2013年中国数学奥林匹克竞赛(2013CMO)

2013 年中国数学奥林匹克竞赛（2013CMO）
第一天
考试时间 2013.01.12 8:00~12:30
一、如图，两个半径不相等的圆 K1 与 K 2 交于 A、B
K1 D K2 A
且线段 CD 两点， C、 D 两点分别在 K1 、 K 2 上， 以 A 为中点；延长 DB 交 K1 于点 E，延长
C
B
CB 交 K 2 于点 F。设线段 CD、EF 的中垂线分 别为 l1 , l2 ，证明： （1） l1 与 l2 相交
F E M
P
（2）若 l1 与 l2 的交点为 P，则三条线段 CA、AP、PE 能构成一个直角三角形
二、确定所有由整数构成的非空集合 S， 满足： 若 m, n ∈ S（m， n 可以相同） ， 则 3m − 2n ∈ S 三、求一切正实数 t ，具有下述性质：存在一个由实数组成的无限集合 X, 使得对任意 ，亦即任意实数 a 与正实数 d，均有 x, y, z ∈ X （这里 x，y，z 可以相同）
| Ai ∆Aj |= | i − j | ，求 | A1 | + | A2 | + | An | 的最小值
（这里， |X| 表示有限集合 X 的元素个数：对于集合 X，Y 规定
X ∆Y = {a | a ∈ X , a ∉ Y } ∪ {a | a ∈ Y , a ∉ X } ）
i 五、对正整数 n 及整数 i (0 ≤ i ≤ n) ，设 Cn ≡ c(n, i ) (modΒιβλιοθήκη Baidu2) ，其中 c(n, i ) ∈ {0,1} ，并记
f (n, q ) = ∑ c(n, i )q i
i =0
n
设 m，n，q 为正整数，且 q+1 不是 2 的方幂，证明：若 f (m, q ) | f (n, q ) ，则对任意 正整数 r，由 f (m, r ) | f (n, r ) 六、给定正整数 m，n，求具有下述性质的最小整数 N (≥ m) ：若一个 N 元整数集含有模 m 的完全剩余系，则它有一个非空子集，其元素和被 n 整除
max{| x − (a − d ) |,| y − a |,| z − (a + d ) |} > td
第二天
考试时间 2013.01.13 8:00~12:30
四、给定整数 n ≥ 2 ，设 n 个非空有限集 A1 , A2 , , An 满足：对任意 i, j ∈ {1, 2, , n} ，由