卡尔曼滤波概述

卡尔曼滤波概述

⏹卡尔曼滤波的应用框架⏹波形估计的一般方法⏹信号与观测模型

1960年，R.E.Kalman

发表了一篇著名的文章

New Results in Linear Filtering

and Prediction Theory

Rudolf Kalman

1930出生于匈牙利布达佩斯1957年在美国哥伦比亚大学获博士学位

2008年获Charles Stark Draper 奖

1.卡尔曼滤波的应用框架

卡尔曼滤波是一组递推的数据处理算法，这组算法提供了离散线性系统状态的线性最小均方估计的有效计算方法。

其有效性体现在：

⏹能提供对系统过去、现在和未来状态的估计，

甚至当系统精细的特性未知的情况下也能如此

⏹能估计非平稳过程

⏹能估计矢量过程（适用于多输入多输出系统）

系统

测量装置

控制

系统状态(未知、但

希望知道）系统扰动

测量误差源

测量值卡尔曼滤波器

系统状态的最佳估计

系统建模

随机动态系统

飞机

雷达控制

飞机的状态(距离、方位、仰角、速度）

大气湍流产生的扰动

测量误差源

雷达测量值卡尔曼滤波器

系统状态的最佳估计

飞机运动模型

随机动态系统

典型的应用领域

•目标跟踪

•导航

•控制

•弹道导弹航迹估计•火炮控制；

•通信信道均衡•气象预报

•…

2.波形估计的一般方法

假定要估计的信号为，观测模型为

[]k g 00[][][],1,...,f

k k k k k k k =+=+z y w 其中。

([][])[]T

kj E k j k =w w R δ我们可以通过正交化的方法，获得一组相互正交的数据，

0000ˆˆ{[],[1][1/],....,[][/1]}f f f k k k k k k k +-+--z z z

z z 00{[],[1],....,[]}

f k k k +ννν相互正交的序列

0[]

k ν0[1]

k +ν[]

f k ν

的估计可以完全由得到

[]k g 0{[],,...,}f k k k k =ν0

ˆ[][,][]

f

k j k k k j j ==∑g

H ν()(){

}

ˆˆˆˆ([])[][][][][]T

g Mse k P k E k k k k ==--g g g

g g 对应的均方误差矩阵为由线性最小均方估计的正交原理，

0[][,][][]0

f

k T j k E k k j j l =⎧⎫⎡⎤⎪⎪-=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭

∑g H νν0,...,f

l k k =

0[][,][][]0

f

k T j k E k k j j l =⎧⎫⎡⎤⎪⎪-=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭

∑g H νν0

([][])[,]([][])[,][][,][]

f

f

k k T

T

jl

j k j k E k l k j E j l k j j k l l ===

=

=∑∑g νH νν

H P H P ννδ

0,...,f

l k k =1

[,]([][])[]T k l E k l l -=H g νP ν0

1

ˆ[]([][])[][]

f

k T

j k k E k j j j -==∑g

g ν

P νν

信号模型：

[1][1,][][][]

k k k k k k +=++x Φx Γn ：M ⨯1的状态矢量

：M ⨯M 维的矩阵，称为状态转移矩阵: p ⨯1维的矢量，称为系统扰动噪声：M ⨯p 维的矩阵，称为系统扰动矩阵

Γx Φn 观测模型：[][][][]

k k k k =+z H x w ：N ⨯1的观测矢量

：N ⨯M 维的矩阵，称为测量矩阵：N ⨯1的观测噪声矢量

z H w 3.信号模型与观测模型

假定为不相关的白噪声，统计特性为：

[],[]k k n w ([]),([][])[]T kl

E k E k l k ==δn 0n n Q ([]),([][])[]T

kl E k E k l k ==δw 0w w R ([][])T

E k l =n w 0

系统的起始条件：0000000([])[]

{([][])([][])}[]x μx μx μP x T

x x x E k k E k k k k k =--={}{}0000([][])[])([][])[]x μn 0x μw 0T x T

x E k k k E k k k -=-=

小结：

1. 卡尔曼滤波的典型应用框架

卡尔曼滤波是线性系统状态的线性最小均方估计的递推解

2.波形估计的一般方法

3. 信号与观测模型

01

ˆ[]([][])[][]f k T j k k E k j j j -==∑g g ν

P νν[1][1,][][][]k k k k k k +=++x Φx Γn [][][][]k k k k =+z H x w 信号模型观测模型