CD＝6，求DE的长(2) 求证：AE＝AF23．（本题10分）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，AB ＞CD ，AE ⊥BD 于E 交BC 于F(1) 若AB ＝2CD① 求证：BC ＝2BF② 连CE ，若DE ＝6，CE ＝24，求EF 的长(2) 若AB ＝6，则CE 的最小值为__________24．（本题12分）平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 、A 、C 的坐标分别为(0，0)、A (a ，0)、C (0，b )，且a 、b 满足02264162=+-++-b a b b(1) 矩形的顶点B 的坐标是____________(2) 若D 是OC 中点，沿AD 折叠矩形OABC 使O 点落在E 处，折痕为DA ，连CE 并延长交AB 于F ，求直线CE 的解析式(3) 将(2)中直线CE 向左平移23个单位交y 轴于M ，N 为第二象限内的一个动点，且⊥ONM ＝135°，求FN 的最大值。
华中师大一附中卓越联盟2019年八年级联考数学试题
PF⊥CD 于点 F，连接 EF，给出下列结论：① AP＝EF；② AP⊥EF；③ 仅有当∠DAP＝45°或
67.5°时，△APD 是等腰三角形；④ ∠PFE＝∠BAP；⑤ 2 PD＝EC，其中有正确有（ ）个 2
A．2
B． 3
C．4
D．5
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
A．他们都骑了 20 km
B．两人在各自出发后半小时内的速度相同
C．甲和乙两人同时到达目的地
D．相遇后，甲的速度大于乙的速度
7．已知四边形 ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．当 AD＝BC，AB∥DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形
B．当 AD＝BC，AB＝DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形
C．当 AC＝BD，AC 平分 BD 时，四边形 ABCD 是矩形
D．当 AC＝BD，AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形
8．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有 1 个平行四边形，第二幅图中有 3 个平
行四边形，第三幅图中有 5 个平行四边形，则第 6 幅和第 7 幅图中合计有（ ）个平行四边形
20．（本题 8 分）一次函数 y＝kx＋b 中（k、b 为常数，k≠0），若－3≤x≤2，则－1≤y≤9，求 一次函数的解析式
21．（本题 8 分）如图，在 4×3 的正方形网格中，每个小正方形边长都是 1 (1) 直接写出线段 AB、CD 的长度并求四边形 ABDC 的面积
(2) 直接写出边长分别为 2 、 13 、 17 的三角形的面积
华中师大一附中卓越联盟 2019 年八年级联考数学试题
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
2018-2019学年河北省邢台市卓越联盟高二第一次月考理科数学试题 Word版
2018—2019学年上学期第一次月考高二年级理科数学试题考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题５分，共60分） 1．给定下列四个命题：① 若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行；④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和④C ．②和③D ．③和④ 2．已知一个平面α，l 为空间中任意一条直线，则在α内一定存在直线b ，使得（ ） A ．l b ⊥ B ．l b ∥ C ．l 与b 异面 D ．l 与b 相交 3．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．垂直 4．已知空间两个角,αβ，若,αβ的两边分别平行，且60α=︒，则β=（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．60︒或120︒ 5．长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．23a π B ．26a π C ．212a π D ．224a π6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．24π-B ．243π-C ．483π-D ．883π-7．直三棱柱111ABC A B C -中，若190,BAC AB AC AA ∠=︒==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 8．若一个三棱锥中，有一条棱长为a ，其余棱长均为1，则其体积()V a 取得最大值时a 的值为（ ）A ．1B ．C D 9．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个10．在ABC ∆中，2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=︒，若ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A ．32π B ．52π C ．72π D ． 92π11ABCD （四个面都是正三角形），在侧棱AB 上任取一点P （与,A B 都不重合），若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为,a b ，则41a b+的最小值为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．9212．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ） A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 22第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 如果两个球的体积之比为8:27，则这两个球的表面积之比为 ． 14. 若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则此圆锥的 高是 ．15. 如图，在所有棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -上，有一只蚂蚁从点A 出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点1A ，则蚂蚁爬行的最小距离为 ．16. 三棱锥P ABC -中，5,PA BC PB AC PC AB =====，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分10分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm ）：（Ⅰ）求该几何体的体积； （Ⅱ）求该几何体的表面积．AC1C18. （本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，2BC =，12AA =，60ACB ∠=︒，E 、F 分别是11AC 、BC 的中点．（Ⅰ）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （Ⅱ）证明：平面AEB ⊥平面11BB C C ； （Ⅲ）证明：1C F ∥平面ABE ．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒．（Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）若12,AB CB AC ==，求三棱柱111ABC A B C -的体积．20. （本小题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥平面ABCD ，DE PA ∥，且22PA DE ==，F 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PAC ； （Ⅲ）求三棱锥ACE P -的体积ACE P V -．1AC 121. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11D AAC C -中，111A D BC ∥，1112A D B C =，AD 与1DC 所确定的平面交1BB 于点E ． （Ⅰ）证明：直线111,,AE A B DC 交于一点； （Ⅱ）若三棱柱111ABC A B C -的体积为18， 求四棱锥1A BCC E -的体积．22. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，各棱长均为3，P 、Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的点，且11BP C Q ==．（Ⅰ）在AC 上是否存在一点D ，使得BD ∥平 面APQ ？并证明你的结论；（Ⅱ）证明：平面APQ ⊥平面11AAC C ； （Ⅲ）求三棱锥1Q APA -的体积．B 1C 1A 1CABP QE2018—2019学年上学期第一次月考高二年级理科数学试题参考答案与评分标准二、填空题（每题5分，共20分）13. 4:9; 14. 15. 16. 29π.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17. （本题满分10分）解：（Ⅰ）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体． 且正四棱锥的地面边长为4，四棱锥的高为2， ∴ 体积.322444424431=⨯⨯+⨯⨯⨯=V ………………5分 （Ⅱ）由三视图知，四棱锥的侧面三角形的高.222222=+=h∴ 该几何体表面积为 21680224214445+=⨯⨯⨯+⨯⨯=S ．………10分 18. （本题满分12分）解：（Ⅰ）11101142sin6022ABC ABC A B CV S AA ∆-=⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱柱…………………………………………2分（Ⅱ）∵ 在中ABC ∆，4,2,AC CB ==60ACB ∠=︒，由余弦定理得AB =∴ 222AB BC AC +=，AB BC ⊥；∵ 1AB BB ⊥，1BC BB B =，∴ 11AB BBC C ⊥面， ∵ AB ABE ⊂面，∴ 11ABE BB C C ⊥面面； ……………7分 （Ⅲ）取AC 的中点M ，连接1,C M FM ． ∵ ABC ∆中，FM AB ∥，FM ⊄平面ABE ， ∴ FM ∥平面ABE ，∵ 矩形11ACC A 中，,E M 都是中点， ∴ 1C M AE ∥，又1C M ⊄平面ABE ， 1C M ∥平面ABE ，又1C M MF M ⋂=∴平面1C FM ∥平面ABE ，∴ 1C F ∥平面ABE ． …………………………………………………12分 19. （本题满分12分）解：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连接1,OA OC ． ∵ CA CB =， ∴ OC AB ⊥，∵ 1AB AA =，160BAA ∠=︒， ∴ 1AA B ∆为等边三角形，故1OA AB ⊥， ∵ 1OC OA O ⋂=,∴ AB ⊥平面1OAC ，1AB AC ⊥；…………………………………………………6分 （Ⅱ）由条件知ABC ∆和1AA B ∆都是边长为2的等边三角形， ∴ 1OC OA ==1AC∴ 22211AC OC OA =+，故1OA OC ⊥， ∵ OC AB O ⋂=，O∴ 1OA ⊥平面ABC ，1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高．∵ ABC S ∆，∴ 三棱柱111ABC A B C -的体积13ABC V S OA ∆=⨯=． ………………………12分 20. （本题满分12分）解：（Ⅰ）连接BD ，交AC 于O 点，连接FO ． ∵ F 是PC 的中点，O 是AC 的中点，∴ FO ∥PA ,PA FO 21=． ∵ DE ∥PA ，PA DE 21=∴ ,FO DE FO DE =∥，即四边形EFOD 是平行四边形， ∴ EF OD ∥，∵ EF ⊄平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，∴ EF ∥平面ABCD ； ………………………………………4分 （Ⅱ）∵ PA ⊥平面ABCD ， ∴ PA OD ⊥，又∵ AC OD ⊥，且PA AC C ⋂=， ∴ OD ⊥平面PAC ． ∵ EF OD ∥，∴ EF ⊥平面PAC ，EF ⊂平面PCE ，∴ 平面PEC ⊥平面PAC ； ……………………………8分 （Ⅲ）∵ PA ⊥平面ABCD ， ∴ 平面⊥PADE 平面ABCD ， ∵ CD AD ⊥，∴ CD ⊥平面PADE ， ∵ 12,22PAE CD S PA AD ∆==⨯⨯=， ∴ --11422333PAE P ACEC PAE V V S CD ∆==⨯=⨯⨯=三棱锥三棱锥．………………12分21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：∵ 111A D B C ∥，1112A D B C =， ∴ 11A B 和1DC 必交于一点，设为点O ． ∵ 点O ∈直线1DC ，直线1DC ⊂平面1AEC D ， ∴ 点O ∈平面1AEC D ，又∵ 点O ∈直线11A B ，直线11A B ⊂平面11A B BA ， ∴ 点O ∈平面11A B BA ，∵ 平面1AEC D ⋂平面11A B BA =直线AE ， ∴ 点O ∈直线AE ，∴ 直线111,,AE A B DC 交于一点O ； ……………………………6分 （Ⅱ）直三棱柱111ABC A B C -中，设BC a =，作AH BC ⊥交BC 于点H ．设112,AH h BB h ==．∴ 三棱柱111ABC A B C -的体积121182V ah h ==． ∵ 1BB ⊥平面ABC ， ∴ 1BB ⊥AH ， ∵ AH BC ⊥， ∴ AH ⊥平面11BB C C ，∵ 四边形1BEC C 是直角梯形，E 为1BB 的中点，∴ 四棱锥1A BCC E -的体积221121()1129324h h a V h ah h +=⋅⋅==． …………12分22. （本题满分12分）解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时，BD ∥平面APQ ．以下证明：三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，各棱长均为3，11BP C Q ==，∴P 、Q 分别是1BB 、1CC 上的三等分点．取AQ 的中点E ，连接PE 、D E ，则D E 为AQC ∆的中位线，∴1,2DE CQ DE CQ ∥=． 又1,2BP CQ BP CQ ∥=，∴,DE BP DE BP =∥， ∴四边形BDEP 是平行四边形， ∴PE BD ∥．PE ⊂平面APQ ，BD ⊄平面APQ ，∴BD ∥平面APQ ． ……………………………………………………5分（Ⅱ）由1AA ⊥平面ABC 可得，平面ABC ⊥平面11AAC C ，而BD AC ⊥，BD ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，∴BD ⊥平面11AAC C ，四边形BDEP 是平行四边形，其中PE BD ∥，∴PE ⊥平面11AAC C ，又PE ⊂平面APQ ，∴平面APQ ⊥平面11AAC C ； ………………………………9分（Ⅲ）1111111332QAA Q APA P QAA V V PE S BD AA AC ∆--==⋅=⋅⋅⋅三棱锥三棱锥11932=⨯⨯=． ………………………………12分1CB11。
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2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题
(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为
(A )
6
π
(B )3
π
(C )23
π (D )
56
π (2)已知sin2(
+
)=n sin2
，则
tan()
tan()
αβγαβγ++-+2
(A )
11
n n -+
(B )
1
n n +
(C )
1
n
n - (D )
1
1
n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且
A 1F ：F
B 1=1：3，则异面直线EF 与B
C 1所成角的正弦值为
(A 15
(B 15
(C 5 (D 5 (4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则222
1z z z i
-+-+的最大值为
(A 2
(B 2
(C 2 (D 2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为
(A )y 2=16x
(B )y 2=8x
(C )y 2=-16x (D )y 2=-8x
(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为
(A 3
(B 2
(C 3 (D 2 (7)若关于x 的方程||
4
x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( )
(A )(0，1)
(B )(14
，1)
(C )(14
，+∞)
(D )(1，+
∞)
(8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、
F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为
(A )5
(B )6 (C )7
(D )22
(9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )
(A )100
(B )120
(C )140 (D )160
(10)设
是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
27
π
的旋转，表示坐
标平面关于y 轴的镜面反射．用表示变换的复合，先做
，再做
，
用
k
表示连续k 次的变换，则
2
3
4
是( )
(A ) 4
(B )
5
(C )
2
(D )
2
(11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ．
(Ⅰ)设b n =a n +1-a n ，证明：若a ≠b ，则{b n }是等比数列； (Ⅱ)若lim n →∞
(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值．
1）考察数列定义
2）a 1+a 2+a 3+...+a n =a n -a n-1+2(a n-1-a n-2)+3(a n-2-a n-3)+...+(n-1)(a 2-a 1)+na 1 =b n +2b n-1+3b n-3+...+b 1+na(错位相减，可得a ，b 的值) (12)在△ABC 中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC ．
(Ⅰ)求k 的取值范围；
(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短？
(13)已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y =x 相切．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．
(14)一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ．
(Ⅰ)求EX 1；
(Ⅱ)设P (X n =a +k )=p k ，求P (X n +1=a +k )，k =0，1，…，b ； (Ⅲ)证明：EX n +1=(1-1
a b
+)EX n +1． (15)(Ⅰ)设f (x )=x ln x ，求f ′(x )；
(Ⅱ)设0<a <b ，求常数C ，使得
1|ln |b
a
x C dx b a --⎰取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a ,b ，证明：m a ,b <ln2． 希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：
1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。
不如积阴德于冥冥之中，此乃万世传家之宝训也。
2、积德为产业，强胜于美宅良田。
3、能付出爱心就是福，能消除烦恼就是慧。