高中数学必修3第二章2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(第2课时) 教案

编写时间：2021年月日2020-2021学年第二学期编写人：马安山
课题2.2.2用样本的数字特
征估计总体的数字特征
（第2课时）
授课班级高二(17) 授课时间2021年月日
学习目标1知识与技能：通过方差和标准差的学习，培养学生根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

2过程与方法：通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。

培养学生收集数据、分析数据、归纳和整理数据，增强学习的积极性。

3情感、态度与价值观：培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。

通过联系观点分析，解决实际生活中的具体问题。

教学重点方差、标准差的计算方法。

教学难点如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。

课型新课主要教学方法自主学习、思考、交流、讨论、讲解教学模式合作探究，归纳总结教学手段与教具几何画板、智慧黑板．教学过程设计各环节教学反思
【自主学习】————大胆尝试
1．提出问题：
问题1：如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？
利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：
估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图
中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
问题2：某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植
对比实验,年亩产量分别如下:(千克)
甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)
乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)
请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?
选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.
问题3：有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：
kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.
甲110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
哪种钢筋的质量较好？
由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.
问题4：如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?
把问题3中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.
2.标准差的求法：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．
s ＝
])()()[(1
22221x x x x x x n
n -++-+- . 3．方差的求法：
标准差的平方s 2叫做方差．
s 2＝222121[()()()]n x x x x x x n
-+-+
+-．
其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，是样本平均数．
4．标准差(方差)用来衡量 样本数据的离散程度 ，标准差(方差)越大，数据的离散程度 越
大 ；标准差(方差)越小，数据的离散程
度 越小 ．
【课堂探究】
探究一：标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？
[0,)+∞；该组各数据全相等，表明数据没有波动，数据没有离散性。

探究二：在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕ 甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4； 乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？
解：两个人射击的平均成绩是一样的：x 甲=7，x 乙=7.
计算两人的标准差：s 甲=2，s 乙≈1.095.
由s 甲>s 乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.
【展示点评】————我自信
具体要求：（1）书写、格式规范；（2）推导、计算完整正确；（3）重过程，找规律；（4）大胆、自信、全面地展示自我；（5）点评客观，积极。

例1 甲、乙两台机床同时加工直径为100毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各随机抽出6件进行测量，测得如下数据(单位：毫米)： 甲 99 100 98 100 100 103 乙 99 100 102 99 100 100
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；
(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工这种零件更符合要求．
解：(1)x 甲＝100＋1
6
(－1＋0－2＋0＋0＋3)＝100；
x 乙＝100＋1
6
(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100.
s 2甲＝16[(－1)2＋02＋(－2)2＋02＋02＋32－6×02
]＝73；
s 2乙＝16
[(－1)2＋02＋22＋(－1)2＋02＋02－6×02
]＝1.
(2)由(1)知，x 甲＝x 乙，s 2
甲>s 2
乙， ∴乙机床加工这种零件更符合要求． 例2 (1)已知一组数据12,,,n x x x 的方差是2s ，求另一组数据122,2,,2n x x x ---的方差； (2)设一组数据12,,
,n x x x 的标准差为y s ，另一组数据123,3,
,3n x a x a x a +++标准差为
x s ，求x s 与y s 的关系．
(1) 2s ；（2）3y x s s =
例3 下表是甲、乙两个商场1月份至6月份销售王老吉饮料的情况(单位：箱)：
根据以上信息回答下列问题：
(1)甲、乙两个商场月平均销售量哪个大？ (2)甲、乙两个商场的销售量哪个较稳定？
解：(1)x 甲＝486，x 乙＝486，所以甲、乙两个商场月平均销售量一样． (2)s 2
甲≈3333.3，s 2
乙≈746.7，因为s 2
甲>s 2
乙，所以乙商场的销售量较稳定．
【整合提升】————我能做
具体要求：构建本节课的知识体系，理解并熟记基本公式和方法，不明白的问题在小组内讨论和请教师指导。

1月 2月 3月 4月 5月 6月 甲商场 450 440 480 420 576 550
乙商场 480 440 470 490 520 516
归纳小结：1.标准差、方差 2.标准差、方差的性质
(1)一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数，所得的一组新数据的标准差、方差不变；
(2)若把一组数据的每一个数扩大k 倍并加上或减去常数a ，则它的标准差扩大k 倍，而与a 的大小无关；方差扩大2k 倍，而与a 的大小无关。

【学习反思】————我探索 本节课我最大的收获是什么？ 【达标检测】———— 一定行
1．数据5,7,7,8,10,11的标准差、方差分别是____________；（2,4）
2．若k 1，k 2，…，k 6的方差为3，则2(k 1－3),2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的方差为___12___． 3．样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )
【课后训练案】
1．已知一个样本x,1，y,5.其中x ，y 是方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝2x 2
＋y 2
＝10
的解，则这个样本的标准差是
( C ) A ．2
B. 2
C. 5
D ．5
2.一组数据中的每一个数都减去80得到一组新的数据，如果求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别为( C ) A ．81.2,84.4
B ．78.8,4.4
C ．81.2,4.4
D ．78.8,75.6
3.若有样本容量为8的样本平均数为5，方差为2，现样本中又加入一新数据为4，现样本容量为9，则样本平均数和方差分别为( A )
A.449，152
81
B ．5,2 C.359，17
9
D.449，296
81
4.某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登录有误，某甲得70分却记为40分，某乙得50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，则s 与s 1之间的大小关系是( C ) A ．s ＝s 1
B ．s <s 1
C ．s >s 1
D ．不能确定
5．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A 和B ，样本标准差
分别为S A和S B，则( B )
A.A>B，S A>S B
B.A<B，S A>S B
C.A>B，S A<S B
D.A<B，S A<S B
6.已知样本101,100,99，a，b的平均数为100，方差为2，这个样本中的数据a与b的取值为________．(102,98或98,102)
7.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( D )
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
8.有甲、乙两个球队，甲队有6名队员，乙队有20名队员，他们的身高数据如下(单位：cm)：
甲队：187 181 175 185 173 179
乙队：180 179 182 184 183 183 183 176 176 181 177 177 178 180 177 184 177 183 177 183
(1)求两队队员的平均身高；
(2)比较甲、乙两队哪一队的身高更整齐些？
[解析] (1)x甲＝1
6
(7＋1－5＋5－7－1)＋180＝180(cm)，x乙＝
1
20
(0－1＋2＋4＋3＋3＋
3－4－4＋1－3－3－2＋0－3＋4－3＋3－3＋3)＋180＝180(cm)．
(2)s2甲＝25，s2乙＝8.2，s2乙<s2甲，这说明乙队队员的身高更整齐．。