第6章 质心力学定理

②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
rc
mi ri
i
M
mA rA mB rB mC rC M
10
质点组的质心 (center of mass)
drc 质心速度 vc dt 2 dvc d rc 质心加速度 ac 2 dt dt 质心动量 Mvc
是上式近似，偏差在用m代替
r' f'
M
f' a0 M
约化质量的出现替代了惯性力的贡献
m/M 比值可表征日心系准惯性系的精度
m 参考点与运动形式 MR mr 0 R r r (t ) M m r ' r R (1 )r r (t ) M m绕质心的运动、M绕质心运动、m绕M的运动形式是相同的
第六章 质心
1
质点组的运动比较复杂，采用两种眼光来处理
一、着眼于每个质点，平等地对待每个质点，将相互作用分 为内部的外部的，分析了内部相互作用的若干特点之后， 确定了质点组的动量变化定理及其守恒条件，机械能变化 定理及其守恒条件，和角动量变化定理及其守恒条件，成 功地解决了一批典型的力学问题，诸如：
7 质心离A点的位置 rA l 16 1 B端相对质心的距离 rBC l 16 7 l 绳子伸直所用时间 t 12 g
23
1 vC gl 4
– 两体碰撞 – 火箭推进速度 – 三种宇宙速度 – 有心运动 这标志着我们把牛顿力学理论推进到一个新的阶段。
二、着眼于把握质点组的总体运动，再分析各个质点之间的相 对运动。即将质点组的复杂运动分解为这两种运动的叠加， 这是一种新的途径，可将力学理论推向一个新的境界。 是否存在这样一种运动，它反映了质点组总体运动的宏观特点？
质点系的动能可分解成质心动能与质点组相对质心的动能之和 柯尼希(König)定理 在质心系中，Ec=0，质点组总动能Ek=ErC
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m, v
Vc=1/2 v
m, 0
1 1 2 1 2 1 2 2 Ek Mvc mi vic mv mv 2 4 4 i 2
m, v
Vc=0
m, v
d r' 这是个准确的方程，而 dt 2 f 是一个近似的方程，其偏差在 于用m代替μ。相对偏差为 m 1 M m 1 m M m M m
2
另一方面，也可以说约化质量的出现替代了“惯性力”的贡献 21
另解：在日心非惯性系中求解 m 由于日心系是非惯性系，存在惯性力 2 2 d r' m d r' m 2 f ( f ' ) Mm 2 ( M m) f f dt M dt d 2r ' 2 f dt d 2r ' 将太阳视为不动点时的行星运动方程 m 2 f dt
d ( MvC ) N MaC Fi F合外力 dt i 1
质点组的质心加速度由合外力确定。
N d ( MvC ) Fi dt i 1
质心动量改变量等于合外力的冲量
12
N 它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相应于系 MaC Fi 统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作 i 1 用下，质心以加速度 ac 运动
y M
m x l
ml Ml / 2 xC1 mM
xC 2 ms M ( s l / 2) mM
y x s l
22
14
由x C 1 xC 2 得： ml s m M
质心参考系
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。 质心系以可以是惯性系，也可以是非惯性系。 在质心系中质心静止
C
m1
·
l2
m2
解出质心坐标
m x m2 x 2 xc 1 1 m1 m2
yc
m1 y1 m2 y2 m1 m2
4
推广到n个质点：
xc
mi xi m
i i i
z
r1
i
yc
zc
或者
rc
m r ii
i
m y m m z m
i i i i
22
例 长l、质量线密度为的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂 在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端 下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳 子完全伸直？（提示：可在质心系中分析） 在质心系中，B端相对质心速度不变 B端的速度 vB gl 质心速度
B l/4 A l/2
积分可得
2 ab x dxdy b 6 0 0 xc a ab a x 3 b b dxdy 6 0 0
7
同理
2 a b y dxdy a 6 0 0 yc a ab a x 3 b b dxdy 6 0 0
a a x b b
5
例：
一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心 解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量 为dm，以λ表示线密度，dm=dl. 质心应在y轴上。
yc
ydl
m
rC
r dm
dm
y R sin dl Rd 1 1 2 y c R sin Rd 2 R m 0 m 2 m R yc R 0 .6 4 R
i i i
rC C
r2
y x
i i
M
mA rA mB rB mC rC M
r dm r dV rc dm dm

如果质点组是连续体
质心是物体(质点组)质量分布的中心；质心位矢不是简单地各 质点位矢的几何平均，而考虑了质点的质量权重以后的平均。
定义质点组质心的位矢： 质心运动定理：
2 d rC F Fi M 2 dt i
rc
m r
i
i i
M
m1r1 m2 r2 m3 r3 M
3
•质心定义
对两个质点坐标分别为（x1,y1)和（x2,y2)，质心在C
l1
m2 l1 xc x1 yc y1 m1 l2 x2 xc y2 yc
1 2 资用能ErC mi vic mv 2 i 2
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核反应中的资用能
高能粒子碰静止靶粒子能量利用率低，采用对撞
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质心动能定理
质心系中质点组动能定理的微分形式
dW内 dW外 dW惯 dEk
dW惯 mi ac dri ac d mi ri ac d Mrc 0
vc 0
i
ri
rc
O C
ric
质心系中所有质点相对于质心的动量之和为零. 若选质心为参考点,则质心的坐标始终为零。
质点组的复杂运动通常可分解为： 质点组整体随质心的运动 +各质点相对于质心的运动
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6.2 质点组的动能
1 2 1 Ek mi vi mi vi vi i 2 i 2
rc
mi ri
i
M
M mi
i 1
wenku.baidu.com
N
drc dri d mi ri Mvc M M m m v i i i dt dt M dt
质心动量等于质点组的总动量
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考察质心动量随时间的变化：
N N N d ( MvC ) d dvi mi vi mi Fi dt dt i 1 dt i 1 i 1
如果是半球壳 ？

6
例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。 解：取如图所示的坐标系。由于质量 面密度σ为恒量，取微元ds=dxdy的质 量为dm=σds=σdxdy 所以质心的x 坐标为
xc
x dxdy dxdy
a a x b b
a ya x b
vi vc vic
1 1 Ek mi vc vc mi vc vic mi vic vic i 2 i i 2 1 1 2 2 Mvc vc mi vic mi vic 2 i i 2 1 1 2 2 Ek EC ErC , EC Mvc , 资用能ErC mi vic 2 i 2
i
质心系中质心位置矢量为常量
drc 0
i
dW惯 0
质心系中质点组动能定理的微分形式和积分形式
dW内 dW外 dEk , W内 W外 Ek
与惯性系完全相同，机械能定理也相同。
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质心角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外 M惯
dL dt
选质心为参考点 rc 0 M 惯 0
因而质心的坐标为
b a , 3 3
8
说明
(1)质心相对于质点组的位置与坐标系无关， 质心的位置完全由质点组的质量分布决定 (2)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几 何中心处 对于一般物体，质心不一定在物体上 例如圆环的质心在圆环的轴心上
锥体上滚
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质心的性质
①质心在整个物体的包络内
系统内力不会影响质心的运动 凡是由牛顿第二定律直接导出的定理，如质点动量变化定理， 机械能变化定理，质点角动量变化定理，均适用于质心。 只需将质点的质量改换为质点组的总质量，力改换为合外力
定向爆破
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例 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对地面移 动的距离。
解
体系 Fi 0
i
2
6. 质心
6.1 质心运动定理
每个质点的质量、位矢和受力： 质点组的总质量 M 质点组所受合力
m1
m2
mi , ri , Fi
m
i
i
mi ri 2 2 2 d d d i F Fi mi ( 2 ri ) 2 mi ri M 2 dt dt i dt M i i
质心系中质点组角动量定理
M 惯 ri (mi ac ) mi ri (ac ) rc (mac ) i i
M外
dL dt
与惯性系完全相同
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6.4 有心运动方程与约化质量
在讨论行星运动常以太阳为参考系列出行星得牛顿第二定律的 方程。然而日心系并不是严格得惯性系。只有质心系才是严格 的惯性系。因为不考虑其他天体，无外力，质心加速度为零。 在质心系中： M 2 2 m d r d R r' M 2 f' 两质点受力： m 2 f dt dt C r R d 2 (r R) 1 1 1 1 f f ' ( ) f 2 dt m M m M f f' 相对位矢 r' r R d 2 r' 2 f 行星动力学方程 1 1 1 dt ：约化质量 M m