圆锥曲线椭圆

圆锥曲线（一）椭圆

基础盘查一椭圆的定义

(一)循纲忆知

掌握椭圆的定义，了解椭圆的简单应用．

(二)小题查验

1．判断正误

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()

(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆()

2．已知椭圆x2

a2＋y2

b2＝1，作一个三角形，使它的一个顶点为焦点F1，另两个顶点D，E

在椭圆上且边DE过焦点F2，则△F1DE的周长为________．

3．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________．

基础盘查二椭圆的标准方程和几何性质

(一)循纲忆知

1．掌握椭圆的几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．

(二)小题查验

1．(1)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()

(2)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()

(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()

2．(北师大版教材习题改编)已知椭圆的长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于2

3，则椭圆的标准方程为________________．

3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

考点一椭圆的定义及标准方程

1．定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

[提醒]当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

2．标准方程

中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)；中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)． [提醒] 当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是

不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2

n 2＝1(m 2≠n 2)的形式． [题组练透]

1．(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33

，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )

A.x 23＋y 22＝1

B.x 23＋y 2＝1

C.x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24

＝1 选A

2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )

A.x 264－y 248＝1

B.x 248＋y 264＝1

C.x 248－y 264＝1

D.x 264＋y 248

＝1选D 3．(2015·浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C ：x 29＋y 22

＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

选C [类题通法]

1．求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．

2．利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：(其中，θ＝∠F 1PF 2)

(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；

(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ；

(3)当P 为短轴端点时，θ最大．

(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝sin θ1＋cos θ

·b 2 ＝b 2tan θ2

＝c ·|y 0|. 当y 0＝±b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2有最大值为bc .

考点二 椭圆的几何性质(

1．椭圆的几何性质

(1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；

(2)与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．

[提醒] 在解题时要特别注意第二类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再进行求解．

2．椭圆的离心率

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：

(1)求出a ，c 代入公式e ＝c a

； (2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．

[一题多变]

[典型母题]

[题点发散1] 本例条件变为“(OP ＋2OF )·2PF ＝0”试求S △F 1PF 2的面积．

答案S △F 1PF 2＝b 2.

[题点发散3] 本例条件变为“P 到两焦点的距离之比为2∶1”，试求离心率范围．

答案13

≤e <1. [类题通法]

椭圆几何性质的应用技巧

(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．

(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0