与特殊四边形有关的动态几何问题(2)
动点问题（四边形动点专题）
动态几何问题--------动点问题（四边形动点专题）【动态几何问题的特点】动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。
几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终保持不变，也就是我们常说的定值。
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。
【动态几何问题的解决方法】解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。
动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。
解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.【动态几何问题的分类】动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。
有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。
根据其运动的特点，又可分为：（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。
【典型例题】例1.如图，在梯形中，ABCD 动点从点出发沿线段3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．M B 以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段BC C N C 以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．CD D t （1）求的长；BC （2）当时，求的值；MN AB ∥t （3）试探究：为何值时，t MNC △CB例2. 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在ABC MN 的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点ABC △AB AB B 与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，M A N B M N 、AB 与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．ABC △P Q 、MN t （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出MN t MNQP 该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间MN MNQP S 为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t MNQP S t 的取值范围．t 例3.如图，在等腰梯形中，∥，,AB =12 ABCD AB DC cm BC AD 5==cm,CD =6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm 的速度移动，点从开P A AB B Q C 始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
四边形中动点问题的解题策略
四边形中动点问题的解题策略动点问题集代数、几何知识于一体，有较强的综合性，题型灵活多变，解题方法渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想．本文以四边形中的动点问题为例，谈谈此类问题的解题策略，供读者参考．策略一动中寻静在“静”中探求“动”的一般规律，获得图形在运动过程中具有的某种性质，从而抓住变化中的不变因素．例1 如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AP、BP的中点，当点P在线段CD上从点C向点D移动时，线段EF的长度将______．（填“变大”、“变小”或“不变”）分析当点P在CD上运动时，线段E F始终为△ABP的中位线，所以，总有EF＝1AB，因此线段EF的长度不变．2例2 如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是BC上一动点，以AC为对角线的所有≌ABCD中，DE最小的值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5分析 当点D 在BC 上运动时，在□ABCD 中总有DE ＝2OD ．易知，OD 取最小值时OD 上BC ，且此时OD ＝12AB ，这样，DE 最小值＝2·12AB ＝AB ＝3． 注 例1中抓住不变量EF ＝12AB ，例2中抓住不变量DE ＝2OD ．这些等量关系不随动点位置的改变而改变．策略二 化动为静“静”只是“动”的瞬间，化动为静就是抓住动的瞬间，将一般转化为特殊，从而找到动与静的关系．例3 如图3，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM ＝2，点N 在线段AC 上运动，求DN ＋MN的最小值．分析 结合正方形的性质和轴对称相关知识，不难找到DN ＋MN 取最小值时点N 的位置，如图4．此时，DN ＋MN ＝BN ＋MN ＝BM ．在Rt △BMC 中，根据勾股定理，得22BD BC MC =+()()222288210BC CD DM =+-=+-=∴(DN ＋MN)最小值＝BM ＝10．注 处理好动态几何中的最值问题，不能被动点所迷惑，要通过猜想与证明，确定满足条件的动点位置，将一般情形转化为特殊情形．策略三以静制动当图形中点的位置的改变导致线段间数量关系发生变化时，可寻找变量间的关系，建立函数或方程模型，以不变应万变．例4 如图5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以3cm/s的速度运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？(3)当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析如图6，当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形；如图7，当QC－PD＝2CE时，四边形PQCD为等腰梯形；如图8，当QC－PD＝CE时，四边形PQCD为直角梯形．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只需解三个方程即可．由题意，可知0≤t≤263，PD＝24－t，QC＝3t，CE＝2．分别列出方程：(1)24－t＝3t；(2)3t－（24－t）＝4；(3)3t－（24－t）＝2．解得(1)t＝6；(2)t＝7；(3)t＝6．5．所以当f＝6时，四边形PQCD为平行四边形；当t＝7时，四边形PQCD为等腰梯形；当t＝6.5时，四边形PQCD为直角梯形．注本例中动点有两个，动点位置的改变会导致图形形状的改变，反过来，找出不同形状下线段之间的关系便能迅速确定动点位置；而不论动点运动到何处，线段长度的表达式不变，列出不同情形下的关系式，便能解决问题．从以上各例的解题思路来看，处理四边形中的动点问题时，要在变化中抓住不变量，在变化中探求不变的本质，不要被“动”所迷惑，而要在动中求静，化动为静，寻找确定的关系，这样便能找到解决问题的途径．。
初中数学动点问题归纳-初中教育精选
题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点31、(2009年齐齐哈尔市)直线 y = -— x+6与坐标轴分别交于 A B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，4同时到达 A 点，运动停止.点 Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O - B-A 运动. (1)直接写出A 、B 两点的坐标；(2)设点Q 的运动时间为t 秒，4OPQ 的面积为S, 的函数关系式;，一一 48 , .................... (3)当$= 一时，求出点P 的坐标，并直接写出以点5坐标.解：1、A (8, 0)B (0, 6)22、当 0vtv3 时，S=t当 3v tv 8 时，S=3/8(8-t)t提示：第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;。
P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OM 边。
然后画出各类 的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、(2009年衡阳市)如图，AB 是。
O 的直径，弦 BC=2cm ,/ ABC=60 o. (1)求。
O 的直径；(2)若D 是AB 延长线上一点，连结 CD,当BD 长为多少时，CD 与。
O 相切；(3)若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点 F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿 BC 方向运动，设运动时间为 t(s)(0 <t <2),连结EF,当t 为何值时，△ BEF 为直角三角形.动点问题O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点第(3)问是分类讨论：已知三定点求出S 与t 之间图(3)3、(2009重庆某江)如图，已知抛物线y=a(x—1)2+3J3(a*0)经过点A(—2, 0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM // AD .过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC . (1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC =OB ,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ ,当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.注意：发现并充分运用特殊角/ DAB=60当^OPC面积最大时，四边形BCPQ勺面积最小。
中考数学压轴题专题十动态几何问题
中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。
中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)
专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。
初中数学动态几何定值问题(word版+详解答案)
动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号） 【举一反三】如图（1），已知∠=90MON ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PAC ABOPS S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，ABy BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
2022年中考数学专题复习：动态几何问题
2022年中考数学专题复习：动态几何问题1．在△ABC中，AB = AC，△ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE△AC.若PC = 4，求PE的长；(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF；(3)如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=14AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．2．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝35．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝94，请直接写出点K被扫描到的总时长．3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB△CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A 点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．(1)求梯形ABCD的高和△A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连结AG 、DE ．（1）猜想AG 与DE 的数量关系，请直接写出结论；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到图2，请判断：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在正方形OEFG 旋转过程中，请直接写出： △当α＝30°时，△OAG 的度数；△当△AEG 的面积最小时，旋转角α的度数．5．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由．6．如图，在Rt ABCAB=，4∠=︒，5AC=．动点P从点A出发，沿AB △中，90C⊥交AC或BC于点Q，以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ AB分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设PQM与ABC重叠部分的面积为t t>秒．S，点P运动的时间为()0（1）当点Q在AC上时，CQ的长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC上时，求t的值．（3）当PQM与ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）点N为PM中点，直接写出点N到ABC的两个顶点的距离相等时t的值．7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．8．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．设P点的运动时间为t．（1）CP＝cm．（用含t的式子表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？9．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，BC=5 ，△C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．（1）AC的长是________，AB的长是________．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？10．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG 与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？△请在图2中补全图形；△若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．11．如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=5cm，BC=8cm，动点P从B出发沿BC 向C运动，速度为2cm/s．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为1cm/s，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点P'是点P关于直线AC的对称点，连接PP′和P′Q，P′P和AC相交于点E．设运动时间为t秒．（1）若当t的值是多少时，P'P恰好经过点A？（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分△P′PC？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点Q在PC的垂直平分线上？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若△BAC＝60°，△ACD＝90°，E为CD中点，AB=△BCE的面积；（2）如图2，若△ACD＝90°，点E在线段CD上且△DAE＋△ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：BC=；（3）如图3，AB＝1，△BAC＝90°，△ACD＝105°，若BE恰好平分△AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．AE CE13．已知，如图△，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC△AB，△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s：同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图△，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）CQ＝，BQ＝，AP＝，CP＝．（2）当t为何值时，PQ∥MN；（3）设△OMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；（2）设正方形EFGH面积为S 1，正方形EFGH与ABC重叠面积为S2，当S1：S2＝2时，求t的值；（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒DM ﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．15．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为x s，△AQP的面积为y cm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：（1）a＝．（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．16．如图1，有一张矩形纸条ABCD ，边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >，E 为CD 上一点，1CE =． （1）连接AE ，BE ，试说明90AEB =︒∠．（2）如图2，M 为边AB 上一个动点，将四边形BCEM 沿ME 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C '上，边MB '与边CD 交于点N ． △如图3，当点M 与点A 重合时，求N 到ME 的距离．△在点M 从点A 运动到点B 的过程中，求点N 相应运动的路径长（路程）．17．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．（1）当3t =秒时，求AP 的长度；（2）当ABP △为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 作DE AP ⊥于点E ，连接PD ，在点P 的运动过程中，当PD 平分APC ∠时，直接写出t 的值．18．如图，已知在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE △CD 交射线CB 于点E ，设AD ＝x ． （1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长； （2）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值； （3）如果DEy DB=，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．19．已知：如图，在长方形ABCD 中，4cm,6cm AB BC ==，点E 为AB 中点．点P 在线段BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）线段,BP PC 的长可用含t 的式子分别表示为 cm ， cm ；（2）若某一时刻BPE 与CQP 全等，求此时t 的值和点Q 的运动速度．20．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），连接AB，点P（0，t）是y 轴上的一动点，以BP为一直角边构造等腰直角△BPC（B，P，C的顺序为顺时针），且△BPC＝90°，过点A作AD△x轴并与直线BC交于点D，连接PD．（1）如图1，当t＝2时，求点C的坐标；（2）如图2，当t＞0时，求证：△ADC＝△PDB；（3）如图3，当t＜0时，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．。
中考综合题(四)----《探究性问题——动态几何》
中考综合题（四）----《探究性问题——动态几何》一、知识网络《动态几何》涉及的几种情况 ⎧⎪⎨⎪⎩动点问题动线问题动形问题二、【精典题型】1.【05重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动 点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？2.【05青岛】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0<t<5）后，四边形ABQP 的面积为S 米2。
（1）求面积S 与时间t 的关系式；（2）在P 、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等？若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。
xB3.【05乌鲁木齐】四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC。
在建立如图的平面直角坐标系中，A （4，0），B（3，2），点M从O点以每秒2单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q，连结MQ。
（1）写出C点的坐标；（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。
（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形。
4.【05宜昌】如图1，已知△ABC的高AE=5，BC=403，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．（图2供思考用）CJ E CBA图2图15.【05漳州】如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，顶点D ，C 分别在AM ，BN 上运动(点D 不与A 重合，点C 不与B 重合)，E 是AB 上的动点(点E 不与A ，B 重合)，在运动过程中始终保持DE ⊥CE ，且AD+DE=AB=a 。
八年级数学暑假专题 动态几何问题 人教实验版
八年级数学暑假专题 动态几何问题 人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：几何图形中有关点、线段的运动问题．二. 知识要点： 1. 题型特点：动态几何问题就是研究在几何图形的运动中，伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性，常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力． 2. 解题方法：（1）掌握基本图形的性质和判定（平行四边形、特殊的平行四边形、等腰梯形等）； （2）掌握点的运动方向、速度、路程、过程等；（3）能把点运动的路程（距离）转化为线段的表达式与图形的边长相结合．三. 考点分析：动态几何问题是近几年中考命题的热点，往往在中考中以压轴题的形式出现，难度大、分值高．【典型例题】例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝20cm ，BC ＝4cm ，点P 从点A 开始沿折线A －B －C －D 以4cm /s 的速度运动，点Q 从点C 开始沿CD 边以1cm /s 的速度移动．如果点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ），t 为何值时，四边形APQD 为矩形？ABCDPQ分析：观察图形，要使四边形APQD 为矩形，只需AP ＝DQ 即可． 解：由已知有AP ∥DQ ，∠A ＝90°， 当PA ＝DQ 时，四边形APQD 是矩形， 依题意，则有4t ＝20－t ，所以t ＝4（s ）， 即当t 为4s 时，四边形APQD 是矩形． 评析：这种用数形结合思想和代数方法综合起来解决几何问题的思想方法应引起同学们的重视．例2. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝50cm ，AD ＝75cm ，BC ＝135cm ．点P 从点B 出发沿折线段BA －AD －DC 以5cm /s 的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以3cm /s 的速度匀速运动．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 的运动时间是ts （t ＞0）．（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值时能使PQ ∥DC ．A BCDP Q分析：（1）根据点P 的运动速度及运动距离可求出t 的值；（2）要保证PQ ∥DC 需满足四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ．解：（1）t ＝（50＋75＋50）÷5＝35（s ），此时，点P 到达终点C ，且QC ＝35×3＝105cm ． 所以，BQ ＝BC －CQ ＝135－105＝30cm ． （2）如图所示，若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，ABCDPQ则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD ＝CQ ，由CQ ＝3t ，BA ＋AP ＝5t ，得： （50＋75）－5t ＝3t ．解得，t ＝1258，所以，当t ＝1258（s ）时有PQ ∥DC ．评析：本题利用点动、线动综合考查特殊四边形的判定．例3. 如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ．点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向B 运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？AB分析：①如图所示，当PD ＝CQ 时，四边形PQCD 成为平行四边形；②若四边形PQCD 成为等腰梯形，PD 和CQ 之间的关系式是PD ＋2（BC －AD ）＝CQ ．ABCDPQ解：（1）因为PD ∥CQ ，则当PD ＝CQ 时四边形PQCD 为平行四边形． 设运动时间为t 秒，则24－t ＝3t ． 解得，t ＝6．即当点P 、Q 运动到6秒时四边形PQCD 为平行四边形． （2）如图所示，设运动t 秒后四边形PQCD 为等腰梯形．ABCDPQ E F作PE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，则EF ＝PD ＝24－t ，QE ＝CF ＝BC －AD ＝2． 由CQ ＝QE ＋EF ＋FC 得3t ＝2＋24－t ＋2． 解得，t ＝7．即当点P 、Q 运动到7秒时，四边形PQCD 为等腰梯形．例4. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝16cm ，AD ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以每秒3cm 的速度向B 移动，一直到达B 点停止，点Q 以每秒2cm 的速度向D 点移动．（1）P 、Q 两点出发后多少秒时四边形PBCQ 的面积为36cm 2；（2）是否存在某一时刻，使PBCQ 为正方形？若存在，求出该时刻，若不存在说明理由．AD分析：（1）利用梯形面积公式，12（PB ＋CQ ）·BC ＝36．求出运动时间；（2）由CQ ＝PB 解得运动时间，然后判断PB ＝BC 是否成立．若PB ＝BC ，则矩形PBCQ 为正方形，而PB ≠BC 时，矩形PBCQ 不能成为正方形．解：（1）在梯形PBCQ 中，CQ ＝2t ，PB ＝16－3t ，BC ＝6由S 梯形PBCQ ＝12（CQ ＋PB ）·BC ＝36得12（2t ＋16－3t ）×6＝36，得t ＝4． 即当点P 、Q 出发4秒后，四边形PBCQ 的面积为36cm 2． （2）因为CQ ∥PB 且∠C ＝∠B ＝90°， 所以当CQ ＝PB 时，四边形PBCQ 为矩形．即2t ＝16－3t ，得t ＝165．而t ＝165时，CQ ＝PB ＝325＝6.4．因为BC ＝6，所以CQ ＝PB ≠BC ． 所以矩形PBCQ 不能成为正方形．【方法总结】解决动态几何问题时，通常需要我们树立联系发展的动态观，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程．一方面要注意将运动过程中的各个时刻的图形分类画图，由“动”变“静”；另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件．在求有关图形中变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；而求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解．【模拟试题】（答题时间：45分钟）1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，DC ∥AB ，BC ＝3，DC ＝4，AD ＝5，动点P 从B 点出发由B →C →D →A 沿边运动，则△ABP 的最大面积为（ ）ABC DPA. 10B. 12C. 14D. 162. 如图所示，已知矩形ABCD ，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）ABCD E FPRA. 线段EF 的长逐渐增大B. 线段EF 的长逐渐减小C. 线段EF 的长不改变D. 线段EF 的长不能确定**3. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，由B －C －D －A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果关于x 的函数y 的图象如图所示，则△ABC 的面积为（ ）BPA. 10B. 16C. 18D. 32*4. 如图在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ＝5，DC ＝7，AB ＝13，点P 从点A 出发，以3个单位/秒的速度沿AD →DC 向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/秒的速度沿BA 向终点A 运动，在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时运动时间为（ ）A. 3sB. 4sC. 5sD. 6sABCD P Q5. 如图所示，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．ABCDEFM NO*6. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝14cm ，AD ＝18cm ，BC ＝21cm ，点P 从点A 开始沿AD 向点D 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CB 向点B 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 两点分别从点A 、C 同时出发，设移动的时间为ts ，求t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ABCDPQ**7. 在平面直角坐标系内，一动点P （x ，y ）从点M （1，0）出发，沿由A （－1，1）、B （－1，－1）、C （1，－1）、D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①所示，按一定方向运动，如图②所示的是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，如图③所示的是P 点的纵坐标y 与P 点运动路程s 之间的函数图象的一部分．（1）s 与t 之间的函数关系式是__________．（2）与图③相对应的P 点运动的路程是__________．（3）写出当3≤s ≤8时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．①②③【试题答案】1. B2. C3. B4. A5. （1）∵EC 平分∠ACB ，∴∠OCE ＝∠BCE ，又∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∴∠OEC ＝∠OCE ，∴OE ＝OC ．同理OF ＝OC ，∴EO ＝FO ．（2）当O 为AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．证明如下：∵EO ＝FO ，AO ＝CO ，∴四边形AECF 为平行四边形．又∵EC 、FC 分别为∠ACB 的内、外角平分线．∴∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 是矩形．6. 解：作PE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，则QE ＝CF ＝BC －AD ＝21－18＝3，PD ＝EF ．因为CQ ＝QE ＋EF ＋CF ．所以2t ＝18－t ＋6．解得t ＝8，即当t =8s 时，四边形PQCD 为等腰梯形．7. （1）s ＝12t ；（2）M →D →A →B →C →M ；（3）当3≤s ≤5时，即P 从A 到B 时，y ＝4－s ．当5≤s ＜7时，即P 从B 到C 时，y ＝－1．当7≤s ≤8时，即P 从C 到M 时，y ＝s －8．。
专题十三 动态几何题解题指导
专题十三 动态几何题解题指导以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.【典题讲练】1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，DC ∥AB ，BC ＝3，DC ＝4，AD ＝5，动点P 从B 点出发由B →C →D →A 沿边运动，则△ABP 的最大面积为（ ）A. 10B. 12C. 14D. 162. 如图所示，已知矩形ABCD ，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A. 线段EF 的长逐渐增大B. 线段EF 的长逐渐减小C. 线段EF 的长不改变D. 线段EF 的长不能确定ABC D P ABCD EF PR（1题） （2题）**3. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，由B －C －D －A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果关于x 的函数y 的图象如图所示，则△ABC 的面积为（ ）A. 10B. 16C. 18D. 32*4. 如图在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ＝5，DC ＝7，AB ＝13，点P 从点A 出发，以3个单位/秒的速度沿AD →DC 向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/秒的速度沿BA 向终点A 运动，在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时运动时间为（ ）A. 3sB. 4sC. 5sD. 6sBPABCD P Q（3题） （4题）5. 如图所示，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．*6. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝14cm ，AD ＝18cm ，BC ＝21cm ，点P 从点A 开始沿AD 向点D 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CB 向点B 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 两点分别从点A 、C 同时出发，设移动的时间为t s ，求t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ABCDPQ**7. 在平面直角坐标系内，一动点P （x ，y ）从点M （1，0）出发，沿由A （－1，1）、B （－1，－1）、C （1，－1）、D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①所示，按一定方向运动，如图②所示的是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，如图③所示的是P 点的纵坐标y 与P 点运动路程s 之间的函数图象的一部分．（1）s 与t 之间的函数关系式是__________． （2）与图③相对应的P 点运动的路程是__________．（3）写出当3≤s ≤8时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．①②③8、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；9、在等腰梯形ABCD中,AD//BC, AB=DC=5，AD=6，BC=12. 动点P从D点出发沿DC以每秒一个单位的速度向终点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动。
与四边形有关的动态问题
浅谈与四边形有关的动态问题动态题是近年来中考的一种常见题型，各地中考越来越关注动态问题.动态问题在中考中大多以压轴题出现，集代数、几何、三角函数等知识于一体.综合性、探究性较强，有助于培养学生的分析、综合、探究、逻辑推理能力和知识的整合能力，所以也备受关注.动态图一般指题目图形中存在一个或多个动点、动线、动图，它们在折线、射线或弧线上运动的一类开放性题目.有关动态问题的综合题要特别关注运动与变化中的不变量不变关系或特殊关系，注重在图形形状或位置的变化过程中寻求函数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形的联系.下面主要探讨与四边形有关的动态问题.—、动点问题动点问题主要有两种题型：一是寻找满足条件的点的位置；二是由动点问题探究题目中变化的量之间的关系.例1：如图，在梯形abcd中，ad//bc，ad=3，dc=5，bc=10，梯形的高为，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为（秒），图1（1）当mn//ab时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，△mnc为等腰三角形.思路分析1：第一小题是求满足条件的值，首先要注意审题，明确题目提供哪些变量、哪些不变量.通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解.所以当题中设定mn//ab时，其实是一个静止问题.通过作辅助线腰的平行线便可将动态问题转化成平行时候的静态问题，于是由平行得到相似，列出比例式建立变量与不变量之间的关系，很快可以求出满足条件的值.解：（1）由题意知，当m、n运动到t秒时，如图2，过d作de//ab 交bc于e点，则四边形是平行四边形.图2∵ab//de，ab//mn，∴de//mn.∴=.∴，解得t=.思路分析2：由于我们平常见到的等腰三角形经常是mn=nc这种状态.因此就漏掉了mn=mc，mc=cn这两种情况.在中考中如果在动态问题当中出现等腰三角形，就一定不要忘记分类讨论的思想，任意两边都可以当腰.具体分类以后，就成了较为简单的解三角形问题，最后要提醒学生注意检验值是否符合题意.像这种题目一般先假设结论成立，再根据结论与已知条件进行合情推理，去伪存真，得到正确结论.（2）分三种情况讨论：①当mn=nc时，如图3，作mf⊥bc交于f，则有mc=2fc，易得10-2t=2×，解得t=.图3②当mn=mc时，如图4，过m作mh⊥cd于h，则cn=2ch，即t=2（10-2t）×，解得t=.图4③当mc=cn时，10-2t=t，解得t=.综上所述，当t=、或时，△mnc为等腰三角形，总结：例1中（2）小题由动点产生特殊三角形，此外，这种存在性问题还包括存在特殊四边形、相似三角形、全等三角形、最值问题、对称问题、距离之和最小问题等，这里就不一一介绍了.二、动线问题解动线问题时，也要特别关注运动与变化中的不变量，不变关系或特殊关系，综合应用函数、方程、分类讨论、数形结合等思想.例2：如图5，在平面直角坐标系中，四边形oabc是矩形，点b 的坐标为（4，3）.平行于对角线ac的直线m从原点o出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形oabc的两边分别交于点m、n，直线m运动的时间为t（秒）.（1）点a的坐标是？摇？摇？摇，点b的坐标是？摇？摇？摇？摇；（2）当t=？摇？摇？摇？摇秒时，mn=ac；（3）设△omn的面积为s，求s与t的函数关系式；（4）探求（3）中得到的函数s有没有最大值；若有，求最大值，若没有，请说明理由.思路分析：第二小题很多学生会很自然地认为mn与ac的位置关系只有题目提供的图示情况，从而忽略了隐含的另一种情况而导致失分.第三小题以一条运动的直线为载体，以矩形为背景探究图形面积的变化也要先确定分段点，分两段寻求s与t的函数关系.解：（1）（4，0）（0，3）（2）2或6（3）当0思路分析：本题中点m的位置改变，从而使四边形ocmd 的形状一直在变，但是点m在第一象限，它到x轴和y轴的距离分别是它的纵、横坐标，所以利用周长与面积公式很容易得出周长不变的结论和面积的最值.第三小题以三角形为背景，以运动的正方形为载体探究图形面积的变化情况，也是分段函数.所以要先确定分段点，画出每一段的某一时刻的图形进行探究.解：（1）设点m的横坐标为x，则点m的纵坐标为-x+4（00，-x+4>0）.则mc=|-x+4|=-x+4，md=|x|=x，∴c=2（mc+md）=2（-x+4+x）=8.∴当点m在ab上运动时，四边形ocmd的周长不发生变化，总是等于8.（2）根据题意得s=mc×md=（-x+4）x=-x+4x=-（x-2）+4.∴四边形ocmd的面积是关于点m的横坐标x（0如图9，当2≤a<4时，s=（4-a）=（a-4）.图8 图9动态几何问题往往作为压轴题，这种题型灵活性大，综合性强，一般思路如下。
初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)
四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。
数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。
这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。
解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。
2014年中考数学核心考点二轮专项训练(二)动态几何问题(解析版)
一、三年中考概况；近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约．考查学生的分类讨论、转化、数形结合、函数与方程等思想方法.二、马年中考策略；“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
解决动点问题的关键是“动中求静”.点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
解决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法等.三、三年中考回放；类型一建立动点问题的函数解析式（或函数图象）例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）例2（2013湖南衡阳）如图，P是正方形ABCD的边AD上一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数[来源:Z+xx+]（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值例3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）类型四：面动几何型问题例4. （2014抚顺）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A′B′C.[来源:中.考.资.源.网](1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于D.求证：△A′CD是等边三角形；(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；[来源:](3)如图③，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP的长度最大，最大值为________．(3)连接CP，则CP＝12A′B′＝12×2a＝a.∵EC＋PC≥EP，∴EP≤12a＋a＝32a，当点P还是AB中点时，例5 （2013•攀枝花）如图10，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB ∥CD,点B（10,0），C（7,4）,直线l经过A、D两点，且sin∠DAB=2,动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B以每秒5个单位的速度沿→→相交于点M。
专题64 动态几何类问题(2)(原卷版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题64 动态几何类问题（2）【规律总结】 动态几何问题的解题技巧解这类问题的基本策略是：1.动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性•• • •2.动静互化：“静”只是“动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静"的关系.3.以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点來研究变动元素的关系• 总之，解决动态儿何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形, 把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。
这类问题与函数相结合时，注意使用分类讨论的思想，运用方程的思想.数形结合思想.转化的思想等。
【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，点A 、B 以及直线l 在66⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，A 、B 两点的坐标分别()1,2-、()3,0，在直线l 上找一点P 使得AP BP +最小，则P 点的坐标为（ ）A ．()1,1-B ．()2,1-C ．()0,1-D ．()2,2-【答案】B【分析】 根据题意建立直角坐标系，作B 关于l 的对称点C ，连接AC ，则AC 与l 的交点即为所求点P ，接着写出直线AC与直线l的函数解析式，联立得到关于P点坐标x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到P点坐标．【详解】解：如图，由题意可建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，由图可写出l的函数解析式为y=-1，设直线AC的函数为y=kx+b，则把A、C坐标代入可得：232k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解之可得：k=-1，b=1，∴直线AC的函数为y=-x+1，∴有11yy x=-⎧⎨=-+⎩，解之得：x=2，y=-1，∴P点坐标为（2，-1），故选B ．【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练求解一次函数的解析式并结合二元一次方程组求直线的交点是解题关键．例2．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，ABC 中，390,sin ,85ACB A AC ︒∠===，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到A B C ''，P 为线段A B ''上的动点，以点P 为圆心，PA '长为半径作P ，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为__________．【答案】409或285 【分析】分两种情形分别求解：当∴P 与直线AC 相切于点Q 时；当∴P 与AB 相切于点T 时．【详解】390,sin 5ACB A ︒∠==， ∴设3BC x =，则5AB x =，在Rt ABC 中，由勾股定理：222AB AC BC =+，即：222(5)(3)8x x =+，2x ∴=，10,6AB BC ∴==，84cos 105AC A AB ∴===． ①若P 与AC 相切，如图，设切点为M ，连接PM ，则PM AC ⊥，且PM PA '=，,PM AC AC AC '⊥⊥，B PM A ''∴∠=∠，由旋转性质可知A A ∠'=∠，B PM A '∴∠=∠，4cos cos 5B PM A '∴∠==， 设4PM x =，则4,5PAPM x B P x ''===， 又A B AB ''=，即：4510x x +=， 解得109x =， 4049r PM x ∴===． ②若P 与AB 相切，如图，延长PB '交AB 于点N ，90A B A B '∠+∠=∠+∠=︒，90A NB '∠=︒，即N 为AB 与O 切点，又14A B BC AC BC AC ''∴=+=+=，cos cos A N A B A A B A ''''∴=⋅∠=⋅， 即4561455A N '=⨯=， 12825r NP PA A N ''∴====． 故答案为：409或285． 【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．例3．（2021·重庆北碚区·七年级期末）已知OC 是∠AOB 内部的一条射线，M ，N 分别为OA ，OC 上的点，线段OM ，ON 同时分别以20°/s ，10°/s 的速度绕点O 逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．（1）如图①，若∠AOB =120°，当OM 、ON 逆时针旋转到OM '、ON '处．①若OM ，ON 旋转时间t =3时，则∠BON '+∠COM '=______；②若OM '平分∠AOC ，ON '平分∠BOC ，求∠M 'ON '的值；（2）如图②，若∠AOB =3∠BOC ，OM ，ON 分别在∠AOC ，∠BOC 内部旋转时，请猜想∠COM 与∠BON 的数量关系，并说明理由．（3）若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值．【答案】（1）①30°；②60°；（2）∴COM=3∴BON，理由见解析；（3）5或9或27或31秒．【分析】（1）①由题意可以得到∴AOM'和∴CON'的度数，然后根据角度的加减计算可以得到解答；②根据角平分线的定义可以得解；（2）设∴BOC=x，且旋转时间为ts，由题意可以把∴COM与∴BON用x和t表示出来，然后通过比较可以得到∴COM与∴BON的关系；（3）针对OM与ON的位置关系及旋转的具体情形分4种情况讨论．【详解】解：（1）①∴线段OM、ON分别以20°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转3s，∴∴AOM'=3×20°=60°，∴CON'=3×10°=30°，∴∴BON'=∴BOC-30°，∴COM'=∴AOC-60°，∴∴BON'+∴COM'=∴BOC-30°+∴AOC-60°=∴AOB-90°．∴∴AOB=120°，∴∴BON'+∴COM'=120°-90°=30°．故答案为：30°；②∴OM'平分∴AOC，ON'平分∴BOC，∴∴AOM'=∴COM'=0.5∴AOC，∴BON'=∴CON'=0.5∴BOC，∴∴COM'+∴CON'=0.5∴AOC+0.5∴BOC=0.5∴AOB=0.5×120°=60°，即∴M'ON'=60°；（2）∴COM=2∴BON，理由如下：设∴BOC=x，则∴AOB=3x，∴AOC=2x．∴旋转t秒后，∴AOM=20t，∴CON=10t，∴∴COM=2x-20t=2（x-10t），∴NOB=x-10t，∴∴COM=2∴BON；（3）设旋转t秒后，当OM与ON重合之前时，可得：70°-20t+10t=20°，解得：t=5秒，当OM与ON重合之后，且OM没有到达OA时，可得：20t-10t-70°=20°，解得：t=9秒，当OM旋转一周后，ON没有经过OA时，10t+70°+20°=360°，解得：t=27秒，当OM旋转一周后，ON经过OA后时，10t+70°-20°=360°解得：t=31秒．故答案为：5或9或27或31秒．【点睛】本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的定义和性质、角度的加减计算及分类讨论思想的运用是解题关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·河北沧州市·九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，6AD =，16BC =，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．若以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 运动的时间为（ ）A ．1B ．72C ．2或72D ．1或722．（2020·广西玉林市·八年级期末）如图，在菱形ABCD 中，5AB cm =，120ADC =∠︒，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1/cm s ，点F 的速度为2/cm s ，经过t 秒DEF ∆为等边三角形，则t 的值为（ ）A．34B．43C．32D．53二、填空题3．（2020·陕西西安市·高新一中八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点1,0A，点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，则BO的最小值是______．4．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学九年级其他模拟）正方形ABCD中，AB＝，点M 是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为______________．三、解答题5．（2021·山东青岛市·九年级期末）已知：如图，在ABC中，CD AB⊥，垂足,4,2D BD CD cm AD cm===；点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1/cm s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2/cm s；以PQ为底边作等腰三角形PQM ，使MPQ A ∠=∠，并且PQM 与ABC 分别在AB 的两侧，连接PC QC 、，设运动时间为()t s ．解答下列问题：()1当02t <≤时，是否存在某一时刻t ，使//MP CQ ？若存在，求出此时t 的值：若不存在，请说明理由；()2设四边形MQCP 的面积为()2y cm ，求当02t <≤时，y 与t 之间的函数关系式； ()3是否存在某一时刻t ，使PQM 与以A P C 、、为顶点的三角形相似﹖若存在，请直接给出此时t 的值；若不存在，请说明理由．6．（2021·江苏泰州市·七年级期末）两个完全相同的长方形ABCD 、EFGH ，如图所示放置在数轴上．（1）长方形ABCD 的面积是______．（2）若点P 在线段AF 上，且10PE PF +=，求点P 在数轴上表示的数．（3）若长方形ABCD 、EFGH 分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为S ，移动时间为t ．①整个运动过程中，S 的最大值是______，持续时间是______．②当S 是长方形ABCD 面积一半时，求t 的值．。
(完整版)初中数学动点问题归纳
BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
中考数学压轴题重难点突破七 与特殊四边形有关的证明与计算(动态探究问题)
(2)在 AB 上取 AF＝EC，连接 EF， 由(1)同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP(SAS)，∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°.
【模型应用】 (2)如图②，F 是 DE 延长线上一点，FB⊥BE，EF 交 AB 于点 G. Ⅰ)判断△FBG 的形状并说明理由； Ⅱ)若 G 为 AB 的中点，且 AB＝4，求 AF 的长；
(2)解：Ⅰ)△FBG 为等腰三角形，理由： ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠GAD＝90°， ∴∠AGD＋∠ADG＝90°，由(1)知△ABE≌△ADE， ∴∠ADG＝∠EBG，∴∠AGD＋∠EBG＝90°， ∵FB⊥BE，∴∠FBG＋∠EBG＝90°， ∴∠AGD＝∠FBG，∵∠AGD＝∠FGB， ∴∠FBG＝∠FGB，∴FG＝FB， ∴△FBG 是等腰三角形．
FH AD ∴GH＝AG＝2，∴FH＝2GH＝2， 在 Rt△AHF 中，AF＝ AH2＋FH2＝ 13.
【模型迁移】 (3)如图③，F 是 DE 延长线上一点，FB⊥BE，EF 交 AB 于点 G，BE＝BF. 求证：GE＝( 2－1)DE.
(3)证明：∵FB⊥BE，∴∠FBE＝90°， 在 Rt△EBF 中，BE＝BF，∴EF＝ 2BE， 由(1)知 BE＝DE，由(2)知 FG＝BF， ∴GE＝EF－FG＝ 2BE－BE＝ 2DE－DE＝( 2－1)DE.
类型二：与特殊四边形有关的证明与计算(动态探究问题) (省卷 2021T27，2019T27，2015T27，2014T27；兰州 2021T27)
(2022·兰州)综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，AE⊥EP，EP 与正方形的外角∠DCG 的平分线交 于 P 点．试猜想 AE 与 EP 的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】(1)同学们发现，取 AB 的中点 F，连接 EF 可以解决这个问 题．请在图①中补全图形，解答老师提出的问题；
2020年中考数学热点专练八动态几何问题（江苏版）（解析版）
2020年中考数学热点专练八动态几何问题（江苏版）（解析版）专题导读动态几何问题，是近年来的热点问题.它几乎成了每个城市中考试卷中的亮点，拿到一套试卷，总是习惯先看看有没有关于动态几何的问题.动态几何问题也就是关于图形运动的一类问题，它主要是牵扯到图形的三种变换：平移、旋转、轴对称及动点问题.当然考查图形的运动问题有小题，也有大题，小题主要分布在选择和填空的最后一两个题，也就是小压轴题，解答题中也会有关于图形的运动问题，主要有两类，一类是关于平移、旋转、轴对称的作图，这个比较简单，我们这里就不说了；另一类就是我们介绍的重点一一研究图形在运动过程中产生的一些图形性质上的变化和不变的情况.这几乎成了压轴题基本上共同的特点.中考要求中考要求课程标准和中考说明都要求学生要具备一定的用运动观点分析问题的能力.学会在运动变化中寻求不变的图形性质.学会运用函数的观点研究关于图形运动中性质的变化情况.专题集训考向1图形的运动与最值1.（2019江苏省连云港市）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以点C为圆心作。
与直线相切，点P是QC±一个动点，连接AP交于点T,则业的最大值是AT2.（2019江苏省无锡市）如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=4逐，D为边AB上一动点（3点除外），以CD为一边作正方形CDEF,连接8E,则ABDE面积的最大值为.3.（2019江苏省宿迁市）如图，ZMAN^60°,若△ABC的顶点3在射线AM上，且A3=2,点。
在射线AN上运动，当AABC是锐角三角形时，BC的取值范围是.4.（2019江苏省宿迁市）如图，正方形ABCQ的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.5.(2019江苏省扬州市)如图，己知等边△ABC的边长为8,点F是边上的一个动点(与点A、B不重合).直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B'.(1)如图1,当PB=4时，若点可恰好在AC边上，则菌，的长度为；(2)如图2,当PB=5时，若直线1〃AC,则33,的长度为；(3)如图3,点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC,AACB'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；(4)当PB=6时，在直线1变化过程中，求可面积的最大值.6.(2019江苏省苏州市)已知矩形ABCD AB=5cm,点F为对角线AC上的一点，且AP =26cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为I(s),A4PM的面积为S(enF),S与f的函数关系如图②所示:(1)直接写出动点M的运动速度为cm/s,BC的长度为cm-,(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点£＞出发，在矩形边上沿着D t C t B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M、N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点N相遇后立即停止运动，记此时AARW与AZJRV的面积为5]（＜?麻）,$2（伽2）.①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S] .S?是否存在最大值.若存在，求出S|・S2的最大值并确定运动速度时间x的值;若不存在，请说明理由.(B®)7.（2019江苏省扬州市）如图，四边形A3CD是矩形，A3=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC,ZG=90°.点M在线段AB上，且AM=a,点P沿折线AQ-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ//AQ.设PQ与AB之间的距离为x.（1）若a=12.①如图1,当点F在线段AD上时，若四边形AMQF的面积为48,则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2,若点P在线段ZJG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a的取值范围.考向2动点与函数的结合问题1.(2019江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y^x+bx+c过点C(0,-3),与抛物线£2：-lx2-旦t+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点22P、Q分别是抛物线3、3上的动点.(1)求抛物线3对应的函数表达式；(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点F的坐标；(3)设点R为抛物线3上另一个动点，且CA平分ZPCR.若OQ//PR,求出点。
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图4ABCB’ DEP 山腰中学九年级下数学综合题辅优---与特殊四边形有关的动态几何问题（2） 个性留言：为了最好的结果，让我们把努力进行到底！1. (2010 福建省厦门市) 如图，将矩形纸片ABCD (AD DC >)的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上，落点为E ,折痕交AB 边于点F .若1BE =，2EC =，则sin EDC ∠=__________；若::BE EC m n =，则:AF F B =_________（用含有m 、n 的代数式表示）.2. (2010 江苏省连云港市) 矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将纸片折叠， 使点B 落在边CD 上的B’处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的 距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________．3. (2009 福建省南平市) 如图，正方形ABCD 的边长是4cm ，点G 在边AB 上，以BG 为 边向外作正方形GBFE ，连结AE 、AC 、CE ，则AEC △的面积是_____ cm 2．4. (2009 福建省三明市) 已知：矩形ABCD 中AD ＞AB ，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N （如图①）．（1）求证：BM =DN ；（2）如图②，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，求证：四边形AMCN 是菱形；（3）在（2）的条件下，若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1︰3，求MNDN的值．ADCB G E F图①图②5. (2009 福建省宁德市) 如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．N M B E A C D FG图（1）图（2）M BE A C D FG N6.（2010漳州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以54cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含 x的代数式表示EP；（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．7．我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．(1)判断直线y＝13x＋56与正方形OABC是否相交，并说明理由；(2)设d是点O到直线y＝－3x＋b的距离，若直线y＝－3x＋b与正方形OABC相交，求d的取值范围．8. (2010 山西省) 在直角梯形OABC 中，903CB OA COA CB ∠=︒=∥，，，6OA =，BA =分别以OA OC 、边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系.（1）求点B 的坐标；（2）已知D E 、分别为线段OC OB 、上的点，52OD OE EB ==，，直线DE 交x 轴于点.F 求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O D M N 、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）作BH x ⊥轴于点H ，则四边形OHBC 为矩形， ∴3OHCB ==， ············································ （1分）∴63 3.AH OA OH =-=-=在Rt ABH △中，6.BH === ················································································ （2分） ∴点B 的坐标为()36，． ································ （3分） （2）作BG x ⊥轴于点G ，则EG BH ∥，∴OEG OBH △∽△， ································· （4分）∴.OE OG EGOB OH BH == 又∵2OE EB =， ∴23OE OB =，∴2336OG EG==， ∴24OG EG ==，，∴点E 的坐标为()24，． ······················································································· （5分） 又∵点D 的坐标为()05，， 设直线DE 的解析式为y kx b =+，则245.k b b +=⎧⎨=⎩，解得1 5.2k b =-=，∴直线DE 的解析式为152y x =-+. ································································ （7分）（ 图1）（3）答：存在 ················································ （8分）①如图1，当5OD DM MN NO ====时，四边形ODMN 为菱形.作MP y ⊥轴于点P ，则MP x ∥轴， ∴MPD FOD △∽△，∴.MP PD MDOF OD FD== 又∵当0y =时，1502x -+=，解得10x =，∴F 点的坐标为()100，，∴10.OF = 在Rt ODF △中，FD ==∴105MP PD ==∴MP PD ==∴点M的坐标为(.- ∴点N的坐标为(.- ·········································································· （10分）②如图2，当5OD DN NM MO ====时，四边形ODMN 为菱形.延长NM 交x 轴于点,P 则MP x ⊥轴.∵点M 在直线152y x =-+上， ∴设M 点坐标为152a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，在Rt OPM △中，222OP PM OM +=， ∴2221552a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得1240a a ==，（舍去）， ∴点M 的坐标为()43.，∴点N 的坐标为()48.， ····················································································· （12分） ③如图3，当OM MD DN NO ===时，四边形OMDN 为菱形.连接NM ，交OD 于点P ，则NM 与OD 互相垂直平分，（ 图2）∴52M N y y OP ===， ∴155,22M x -+=∴5M x =，∴ 5.N M x x =-=-∴点N 的坐标为55.2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ····· （14分）综上所述，x 轴上方的点N有三个，分别为(()12354852N N N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，.9.如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =，BC =另有一等腰梯形DEFG （GF DE ∥）的底边DE 与BC 重合，两腰分别落在AB 、AC 上，且G 、F 分别是AB 、AC 的中点． （1）直接写出△AGF 与△ABC 的面积的比值；（2）操作：固定ABC △，将等腰梯形DEFG 以每秒1个单位的速度沿BC 方向向右运动，直到点D与点C 重合时停止．设运动时间为x 秒，运动后的等腰梯形为DEF G ''（如图2）．①探究1：在运动过程中，四边形F F CE '能否是菱形？若能，请求出此时x 的值；若不能，请说明理由．②探究2：设在运动过程中ABC △与等腰梯形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．解：（1）△AGF 与△ABC 的面积比是1：４． （2）①能为菱形．由于FC ∥F E '，CE ∥F F '，∴四边形F F CE '是平行四边形．当221===AC CF CE 时，四边形F F CE '为菱形， 此时可求得2x =． ∴当2x =秒时，四边形F F CE '为②分两种情况：①当0x <≤（ 图3）AFG(D )BC (E )图1FGAF 'G 'BDCE图2如图3过点G 作GM BC ⊥于M ．AB AC = ，90BAC ∠=，BC =G 为AB 中点，GM ∴=又G F ，分别为AB AC ，的中点，12GF BC ∴== 162DEFGS ∴==梯形∴等腰梯形DEFG 的面积为6． GM = ，BDG G S '∴ ． ∴重叠部分的面积为：6y =．∴当0x <≤时，y 与x 的函数关系式为6y =．②当x ≤FC 与DG '交于点P ，则45PDC PCD ∠=∠=．90CPD ∴∠= ，PC PD =，作PQ DC ⊥于Q ，则．1)2PQ DQ QC x ===∴重叠部分的面积为：221111)))82244y x x x x =⨯==-+．综上，当0x <≤y 与x 的函数关系式为6y =；当x ≤822412+-=x x y(C (E )图3M。