2020年丰台高三二模数学试题及答案

（D） 8
2． 函数 f (x) 1 的定义域为 x2 2x
（A） (0,2)
（B） [0,2]
（C） (,0) (2,)
（D） (,0] [2,)
3． 下列函数中，最小正周期为 的是
（A） y 1 sin x 2
（B） y sin 1 x 2
（C）
y
cos( x
)
4
（D） y 1 tan x 2
④白色“水滴”图形的面积是 11 3 . 6
其中正确的有__________． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共 14 分）
如图，四边形 ABCD 为正方形， MA‖ PB ， MA BC ， AB PB ， MA 1 ， AB PB 2 . （Ⅰ）求证： PB 平面 ABCD ； （Ⅱ）求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值.
（Ⅱ）因为 PB 平面 ABCD ， AB 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ， 所以 PB AB ， PB AD . 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 AB BC . 如图建立空间直角坐标系 B xyz ， 则 P(0,0,2) ， M (2,0,1) ， C(0,2,0) ， D(2,2,0) ，
PC (0,2,2) ， PD (2,2,2) ， PM (2,0,1) . 设平面 PDM 的法向量为 u (x,y,z) ，
则
u PD u PM
0, 0,
即
2x
2y 2x
z
2z 0.
0,
令 z 2 ，则 x 1， y 1.于是 u (1,1,2) .
平面 PDM 的法向量为 u (1,1,2) .
4． 已知数列an 的前 n 项和 Sn n2 n ，则 a2 a3
（A）3
（B） 6
（C） 7
（D） 8
5． 设 a，b 为非零向量,则“ a b ”是“ a +b a b ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
6． 已知抛物线 M : x2 2 py( p 0) 的焦点与双曲线 N : y2 x2 1 的一个焦点重合，则 p 3
（A） 2
（B）2
（C） 2 2
7． 已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1 x) ，则 f (x)
（D）4
（A）是奇函数，且在定义域上是增函数
（B）是奇函数，且在定义域上是减函数
（C）是偶函数，且在区间 (0，1) 上是增函数 （D）是偶函数，且在区间 (0，1) 上是减函数
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注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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18.（本小题共 14 分） 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的
活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了 10 所学 校，10 所学校的参与人数如下：
n(a1 an ) b1(1 qn )
2
1 q
n(n 3) 26n 64 . 2
若选择条件③ q
1，可得 b1
b4 q3
4 ，
Tn (a1 b1) (a2 b2 ) (an bn )
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………14 分 ………6 分 ………14 分
则称集合 A, B 互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合 A a a 2m 1, mN , B b b 2n, n N .判断 2019 和 2020 是否属于集合 A B ，
并说明理由；
（Ⅱ）设集合 A x x 0 +2 22 +4 24 +L +2i 22i +L +2s 22s,2i 0,1;i 0,1,L , s, s N , B x x 1 21+3 23+L +2i1 22i1+L +2s1 22s1,2i1 0,1；i 1,L , s, s N* .
酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：
天甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 ┈
干 地子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
┈ 支 干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
┈ 纪年年年年年年年年年年年年年 年
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2049 年是新中国成立 100 周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049 年 是己巳年，则 2059 年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.
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丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二）
数学 参考答案及评分参考
2020．06
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
C
D
B
A
B
C
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
15．已知集合 P (x,y) | (x cos )2 ( y sin )2 4,0 .由集合 P 中所有的点组成的图形如图中
阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为（0，1）； ②在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 3； ③阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则 CD 3 3 ；
获得了第一名，则下列说法正确的是
（A）每场比赛的第一名得分 a 为 4
（B）甲至少有一场比赛获得第二名
（C）乙在四场比赛中没有获得过第二名
（D）丙至少有一场比赛获得第三名
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 已知复数 z 2 i ，则 z
19.（本小题共 15 分）
已知函数
f
(x)
x 1 ex
.
（Ⅰ）求函数 f (x) 的极值；
（Ⅱ）求证：当 x (0, ) 时， f (x) 1 x2 1 ； 2
（Ⅲ）当 x 0 时，若曲线 y f (x) 在曲线 y ax2 1的上方，求实数 a 的取值范围.
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11． 5
12． 2 2
13． y 2x
14. 己卯；60
15. ②③④
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共 14 分）
证明：（Ⅰ）因为 MA BC ， MA // PB ， 所以 PB BC ， 因为 AB PB ， AB BC B ， 所以 PB 平面 ABCD .
．
12. 已知直线 x y 1 0 的倾斜角为 ，则 cos
．
13.
双曲线 M : x2 y2 1(a 0,b 0) 的离心率为 a2 b2
3 ，则其渐近线方程为
.
14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
(ⅰ)求证：集合 A, B 互为“完美加法补集”；
（ ⅱ ） 记 An 和 B n 分 别 表 示 集 合 A, B 中 不 大 于 n(n N*) 的 元 素 个 数 ， 写 出 满 足 An B n n 1的元素 n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 经过 A(1,0) ， B(0,b) 两点. O 为坐标原点，且△
AOB 的面积为
2 . 过点 P(0,1) 且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 M，N ,且直线 AM ， AN 分别
设直线 PC 与平面 PDM 所成的角为 ，
………5 分
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PC u
所以 sin cos PC,u
3.
PC u 6
所以直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值为 3 . 6
17.（本小题共 14 分）
解： （Ⅰ）设等差数列an 的公差为 d ，
（Ⅰ）现从这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查. 求选出的 2 所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人 的概率； （Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行指导，记 X 为教练选中参加旱地冰 壶人数在 30 人以上的学校个数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这 3 个动作进行技术指导. 规定： 这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学 3 个动作中每个动作 达到“优”的概率为 0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
17.（本小题共 14 分）
已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 2 ， S5 =20 . （Ⅰ）求数列an 的通项公式；
Hale Waihona Puke Baidu
（Ⅱ）若等比数列 bn
满足
a4
b4
9
，且公比为
q
，从①
q
2
；②
q
1 2
；③
q
1 这三个条件中任选
一个作为题目的已知条件，求数列 an bn 的前 n 项和Tn .
8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为 等腰直角三角形，则该棱锥的体积为
（A） 2 3 3
（B） 4 3
（C） 4 3 3
（D） 2 3
9. 在△ ABC 中， AC 3， BC 7 ， AB 2 ，则 AB 边上的高等于
（A） 2 3
（B） 3 3 2
（C） 26 2
又因为
Sn
na1
n(n 1) 2
d
，且 a1
2
，
所以 S5 10 10d 20 ，故 d 1 .
所以 an n 1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， a4 5 ，又 a4 b4 9 ，所以 b4 4 .
若选择条件① q
2 ，可得 b1
b4 q3
1 2
，
Tn (a1 b1) (a2 b2 ) (an bn )
丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二） 数学 2020.06
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1． 集合 A x Z 2 x 2 的子集个数为
（A） 4
（B） 6
（C） 7
(a1 a2 an ) (b1 b2 bn )
n(a1 an ) b1(1 qn )
2
1 q
n(n 3) +2(1 (1)n ) . 2
4
与 y 轴交于点 S ，T . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）求直线 l 的斜率 k 的取值范围； （Ⅲ）设 PS PO,PT PO,求 的取值范围.
21.（本小题共 14 分）
已知无穷集合 A, B ,且 A N, B N ，记 A B a b a A,b B ，定义：满足 N* (A B) 时，
（D） 3 2
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四
场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a,b, c(a b c, 且 a,b, c N) ；选手总分为各
场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛
(a1 a2 an ) (b1 b2 bn )
n(a1 an ) b1(1 qn )
2
1 q
n(n 3) 2n1 1 .
2
2
若选择条件② q
1 2
，可得 b1
b4 q3
32 ，
Tn (a1 b1) (a2 b2 ) (an bn )
(a1 a2 an ) (b1 b2 bn )