样本的数字特征
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众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其他数据信息 的忽视使其无法客观地反映总体特征.
【做一做 1】数据组 8,-1,0,4,17,4,3 的众数是
.
答案:4
2.中位数 (1)定义:一组数据按从小到大的顺序排成一列 ,处于中间位置的 数称为这组数据的中位数 . (2)特征:一组数据中的中位数是 唯一的,反映了该组数据的集中 趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积 相等.
的平均数为??=
??1 +
??2+ …+ ??
????.
(2)特征:平均数对数据有 “取齐”的作用,代表该组数据的 平均
水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化 ,这是众数和中位
数都不具有的性质 .所以与众数、中位数比较起来 ,平均数可以反映
出更多的关于样本数据全体的 信息,但平均数受数据中极端值的影
得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致 . (3)平均数显然是频率分布直方图的 “重心”我. 们知道,n 个样本
数据 x1,x2,…,xn 的平均数??= 1??(x1+x2+x3+…+x n),则就有 n??=x1+x2+x3+…+x n,所以??对数据有“取齐”的作用,代表了一组数据 的数值平均水平 .在频率分布直方图中 ,平均数是直方图的平衡点 ,假
ax1+b ,ax2+b,…,axn+b (a,b 为常数)
平均数 x
x+b ax
ax+b
方差 s2 s2 a2s2
a2s2
标准差 s s |a|s
|a|s
【做一做 5】下列刻画一组数据离散程度的是 ( )
A.平均数 B.方差
C.中位数 D.众数
解析:方差刻画一组数据离散程度的大小 .
答案:B
6.用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多 ,总体的平均数、众数、 中位数、标准差、方差是不知道的 ,因此,通常用样本的平均数、众 数、中位数、标准差、方差来估计.这与上一节用样本的频率分布来 近似地代替总体分布是类似的 .只要样本的代表性好,这样做就是合 理的 ,也是可以接受的 .
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类 :用样本平 均数估计总体平均数 ;用样本标准差估计总体标准差 .样本容量越大 , 估计就越精确 .
【做一做 6-1】下列判断正确的是( ) A.样本平均数一定小于总体平均数 B.样本平均数一定大于总体平均数 C.样本平均数一定等于总体平均数 D.样本容量越大 ,样本平均数越接近总体平均数 答案:D
【做一做 6-2】电池厂从某日生产的电池中抽取 10 个进行寿命
测试,得数据如下(单位:小时):30,35,25,25,30,34,26,25,29,21, 则该日
生产电池的平均寿命估计为 ( )
A.27
B.28
C.29
D.30
解析:这 10 个数据的平均数是
1 10
(30+
35+
25+
25+
30+
设横轴表示一块放置直方图的跷跷板 ,则支点取在平均数处时跷跷 板达到平衡.
2.理解方差与标准差 剖析:(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 . 标准差、方差越大 ,数据的离散程度越大 ;标准差、方差越小 ,数据的 离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围是 [0,+ ∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅 度,数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同 ,且平方后可能夸大了偏差 的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一 样的,但在解决实际问题时 ,一般多采用标准差 .
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响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低 .
【做一做 3】10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 则其平均数是
.
解析:平均数是110 (15+ 17+ 14+ 10+ 15+ 17+ 17+ 16+ 14+ 12)= 14.7.
答案:14.7
5.方差
(1)定义:标准差的平方,即 s2= 1??[(x1-??)2+ (x2-??)2+…+ (xn-??)2]. (2)特征:与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动程 度的大小 .
(3)取值范围:[0,+ ∞).
数据 x1,x2,x3,…,xn x1+b ,x2+b,…,xn+b (b 为常数) ax1,ax2,…,axn(a 为常数)
中位数不受少数几个极端值的影响 ,这在某些情况下是优 点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 .
【做一做 2】数据组-5,7,9,6,-1,0 的中位数是
.
解析:将该组数据按从小到大排列为 -5,-1,0,6,7,9,则中位数是
0+6
2 = 3.
答案:3
3.平均数
(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商 .数据 x1,x2,…,xn
34+
26+
25+
29+
21)=
28,则该日生产的电池的
平均寿命估计为 28 小时.
答案:B
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中 ,众数的估计值就是最 高矩形的中点的横坐标 .
(2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等 , 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征 , 因而从直方图本身得不出原始的数据内容 ,所以由频率分布直方图
4.标准差
(1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 ,一般用 s
表示,通常用以下公式来计算
s=
1
??[(
??1 -??)2
+
(??2 -??)2
+
…+
(????-??)2 ].
可以用计算器或计算机计算标准差 .
(2)特征:标准差描述一组数据围绕 平均数波动的大小,反映了一
组数据变化的幅度和离散程度的大小 .标准差较大,数据的离散程度
较大;标准差较小 ,数据的离散程度较 小.
【做一做 4】一组数据的单位是 m,平均数是??,标准差为 s,则
() A.??与 s 的单位都是 km B.??与 s 的单位都是 cm C.??与 s 的单位都是 m D.??与 s 的单位不同 解析:??与 s 的单位都与数据组中的数据单位相同 ,是 m. 答案:C
2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
知识能力目标引航 1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征 . 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用之解决有关问 题.
1.众数 (1)定义:一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数. (2)特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了 该组数据的集中趋势.
【做一做 1】数据组 8,-1,0,4,17,4,3 的众数是
.
答案:4
2.中位数 (1)定义:一组数据按从小到大的顺序排成一列 ,处于中间位置的 数称为这组数据的中位数 . (2)特征:一组数据中的中位数是 唯一的,反映了该组数据的集中 趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积 相等.
的平均数为??=
??1 +
??2+ …+ ??
????.
(2)特征:平均数对数据有 “取齐”的作用,代表该组数据的 平均
水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化 ,这是众数和中位
数都不具有的性质 .所以与众数、中位数比较起来 ,平均数可以反映
出更多的关于样本数据全体的 信息,但平均数受数据中极端值的影
得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致 . (3)平均数显然是频率分布直方图的 “重心”我. 们知道,n 个样本
数据 x1,x2,…,xn 的平均数??= 1??(x1+x2+x3+…+x n),则就有 n??=x1+x2+x3+…+x n,所以??对数据有“取齐”的作用,代表了一组数据 的数值平均水平 .在频率分布直方图中 ,平均数是直方图的平衡点 ,假
ax1+b ,ax2+b,…,axn+b (a,b 为常数)
平均数 x
x+b ax
ax+b
方差 s2 s2 a2s2
a2s2
标准差 s s |a|s
|a|s
【做一做 5】下列刻画一组数据离散程度的是 ( )
A.平均数 B.方差
C.中位数 D.众数
解析:方差刻画一组数据离散程度的大小 .
答案:B
6.用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多 ,总体的平均数、众数、 中位数、标准差、方差是不知道的 ,因此,通常用样本的平均数、众 数、中位数、标准差、方差来估计.这与上一节用样本的频率分布来 近似地代替总体分布是类似的 .只要样本的代表性好,这样做就是合 理的 ,也是可以接受的 .
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类 :用样本平 均数估计总体平均数 ;用样本标准差估计总体标准差 .样本容量越大 , 估计就越精确 .
【做一做 6-1】下列判断正确的是( ) A.样本平均数一定小于总体平均数 B.样本平均数一定大于总体平均数 C.样本平均数一定等于总体平均数 D.样本容量越大 ,样本平均数越接近总体平均数 答案:D
【做一做 6-2】电池厂从某日生产的电池中抽取 10 个进行寿命
测试,得数据如下(单位:小时):30,35,25,25,30,34,26,25,29,21, 则该日
生产电池的平均寿命估计为 ( )
A.27
B.28
C.29
D.30
解析:这 10 个数据的平均数是
1 10
(30+
35+
25+
25+
30+
设横轴表示一块放置直方图的跷跷板 ,则支点取在平均数处时跷跷 板达到平衡.
2.理解方差与标准差 剖析:(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 . 标准差、方差越大 ,数据的离散程度越大 ;标准差、方差越小 ,数据的 离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围是 [0,+ ∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅 度,数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同 ,且平方后可能夸大了偏差 的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一 样的,但在解决实际问题时 ,一般多采用标准差 .
Βιβλιοθήκη Baidu
响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低 .
【做一做 3】10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 则其平均数是
.
解析:平均数是110 (15+ 17+ 14+ 10+ 15+ 17+ 17+ 16+ 14+ 12)= 14.7.
答案:14.7
5.方差
(1)定义:标准差的平方,即 s2= 1??[(x1-??)2+ (x2-??)2+…+ (xn-??)2]. (2)特征:与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动程 度的大小 .
(3)取值范围:[0,+ ∞).
数据 x1,x2,x3,…,xn x1+b ,x2+b,…,xn+b (b 为常数) ax1,ax2,…,axn(a 为常数)
中位数不受少数几个极端值的影响 ,这在某些情况下是优 点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 .
【做一做 2】数据组-5,7,9,6,-1,0 的中位数是
.
解析:将该组数据按从小到大排列为 -5,-1,0,6,7,9,则中位数是
0+6
2 = 3.
答案:3
3.平均数
(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商 .数据 x1,x2,…,xn
34+
26+
25+
29+
21)=
28,则该日生产的电池的
平均寿命估计为 28 小时.
答案:B
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中 ,众数的估计值就是最 高矩形的中点的横坐标 .
(2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等 , 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征 , 因而从直方图本身得不出原始的数据内容 ,所以由频率分布直方图
4.标准差
(1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 ,一般用 s
表示,通常用以下公式来计算
s=
1
??[(
??1 -??)2
+
(??2 -??)2
+
…+
(????-??)2 ].
可以用计算器或计算机计算标准差 .
(2)特征:标准差描述一组数据围绕 平均数波动的大小,反映了一
组数据变化的幅度和离散程度的大小 .标准差较大,数据的离散程度
较大;标准差较小 ,数据的离散程度较 小.
【做一做 4】一组数据的单位是 m,平均数是??,标准差为 s,则
() A.??与 s 的单位都是 km B.??与 s 的单位都是 cm C.??与 s 的单位都是 m D.??与 s 的单位不同 解析:??与 s 的单位都与数据组中的数据单位相同 ,是 m. 答案:C
2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
知识能力目标引航 1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征 . 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用之解决有关问 题.
1.众数 (1)定义:一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数. (2)特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了 该组数据的集中趋势.