大梦杯福建省初中数学竞赛试题

“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设2323a =++-，则1

a a

+

的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B

【解答】由22322323236a =+++⋅-+-=，知6a =。 于是166

a a +

=+，2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。 因此，1

a a

+

的整数部分为2。 （注：4234233131

232362222

a +-+-=++-=+=+=） 2．方程2

2(

)32

x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2

2(

)32

x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。 即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。 解得1x =。经检验1x =是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）

A ．3

B ．23

C ．22±

D ．22 【答案】 D

【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22

1212

()22

t t t t ++，。 （第3题）

由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为22

1212

(2)22t t t t ++-，。 由点B 在抛物线2

y x =上，知22

212122()22

t t t t

++-=。 整理，得2222

1211222282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。

结合21t t >

，得21t t -=

4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。若AE EF =，且7AC =，3FC =，则cos ACB ∠的值为（ ）

A ．37 B

．7 C ．3

14

D

．7

【答案】 B

【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。 则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。 ∴ EK EB =。

又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。 ∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。 ∴

BC === ∴

cos BC ACB AC ∠=

=。 或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得，

1BD CF EA

DC FE AB

⋅⋅=。 由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。 又AE EF =，因此，3AB CF ==。

结合7AC =，90ABC ∠=︒

，利用勾股定理得，BC =

所以，cos BC ACB AC ∠==。

D

B

A E

（第4题）

K

5．如图，O 为ABC △的外接圆的圆心，R 为外接圆半径，且4R =。直线AO 、BO 、CO 分别交ABC △的边于D 、E 、F ，则

111

AD BE CF

++

的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．2

3

【答案】 C

【解答】由条件及等比定理，得

OAB OAC OAB OAC OAB OAC

ABD ACD ABD ACD ABC

S S S S S S OA AD S S S S S ++====+△△△△△△△△△△△， 同理，OAB OBC ABC S S OB BE S +=△△△，OBC OAC

ABC

S S OC CF S +=△△△。 ∴

()()()

2OAB OAC OAB OBC OBC OAC ABC

S S S S S S OA OB OC AD BE CF S +++++++==△△△△△△△。 又4OA OB OC R ====， ∴ 11121

2

AD BE CF R ++==。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．记函数223y x x =-+（12x -≤≤）的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 。

【答案】 8

【解答】∵ 2223(1)2y x x x =-+=-+，12x -≤≤，

∴ 1x =时，y 取最小值，即2m =；1x =-时，y 取最大值，即6M =。 ∴ 8M m +=。

7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a >）的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ， C 为二次函数图像的顶点，2AB =。若ABC △是边长为2的等边三角形，则a = 。

【答案】

【解答】依题意20ax bx c ++=有两个不同的实根，设为1x ，2x ，则122AB x x =-=。

∵ 12b x x a +=-，12c

x x a

=，

∴ 22

2

21212122

4()()4()44b c b ac x x x x x x a a a

--=+-=--⨯==，即22

44b ac a -=。 （第5题）