通过视频自学确界原理证明的学习笔记完整整理版zfy

“R”指的是全体实数集合“∀”一切

“a A

∀∈”，表示对一切属于集合A的元素a

用定义证明没有最大上界

确界存在原理证明的学习笔记

北京师范大学郇中丹

这是我的学习笔记，里面的有些证明是王峻老师给出的。

确界存在定理是初学数学分析遇到的第一个学习难度大的定理，一是理解难度比较大，还有就是对定理重要性的认识不是很到位。

在看郇中丹的教学视频之前我反复看过这个定理两个不同版本数学分析教材中的证明，一个是陈纪修版，高等教育出版社的《数学分析第二版》（2004年6月第2版），一个是张筑生编著，北京大学出版社的《数学分析新讲》（1990年1月第1版）。当时我认为自己弄懂了这个定理的证明，但当我看到北京师范大学郇中丹的课堂教学视频实录（2006年9月25日的两节课，100分钟）后才发现自己还没有完全明白。郇中丹证明严谨，当然也就更难理解。我花了自己近一个月的业余时间，揣摩他的证明，弄明白了这个定理证明，整理了这份学习笔记。

采取双栏（左窄右宽）的方式是因为这个定理的证明非常长，当你从起点出发走的比较远时，你会发现已经经常会忘了自己到哪里了，又该去哪里，左边的窄栏帮你快速了解自己现在所处的位置，方便你继续前进。

一、定义上界和上确界

在证明过程中会反复用到这两个定义，尤其是上确界的定义，一定要搞明白．

1．上界

设A⊂R，A不是空集，b∈R，如果a A

∀∈，都有a b

≤，称b是集合A的上界．

下面的问题是显然的．

(1)非空有上界的实数集合A有最大上界吗？

显然没有最大的上界．理由如下：

因为若b是集合A的上界，有

1

b b

>，则a A

∀∈，都有1

b b a

>≥，即

1

a b b

≤<，那么

1

b也是集合A的上界．所以集合A没有最大的上界．

问题2即确界存在原理

对任何小于b的数c，在集合A中都存在一个元素a大于c．即任何小于b的数都不是集合A有上界．

supA表示集合A有上确界(2)非空而有上界的实数集集合A有最小上界吗？

在讲清问题2之前需要先定义什么是最小上界？即什么是上确界？（上确界即最小上界）

2．上确界

集合A是实数非空集合，即A⊂R，A≠∅，如果存在一个实数b，同时满足下面的两个条件：

(1) b是集合A的上界；

(2)c b

∀<，a A

∃∈，并且a>c．

我们称b是集合A的上确界．

这个定义非常重要，下面的证明就要完全符合这个定义才可以．

先不着急，解决两个非常重要的命题．

命题1：上确界的惟一性：上确界至多有一个．

证明：反证法．

若集合A的上确界不止一个，不妨设有两个，即集合A有

两个不同的上确界，

1

M和

2

M，则

1

M和

2

M只有下面两种大小关系：

或者

12

M M

<．因为

2

M是集合A的上确界，则根据上确

界的定义，任何小于

2

M的数都不是集合A的上界，也就是

说

1

M不可能是集合A的上界，这与假设冲突，则

12

M M

<

不成立，即

12

M M

≥．

或者

12

M M

>．同上，这种情况也不成立，即

12

M M

≤．

有

12

M M

≥，同时

12

M M

≤，所以

12

M M

=，即集合A 的上确界如果有，则至多有一个．

注意：不是所有的实数集合都有上界，举个最简单的例子，集合：}

{2,

x x x R

>∈就没有上界，也就不可能有上确界，所以上面命题的表述是严谨的．

命题2：若非空实数集A Z

⊂，并且集合A有上界，则集合A有上确界，并且supA A

∈．

证明：（王峻老师给出的证明）

因为整数集的子集A有上界，不妨设b是集合A的上界，即对x A

∀∈，有x b

≤．

显然集合A非空，在集合A中找一个元素

1

a A

∈．

注意：b是集合A的上界

可简述为：

有上界则必有上确界．

构造阶段

取整的规则：

2.3=2+0.3

-1.2=-2+0.8

注意这里的两种情况，非常细致．因为

1

a A

∈，则

1

a b

≤，令[]

1

b

b=+（这样可以保证

b是

整数，并且

b也是集合A的上界），有

10

a b

<，设m=

01

a

b-

（

b和

1

a都是整数，则m也是整数，并且是正整数），则数

列

1110

12...b

a a a

<+<+<<有m+1项，即集合A中大于1

a的元素最多有m项，显然这中间有最大的元素，它就是

集合A的上确界．

注：若一个集合A有最大的元素M，则这个最大的元素M 一定是该集合的上确界．证明：对m M

∀<，都有M A

∈，并且M>m（因为M是集合A中最大的元素），即m不是集合A的上界，于是M就是集合A的上确界．

这种准备工作显然是欧几里得式的，有两个定义，加命题2，再加上比较两个实数大小的规则，就可以证明确界存在原理了．

确界存在原理：

设A R

⊂，A≠∅，若集合A有上界，则集合A有上确界．证明：

大致的思路，先构造一个数，再证明这个数是集合A的上确界．

设m是集合A的一个上界．（符合命题的题设）

先构造一个集合A的一个子集

A，[]}

{

A x x A

=∈，也

就是把集合A中所有元素取整．集合

A显然有上界．

因为集合

A是整数集，并且由上界，由前面证明的命题2

可得集合

A有最大数，记为

β，就是说

β是集合A中所有元素整数部分最大的．

有两种情况：

情况1：x A

∀∈，

xβ

≤．

则显然在集合A中存在一个元素，它就等于

β，而

β就是集合A的上确界．