动点问题(四边形动点专题)共17页PPT资料
四边形中的动点问题讲义
题型切片（两个）对应题目题型目标由动点产生的特殊图形例1，例2，例3，练习1，练习2，练习3；由动点产生的函数关系例4，例5，例6，例7，练习4，练习5．我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．题型切片知识互联网思路导航四边形中的动点问题题型一：由动点产生的特殊图形【例1】 已知如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，、(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．【例2】 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若E 、F 是AC 上两动点，分别从A 、C 两点以相同的速度1cm/s 向C 、A 运动． ⑴四边形DEBF 是平行四边形吗?请说明理由．⑵若BD =12cm ，AC =16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形?【例3】 如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为直角梯形，OA ∥BC ，BC =14cm ，A 点坐标为（16，0），C 点坐标为（0，2）．点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，点Q 以4cm/s 的速度由A 向O 运动，当点Q 停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t s ()04t ≤≤．⑴ 求当t 为多少时，四边形PQAB 为平行四边形？ ⑵ 求当t 为多少时，PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式．典题精练ACO BP xQyP D xy BA C OQ PR M N图 1 图2 4 9y x O【例4】 ⑴如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，如果y 关于的函数图象如图2 所示，则当9x 时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处⑵如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀 速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【例5】 正方形ABCD 的边长为2厘米，点E 从点A 开始沿AB 边移动到点B ，点F 从点B 开始沿BC 边移动到点C ，点G 从点C 开始沿CD 边移动到点D ，点H 从点D 开始沿DA 边移动到点A 、它们同时开始移动，且速度均为0.5厘米/秒．设运动的时间为t （秒） ⑴求证：△HAE ≌△EBF ；D C P BAO3 1 1 3 S x A ．O11 3 Sx O3 Sx 3O1 1 3 SxB ．C ．D ．2 典题精练题型二：由动点产生的函数关系HFD CA ⑵设四边形EFGH 的面积为S （平方厘米），求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变 量t 的取值范围；【例6】 如图，已知正方形ABCD 与正方形EFGH的边长分别是它们的中心12O O ，都在直线l 上，AD l ∥，EG 在直线l 上，l 与DC 相交于点M，7ME =-方形EFGH 沿直线 l 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕1O 以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．（1）在开始运动前，12O O = ；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时AE = ，12O O = ；（3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．x AB CDO y O F G H E C B Ay x【例7】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在x 轴上， 点C 在y 轴上，OA =10，OC =8．⑴ 如图1在OC 边上取一点D ，将△BCD 沿BD 折叠，使点C 恰好落在OA 边上，记 作E 点；① 求点E 的坐标及折痕DB 的长；② 在x 轴上取两点M 、N （点M 在点N 的左侧），且54.MN =，求使四边形BDMN 的周长最短的点M 、点N 的坐标．⑵ 如图2，在OC 、CB 边上选取适当的点F 、G ，将△FCG 沿FG 折叠，使点C 落在OA 上，记为H 点，设OH =x ，四边形OHGC 的面积为S ．求：S 与x 之间的函数关系式，并指出变量x 的取值范围．题型一 由动点产生的特殊图形 巩固练习【练习1】 如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为()()4,00,2A C 、，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．⑴ 试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；⑵ 当点P 运动到与点B 的距离最小时，求P 的坐标； ⑶ 已知E （1，－1），当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；真题赏析复习巩固y x P ODCBAx【练习2】 平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M ．N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连接MP ．已知动点运动了x 秒．请你探索：若P 点坐标为（3-x ，43x ）当x 为何值时，△MP A 是一个等腰三角形？有几种情况？写出研究成果并证明．【练习3】 如图，在直角梯形COAB 中，OC //AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A 、B 、C三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． ⑴求直线BC 的解析式；⑵若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面 积的27．题型二 由动点产生的函数关系 巩固练习【练习4】 如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动，最后到达点E ．运动过程中△PEF 的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）A ．。
中考数学总复习课件(专题3：动点型问题)
MN 1 x2 S 16 2( 1 x2
8. 8)
1
x2
8.
2
2
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，
对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x
＜4．
故答案选C.
(三)面动问题 【例题 4】(2014·玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边 三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把 小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形 移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函 数图象是( )
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵ BP BQ , BP=5t，QC=4t，
BA BC
AB=10 cm，BC=8 cm，
∴ 5t 8 4t ,∴t=1.
10 8
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
BP BC
BQ , BA
∴
5t 8 4t , 8 10
∴
t 32 . 41
∴t=1或 t 32 时，△BPQ与△ABC类似.
41
(2)如图a，过点P作PM⊥BC于点M，AQ，CP相交于点N.
则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.
∴△ACQ∽△CMP.
∴ AC QC .
CM PM
∴ 6 4t , 解得 t 7 ,
题型一 建立动点问题的函数关系式(或函数图象)
【例题 1】(2014·黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边 长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走
动点问题（四边形动点专题）
动态几何问题--------动点问题（四边形动点专题）【动态几何问题的特点】动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。
几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终保持不变，也就是我们常说的定值。
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。
【动态几何问题的解决方法】解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。
动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。
解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.【动态几何问题的分类】动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。
有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。
根据其运动的特点，又可分为：（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。
【典型例题】例1.如图，在梯形中，ABCD 动点从点出发沿线段3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．M B 以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段BC C N C 以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．CD D t （1）求的长；BC （2）当时，求的值；MN AB ∥t （3）试探究：为何值时，t MNC △CB例2. 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在ABC MN 的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点ABC △AB AB B 与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，M A N B M N 、AB 与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．ABC △P Q 、MN t （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出MN t MNQP 该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间MN MNQP S 为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t MNQP S t 的取值范围．t 例3.如图，在等腰梯形中，∥，,AB =12 ABCD AB DC cm BC AD 5==cm,CD =6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm 的速度移动，点从开P A AB B Q C 始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
中考数学专题复习之四边形中的动态问题 课件
y＝NQ＋BN＋QP
＝３QB－ＰＢ ＝３［４－２（x－６）］－（８－x） ＝40－5x
3x，
0≤x≤2
2x＋2， ２＜x≤4
y= 10，
４＜x≤６
40－5x， 6＜x≤8
∴当４≤x≤６时，周长y是一个定值，定值为10
总结：
１、分解图形的运动过程，寻找分界；
２、采用分类讨论的数学思想，将复杂的 运动问题转化为简单的数学问题；
M
8
N
∵ＳΔＰＭＮ＝ 12×４×８＝16
则若
1 2
x2
＝8，则x＝±４，不合题意舍去
则若２x－２ ＝8，则x＝５，合题意，保留
P
A
D
2
B
8
CM
8
N
∴当x=5时，重叠部分的面积为RtΔPNN的面积的一半
例2、菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=600，动点P从O出发，
以每秒1cm的速度沿O A B路线运动，点P出发2秒后，动
点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度运动，在AB上以每
秒2cm的速度沿O A B运动，过P、Q两点分别作对角线AC
的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上
截出的图形的周长为ycm，问当x为多少时，周长y可能为一
个定值，定值为多少？
C
B
OP
A
C B
D
O
P
A
解：(1)当0≤x≤2时，
P
A
D
2
B
8
CM
8N
P
A
D
EG
2
B
8
CM F 8
N
解：(1)当0≤x≤2时， ∵MC＝xcm，∠PMN＝450 ∴CE＝xcm，
中考数学预测押题——四边形中的动点问题 (共61张PPT)
谢谢观看
A E
P D
Q
B
C
5. 如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点, 与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D. (2)运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化,请说明理由.
1
(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
6
04
四边形
1 . 如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 8cm,E 、 F 、 G 、 H 分 别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 边 上 的 动 点 ， 且
AE=BF=CG=DH
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm， BC=30cm，动点P从A开始沿AD边向D 以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发， 当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？若AB=8cm，该平行四边形PQCD能否为菱形？ （2）当t为何值时，四边形ABQP为平行四边形？能否添加一个条件，使得该四边形ABQP为正方形？ （3）当t为何值时，以P,Q和四边形ABCD的其中两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
C
B
Q
O P
A
1.如图，在平面直角坐标系中，边长为a（a>0）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半 轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴, y轴正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限. (1)当∠BAO=45°时，求点P的坐标； (2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； (3)设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由.
动点问题专题复习PPT课件
或三角比法 题都能用三角比法，且用三角比法针对性
更强，更省时间。
三.尝试练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm, 点P由点A出发 ，沿AC向C匀速运动，速度为2cm/s，同时 点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s，
连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) （1）当t为何值时，PQ∥BC?
(2)设△ APQ的面积为y，求y与t之间的函数关系。
A
D
P
Q
B
C
1.2)解：过Q作QN垂直AC于N
相似法
A
D
P
Q
∟
N
B
C
QN4 4t 5
∵△AQN∽ △ABC
QN AQ
BC
AB
QN 5t
8
10
QN 4 4t 5
y 1 2t 4 4 t 2 5
y 4 t 2 4t 5
1.2)另解：
(锐角)
D
C
4
∟
30°
A
7
B 23 E
P
E4
A
7
B
P
当CB=CP时 当t=3或11或 7 4 3
或
7 4 3 3
当PB=PC时 时， PBC是等腰三角形。
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
脑创新 再探新知 如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段 DP将线段BC三等分？
D
C
E
A
Hale Waihona Puke tBPD
C
E
A
Bt
P
人教版八年级数学下册课件：专题(十二) 特殊四边形中的动点问题(共10张PPT)
专题(十二) 特殊四边形中的动点问题
利用特殊四边形的性质解决动点问题时，一般是将动点看成特殊点解决问 题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从 点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直移动到点B停止，点 Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也停止移动，则经过 几秒时，四边形PBCQ的面积是33 cm2?
解：设经过 t 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2，则 AP＝
3t cm，CQ＝2t cm，BP＝(16－3t)cm，∴12×6×(16－3t＋2t)＝33， 解得 t＝5，故经过 5 s 后，四边形 PBCQ 的面积是 33 cm2
2. 如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE＝4 cm，如 果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．设运动时间为t s．若点Q的运动速度与点P的运动速 度相等，经过几秒后，△BPE与△CQP全等？请说明理由．
解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，∴BC＝AD＝16 cm， AB＝CD＝8 cm，由已知可得，BQ＝DP＝t cm，AP＝CQ＝(16－t)cm， 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为 矩形，∴t＝16－t，得t＝8，故当t＝8 s时，四边形ABQB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点D出发向点A 运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即 停止，点P，Q的速度都是1 cm/s.连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间 为t s. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形； (3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．
平行四边形的应用动点问题ppt课件
A
PD
∴S=
1
2BQ ·AB
= 1 (21-1.5t) ·12
2
即S=-9t+126 (0≤t≤12)
B
Q
C
合作交流，探索新知
变式2： （3）若点P从点A以1cm/s的速度沿A→D→C→B方向运动，同时 点Q从点C以1.5cm/s的速度沿C→B→A→D方向运动.在P、Q运动 过程中，问是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形 B 则 12-t=1.5t， 解得 t=4.8
QC
图①
2）若P在BC上，Q在AD上时，如图②
A
依题意得QD=45-1.5t，PC=t-27
QD
当QD=PC时，四边形QPCD是平行四边形
则 45-1.5t=t-27， 解得 t=28.8
B
综上所述，存在以P、D、C、Q为顶点的四边
图② P C
形是平行四边形，其中t=4.8秒或t=28.8秒.
中考演练
如图，在四边形Βιβλιοθήκη BCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，
AB＝13，点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AD→DC
向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度
沿BA向终点A运动.在运动期间，当四边形PQBC为平行四边
A
P
D
A
QD
B
Q
C
B
PC
图①
图②
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
合作交流，探索新知
解： （3）存在.
∵tp=(12+15+21) ÷1=48(秒)， tQ=(21+12+12) ÷1.5=30(秒)
四边形简单动点问题
3、四边形中的动点问题例1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？ 分析：（1）四边形PQCD 为平行四边形时PD=CQ ． （2）四边形PQCD 为等腰梯形时QC-PD=2CE ． （3）四边形PQCD 为直角梯形时QC-PD=EC ．所有的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解答： 解：（1）∵四边形PQCD 平行为四边形∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD 平行为四边形．（2）过D 作DE ⊥BC 于E则四边形ABED 为矩形∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm ∵四边形PQCD 为等腰梯形∴QC-PD=2CE 即3t-（24-t ）=4 解得：t=7（s ）即当t=7（s ）时，四边形PQCD 为等腰梯形． （3）由题意知：QC-PD=EC 时，四边形PQCD 为直角梯形即3t-（24-t ）=2 解得：t=6.5（s ）即当t=6.5（s ）时，四边形PQCD 为直角梯形．例2.如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． ······················ 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒==················ 2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ············· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥∴MN DG ∥∴3BG AD ==∴1037GC =-= ·············· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△ ∴CN CM CD CG = ······················ 5分 即10257t t -=解得，5017t = ················· 6分 （3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t = ······· 7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M NA DC B M N （图③） （图④） AD CB M NH E由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t-==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t =···· 8分 解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC=即553t t -=∴258t =···················· 8分 ③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t = 解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，∴MFC DHC △∽△∴FC MC HC DC = 即1102235tt -=∴6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 · 9分练习1、如图，正方形ABCD 的边长是１cm ，E 为CD 的中点．P 为正方形边上的一个动点，动点P 从A 出发沿A →B→C→E 运动，最终到达点E ，若点P 经过的路程为x cm ．（1）当x ＝1cm 时，求△APE 的面积；（2）若△APE 的面积为31，求x 的值．A D C BE备用图AD CBEP x A D CBE备用图（图⑤） A D C B H N MF2、如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2．P是AB的中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，设Q点运动的时间为x(秒)．（1）求AP的长．（2）若△APQ的面积为S(平方单位)，用含x的代数式表示S（0<x<8）．（3）如果点M与点Q同时从点A出发，点M以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动；当M、Q两点相遇时，它们同时停止运动.在整个运动过程中,△AQM按角来分类可以是什么三角形，请写出相应x的取值范围．3.如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M NA DC B M N （图③） （图④） AD C B M NH E。
四边形必考点边形中的动点问题含最值问题作业ppt
平面内一点到两个定点的距离 之比为常数
平面内一点到三个定点的距离 之比为常数
平面内一点到四个定点的距离 之比为常数
动点问题的解题思路
根据题意设出动点的坐标
利用已知点的坐标和动点的坐标之间的关系式，列出 方程
分别表示出已知点的坐标 求出动点的坐标，解决问题
动点问题的应用
求最值问题
求距离和
求轨迹方程
这道题目主要考察了四边形中的等腰三角 形问题，需要运用四边形的性质和等腰三 角形的相关知识点进行求解。
VS
详细描述
首先需要确定四边形的各个边长和角度， 根据题目所给出的条件，利用四边形性质 可以列出方程组，再根据方程组求解出未 知数的值即可。在求解过程中需要注意变 量的取值范围以及结果的合理性。同时需 要运用等腰三角形的性质进行求解，最终 得到问题的答案。
06
总结与反思
知识点总结
平行四边形的判定和性 质
平行四边形的判定定理和性质定理是解决四 边形问题的核心，必须熟练掌握和应用。
等腰梯形的判定和性质
等腰梯形的判定定理和性质定理与平行四边 形类似，需要对比记忆和运用。
四边形中的动点问题
最值问题
动点问题是难点之一，需要结合函数的思想 进行分析和解决。
最值问题是数学中的常见问题，需要掌握一 些基本方法和技巧进行求解。
3
在实际生活中，最值问题广泛应用于最优路径 规划、最优存储策略、最优资源分配等方面。
05
作业解析
题目一解析
总结词
这道题目主要考察了四边形中的动点问题，需要运用四边形的性质和动点的 相关知识点进行求解。
详细描述
首先需要确定四边形的各个边长和角度，根据题目所给出的条件，利用四边 形性质可以列出方程组，再根据方程组求解出未知数的值即可。在求解过程 中需要注意变量的取值范围以及结果的合理性。
八年级下册四边形动点问题和问题详解
八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG 等于 。
2、如图，P 是正方形ABCD 一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点 过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。
5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD ，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为BF7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。
9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。
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动态几何问题
例1、如图，在梯形 ABCD 中，
A D ∥ B C ， A D 3 ， D C 5 ， A B 4 2 ， ∠ B 4 5 ．
动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长
度的速度向终点C运动；动点N同时从点C出
发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终
点D运动．设运动的时间为t秒．
画图，分析，解答。
动态几何问题
例2已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长 为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向 以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时， 点M与点A重合，点N到达点B时停止），过点M、 N分别作AB边的垂线，与 △A的BC其它边交于 P、Q两点，△线ABC 段MN运动的时间为t秒．
（2）线段ＭＮ在运动的过程中，四边形ＭＮＱＰ 的面积为Ｓ，运动的时间为t．求四边形MNQP的面 积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围．
动态几何问题
例3.如图，在等腰梯形中， AB∥DC,
AD=BC=5cm,AB=12cm,CD=6cm , 点P从点A开始沿AB
边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从点C开始沿
CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分
别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动
停止。设运动时间为t秒。
（1）求证：当t= 3 时，四边形APQD是平行四边形；
2
D
Q
C
求出特殊值时线段的长度
A
B
P
动态几何问题
例3.如图，在等腰梯形中， AB∥DC,
AD=BC=5cm,AB=12cm,CD=6cm , 点P从点A开始沿AB
动态几何问题
【动态几何问题的分类】
动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图 形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直 线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三 角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。 有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平 移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点， 又可分为（1）动点类（点在线段或弧线上运动） 也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类； （3）动图形问题。
（1）求BC的长．
A
D
提示：1、梯形问题辅助线的几
种作法；
N
2、条件最多的位置是 。B
M
C
动态几何问题
例1、如图，在梯形 ABCD 中，
A D ∥ B C ， A D 3 ， D C 5 ， A B 4 2 ， ∠ B 4 5 ．
动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长
度的速度向终点C运动；动点N同时从点C出
动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长
度的速度向终点C运动；动点N同时从点C出
发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终
点D运动．设运动的时间为t秒．
（3）试探究：为t何值时， A
D
△MNC为等腰三角形．
N
提示：有几种情况？
B M
C
动态几何问题
例2已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长 为1厘米的线段MN在△ABC 的边AB上沿AB方向 以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时， 点M与点A重合，点N到达点B时停止），过点M、 N分别作AB边的垂线，与 △A的BC其它边交于 P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒． （1）线段MN在运动的过程中， t为何值时， 四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；
动态几何问题
【动态几何问题的解决方法】
解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化 规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。动中求 静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化， 抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而 找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多 种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。 解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓 住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。解 决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图 形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关 系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特 殊关系.
边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从点C开始沿
CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分
别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动
停止。设运动时间为t秒。
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t
为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
Q
D
C
作图体会，观察分析
A
B
P
动态几何问题
例3.如图，在等腰梯形中， AB∥DC,
AD=BC=5cm,AB=12cm,CD=6cm , 点P从点A开始沿AB
边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从点C开始沿
CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分
别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动
停止。设运动时间为t秒。
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的
发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终
点D运动．设运动的时间为t秒．
Hale Waihona Puke （2）当 MN∥AB时，求t的值．A
D
提示:如何构建相似？
N
B M
C
动态几何问题
例1、如图，在梯形 ABCD 中，
A D ∥ B C ， A D 3 ， D C 5 ， A B 4 2 ， ∠ B 4 5 ．
动态几何问题
四边形动点问题之专题训练
黄花初中 八年级数学组
动态几何问题
【动态几何问题的特点】
动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动 变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形 的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。
几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之 而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终 保持不变，也就是我们常说的定值。动态几何就是研究在 几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关 系的 “变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、 代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、 多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间 想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。
值。
D
想象运动状况，会有
QC
几种情况?
A
B
P
动态几何问题
例4.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=15， BC=25，AB=DC=10，动点P从点D出发，以每秒1个 单位长度的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点 Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CB 的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当 点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时 间为t（秒）．