等差数列的性质总结

等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a

推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m

n a a d m n --=； 3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a /

4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． -

⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

:

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）

8.等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，

等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；

前n 和211(1)()222

n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

;

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，

（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列

(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

%

（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列

（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

。当项数为偶数n 2时，

()121135212

n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11n n n n n S S na na n a a d ++-=-=-=偶奇

]

11n n n n

S na a S na a ++==偶

奇

。当项数为奇数12+n 时，则

21(21)(1)1n S S S S n a S n a n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==+⎪⎪⎩⎩

偶n+1n+1奇偶奇n+1n+1奇偶偶奇 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n n A f n B =， 则

2121

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. .

（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+ a ,,n m m a n ==则a 0n m +=

(10)求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+0

01n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值． （2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001>

01n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值． 或求{}n a 中正负分界项

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．