通过视频自学确界原理证明的学习笔记完整整理版zfy

“R”指的是全体实数集合“∀”一切“a A∀∈”，表示对一切属于集合A的元素a用定义证明没有最大上界确界存在原理证明的学习笔记北京师范大学郇中丹这是我的学习笔记，里面的有些证明是王峻老师给出的。

确界存在定理是初学数学分析遇到的第一个学习难度大的定理，一是理解难度比较大，还有就是对定理重要性的认识不是很到位。

在看郇中丹的教学视频之前我反复看过这个定理两个不同版本数学分析教材中的证明，一个是陈纪修版，高等教育出版社的《数学分析第二版》（2004年6月第2版），一个是张筑生编著，北京大学出版社的《数学分析新讲》（1990年1月第1版）。

当时我认为自己弄懂了这个定理的证明，但当我看到北京师范大学郇中丹的课堂教学视频实录（2006年9月25日的两节课，100分钟）后才发现自己还没有完全明白。

郇中丹证明严谨，当然也就更难理解。

我花了自己近一个月的业余时间，揣摩他的证明，弄明白了这个定理证明，整理了这份学习笔记。

采取双栏（左窄右宽）的方式是因为这个定理的证明非常长，当你从起点出发走的比较远时，你会发现已经经常会忘了自己到哪里了，又该去哪里，左边的窄栏帮你快速了解自己现在所处的位置，方便你继续前进。

一、定义上界和上确界在证明过程中会反复用到这两个定义，尤其是上确界的定义，一定要搞明白．1．上界设A⊂R，A不是空集，b∈R，如果a A∀∈，都有a b≤，称b是集合A的上界．下面的问题是显然的．(1)非空有上界的实数集合A有最大上界吗？显然没有最大的上界．理由如下：因为若b是集合A的上界，有1b b>，则a A∀∈，都有1b b a>≥，即1a b b≤<，那么1b也是集合A的上界．所以集合A没有最大的上界．问题2即确界存在原理对任何小于b的数c，在集合A中都存在一个元素a大于c．即任何小于b的数都不是集合A有上界．supA表示集合A有上确界(2)非空而有上界的实数集集合A有最小上界吗？在讲清问题2之前需要先定义什么是最小上界？即什么是上确界？（上确界即最小上界）2．上确界集合A是实数非空集合，即A⊂R，A≠∅，如果存在一个实数b，同时满足下面的两个条件：(1) b是集合A的上界；(2)c b∀<，a A∃∈，并且a>c．我们称b是集合A的上确界．这个定义非常重要，下面的证明就要完全符合这个定义才可以．先不着急，解决两个非常重要的命题．命题1：上确界的惟一性：上确界至多有一个．证明：反证法．若集合A的上确界不止一个，不妨设有两个，即集合A有两个不同的上确界，1M和2M，则1M和2M只有下面两种大小关系：或者12M M<．因为2M是集合A的上确界，则根据上确界的定义，任何小于2M的数都不是集合A的上界，也就是说1M不可能是集合A的上界，这与假设冲突，则12M M<不成立，即12M M≥．或者12M M>．同上，这种情况也不成立，即12M M≤．有12M M≥，同时12M M≤，所以12M M=，即集合A 的上确界如果有，则至多有一个．注意：不是所有的实数集合都有上界，举个最简单的例子，集合：}{2,x x x R>∈就没有上界，也就不可能有上确界，所以上面命题的表述是严谨的．命题2：若非空实数集A Z⊂，并且集合A有上界，则集合A有上确界，并且supA A∈．证明：（王峻老师给出的证明）因为整数集的子集A有上界，不妨设b是集合A的上界，即对x A∀∈，有x b≤．显然集合A非空，在集合A中找一个元素1a A∈．注意：b是集合A的上界可简述为：有上界则必有上确界．构造阶段取整的规则：2.3=2+0.3-1.2=-2+0.8注意这里的两种情况，非常细致．因为1a A∈，则1a b≤，令[]1bb=+（这样可以保证b是整数，并且b也是集合A的上界），有10a b<，设m=01ab-（b和1a都是整数，则m也是整数，并且是正整数），则数列111012...ba a a<+<+<<有m+1项，即集合A中大于1a的元素最多有m项，显然这中间有最大的元素，它就是集合A的上确界．注：若一个集合A有最大的元素M，则这个最大的元素M 一定是该集合的上确界．证明：对m M∀<，都有M A∈，并且M>m（因为M是集合A中最大的元素），即m不是集合A的上界，于是M就是集合A的上确界．这种准备工作显然是欧几里得式的，有两个定义，加命题2，再加上比较两个实数大小的规则，就可以证明确界存在原理了．确界存在原理：设A R⊂，A≠∅，若集合A有上界，则集合A有上确界．证明：大致的思路，先构造一个数，再证明这个数是集合A的上确界．设m是集合A的一个上界．（符合命题的题设）先构造一个集合A的一个子集A，[]}{A x x A=∈，也就是把集合A中所有元素取整．集合A显然有上界．因为集合A是整数集，并且由上界，由前面证明的命题2可得集合A有最大数，记为β，就是说β是集合A中所有元素整数部分最大的．有两种情况：情况1：x A∀∈，xβ≤．则显然在集合A中存在一个元素，它就等于β，而β就是集合A的上确界．不管是情况1还是情况2-1都指的是上确界为有限小数的情况．后面还要证明上确界为无限小数的情况．对应的例子是：{}, 1.414x x R x∈≤上确界是无限小数的情况情况2：,x A xβ∃∈>．β不是集合A的上界，即集合{}0,x x A xβ∈>≠∅．因为在集合A中存在大于β的元素，所以上面的集合不为空．取集合A中所有整数部分等于β的元素的第一位小数．因为小数数位只能取0,1,2,3,……,9，所以有下面的一系列过程：{}sup[]x x Aβ=∈（集合A所有元素整数部分的最大数）{}10sup(1),x x A xββ=∈>（集合A中大于β数小数部分第一位的最大数）{}201sup(2),0.x x A xβββ=∈>+{}3012sup(3),0.x x A xββββ=∈>+……{}0121sup(),0....k kx k x A xβββββ-=∈>+这个过程用的是数学归纳法．先找集合A中整数部分为β的元素，在这些元素中再找第一位小数的最大值，如此重复下去，直到kβ．情况2下面还有两种小情况：情况2-1：{}012,0....kx x A xββββ∈>+=∅，意思是上面的过程没法继续了，因为集合A的上确界是有限小数，找到第k位小数时就结束了，显然,(),0,1,2,......,.ib A b i i kβ∃∈==这个元素b就是集合A 的上确界，而且集合A的上确界就存在于集合A本身．情况2-2：若{}012,0....kx x A xββββ∈>+≠∅，考虑集合{}1012,0....k kA x x A xββββ+=∈>+≠∅，并且总是不空的，可以一直进行下去．可能会出现两种情况：情况2-2-1：1,9,.kn k nβ∃≥=∀≥即kβ从第n位起开始了无限小数出现9循环9循环．这种情况不可怕，把9进上去就可以了． 如果n=1，则从第1位小数开始9循环，令0 1.b β=+ 如果n>1，则令01210....(1)n b ββββ-=++．下面证明情况2-2-1中得到的b 就是集合A 的上确界，当然先证明b 是集合A 的上界．证明无限小数并且9循环的情况下b 是集合A 的上界． “如果n=1，则从第1位小数开始9循环，令0 1.b β=+”由0β的定义可知，x A ∀∈，有0(0)x β≥，利用不等式的缩放，有x A ∀∈，有001(0)b x ββ=+>≥，可推出,.b x x A >∀∈b 是集合A 的上界．如果n>1，则令01210....(1)n b ββββ-=++．还是先证这种情况下b 是集合A 的上界．(),0,1,2,...,1i x i i n β==-，则11(1)1n n x n ββ---=<+，则,.x b x A <∀∈再证明两种情况下（无限小数9循环），b 是集合A 的上确界．对于某个(),0,1,2,...,1i c i i n β==-，而()n c n β<（因为此时n β都是9）．这是能找到的最大的比b 小的数，如果都可以在集合A 中找到一个数比这个最大的比b 小的数都大，那b 就是集合A 的上确界．由β的构造，,(),0,1,2,...,1i y A y i i n β∃∈==-， 同时()9,,1,...y i i n n ==+．有y>c ，b=supA ． 至此，无限小数9循环的证明结束． 再次回到情况2-2：无限小数没有出现9循环的情况若{}012,0....kx x A xββββ∈>+≠∅，考虑集合{}1012,0....k kA x x A xββββ+=∈>+≠∅，并且总是不空的，可以一直进行下去．并且没有出现9无限循环的情况，即情况2-2-2：,,9.kn k nβ∀∃><令b=β．还是先证b是集合A的上界．这里用到反证法，若b不是集合A的上界，则,.x A x b∀∈>则,(),,().k nn x k k n x nββ∃=<>这与nβ的构造矛盾，因此b是集合A的上界．再证明b是集合A的上确界．若c<b，则,()(),,()().n c k b k k n c n b n∃=∀<>若n=0，有β的定义，,(0)(0)(0).y A y b cβ∃∈==>b 是集合A的上确界．若n>0，由β的定义，,(),0,1,..., 1.iy A y i i nβ∃∈==-()()()ny n b n c nβ==>，即y>c，总之b=supA．证毕．。