1.2_基与坐标、坐标变换

则称 1,2, 为向量 在基
,1,n为2 ,V 的,一n组下基的，坐标(k1.
, k2 ,, kn )
这时，就称
V 为一个 n 维线性空间，记为 dimV n.
例1. 实数域 R 上的线性空间 R3 中向量组
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是 R3 的基，R3 是 3 维线性空间.
例2. 实数域 R 上的线性空间 R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
wenku.baidu.com
1 1
都是 R22 的基，R22 是 4 维线性空间.
进一步，求向量 坐标.
2!
(n1)!
注： (1) 基是线性空间的一个极大线性无关组， 线性空间中任一向量均可由其线性表出.
(2) 线性空间的维数就是基中元素的个数.
(3) 线性空间的基并不唯一，但是维数是唯一的.
(4) 根据维数，线性空间可以分为有限维线性空 间和无限维线性空间. 我们仅讨论有限维线性 空间. (5) 一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象， 不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别 及性质. 但坐标表示却把它们统一了起来，由 坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来! (6) 同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的.
A
1 3
2 4
在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为
(x1, x2 , x3, x4 )
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
1 1 1 1
P 0 1 1 1 . 0 0 1 1 0 0 0 1
过渡矩阵的性质： (1) 过渡矩阵是可逆矩阵 (为什么)；
(2) 若 P 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡 矩阵，则 P -1 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡
矩阵.
下面考虑同一个向量在不同基 下的坐标有什么关系呢？
例3 . 试证：线性空间
R x n {a0 a1x a2x2 an1xn1 | ai R}
是 n 维的，并求 a0 a1x a2 x2 an1xn1 在基
1, x a, (x a)2,, (x a)n1,
下的坐标.
证明思路：
(1) 先证 R[x]n 中元素1, x, x2 ,, xn1 是线性无关的. (2) 再证 1, x a, (x a)2 ,, (x a)n1 也是R[x]n 的
的过渡矩阵.
解.
g0 f0
g1 f0 f1 g2 f0 f1 f2
g3 f0 f1 f2 f3
由此得
1 1 1 1
g0 ,
g1 ,
g2 ,
g3
f0,
f1 ,
f2,
f3
0
0
1 0
1 1
1 1
0 0 0 1
所以，基 f0, f1, f2, f3 到基 g0 , g1, g2 , g3的过渡矩阵为
渡矩阵.
上述公式
(1, 2 , , n ) (1,2 , ,n )P 称为基 1,2 ,,n 到基 1, 2 ,, n的基变换公式.
例4. 到基
在 R[x]4 中,求自然基 f0 1, f1 x, f2 x2 , f3 x3
g0 1, g1 1 x, g2 1 x x2 , g3 1 x x2 x3
P
y2
xn yn
(1,2,
y1
,
n
)P
y2
yn
设 1,2 , ,n 与 1, 2 , , n 是线性空间 V 中的两组基， 那么对 V 中的任意向量 V ，有：
(1,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
(1, 2 ,
y1
,
n
)
y2
1 a111 a212 an1n
2
a121
a22 2
an2 n
n a1n1 a2n2 annn
则上式可以表为
(1, 2 , , n ) (1,2, ,n )P,
其中
a11 a12 P a21 a22
an1 an2
a1n
a2
n
,
ann
称 P 为由基 1,2 ,,n 到基 1, 2 ,, n 的过
设 1,2 , ,n 与 1, 2 , , n 是线性空间 V 中的两组基， 那么对 V 中的任意向量 V ，有：
(1,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
(1, 2 ,
y1
,
n
)
y2
yn
(1, 2 , , n ) (1,2 , ,n )P
x1 y1
x2
1.2.2. 基变换与坐标变换
问题： 在n 维线性空间V 中，任意n个线性无 关的向量都可以作为V 的一组基. 对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的.
那么，同一个向量在不同基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的 坐标如何改变呢？
基变换： 设 1,2 ,,n 与 1, 2,, n 是 n 维线性空间的两组基. 设
yn
(1, 2 , , n ) (1,2 , ,n )P
x1 y1
x2
P
y2
xn yn
坐标变换公式
y1
x1
y2
P 1
x2
yn
1.2. 基与坐标、坐标变换
1.2.1. 基与维数、坐标 1.2.2. 基变换与坐标变换
1.2.1. 基与维数、坐标
定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间. 如果在 V
中任存何在一个n 向个量线性无都关可的以向由量1,1,2,2,,,n线n使性得表出V 中，
k11 k22 knn
一组基.
由泰勒公式， R[x]n 中任意元素 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2! f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此，元素 f (x) 在这组基下的坐标是
( f (a), f '(a), f ''(a), , f (a)) (n1) .