二重积分的变量交换

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4二重积分的变量交换

D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
r 2()
A
②二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
D
0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd o
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
A
常见区域D'的确定
y
(1)D : x2 y 2 2Rx (如图)
r 2 2Rr cos
O R 2R x
D : , 0 r 2R cos
2
2
y
2R
(2)D : x2 y 2 2Ry (如图)
R
r 2 2Rr sin
O
x
D : 0 , 0 r 2Rsin
③二重积分化为二次积分的公式（３）
习惯上：设 x x(u, v), y y(u,v)
(2)求出J (u, v) (x, y) (u, v)
若是设u u(x, y), v v(x, y), 求J有两种办法
(i)先求出x x(u,v), y y(u,v)，再求J
(ii)先求出
(u, (x,
v) y)
,
再求J＝
1 (u,
v)
D
例 9 求广义积分 ex2dx .
0
2
D2 S
D1
ex2 y2 dxdy ex2 y2 dxdy ex2 y2 dxdy
D1
S
1 (1 ea2 ) (
a ex2 dx)2
D2
1 (1 e2a2 )
4
0
4
(2) 在上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)

21(3)二重积分的极坐标计算方法.

o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点：二重积分的变量变换: 1.线性变换;

《数学分析》第二十一章二重积分 5

a x
o
f ( r ,θ )dθ .
θ = arccos
r a
练习题
一,填空题: 填空题: 1 , 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 x 2 + y 2 ≤ 2 x , 表示为极坐
D
标形式的二次积分, 标形式的二次积分,为_____________________. 2 , 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 0 ≤ y ≤ 1 x , 0 ≤ x ≤ 1, 表
D
= ∫ dθ ∫
α
β
2 (θ )
1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(2)
区域特征如图
r = (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
例2
计算 ∫∫ e
D
x2 y2
dxdy ,其中 D 是由中心在
原点, 的圆周所围成的闭区域. 原点,半径为a 的圆周所围成的闭区域
解
在极坐标系下
D: D: 0 ≤ r ≤ a ,0 ≤ θ ≤ 2π .
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
D 1
sin( π x 2 + y 2 ) sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = 4 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D1 D

二重积分计算技巧总结

二重积分计算技巧总结二重积分是微积分中的一个重要概念，是对二元函数在特定区域上的面积进行求解，也可以理解为一个函数在一个平面区域上的平均值。

在实际计算中，可以通过一些技巧来简化计算过程，提高计算效率。

本文将总结一些常用的二重积分计算技巧，帮助读者更加灵活地应用二重积分。

1.利用对称性在计算二重积分时，如果被积函数具有对称性，可以通过利用对称性简化计算过程。

常见的对称性有x轴对称、y轴对称、原点对称等。

对称性可以减少计算量，提高计算效率。

2.变量替换变量替换是处理二重积分的常用方法。

通过合适的变量替换，可以将原来的二重积分转化为更简单的形式。

常见的变量替换包括极坐标变换、矩形坐标变换等。

极坐标变换是将矩形坐标转化为极坐标的过程，从而转化为极坐标上的二重积分。

极坐标变换的公式如下：x = r*cosθy = r*sinθ其中，r是极径，θ是极角。

矩形坐标变换则是将原来的矩形区域映射为一个更简单的区域，从而简化计算过程。

常见的矩形坐标变换包括矩形到正方形的变换、矩形到单位圆的变换等。

3.积分次序交换对于一些特定的被积函数，可以通过交换积分次序来简化计算过程。

一般来说，交换积分次序需要满足一些条件，比如被积函数在给定的积分区域上连续可微。

需要注意的是，交换积分次序可能会改变积分的范围，因此在交换积分次序时需要注意积分区域的变化。

4.多次积分的简化二重积分常常需要进行多次积分，这时可以使用多次积分的简化方式来提高计算效率。

常见的多次积分简化方式包括积分区域分割、积分区域的对称性利用、积分范围的变量替换等。

通过适当地选择简化方式，可以大大减少计算量，提高计算效率。

5.划分区域的选择在计算二重积分时，划分区域的选择对于计算结果具有一定的影响。

对于一些特定的区域，可以选择合适的划分方式来简化计算过程。

常见的划分区域的选择方式包括将区域分为两个相互重叠的子区域、将区域分为若干个均匀分布的子区域等。

通过合适的划分方式，可以简化计算过程，提高计算效率。

§4 二重积分的变量交换

§4 二重积分的变量交换在二重积分中，变量交换是一种常见的操作方法。

它通过交换自变量和因变量的顺序来改变被积函数的表达式，从而可以使积分更容易进行或更加简洁。

一、变量交换的基本概念在二重积分中，变量交换指的是将积分区域中自变量和因变量的顺序进行交换，同时改变积分区域的形状，即将原来在 $xOy$ 平面上的区域变成在 $yOx$ 平面上的区域，并维持面积不变。

就积分意义而言，变量交换不改变积分的结果。

具体来说，设被积函数为 $f(x,y)$，积分区域为 $D$，其在 $xOy$ 平面上的投影为$\mathcal{D}$。

若令 $u=y,v=x$，则变量交换后的积分区域为 $D'$，在 $uOv$ 平面上的投影为 $\mathcal{D}'$，其面积为原先积分区域面积的倒数。

被积函数也相应地变为$f(v,u)$。

则可得变量交换后的二重积分为：$$\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\iint\limits_{D'}f(v,u)dudv$$二、变量交换的条件和方法变量交换不是所有情况下都可以进行的，需要满足特定的条件才能进行。

根据积分区域的类型和被积函数的性质，有以下几种情况。

1. 镜面对称性若被积函数 $f(x,y)$ 关于某条直线 $L$ 对称，且积分区域 $D$ 也关于同一直线$L$ 对称，则可以采用镜面对称的方法进行变量交换。

具体来说，可以在积分区域$D$ 上作镜面对称的区域 $D'$，使得 $D$ 和 $D'$ 的交集恰好为 $L$，且在 $D'$ 中的积分限与 $D$ 相同。

则可得变量交换的式子：2. 极坐标变换若积分区域 $D$ 在极坐标下是简单区域，且被积函数 $f(x,y)$ 在极坐标下具有简单的表达式，则可以采用极坐标变换的方法进行变量交换。

具体来说，可以设极坐标变换为 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，则有：3. 三角函数变换其中，$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 是雅可比矩阵的行列式，并满足：$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partialx}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}$$4. 其他变换对于一些较为特殊的积分区域和被积函数，也可以采用其他的变换方式进行变量交换。

二重积分交换积分次序的条件

二重积分交换积分次序的条件
双重积分交换积分次序，是非常重要的数学知识。

它不仅用于解决许多变量积分的问题，而且还用于解决其他积分的问题。

那么，双重积分交换积分次序的条件是什么呢？
首先，我们需要考虑双重积分的函数，也就是被积函数。

它是一个双变量函数，可以用
f(x,y)表示，其中x和y分别表示变量。

其次，双重积分可以表示为：
∫∫f(x,y)dxdy or ∫∫f(x,y)dydx
我们可以根据双重积分的函数判断它的积分次序，即是以x为积分还是以y为积分。

根据Leibniz法则，只要函数满足一定的条件，就可以交换积分次序。

双重积分交换积分次序的具体条件有以下几点：
1.双重积分中的函数要满足二阶偏导系数continuous；
2.双重积分被积面积不能有边界上的突变；
3.双重积分积分区域不能为一个半闭合区域。

以上是双重积分交换积分次序的条件，理解这些条件非常重要，可以帮助我们解决许多双重积分的问题。

所以，我们在使用双重积分的时候，应该充分了解双重积分交换积分次序的条件，以便解决许多双重积分的问题。

二重积分交换积分次序

二重积分交换积分次序交换积分次序是在二重积分中常见的操作，它可以改变积分的次序，从而简化计算过程。

本文将简单介绍二重积分的概念，然后详细阐述交换积分次序的方法和应用。

二重积分是对二元函数在一个有限区域上的积分，可以理解为在平面上对该函数所围成的区域进行求面积的操作。

它可以看作是两个积分的嵌套，第一个积分是对函数在某一固定y值上的积分，第二个积分是对y的范围进行积分。

通常表示为∬f(x,y)dxdy。

在实际应用中，有时候交换积分次序可以简化计算过程。

交换积分次序的方法是通过改变积分的顺序来实现的，即将原来内积分的变量作为外积分的变量。

这种方法需要满足一定的条件，即被积函数在积分区域上是可积的。

当交换积分次序后的积分区域可以简化计算时，这个方法就非常有用。

下面通过一个具体的例子来说明交换积分次序的方法和应用。

假设有一个函数f(x,y)=xy，在区域D上进行积分，其中D是一个矩形区域，其边界由直线x=0，x=1，y=0和y=2所确定。

现在我们要计算∬f(x,y)dxdy。

我们可以按照原来的次序进行积分，即先对x进行积分，再对y进行积分。

内积分的范围是从0到1，外积分的范围是从0到2。

这样我们可以得到：∬f(x,y)dxdy = ∫[0,2]∫[0,1]xydxdy接下来，我们尝试交换积分次序。

交换后的次序是先对y进行积分，再对x进行积分。

内积分的范围是从0到2，外积分的范围是从0到1。

这样我们可以得到：∬f(x,y)dxdy = ∫[0,1]∫[0,2]xydydx通过交换积分次序，我们可以发现在计算过程中被积函数xy的积分部分变得更简单。

在这个例子中，两种次序得到的结果是相同的，但在其他情况下，交换积分次序可能会导致结果的变化。

在实际应用中，交换积分次序可以简化计算过程，特别是当被积函数在新的次序下更容易积分时。

此外，交换积分次序还可以用于证明一些数学定理，解决一些复杂的问题。

交换积分次序是二重积分中常见的操作，可以简化计算过程。

交换二重积分的计算方法

交换二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念之一，它是对二元函数在一个有限区域内的积分。

在实际问题中，我们经常需要对二元函数在一个区域内进行积分，以求得其面积、质心、重心、转动惯量等物理量。

而交换二重积分则是计算二重积分时的一个重要方法，本文将详细介绍交换二重积分的计算方法。

一、二重积分的定义在平面直角坐标系上，设有一个由有限个矩形区域组成的封闭区域D，其中第i个矩形的左下角坐标为(xi-1,yi-1)，右上角坐标为(xi,yi)，矩形面积为ΔSi，则称D为一个简单区域。

若有一个连续函数f(x,y)，则在D上的二重积分定义为：Df(x,y)dxdy=limΔS→0∑i=1nΔSif(xi*,yi*)其中，ΔS表示区域D中第i个矩形的面积，(xi*,yi*)表示该矩形的任意一点。

二、二重积分的计算方法对于简单区域D上的连续函数f(x,y)，我们可以采用以下两种方法来计算其二重积分：1.累次积分法累次积分法是将二重积分转化为两个单变量函数的积分，即先对y进行积分，再对x进行积分。

具体而言，设D的边界为y=g1(x)和y=g2(x)，则有：Df(x,y)dxdy=∫ab(∫g1(x)g2(x)f(x,y)dy)dx其中，a和b分别为D在x轴上的投影区间的端点。

2.极坐标变换法极坐标变换法是将二重积分转化为极坐标系下的积分，即先将x和y用极坐标表示，再对极角和极径进行积分。

具体而言，设D 在极坐标系下的极角范围为θ1到θ2，极径范围为r1到r2，则有：Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2(∫r1r2f(rcosθ,rsinθ)rdr)dθ其中，r=√(x^2+y^2)，θ=tan^(-1)(y/x)。

三、交换二重积分的计算方法在实际问题中，我们有时需要对简单区域D上的函数进行二重积分，但是由于函数表达式较为复杂或积分区域较难处理，使得计算二重积分变得十分困难。

此时，我们可以通过交换二重积分的顺序来简化计算过程。

极坐标二重积分交换积分次序

极坐标二重积分交换积分次序在数学中，极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它使用距离原点的距离和与正半轴的夹角来唯一确定一个点的位置。

极坐标在一些特定的问题中具有很大的优势，尤其是在描述圆形或者旋转对称的问题时。

而二重积分则是对二元函数在特定区域上的积分，它可以帮助我们求解面积、质心、惯性矩等问题。

在进行极坐标下的二重积分计算时，有时候我们需要交换积分的次序。

这种交换积分次序的操作可以简化积分的计算过程，使得问题更容易求解。

在进行极坐标下的二重积分交换积分次序时，我们需要注意一些技巧和方法。

我们需要确定积分的区域，并将其用极坐标表示。

然后，我们需要确定积分的次序，并进行适当的变量替换。

接着，我们可以根据被积函数的性质来确定积分的范围，并进行相应的变换。

最后，我们可以通过交换积分次序来简化计算过程，并得到最终的结果。

举个例子来说明极坐标下二重积分交换积分次序的过程。

假设我们要计算一个在极坐标下表示的区域上的二重积分，首先我们可以将该区域用极坐标表示，并确定积分的次序。

然后，我们可以根据被积函数的性质来确定积分的范围，并进行相应的变换。

最后，我们可以通过交换积分次序来简化计算过程，并得到最终的结果。

通过极坐标下二重积分交换积分次序的操作，我们可以更加灵活地处理问题，简化计算过程，提高计算效率。

这种技巧在数学建模、物理问题求解等领域都有着重要的应用价值。

因此，掌握极坐标下二重积分交换积分次序的方法是非常重要的，可以帮助我们更好地解决实际问题。

总的来说，极坐标下二重积分交换积分次序是一个在数学中常见且有着重要应用的技巧。

通过适当的变量替换和积分次序的交换，我们可以简化计算过程，提高计算效率，解决实际问题。

因此，掌握这种技巧对于深入理解数学知识、解决实际问题具有重要意义。

希望通过本文的介绍，读者能够对极坐标下二重积分交换积分次序有更深入的了解，并能够灵活运用于实际问题的求解中。

二重积分的积分方法和积分公式

二重积分的积分方法和积分公式二重积分是高等数学中一个重要的概念，主要用于求解平面区域上的积分问题。

在实际应用中，二重积分常常伴随着一些积分方法和积分公式，有助于简化计算过程，提高计算效率。

本文将详细介绍二重积分的积分方法和积分公式。

一、二重积分的基本概念首先，我们需要了解二重积分的基本概念。

对于一个平面区域D，如果对于每一个区域内的点(x,y)，都有一个实数f(x,y)与之对应，那么我们称f(x,y)是D上的一个二元函数。

此时，通过对区域D进行分割，我们可以得到很多个小区域，用矩形来近似表达每个小区域，使得这些小矩形的面积的和趋近于区域D的面积，这个和就可以作为表示f(x,y)在区域D上的对应二重积分。

其数学表达式为：∬Df(x,y)dxdy其中f(x,y)是被积函数，D是被积区域，dxdy表示在x轴和y 轴上的微小增量。

二、二重积分的积分方法1. 变量代换法变量代换法常用于解决被积函数较为复杂的情况。

通过建立一个新的变量，将原式中的变量替换为新的变量，并计算出新的变量的微分值，从而得到新的被积函数和被积区域。

例如，对于二重积分∬Dx^2y dxdy，如果我们令u=xy，v=y，那么在新的变量下，原式可化为∬D(u/v)dvdu。

此时，我们需要通过计算出u和v的微分值，将原被积函数与被积区域进行转化，从而得到简洁的结果。

2. 极坐标法极坐标法常用于解决被积区域的对称性问题。

通过将二维平面上的坐标系转化为极坐标系，可以轻松地描述出各种对称图形的被积区域，并简化计算过程。

例如，对于二重积分∬Dxy dxdy，如果我们将被积区域D转化为极坐标系下的区域，可以得到简化后的被积函数为∫0^πdθ∫0^Rρ^3sinθcosθdρ。

此时，我们只需要进行简单的积分运算，就可以得到最终的结果。

3. 分部积分法分部积分法常用于解决被积函数中的乘积项问题。

通过将乘积项拆分成不同的部分，并对每一部分进行不同的求导和积分操作，可以简化被积函数的形式，并且可以将原式化简为更易于计算的形式。

二重积分的所有变换

ax
.
y 5x
例4 计算二重积分 (x6,y其)d中xdy
D
D是由三条线 yx,y所5x围,x成1 的区域.
yx
x 1
解易知积分区域可表为
D :0x 1 ,xy 5 x
于是
1 5x
(x6y)dxdy dx (x6y)dy
D
0x
1(xy3y2)
0
5x x
dx
176x2dx 76.
0
3
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2
D1
D2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x,y)dx
.
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例8. 计算I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
exydxdy( 1exdx)( 2eydy)ex1ey2
0
1
01
D
(e1)(e2e)e(e1)2
或先积 y再积 x
exydxdy
1
dx
2exydy
01
e1 xy
0
2 1
dx
D
1(ex2
0
ex1)dx
(ex2
ex1)
1 0
(e3 e2)(e2 e) e(e1)2
.
例3 计算二重积分 x y.d其x d中y 积分区域分 D
k
k
r rk x
域的面积
k 1 2(rk rk)2 k12rk2k

重积分的积分方法和积分公式

重积分的积分方法和积分公式重积分是高等数学中的重要概念，也是应用数学和物理学中使用最广泛的数学工具之一。

重积分包括二重积分和三重积分两种形式，其积分方法和积分公式对于求解各种物理量的大小、均值、中心、惯性矩等、数学物理问题的衍生、傅里叶级数的变换等都有着非常重要的应用价值。

1.二重积分的积分方法在二维空间内，设有一函数$f(x,y)$，在有界区域$D$上有定义，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分可以通过将$D$分成若干个无穷小的小矩形，然后对每个小矩形求面积乘上$f(x,y)$在矩形内的均值得出，公式如下：$\iint_Df(x,y)dxdy=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i, y_i) \Delta x_i \Delta y_i$这里，$\Delta x$和$\Delta y$表示$x$和$y$在区域$D$上的最小划分，$n$表示小矩形的个数，而$f(x_i,y_i)$则为小矩形中心点$(x_i,y_i)$处的函数值。

不同的小矩形划分方式会影响到二重积分的精确度，一种常用的划分方式是网格划分方法，即将区域D分成若干格子，然后在每个格子中取其中心点作为较准确的位置来求积分。

2.二重积分的积分公式(1) Fubini定理：对于在矩形域$D$上的二重积分，其积分范围可以交换。

$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^ {d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx$(2) 极坐标变换：若对于$f(x,y)$在极坐标下的表示为$f(r,\theta)$，则对于圆域$D$有以下公式成立。

$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R(\theta)}f(r\c os\theta,r\sin\theta)rdr$其中，$R(\theta)$表示圆$D$在极坐标系下，相对于$\theta$的极径取值范围。

二重积分的坐标变换

1. 原点在区域的外面 (1) 区域特征如图
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
2. 微元变换： dσ = dxdy = rdrdθ 微元变换：
3. 区域变换： Dxy → Drθ 区域变换：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D D
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二重积分化为二次积分的公式: 型区域二重积分化为二次积分的公式 θ-型区域
结束
3. 原点在区域的内部区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
D
o
2π
A
= ∫ dθ ∫
0
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
π 2
2
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例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积
解根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下

二重积分公式大全

二重积分公式大全1. Fubini定理：Fubini定理是描述二重积分交换变量顺序的重要定理。

它给出了对于在一个有界区域上的函数f(x, y)，可以通过先在y方向上积分再在x 方向上积分，或者反过来，最终得到相同的结果。

∬R f(x, y) dA = ∫∫R f(x, y) dxdy = ∫∫R f(x, y) dydx其中，R代表积分区域。

2.直角坐标系下的二重积分公式：在直角坐标系下，二重积分的形式通常为：∬Rf(x,y)dA其中，dA = dx dy，代表对小矩形面积的微元积分。

3.极坐标系下的二重积分公式：在极坐标系下，二重积分的形式通常为：∬Rf(x,y)dA其中，dA = r dr dθ，代表对极坐标系下小扇形面积的微元积分。

4.垂直于x轴的线的积分：对于一个区域R，在y轴上的两条线分别为y=a(x)和y=b(x)，其中a(x)<=b(x)，则积分可以被写为：∬R f(x, y) dA = ∫a(x) b(x) [∫f(x, y) dy] dx其中，内层积分是在y方向上的积分，其上下限由y=a(x)和y=b(x)给出。

5.垂直于y轴的线的积分：对于一个区域R，在x轴上的两条线分别为x=c(y)和x=d(y)，其中c(y)<=d(y)，则积分可以被写为：∬R f(x, y) dA = ∫c(y) d(y) [∫f(x, y) dx] dy其中，内层积分是在x方向上的积分，其上下限由x=c(y)和x=d(y)给出。

6.极坐标变换的雅可比行列式：当使用极坐标变换时，需要将被积函数表示为f(r,θ)。

此时，雅可比行列式的形式为：J=∂(x,y)/∂(r,θ)=r其中，J表示雅可比行列式。

7.二重积分的应用：二重积分广泛应用于计算几何体的体积、计算物体的质量、计算质心等问题中。

具体应用需要根据具体问题进行推导和计算。

以上是一些常见的二重积分公式，这些公式是二重积分的基础知识，掌握这些公式可以更好地理解和应用二重积分。

二重积分的坐标变换

4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0 1r
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例 6 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
解根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
二重积分的变量代换
极坐标变换一般变量代换
广义极坐标变换
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结束
一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2 (ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
D
i
d rdrd
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极坐标下的面积元素
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
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由r a
2cos 2
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二重积分交换积分次序的方法口诀

二重积分交换积分次序的方法口诀
一、凡是计算二重积分的交换积分次序，可以用下面这个口诀记忆：
两次积分，把积分次序适当改变
先积分其中一次，让被积函数更简单
再积分另一次，就不会有麻烦
优先选择被积函数辅助变量，否则可能显得太难。

二、准确理解口诀的含义，这样能让我们更好的计算，准确地使用口诀，这样就能提高二重积分计算的效率。

1、计算二重积分，变量的次序可以被改变，其中一次积分可以在另
一次积分之前行。

一般情况下可以优先选择被积函数中最简单的，最容易
积分的辅助变量进行积分，这样可以使被积函数更加简单，从而减少积分
难度。

2、如果积分顺序不当，那么很可能会使被积函数变得非常复杂，从
而使积分难度大大增加，甚至有可能出现无法求解的情况，所以交换积分
次序时一定要小心把握，尽量选择最简单的辅助变量积分。

3、在交换积分次序时，还可以先把积分域的范围考虑进去，尽量选
择积分区间最小的变量积分，以减少积分难度，这是求解二重积分的经验。

四、以上就是二重积分交换积分次序的方法口诀，使用正确方法，可
以使二重积分的效率大大提升，让我们的求解多变简单、可靠。

交换二次积分次序的步骤

交换二次积分次序的步骤交换二次积分次序的步骤二次积分是高等数学中常见的一种积分形式，其求解过程往往需要交换积分次序。

本文将介绍交换二次积分次序的步骤。

一、变量替换首先，我们需要进行变量替换，将原来的两个自变量转化为一个自变量。

假设我们有以下的二重积分：$$\iint_D f(x,y)dxdy$$我们可以将其中一个自变量进行替换，得到：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b\left(\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy\right)dx$$其中$c(x)$和$d(x)$是与$x$有关的函数。

二、画出积分区域接下来，我们需要画出积分区域$D$。

这样可以帮助我们更好地理解积分范围，并且有助于后续计算。

三、确定新的积分范围根据画出来的图形，我们可以确定新的积分范围。

对于上述例子中的二重积分，新的积分范围为：$$a\leq x \leq b, c(x)\leq y \leq d(x)$$四、交换积分次序现在，我们已经完成了变量替换和确定新的积分范围，可以开始交换积分次序了。

根据Fubini定理，我们可以交换积分次序，得到：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b\left(\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy\right)dx=\int_{c}^{d}\left(\int_{a(y)} ^{b(y)}f(x,y)dx\right)dy$$其中$a(y)$和$b(y)$是与$y$有关的函数。

五、计算新的积分最后，我们需要计算新的积分。

根据上述公式，我们可以将二次积分转化为两个一次积分，然后依次进行计算即可。

总结交换二次积分次序的步骤包括变量替换、画出积分区域、确定新的积分范围、交换积分次序以及计算新的积分。

通过这些步骤，我们可以将二重积分转化为两个一重积分，并且更方便地进行求解。

二重积分交换积分次序公式

二重积分交换积分次序公式二重积分的交换积分次序主要涉及到两种情况：通过变量替换和通过区域划分。

下面我们将详细介绍这两种情况及其相关的公式。

1.通过变量替换:设有二重积分$I=\iint_Df(x,y)dxdy$，若存在一个变换$T$，它将$D$映射为$D'$，且$T$是一一的、可逆的，并且具有连续的偏导数，则有以下公式:$\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{D'}f(T(u,v))\left，J_T(u,v)\right，dudv$其中，$J_T(u,v)$是变换$T$的雅可比行列式，定义为:$J_T(u,v)=\left，\det\begin{bmatrix}\frac{\partialx}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partialv}\end{bmatrix}\right，$变换$T$的逆变换为$T^{-1}$，其雅可比行列式为$J_{T^{-1}}(x,y)$。

通过这种变量替换，可以将原来的积分区域$D$变为新的积分区域$D'$，从而使得原积分的计算变得简单。

2.通过区域划分:如果在$xy$平面上的积分区域$D$可以通过一系列的水平线和垂直线划分为有限个子区域$D_{ij}$，并且函数$f(x,y)$在每个子区域$D_{ij}$上都是连续可积的$\iint_Df(x,y)dxdy=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\iint_{D_{ij} }f(x,y)dxdy$其中，$n$和$m$分别是水平线和垂直线的个数。

通过这种区域划分的方法，我们可以将原来的二重积分转化为一系列的子区域上的积分，进而对每个子区域进行求积分。

在实际应用中，这两种方法可以结合使用。

二重积分的计算-经典

注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确
确定积分限，一定要做到熟练、准确。
2014年8月31日星期日
高等数学 11 - 2
4
例 1.求 ( x 2 y )dxdy，其中 D 是由抛物线
y x 2和 x y 2所围平面闭区域.
解：两曲线的交点
D
x y
2
0 x 1 ［X－型］ D : x 2 y
2 D1

2014年8月31日星期日
D2
x ln( y 1 y 2 )d xd y 0
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高等数学 11 - 2
2. 利用极坐标计算二重积分
当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标
系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑
其计算问题。例如:
2
y
(2) Y－型区域
D： 1 (x) x 2 (x) c y d
Y型区域的特点：平行于 x 轴且穿过区域
d y
x = 1(y)
D
x= 2(y)
c
x
o 内部的直线与区域边界的交点不多于两个。
积分限确定法： f ( x, y)d c
D d
2 ( y) dy f ( x, y)dx 1 ( y)

D
f ( x, y )d dx
a
f(x.y)dy
② 说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
③ 积分次序: X -型域
先 y后 x;
④ 积分限确定法: “域中一线插”,须用平行于 y 轴的射线穿插区域。 ⑤ 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
2014年8月31日星期日

二重积分的变量交换

4二重积分的变量交换

21(3)二重积分的极坐标计算方法.

《数学分析》第二十一章 二重积分 5

二重积分计算技巧总结

§4 二重积分的变量交换

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二重积分 交换积分次序

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