系统的平衡状态为

表示状态空间中，以 x e为球心，半径为c的球
以平衡点xe 为球心，取 和 为半径，在n维状态空间作出 两个球域 S ( )、S ( )。 其中
：任意取的正数（可以任意小） ：是 取定后看能否找到的
1、李雅普诺夫意义下稳定 任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
x2
S ( )
稳定的。
时变系统 与 t 0有关 定常系统 与 t 0无关
xe
S ( )
x1
李雅普诺夫意义下稳定
考虑系统（4.1），如果对任意的实数 0 ，都存在另一实 数 0，使当初始状态位于以平衡状态 x e为球心， 为半径的 闭球域S ( )内，即
x 0 x e t t0
稳定性与李雅普诺夫方法
稳定性：
控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。 稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性 通常是控制器设计的最基本要求。
2
经典控制理论对稳定性分析的局限性
时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
Ax x
e Ax e 0 x
平衡状态：
A 0 xe 0 一个平衡状态——状态空间原点 A 0
无穷多个平衡状态
非线性系统：
f (x, t ) x
平衡状态： x e f (x e , t ) 0 一般有多个平衡状态
例：
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫稳定性的定义
李雅普诺夫第一法（间接法）
李雅普诺夫第二法（直接法）
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 一、系统状态的运动及平衡状态 设系统的齐次状态方程为：
x f (x, t )
n维状态向量
展开式为：
（4.1）
n维向量函数
i f i ( x1 , x2 ,, xn , t ) i 1,2,, n x
0
方程的解（运动或状态轨线）为： x(t; x 初始状态向量
, t0 )
初始时刻
x(t0 ; x 0 , t0 ) x 0
f (x, t ) x
平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化
e f (x e , t ) 0 x
所有状态的变化速度为零，即是静止状态 线性定常系统：
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
2、渐近稳定
若系统方程的平衡状态
稳定性，且有
x e不仅具有李雅普诺夫意义下的
lim x(t ; x 0 , t0 ) x e 0
t
则称系统的平衡状态
x e是渐近稳定的。
若 与 t 0 无关，则为一致渐近稳定。（定常系统）
几何意义： 初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以无限接
初始状态有界，随时间
推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。 若 与初始时刻 t 0无关，则 称系统的平衡状态x e是一致
现代控制理论的稳定性判据
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫，俄国数学力学专家， 俄罗斯科学院院士，意大利林琴 科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。 1892年在他的博士论文《运动稳定性的一般 问题》（The general problem of the stability motion） 中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性 问题，建立了著名的Lyapunov方法，为现代控制和非线性 控制奠定了基础。 Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻 的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
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近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：
系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总
能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。 大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平 衡状态。
（1）局限于描述线性定常系统
（2）局限于研究系统的外部稳定性 （输入输出稳定性）
经典控制理论的稳定性判据
劳斯（Routh）判据
奈氏（Nyquist）判据
现代控制理论对稳定性分析的特点
（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统 （2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性（状态稳定性） （3）能够反映系统稳定的本质特征。
x1 0 3 x x x 1 2 2 0
0 0 0 x e1 , x e 2 , x e3 0 1 1
二、稳定性的几个定义 欧式范数
2 2 x x12 x2 xn
表示向量 x 的长度
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( xn xne ) 2
表示向量 x 到x e的距离 n2 x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 c
表示状态空间中，以 x e为圆心，半径为c的圆
n3
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( x3 x3e ) 2 c