与特殊四边形有关的动态几何问题(2)

图4

A

B

C

B’ D

E

P 山腰中学九年级下数学综合题辅优

---与特殊四边形有关的动态几何问题（2） 个性留言：为了最好的结果，让我们把努力进行到底！

1. (2010 福建省厦门市) 如图，将矩形纸片ABCD (AD DC >)的一角沿着过

点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上，落点为E ,折痕交AB 边于点F .若1BE =，

2EC =，则sin EDC ∠=__________；若::BE EC m n =，则:A

F F B =_________

（用含有m 、n 的代数式表示）.

2. (2010 江苏省连云港市) 矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将纸片折叠， 使点B 落在边CD 上的B’处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的 距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________．

3. (2009 福建省南平市) 如图，正方形ABCD 的边长是4cm ，点G 在边AB 上，以BG 为 边向外作正方形GBFE ，连结AE 、AC 、CE ，则AEC △的面积是_____ cm 2．

4. (2009 福建省三明市) 已知：矩形ABCD 中AD ＞AB ，O 是对角线的交点，

过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N （如图①）．

（1）求证：BM =DN ；

（2）如图②，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，求证：四边形AMCN 是菱形；

（3）在（2）的条件下，若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1︰3，求MN

DN

的值．

A

D

C

B G E F

图①

图②

5. (2009 福建省宁德市) 如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上

一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；

（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．

N M B E A C D F

G

图（1）

图（2）

M B

E A C D F

G N

6.（2010漳州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点

P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以5

4

cm/s的速度

沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含 x的代数式表示EP；

（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；

（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．

7．我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．

(1)判断直线y＝1

3x＋

5

6与正方形OABC是否相交，并说明理由；

(2)设d是点O到直线y＝－3x＋b的距离，若直线y＝－3x＋b与正方形OABC相交，求d的取值

范围．

8. (2010 山西省) 在直角梯形OABC 中，903CB OA COA CB ∠=︒=∥，，，6OA =，

BA =分别以OA OC 、边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系.

（1）求点B 的坐标；

（2）已知D E 、分别为线段OC OB 、上的点，52OD OE EB ==，，直线DE 交x 轴于

点.F 求直线DE 的解析式；

（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以

O D M N 、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）作BH x ⊥轴于点H ，则四边形OHBC 为矩形， ∴3OH

CB ==， ············································ （1分）

∴63 3.AH OA OH =-=-=

在Rt ABH △中，

6.BH === ·········

······································································· （2分） ∴点B 的坐标为()36，． ································ （3分） （2）作BG x ⊥轴于点G ，则EG BH ∥，

∴OEG OBH △∽△， ································· （4分）

∴

.OE OG EG

OB OH BH == 又∵2OE EB =， ∴23OE OB =，∴2336OG EG

==， ∴24OG EG ==，，

∴点E 的坐标为()24，． ······················································································· （5分） 又∵点D 的坐标为()05，， 设直线DE 的解析式为y kx b =+，

则245.

k b b +=⎧⎨=⎩，解得1 5.2k b =-=，

∴直线DE 的解析式为1

52

y x =-

+. ································································ （7分）

（ 图1）