简谐振动的能量转换
振动能量计算公式
振动能量计算公式1. 简谐振动能量。
- 对于一个弹簧振子做简谐振动，其动能E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是振子的质量，v是振子的速度。
- 根据简谐振动的速度公式v = ω Asin(ω t+φ)（ω是角频率，A是振幅，φ是初相位），则动能E_k=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t + φ)。
- 其势能E_p=(1)/(2)kx^2，对于简谐振动x = Acos(ω t+φ)，所以E_p=(1)/(2)kA^2cos^2(ω t+φ)。
- 弹簧振子的总能量E = E_k+E_p，由于k = mω^2，将E_k和E_p表达式代入可得：- E=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t+φ)+(1)/(2)mω^2A^2cos^2(ω t+φ)- 根据sin^2α+cos^2α = 1，所以E=(1)/(2)mω^2A^2（总能量守恒，与时间t 无关）。
2. 阻尼振动能量。
- 阻尼振动的能量是逐渐减小的。
- 阻尼振动的能量E(t)=E_0e^ - (2β t)/(m)，其中E_0是初始能量，β是阻尼系数，m是振子质量，t是时间。
3. 受迫振动能量。
- 在稳定状态下，受迫振动的能量取决于驱动力的功率。
- 设驱动力F = F_0cos(ω_dt)，振子做受迫振动达到稳定时的振动方程为x = Acos(ω_dt+φ)。
- 驱动力的功率P = Fv，其中v=-Aω_dsin(ω_dt + φ)，则P=-F_0Aω_dcos(ω_dt)sin(ω_dt+φ)。
- 在一个周期T=(2π)/(ω_d)内的平均功率¯P=(1)/(T)∫_0^TPdt，通过计算可得¯P=(1)/(2)F_0Aω_dsinφ。
- 受迫振动系统的能量与平均功率有关，能量E=¯Pt（t为时间），在稳定状态下能量保持稳定。
9.3简谐振动的能量转换
2
E p ( 0 . 48 0 . 36 ) J 0 . 12 J
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第九章 振 动 可利用机械能守恒定律求出简谐振动的运动学方程.
1 2 m( d x dt
2 2
)
1 2
kx
2
1 2
kA
2
dx A
2
2
k m
k m
dt
x
积分既得 令
k m
x A sin(
2
f max kA
1 2
k
f max A
1 2
f max A
24 0 . 04 J 0 . 48 J
(2) 取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位为60
Ek 1 2 kA
2
sin ( 0 t ) 0 . 48 (
2
3 / 2 ) J 0 . 36 J
2 2
1 2
kA
2
sin ( 0 t )
2
0
k /m
势能
Ep
1 2
kx
2
1 2
kA
2
cos
2
( 0 t )
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结束
第九章 振 动 总能 E
E Ek Ep
1 2
kA
2
Ek
EP 1 k A2 E= 2
O x O
t
x = A cosω0 t t 动画演示
总机械能守恒，即总能量不随时间变化.
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第九章 振 动
结论
(1) 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比.
简谐振动的能量变化
简谐振动的能量变化简谐振动是物理学中一个重要的概念，几乎存在于各个领域的物理现象中。
它描述了一个物体在一个恒定的振幅范围内进行周期性的振动运动。
在简谐振动中，物体的能量会不断变化。
本文将探讨简谐振动的能量变化规律及其背后的原理。
一、简谐振动的特点简谐振动的特点是具有周期性和恒定振幅。
在一个周期内，物体会从原点出发，向正方向振动到最大偏离量，然后返回原点，并向负方向振动到最大偏离量，最后再次返回原点。
这个周期性的运动形式被称为正弦曲线。
二、简谐振动的能量转换简谐振动的能量转换是一个循环过程，由动能和势能交替转化。
当物体偏离平衡位置时，存在势能。
随着物体向最大偏离量移动，势能达到最大值。
当物体通过平衡位置时，速度最大，动能也最大。
当物体移动回原点时，势能再次为零，并在反向运动时达到最大值，动能减小为零。
因此，简谐振动的能量变化由势能和动能的周期性转换组成。
三、简谐振动的能量守恒在简谐振动中，动能和势能的和始终保持不变。
即使在振动过程中，能量的总和也保持不变。
这是因为质点在简谐振动的过程中没有受到摩擦或其他能量损耗的作用。
四、简谐振动的公式推导我们可以通过公式推导简谐振动的能量变化规律。
假设简谐振动的位置函数为x(t)，其中t表示时间。
那么动能可表示为：K = 0.5 * m * v^2 = 0.5 * m * (dx/dt)^2，其中m为质量，v为速度，x为位移。
而势能可表示为：U = 0.5 * k * x^2，其中k为劲度系数。
根据能量守恒定律，总能量E为常数，即K + U = E。
将上述动能和势能的表达式代入，得到：0.5 * m * (dx/dt)^2 + 0.5 * k * x^2 = E。
这是简谐振动的能量守恒方程，描述了简谐振动过程中能量的变化规律。
五、简谐振动的应用简谐振动广泛应用于各个领域。
在物理学中，它被用于描述原子和分子的振动，以及声波和光波的传播。
在工程学中，它被用于设计和优化机械结构的振动模式。
简谐振动的能量要点
简谐振动的能量要点简谐振动是物体在一些平衡位置附近以固定频率来回振动的运动方式。
它是一种理想化的振动模型，常用于描述弹簧和摆钟等物理系统的振动特性。
在简谐振动中，振动物体的能量一直保持着恒定。
以下是关于简谐振动能量的几个重要要点：1.势能和动能之间的转换：在简谐振动中，振动物体的能量主要由势能和动能组成。
当物体从平衡位置偏离时，会产生弹性势能。
随着物体向平衡位置回归，弹性势能转变为动能。
两种能量形式之间的转换是周期性的，能量在势能和动能之间交替转换，始终保持总能量不变。
2.势能的表达式：简谐振动的势能可以用一个二次函数来表达。
对于弹簧振子，势能与物体偏离平衡位置的平方成正比。
势能函数可以表示为U(x) = (1/2) kx²，其中k是弹簧劲度系数，x是物体离开平衡位置的位移量。
3.动能的表达式：振动物体的动能取决于物体的质量和速度。
动能可以表示为K = (1/2) mv²，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
由于简谐振动中物体的运动速度是周期性变化的，动能的最大值等于势能的最大值。
4.总能量的守恒：在简谐振动中，总能量一直保持恒定。
振动物体的总能量可以表示为E=U+K，其中U是势能，K是动能。
由于振动物体在势能和动能之间交换能量，总能量以恒定的方式改变，但总能量的值始终保持不变。
5.振幅和能量关系：振动物体的振幅是指物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，物体在振动过程中的最大速度和最大加速度也会增大。
根据动能的表达式K = (1/2) mv²可以看出，振幅的增加会导致动能的增加，从而增加振动物体的总能量。
6.能量的周期性变化：简谐振动的能量以周期性的方式变化。
在振动周期的不同阶段，势能和动能的值会交替变化。
具体来说，在最大位移点，势能达到最大值而动能为零；在通过平衡位置时，势能为最小值而动能最大。
这种能量的周期性变化特性与简谐振动的周期性变化是紧密相关的。
简谐运动的能量转化、受迫振动和共振
（2）单摆：如图所示， ，回 复力做正功（重力做正功） ， 重力势能减少，动能增加，到 O时，动能最大，势能最小； ， 回复力做负功，动能减小，势 能增加，到达B时，动能为零， 势能最大，同理可分析 ， 过程 中能量的转化情况． 在此过程中，因为只有重 力做功，所以总机械能不变
• （3）沿竖直方向振动的 弹簧振子：通过回复力 （重力和弹簧弹力的合 力）做功，动能和势能 （包括重力势能、弹性 势能）间相互转化． 在此过程中，因为 只有重力和弹簧弹力做 功，所以总机械能不 变．
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在C、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从C经O到B的过程中，回复力一直做正 功 D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加
4．以频率f做简谐运动的单摆，其势能随时 间变化的频率为 （ C ） A． f C．2f B．0.5f D．4f
5．如果没有摩擦力和空气阻力，弹簧振子 和单摆做简谐运动时，振动的总机械 能 守恒 ，振动系统的总机械能大小对给 定的系统来说只与振动的 振幅 有关．
1、实例分析
（l）沿水平方向振动的弹簧振子
• 设振子以O为 平衡位置在 间振动 ，回复力 （弹力）做正功，动能增加，弹簧的弹性势能 减少，经O时，动能最大，势能为零 ，回复力 做负功，动能减小，势能增加，到达 时，势能 最大，动能为零，同理可分析 ， 过程中能量 的转化情况． 在此过程中，因为只有弹簧弹力做功，所 以总机械能不变．
能力· 思维· 方法
3.如图所示：弹簧振子以O点为平衡位置， 在A、B间做简谐运动，AB间距为10 cm， 振子从O点运动到P点历时0.2 s，从此时 再经A点再一次回到P点又历时0.4 s，下 列说法中正确的是 （ B ） A.它的振幅是10 cm B.它的周期是1.6 s C.它的频率是0.5 Hz D.它由P点经O点运动到B点历时0.8 s
振动中的能量转化
0
即谐振动系统的动能、 即谐振动系统的动能、势能在一个 周期内的平均值相等， 周期内的平均值相等，且等于总能 量的一半。 量的一半。
§5.谐振动的能量 / 五、动能和势能的时间平均值 谐振动的能量
Ek Ep
o
t
Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。 最大时， 最小， 交替变化。
§5.谐振动的能量 / 二、谐振动的势能 谐振动的能量
三、谐振动系统的能量
1 2 1 2 E = Ek + E p = kA = mvmax 2 2 •谐振过程中只有保守力 谐振过程中只有保守力 Ek Ep 作功， 作功，系统的机械能守 恒，等于最大位移处的 势能或平衡位置处的动 能。
x
o
A
1 2 2 2 Ek = mω A sin (ωt + ϕ ) 2 k Qω = m2 NhomakorabeaEk
mω = k
2
o
t
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2
§5.谐振动的能量 / 一、谐振动的动能 谐振动的能量
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2 二、谐振动系统的势能 1 2 E p = kx 2 1 2 = k[ A cos(ωt + ϕ )] 2 1 2 2 = kA cos (ωt + ϕ ) 2
d 1 2 1 2 mv + kx = 0 dt 2 2
dv dx mv + kx = 0 dt dt 2 d x k + x = 0 ——谐振动微分方程 谐振动微分方程 2 dt m
§5.谐振动的能量 / 四、谐振动方程 谐振动的能量
五、谐振动系统能量的时间平均值
简谐振动的能量与周期
简谐振动的能量与周期简谐振动是物体在弹性势能恢复力作用下进行的一种周期性振动。
在简谐振动中，能量与周期之间存在一定的关系。
下面将通过分析简谐振动的能量变化以及与周期之间的关系来探讨这一问题。
一、简谐振动的能量变化简谐振动的能量可以分为两部分，一部分是动能，另一部分是势能。
在振动过程中，物体在运动的过程中，动能和势能不断地相互转换，但其总和保持不变。
1. 动能的变化物体在振动过程中具有动能。
当物体达到最大振幅时，速度最大，此时动能也最大。
而当物体通过平衡位置时，速度为零，动能也为零。
因此，可以得出结论：动能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
2. 势能的变化物体在振动过程中具有势能。
当物体位于极大位移时，弹性势能最大，此时势能也最大。
而当物体通过平衡位置时，位移为零，势能也为零。
因此，可以得出结论：势能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
3. 能量守恒定律根据能量守恒定律，简谐振动中的能量保持不变。
即动能和势能之和等于常数。
可以用下式表示：E = K + U其中，E表示总能量，K表示动能，U表示势能。
因为动能和势能之和保持不变，所以在振动过程中，动能和势能的增减是互相抵消的。
二、简谐振动的周期与能量的关系简谐振动的周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
简谐振动的周期与其能量之间存在一定的关系。
下面将从理论和实验两个方面探讨这一问题。
1. 理论推导简谐振动的周期与物体的振动频率有关。
振动频率可以用下式表示：f = 1 / T其中，f表示振动频率，T表示周期。
根据简谐振动的定义，可以得出如下的等式：ω^2 = k / m其中，ω表示角频率，k表示弹簧的劲度系数，m表示物体的质量。
角频率与振动频率之间存在如下的关系：ω = 2πf将振动频率表达式代入上式，可以得到：ω = 2π / T通过对上述等式的变换，可以得到简谐振动的周期与劲度系数和物体质量的关系：T = 2π√(m / k)由上式可以看出，简谐振动的周期与劲度系数和物体质量有关。
简谐振动的能量变化
简谐振动的能量变化简谐振动是物理学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如机械、电磁、光学等。
简谐振动能够描述许多物理系统的运动规律，同时该系统的能量变化也是研究的重点之一。
一、简谐振动的基本特征简谐振动是指一个物体在一个稳定的平衡位置附近作来回运动，其大小与时间成正弦函数关系的振动。
简谐振动具备以下基本特征：1. 平衡位置：简谐振动存在一个平衡位置，物体在此处不具备位移。
2. 振幅：振动的最大偏离平衡位置的距离称为振幅。
3. 周期：一个完整的振动周期所经历的时间称为周期，用T表示。
4. 频率：振动的周期的倒数称为频率，用f表示。
5. 角频率：振动的角频率是频率的2π倍，用ω表示。
二、简谐振动的能量变化简谐振动的能量变化可以分为动能和势能的相互转化过程。
在振动过程中，物体会从最大位移处通过平衡位置到达最大位移处，这一过程中能量的分配也随之变化。
1. 动能：物体在振动过程中具有动能，动能与振动的速度平方成正比。
当物体从最大位移处通过平衡位置时，动能达到最大值；而当物体处于平衡位置时，动能为零。
2. 势能：物体在振动过程中也会具有势能，势能与振动的位移的平方成正比。
当物体处于最大位移处时，势能达到最大值；而当物体处于平衡位置时，势能为零。
在简谐振动中，动能和势能是交替转化的。
当物体从最大位移处通过平衡位置时，动能达到最大值，而势能为零；当物体到达平衡位置时，动能为零，势能达到最大值。
这种能量的转化使得系统在振动过程中能量守恒。
三、能量变化的数学表达简谐振动的能量变化可以通过数学公式来表示。
设简谐振动的位移为x，振动角频率为ω，振幅为A，则动能和势能分别可以表示为以下式子：动能K = (1/2) mω²A²cos²(ωt + φ)势能U = (1/2) mω²A²sin²(ωt + φ)其中m为物体的质量，t为时间，φ为初相位。
根据能量守恒定律，动能和势能的总和应该保持不变。
第五节 简谐运动的能量
第五节 简谐运动的能量 阻尼振动 第六节 受迫振动 共振一、简谐运动的能量：1、振子在振动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒。
如图所示的单摆，在振动过程中能量转化情况2、注意：能量的大小和振幅有关，和振动系统回复力与位移的比例系数有关。
振幅越大，比例系数越大，振动能量越大。
二、阻尼振动与无阻尼振动：1、阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动。
注意：1）振幅减小，能量也减小； 2）阻尼振动的周期不变。
2、无阻尼振动：振幅不变的振动叫做无阻尼振动。
注意：1）可能是振动系统摩擦和阻力不计，振动能量无损失；2）可能是振动虽有能量损失，但不断补充能量，使振动等幅。
三、受迫振动： 1、概念：1）自由振动：不受其它外力，只在系统内部的弹力或重力作用下的振动叫做自由振动；2）驱动力：作用于质点的周期性的外力叫做驱动力；3）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动。
2、特点：1）物体做受迫振动时的振动频率等于驱动力的频率，而与物体的固有频率无关；2）物体做受迫振动的振幅与驱动力的频率和物体的固有频率有关，二者相差越小，物体做受迫振动的振幅越大。
四、共振： 1、共振曲线：2、条件：当驱动力的频率跟物体的固有频率相等（固驱f f ）时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
3、共振的应用和防止： 利用：让驱动力频率接近或等于固有频率防止：让驱动力频率远大于或远小于固有频率五、振动的分类：1、按振动特点分：简谐运动、非简谐运动；2、按形成原因分：自由振动（内力）、受迫振动（外力）；3、按振动振幅分：等幅振动（无阻尼）、减幅振动（阻尼）。
说明：简谐运动必为无阻尼振动（等幅）；实际的简谐运动必为受迫振动；实际的自由振动必为阻尼振动；理想的简谐运动是指无阻尼自由振动，实际上不存在。
例题：A 、B 两个弹簧振子，固有周期分别为f 、4f ，它们均在频率为3f 的驱动力作用下做受迫振动，则下列说法中正确的是：A 、振子A 的振幅较大，振动频率为4f ；B 、振子B 的振幅较大，振动频率为3f ；C 、振子A 的振幅较大，振动频率为3f；D 、振子B 的振幅较大，振动频率为4f 。
第五节简谐运动的能量阻尼振动
第五节简谐运动的能量阻尼振动知识要点一、简谐运动的能量1、简谐运动中能量的转化弹簧振子在振动过程中动能和弹性势能不断地发生转化；单摆在振动过程中动能和重力势能不断地发生转化。
二者的共同特点是：当振子或摆球向平衡位置运动时，势能不断减小，动能不断增大，在平衡位置时，动能最大，势能最小；当振子或摆球远离平衡位置运动时，动能不断减小，势能不断增大，在位移最大时，势能最大，动能为零。
2、简谐运动的系统的总机械能任意时刻振动系统的动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能。
当弹簧振子或单摆在理想化条件（不考虑摩擦和空气阻力）下振动时，由于只有弹力或重力做功，故振动系统的机械能守恒。
对于确定的振动系统来说，由于振子或单摆在最大位移处的势能即等于系统的总机械能，振幅越大，表明该振动系统的总机械能也越大，所以，我们说振幅是表示振动强弱的物理量。
显然，简谐运动是一种理想化的振动，任何实际振动系统都不可避免地要受到摩擦或其他阻力。
二、阻尼振动与无阻尼振动1、阻尼振动是振幅逐渐减小的振动，是减幅振动。
阻尼振动当阻尼很小时，在一段不太长的时间内可视为简谐运动。
2、无阻尼振动是振幅不变的振动，是等幅振动。
三、简谐运动和阻尼振动特点1、简谐运动：①机械能守恒；②是等幅振动；③能量与振幅有关。
2、阻尼振动：虽然振幅越来越小，但振动周期不变。
典型例题例1、一个摆在空气中做阻尼振动，下列说法中正确的是（）A．系统的机械能在逐渐转化为其他形式的能；B．后一时刻摆球的动能一定比前一时刻摆球的动能小；C．后一时刻摆球的势能一定比前一时刻摆球的势能小；D．后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻摆球的机械能小。
解读：单摆在空气中做阻尼振动时，由于要克服空气做功，系统的机械能将逐渐转化为内能，总机械能逐渐减少，故A、D选项正确。
阻尼振动中，总机械能（即动能与势能之和）在逐渐减少，但动能与势能仍在周期性地变化着，有时增大，有时减小。
故B、C选项不正确。
简谐运动的能量
1．应用解析法：
令： ，
则：
2．应用旋转矢量法：
大小不变，且以共同角速度ω旋转，它们的相对位置不变，即夹角 保持不变，所以合振动的振幅A大小不变，也以角速度ω绕O作逆时针旋转，故合成振动也是简谐运动。
圆频率：ω
合振幅：
初相位：
合振动：
3．讨论：
1）合振动仍然是简谐运动，且频率仍为ω；
2）合振动的振幅不仅与A1、A2有关，而且还与相位差 有关。
即：在受迫振动过程中，系统一方面因阻尼而损耗能量，另一方面又因周期性外力作功而获得能量。初始时，能量的损耗和补充并非是等量的，因而受迫振动是不稳定的。当补充的能量和损耗的能量相等时，系统才得到一种稳定的振动状态，形成等幅振动。于是受迫振动就变成简谐运动，即定态解（Stationary solution）其运动方程为
§
Energy of Simple Harmonic Vibration
引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。
一、简谐运动的能量
1．能量表达式
（1）推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则
则系统动能为：
系统势能为：
因而系统的总能量为
四、两个相互垂直的不同频率两个简谐运动的合成
问题：某质点同时参与两个不同频率的互相垂直方向的简谐运动
x方向：
y方向：
合振动比较复杂，分两种情况讨论。
1．两个分振动的频率相差很小：
此时可以近似地把两个振动的合成看成同频率简谐运动的合成，但它们的相位差随时间缓慢地变化，于是合振动的轨迹将由直线变为椭圆，又由椭圆变为直线，并循环地改变下去。
合振动
简谐运动的能量转化、受迫振动和共振
01
简谐运动是自发振动，不受外界力的作用，其振动频率和振幅 是恒定的。
02
受迫振动是振动物体受到外界周期性力的作用，其振动频率和
振幅会发生变化。
共振是受迫振动的一种特殊情况，此时振动物体的固有频率与
03
外界力的频率相同或相近，振幅达到最大值。
三者在物理学中的地位和作用
简谐运动是振动现象中最简单、 最基本的运动形式，是研究复
杂振动的基础。
受迫振动和共振在工程技术 和自然界中广泛存在，如机 械振动、声学、电磁学等领
域都有广泛应用。
了解受迫振动和共振的原理有 助于更好地理解和应用相关的 物理规律，为科学技术的发展
提供理论支持。
THANKS
感谢ห้องสมุดไป่ตู้看
02
当振动物体离开平衡位置时，势 能转化为动能；当振动物体靠近 平衡位置时，动能转化为势能。
简谐运动的能量转化实例
单摆
在摆动过程中，重力势能与动能之间 相互转化。
弹簧振子
在振动过程中，弹性势能与动能之间 相互转化。
02
受迫振动
受迫振动的定义
受迫振动是指物体在外部周期性力的作用下所发生的周期性振 动。这个外部力被称为“驱动力”或“强迫力”，它使物体产 生重复的位移、速度和加速度。
共振是物理学中的一个重要概念，在 机械、电磁、光学等领域都有广泛的 应用。
共振的条件
01
共振的条件是外力的频率与系统的固有频率相等或 接近。
02
当外力的频率与系统的固有频率相差较大时，系统 振幅较小，能量增加缓慢。
03
当外力的频率与系统的固有频率相等或接近时，系 统振幅显著增大，能量增加迅速。
共振的应用与危害
04
简谐振动的能量转换
可利用机械能守恒定律求出简谐振动的运动学方程.
1 2
m
(
d2 dt
x
2
)
1 2
kx 2
1 2
kA2
dx k dt
A2 x2
m
积分既得
x A sin( k t )
m
令
k m
0,
π ,
2
x Asin(0t ) x Acos(0t )
[例题2] 弹簧振子如图所示,弹簧原长L，质量ms，劲度系数k，振子质量m， 计算弹簧振子系统的固有频率.
[解]（1） A＝0.04 m
fmax kA
k fmax A
E
1 kA2 2
1 2
fmaxA
1 24 0.04J 2
0.48J
(2) 取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位为60
Ek
1 2
kA2
sin2 (0t
)
0.48 (
3 / 2)2 J 0.36J
Ep (0.48 0.36) J 0.12 J
m
1 3
ms
Ek
1 2
mx2
弹簧振子系统的总质量
mT m m
系统的固有频率
0
k mT
k m ms
3
E Ek
Ep
1 kA2 2
Ek
EP
E = 1 k A2 2 t
x = A cos ω0 t
O 总机械能守恒，即总能量不随时间变化.
t 动画演示
结论
(1) 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比. (2) 总能量不变.弹簧振子的动能和势能的平均值 相等，且等于总机械能的一半.
(3) 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且 还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度.
9-4简谐运动能量
9-4
简谐运动的能量
（1） 动能 ） 1 2 1 2 Ek = mv = m[−ωAsin(ωt +ϕ)] 2 2 1 1 2 2 2 2 2 = mω A sin (ωt +ϕ) = kA sin (ωt +ϕ) 2 2 k 2 ω = （2） 势能 ） m
mv = (m + m2)v' 1
1 2 1 2 kA = kA' 2 2
m2 k
2
⇒υ' = 0 Ek = 0
∴A' = A
∴落下后物体振幅不变
h
m1
0
A
7
9-4
简谐运动的能量
作业6：子弹 以 射入木块 并陷于其中， 射入木块， 作业 ：子弹m以v射入木块，并陷于其中，系统作 谐振，设木块质量为M，弹簧弹性系数为k， 谐振，设木块质量为 ，弹簧弹性系数为 ，打入 向右为正。 时t＝0，x向右为正。X= ＝ ， 向右为正 。
x = ±0.707 cm
4
9-4
简谐运动的能量
如图所示，劲度系数为k的轻弹簧 的轻弹簧， 例2 如图所示，劲度系数为 的轻弹簧，系一质量为 m1的物体，在水平面上做振幅为 的简谐运动。有 的物体，在水平面上做振幅为A的简谐运动 的简谐运动。 一质量为m 的粘土，从高度为h自由下落 正好在(a) 自由下落， 一质量为 2的粘土，从高度为 自由下落，正好在 物体通过平衡位置时， 物体在最大位移处时 物体在最大位移处时， 物体通过平衡位置时，(b)物体在最大位移处时，落 在物体上。分别求(1)振动周期有何变化？(2)振幅有 在物体上。分别求 振动周期有何变化？ 振幅有 振动周期有何变化 何变化？ 何变化？ 解（1）由于弹簧阵子的周期只与弹簧的劲度系数 ） 及质量有关，因此在（ ）（ ）（b）两种情况下， 及质量有关，因此在（a）（ ）两种情况下，粘土 落下前周期均为 T = 2π / ω = 2π m / k 1 m
简谐振动的能量转换
简谐振动的能量转换在我们生活的这个世界中，存在着各种各样的振动现象。
从弹簧的伸缩到乐器的发声，从心脏的跳动到桥梁的震动，振动无处不在。
而在众多的振动类型中，简谐振动是一种非常基础且重要的形式。
理解简谐振动的能量转换，对于我们深入认识物理世界的规律具有重要意义。
简谐振动是一种理想化的振动形式，它具有周期性、对称性和简单性等特点。
在简谐振动中，物体的位移随时间按照正弦或余弦函数的规律变化。
例如，一个水平放置的弹簧振子，当它在光滑的水平面上振动时，就可以近似看作是简谐振动。
那么，在简谐振动中，能量是如何转换的呢？首先，我们要明确，在简谐振动系统中，存在着两种形式的能量，即动能和势能。
动能，大家都比较熟悉，它与物体的运动速度有关。
对于简谐振动的物体来说，其速度在不断变化，因此动能也在不断变化。
当物体通过平衡位置时，速度达到最大值，动能也就达到最大值；而在最大位移处，速度为零，动能也就为零。
势能则与物体的位置有关。
在弹簧振子的例子中，势能就是弹性势能。
当弹簧被压缩或拉伸时，弹性势能增加；当弹簧处于自然长度时，弹性势能为零。
对于其他的简谐振动系统，势能的形式可能不同，但原理是相似的，都是与物体的相对位置有关。
在简谐振动的过程中，动能和势能在不断地相互转换。
以弹簧振子为例，当振子从平衡位置向最大位移处运动时，速度逐渐减小，动能逐渐减小；同时，弹簧的形变逐渐增大，势能逐渐增大。
在这个过程中，动能不断地转化为势能。
当振子到达最大位移处时，动能全部转化为势能。
接着，振子从最大位移处向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大；弹簧的形变逐渐减小，势能逐渐减小。
此时，势能又不断地转化为动能。
当振子回到平衡位置时，势能全部转化为动能。
这种能量的转换是周期性进行的，而且在一个完整的振动周期内，动能和势能的总和保持不变。
这就是能量守恒定律在简谐振动中的体现。
我们可以通过数学公式来更精确地描述简谐振动的能量转换。
对于弹簧振子，其动能可以表示为＄E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$，其中＄m$ 是振子的质量，＄v$ 是振子的速度。
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等效质量
m′ =
′ Ek =
1 & m ′x 2 2
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k = mT
返回
k m+ ms 3
结束
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第九章 振 动
x, v
o
简谐运动能量图
T
x−t t
v−t
能量
x = A cos ω 0t v = − Aω 0 sin ω 0 t 1 E = kA 2 2
1 2 E p = kA cos 2 ω 0 t 2
ϕ =0
o
T 4
T 2
3T T 4
t
1 2 2 Ek = kA sin ω0t 2
第九章 振 动
§9.3 简谐振动的能量转换
以水平的弹簧振子为0 t + α )
v = − Aω 0 sin(ω 0 t + α )
动能
µ=0
O
x
1 E k = mv 2
2
1 2 = mA 2ω 0 sin 2 (ω t + α ) 2
1 k 2 2 2 = kA sin (ω 0 t + α ) ω0 = 2 m 1 2 1 势能 E p = kx = kA 2 cos 2 (ω 0 t + α ) 2 2 线性回复力是保守力 保守力， 线性回复力是保守力，作简 1 2 总能 E = Ek + Ep = kA 运动的系统机械能守恒 机械能守恒. 谐运动的系统机械能守恒. 2
Ek,max (3) Esum (4)何处动势能相等? )何处动势能相等? )
amax = 20 s −1 ω= A
T= 2π
amax = Aω 2 1） 解 （ 1）
（2） E k ,max ）
ω
= 0.314 s
1 1 2 = m v max = m ω 2 A 2 = 2.0 ×10−3 J 2 2
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第九章 振 动
简谐运动能量守 恒，振幅不变
Ep
C
1 E = kA 2
2
简谐运动势能曲线
E
Ek
Ep
−A
O
B
x
上页
+A
下页
x
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第九章 振 动 推导 能量守恒 简谐运动方程 课本机械能守恒定律求简谐振 动的运动学方程. 动的运动学方程 1 dx 2 1 2 1 m ( ) + kx = kA 2 2 dt 2 2
x = A sin( ± k t +α) m π α′ = −α , 2
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dx dx
令
k = ω0 , m
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x = Asin(ω0t +α) x = Acos(ω0t +α′)
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第九章 振 动 的物体， 作简谐运动， 例 质量为 0 . 10 kg 的物体，以振幅 1.0×10−2 m 作简谐运动，其最大 2 ； 加速度为 4 .0 m ⋅ s −，求（1）振动的周期（2）通过平衡位置的动能； ： ）振动的周期； ）通过平衡位置的动能； （3）总能量； 4）物体在何处其动能和势能相等？ ）总能量； ）物体在何处其动能和势能相等？ （ 已知 m = 0.10 kg，A =1.0×10−2 m，amax = 4.0 m⋅ s−2 求:(1) T ；(2) ( )
（3） Esum = Ek,max = 2.0×10−3 J ） （4） Ek ）
2
= Ep
时
Ep = 1.0 ×10 J
−3
2 Ep = 0.5 ×10−4 m2 x = mω 2
x = ±0.707 cm
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1 2 1 Ep = kx = mω 2 x2 2 2
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第九章 振 动 [例题 弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡 例题1] 弹簧振子水平放置， 例题 位置移开 4.0 × 10 −2 m，弹簧拉力为 ，弹簧拉力为24N，随即释放，形 ，随即释放， 成简谐振动。计算 （ ）弹簧振子的总能；（ ；（2） 成简谐振动。计算:（1）弹簧振子的总能；（ ）求质点 被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能 被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能. [解]（1） A＝0.04 m 解（ ） ＝
1 2 1 2 E = mv + kx = 常量 2 2
d 1 2 1 2 ( mv + kx ) = 0 dt 2 2
dx 2 k 2 ( ) = ( A − x2 ) ⇒ dt m
dv dx + kx =0 mv dt dt
d2x k + x = 0 2 dt m
k =± dt 积分得 2 2 m A −x
f max = kA
f max k= A
1 2 1 1 E = kA = f max A = × 24 × 0.04J = 0.48J 2 2 2
(2) 取平衡位置为势能零点 行至振幅一半时相位为 ° 取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位为 行至振幅一半时相位为60
1 E k = kA 2 sin 2 (ω 0 t + α ) = 0.48 × ( 3 / 2 ) 2 J = 0.36 J 2
Ep = (0.48 − 0.36) J = 0.12 J
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第九章 振 动 [例题 弹簧振子如图所示 弹簧原长 ，质量 s，劲度系数 ，振 例题2] 弹簧振子如图所示,弹簧原长 弹簧原长L，质量m 劲度系数k， 例题 子质量m，计算弹簧振子系统的固有频率 子质量 ，计算弹簧振子系统的固有频率. [解] 以弹簧自由伸长处为原点建立坐标 解 Ox，距弹簧固定端l 处取一元段 l.振子 ，距弹簧固定端 处取一元段d 振子 发生位移x, 段的位移为x 发生位移 则dl 段的位移为 l / L，速 ， 度为d(xl/L) / dt,则其动能 度为 则其动能 弹簧振子系统的总质量 O l dl
m
x
′ dEk =
' Ek
1 ms l 2 1 ms 2 2 & & ( d l )( x ) = l x dl 3 2 L L 2 L
L L 0
mT = m + m ′
系统的固有频率
ω0 =
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′ = ∫ dE k = ∫
0
1 ms 2 2 1 m & dl = ( s ) x 2 & l x 3 2 L 2 3