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戴德金分割中确界存在定理的证明

戴德金分割中确界存在定理的证明引言:戴德金分割中确界存在定理是数学分析中的一条重要定理,它为我们提供了一种切实可行的方法来确定实数集中的确界。
本文将详细讲解戴德金分割中确界存在定理的证明过程。
一、戴德金分割的定义在开始证明之前,我们先来了解一下戴德金分割的概念。
给定一个实数集合A,如果将A分为两个非空子集L和R,并且满足以下条件:1. L中的任意元素小于R中的任意元素;2. L中没有最大元素;3. R中没有最小元素;则称这样的分割为戴德金分割。
二、戴德金分割中确界存在定理的表述戴德金分割中确界存在定理的表述如下:对于任意一个实数集合A,如果A满足戴德金分割的定义,那么A 存在唯一的确界。
三、戴德金分割中确界存在定理的证明1. 唯一性的证明:假设A存在两个确界a和b,并且a<b。
根据确界的定义,对于任意的ε>0,存在x∈A,使得a<x<a+ε,同时存在y∈A,使得b-ε<y<b。
那么我们可以推出a+ε<y,从而得到a<y<b,与a和b都是确界的假设相矛盾。
因此,A的确界是唯一的。
2. 存在性的证明:我们定义一个实数集合A的下界集合B如下:B={x∈R|x是A的下界}显然,B不为空,因为A的下界一定存在。
接下来,我们定义一个数集C如下:C={x∈R|对于集合B中的每个元素y,存在A中的元素z,使得z>x>y}也就是说,对于集合B中的每个下界y,我们可以在A中找到一个元素z,使得z比y更接近于正无穷大的方向。
注意,这里的C可能为空集。
现在,我们假设A不存在确界。
根据戴德金分割的定义,我们可以得到以下两个结论:a) 对于集合C中的每个元素x,存在A中的元素y,使得y>x;b) 对于集合B中的每个元素y,存在A中的元素z,使得z<y。
我们将a)和b)结合起来,可以得到一个重要的结论:对于集合B中的每个元素y,存在A中的元素z,使得z>x>y,即z>x,与C的定义矛盾。
概念与性质的证明方法的应用知识点总结

概念与性质的证明方法的应用知识点总结证明方法是数学学科中非常重要的一部分,通过运用不同的证明方法,可以帮助我们深刻理解和掌握数学概念和性质。
在数学学习过程中,我们需要掌握一些常用的证明方法,并学会将其应用于不同的数学问题中。
本文将对概念与性质的证明方法的应用知识点进行总结,以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、直接证明法直接证明法是最基础和常见的证明方法之一,它通过逐步推理和演绎,从已知条件出发,得出所要证明的结论。
直接证明法的基本步骤包括:先列出已知条件,然后根据已知条件进行演绎推理,逐步得出结论。
这种证明方法常用于证明一些基本的数学性质,如等式、不等式等。
例如,要证明两条平行线上的对应角相等,可以使用直接证明法。
首先,列出已知条件:两条平行线l和m。
然后,通过对应角定义和平行线性质,逐步推导出对应角相等的结论。
二、间接证明法间接证明法是通过反证法来证明一个命题的方法。
它假设所要证明的结论为假,通过推理得出一个与已知条件矛盾的结论,从而推出所要证明的结论为真。
间接证明法常常用于证明一些有关证明不存在的性质或结论。
例如,要证明根号2不是有理数,可以使用间接证明法。
假设根号2是一个有理数,即可以表示为两个整数的比值。
然后,通过化简推导得到一个矛盾的结论,即可推出根号2不是一个有理数。
三、归纳法归纳法是一种重要的证明方法,主要用于证明与自然数相关的性质或结论。
归纳法基于数学归纳原理,通过证明某个命题在第一个自然数成立,以及假设某个自然数成立时,它的下一个自然数也成立,从而推导出该命题对所有自然数成立。
例如,要证明1+2+...+n的和公式为n(n+1)/2,可以使用归纳法。
首先,证明当n=1时,等式成立。
然后,假设当n=k时等式成立,即1+2+...+k=k(k+1)/2。
接下来,证明当n=k+1时,等式也成立。
通过将1+2+...+k和k+1相加,并运用归纳假设,可以得出等式成立。
因此,该命题对所有自然数成立。
数集确界原理

数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念,它在实际问题中具有广泛的应用。
在数学分析中,确界原理是指对于有上(下)界的非空实数集合必存在最小(大)上(下)确界。
这一原理在实际问题中有着重要的意义,下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。
首先,我们来了解一下数集的上确界和下确界。
对于一个实数集合A,如果存在一个实数M,使得对于A中的任意元素x,都有x≤M,那么M就是A的上确界,记作supA。
类似地,如果存在一个实数m,使得对于A中的任意元素x,都有x≥m,那么m就是A的下确界,记作infA。
上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念,它们在实际问题中的应用非常广泛。
数集确界原理指出,对于有上(下)界的非空实数集合,必存在最小(大)上(下)确界。
这一原理在实际问题中有着广泛的应用。
例如,在经济学中,对于某种商品的价格集合,我们可以通过确界原理得到最低价和最高价,这对于市场分析和决策具有重要意义。
在工程学中,对于某种材料的强度集合,我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度,这对于设计和生产具有重要意义。
在物理学中,对于某种物理量的测量结果集合,我们可以通过确界原理得到最小值和最大值,这对于实验结果的分析具有重要意义。
除了在实际问题中的应用,数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。
它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过确界原理,我们可以证明实数集合的某些性质,例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。
这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。
总之,数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念,它在实际问题中具有广泛的应用,并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过对数集确界原理的深入理解和应用,我们可以更好地理解和运用实数集合的性质,为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。
希望本文对读者对数集确界原理有所帮助,谢谢阅读。
确界原理的证明

确界原理的证明确界原理是指在一定条件下,一个有上界的非空实数集必有上确界。
这一原理在数学分析中具有重要的地位,对于实数的性质有着深远的影响。
下面,我们将从数学的角度出发,对确界原理进行证明。
首先,我们来定义一下确界的概念。
对于一个实数集合A,如果存在一个实数M,使得对于A中的任意元素x,都有x≤M成立,那么M就是A的上界。
而A的上确界,是指A的上界中最小的那个实数,即如果存在一个实数M,对于A中的任意元素x,都有x≤M成立,并且对于任意小于M的正实数ε,都存在A中的元素a,使得M-ε<a≤M成立,那么M就是A的上确界。
接下来,我们将证明确界原理。
假设A是一个非空的实数集合,且A有上界。
我们需要证明A有上确界。
首先,我们来证明A的上确界存在。
由于A有上界,所以A的上界的集合非空。
我们可以定义B为A的上界的集合,即B={x∈R|对于A中的任意元素a,都有a≤x成立}。
由于B非空且有上界,根据实数的完备性公理,B必有上确界,我们将其记为M。
接下来,我们需要证明M是A的上确界。
首先,对于A中的任意元素a,都有a≤M成立,因此M是A的上界。
其次,对于任意小于M的正实数ε,我们需要证明存在A中的元素a,使得M-ε<a≤M成立。
假设不存在这样的元素a,即对于任意M-ε<a≤M,都有a不属于A。
这意味着M-ε是A的上界,但这与M是A的上确界相矛盾。
因此,存在A中的元素a,使得M-ε<a≤M成立。
综上所述,我们证明了A的上确界存在,并且M是A的上确界。
因此,确界原理得证。
通过以上证明,我们可以得出结论,在一定条件下,一个有上界的非空实数集必有上确界。
确界原理在实数的性质中具有重要的地位,对于数学分析有着深远的影响。
这一原理的证明,不仅在理论上具有重要意义,也为实际问题的解决提供了重要的数学工具。
在数学分析中,确界原理的应用十分广泛,例如在实数序列的收敛性证明、连续函数的最值存在性证明等方面都有着重要的作用。
数集·确界原理

设 2)不成立,则 0 0, 使得 x E ,均有 x M 0 ,与 M 是上确界矛盾.
充分性, 用反证法.设 M 不是 E 的上确界,即 M 是上界,但 M M .令 M M 0 ,
x E , 由 2) , 使得 x M M , 与M 是E
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界,
A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
试证明:
x inf A
即
或
x inf B. x min inf A , inf B .
min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
(a, b) (a, b 为有限数) a, b 、 、 邻域等都是有界数集; 集合 E y y sin x, x ( , )也是有界数集.
( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) 等都是无界数集,
1 例1 证明集合 E y y , x ( 0 , 1 ) x 是无界数集. 1 (0, 1) , 证明: 对任意的M 0,x M 1 1
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数
supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得
sup A inf B.
例5
A 和 B 为非空数集, S A B.
确界原理的证明

§2 数集. 确界原理(一) 教学内容:实数的区间与邻域;集合的上、下界,上确界和下确界;确界原理难 点: 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的:1)正确使用区间和邻域概念,掌握集合的有界性的证明; 2)初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。
(三)基本要求:1)掌握实数的区间与邻域概念;分清最大值与上确界的联系与区别;结合具体集合,能指出其确界;2)能用定义证明集合A 的上确界为ξ.即:Ax ∈∀有ξ≤x ,且 ,,00A x ∈∃>∀ε使得 εξ->0x .(三) 教学建议:(1) 此节重点是确界概念和确界原理.不可强行要求一步到位,对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题.(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理.对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题.一 区间与邻域: 区间邻 域设a 与δ是两个实数,且0>δ,称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域,记作)(a U δ称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U Y 为点 a 的去心δ邻域 记作)(0a U δ.δδa 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a Ua 的右δ空心邻域 }|{)(0δδ+<<=+a x a x a Ua 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδa 的左δ空心邻域 }|{)(0a x a x a U <<-=-δδ∞邻域 }|||{)(M x x U >=∞∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集,若存在一个数M ( L ), 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤,则称S 为有上界(下界)的数集。
直接证明与间接证明_知识讲解

直接证明与间接证明【要点梳理】要点一:直接证明直接证明最常见的两种方法是综合法和分析法,它们是思维方向相反的两种不同的推理方法. 综合法定义:一般地,从命题的已知条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,经过演绎推理,一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,我们把这种思维方法叫做综合法.... 基本思路:执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后导出待证结论或需求的问题.综合法这种由因导果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.综合法的思维框图:用P 表示已知条件,Q 表示要证明的结论,123...i Q i n =(,,,,)为已知的定义、定理、公理等,则综合法可用框图表示为: 11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒(已知) (逐步推导结论成立的必要条件) (结论)要点诠释(1)从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,由因导果,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件;(2)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹;(3)因用综合法证明命题“若A 则D ”的思考过程可表示为:故要从A 推理到D ,由A 推演出的中间结论未必唯一,如B 、B 1、B 2等,可由B 、B 1、B 2进一步推演出的中间结论则可能更多,如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等.所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”.综合法证明不等式时常用的不等式(1)a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”号);(2)2a b +≥a ,b ∈R*,当且仅当a =b 时取“=”号); (3)a 2≥0,|a |≥0,(a -b )2≥0;(4)2b a a b +≥(a ,b 同号);2b a a b+≤-(a ,b 异号); (5)a ,b ∈R ,2221()2a b a b +≥+, (6)不等式的性质定理1 对称性:a >b ⇔b <a .定理2 传递性:a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭. 定理3 加法性质:a b a c b c c R >⎫⇒+>+⎬∈⎭. 推论 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭. 定理4 乘法性质:0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭. 推论1 00a b ac bc c d >>⎫⇒>⎬>>⎭. 推论2 0*n n a b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭.定理5 开方性质:0*a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭ 分析法定义一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等),或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法.基本思路:执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发,分析使之成立的条件,即寻求使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.分析法这种执果索因的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.分析法的思维框图:用123i P i =L (,,,)表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等,Q 所要证明的结论,则用分析法证明可用框图表示为: 11223...Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件(结论) (逐步寻找使结论成立的充分条件) (已知)格式:要证……,只需证……,只需证……,因为……成立,所以原不等式得证.要点诠释:(1)分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执果索因,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻找它的充分条件.(2)由于分析法是逆推证明,故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性,即分析法有独特的表述.综合法与分析法的横向联系(1) 综合法是把整个不等式看做一个整体,通过对欲证不等式的分析、观察,选择恰当不等式作为证题的出发点,其难点在于到底从哪个不等式出发合适,这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式,还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握,而综合法的优点是宜于表述,条理清晰,形式简洁.我们在证明不等式时,常用分析法寻找解题思路,即从结论出发,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的“因”,再用综合法有条理地表述证题过程.分析法一般用于综合法难以实施的时候.(2)有不等式的证明,需要把综合法和分析法联合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q ;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立,就可以证明结论成立,这种边分析边综合的证明方法,称之为分析综合法,或称“两头挤法”.分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系,分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.命题“若P 则Q ”的推演过程可表示为:要点二:间接证明 间接证明不是从正面确定命题的真实性,而是证明它的反面为假,或改证它的等价命题为真,间接地达到目的,反证法是间接证明的一种基本方法.反证法定义:一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.反证法的基本思路:假设——矛盾——肯定①分清命题的条件和结论.②做出与命题结论相矛盾的假设.③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明原命题为真.反证法的格式:用反证法证明命题“若p则q”时,它的全部过程和逻辑根据可以表示如下:要点诠释:(1)反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定是正确的.(2) 反证法的优点:对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.反证法的一般步骤:(1)反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反面成立;(2)归谬:由“反设”出发,通过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;(3)结论:因为推理正确,产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.要点诠释:(1)结论的反面即结论的否定,要特别注意:“都是”的反面为“不都是”,即“至少有一个不是”,不是“都不是”;“都有”的反面为“不都有”,即“至少有一个没有”,不是“都没有”;“都不是”的反面是“部分是或全部是”,即“至少有一个是”,不是“都是”;“都没有”的反面为“部分有或全部有”,即“至少有一个有”,不是“都有”(2)归谬的主要类型:①与已知条件矛盾;②与假设矛盾(自相矛盾);③与定义、定理、公理、事实矛盾.宜用反证法证明的题型:①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;比如“存在性问题、唯一性问题”等;②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.要点诠释:反证法体现出正难则反的思维策略(补集的思想)和以退为进的思维策略,故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时,有独特的效果.【典型例题】【高清课堂:例题1】类型一:综合法证明例1.求证:a4+b4+c4≥abc(a+b+c).【证明】∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),又∵a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,a2b2+c2a2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2abc(a+b+c).∴2(a4+b4+c4)≥2abc(a+b+c),即a4+b4+c4≥abc(a+b+c).【总结升华】利用综合法时,从已知出发,进行运算和推理得到要证明的结论,并且在用均值定理证明不等式时,一要注意均值定理运用的条件,二要运用定理对式子作适当的变形,把式分成若干部分,对每部分运用均值定理后,再把它们相加或相减.举一反三:【变式1】已知a,b是正数,且a+b=1,求证:114a b+≥.【证明】证法一:∵a,b∈R,且a+b=1,∴2a b ab +≥,∴12ab ≤, ∴1114a b a b ab ab++==≥. 证法二:∵a ,b ∈R +,∴20a b ab +=>,11120a b ab +≥>, ∴11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 又a +b =1,∴114a b+≥. 证法三:1111224a b a b b a a b a b a b a b b a+++=+=+++≥+⋅=. 当且仅当a =b 时,取“=”号.【变式2】求证:5321232log 19log 19log 19++<. 【证明】待证不等式的左端是3个数和的形式,右端是一常数的形式,而左端3个分母的真数相同,由此可联想到公式,1log log a b b a =转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式. ∵ 1log log a b b a =, ∴左边∵, ∴5321232log 19log 19log 19++<. 例2.已知数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,并且S n +1=4a n +2(n =1,2,…),a 1=1.(1)设b n =a n +1-2a n (n =1,2,…),求证:数列{b n }是等比数列.(2)设2n n na c =(n =1,2,…), 求证:数列{c n }是等差数列. 【证明】(1)∵S n +1=4a n +2,∴S n +2=4a n +1+2,两式相减,得S n +2―S n +1=4a n +1―4a n (n =1,2,3,…),即a n +2=4a n +1―4a n ,变形得a n +2―2a n +1=2(a n +1―2a n ).∵b n =a n +1-2a n (n =1,2,…),∴b n +1=2b n (n =1,2,…).由此可知,数列{b n }是公比为2的等比数列.由S 2=a 1+a 2=4a 1+2,a 1=1,得a 2=5,b 1=a 2―2a 1=3.故b n =3·2n ―1.(2)∵2n n n a c =(n =1,2,…) ∴11111122222n n n n n n n n n n n a a a a b c c ++++++--=-== 将b n =3·2n -1代入,得134n n c c +-=(n =1,2,…). 由此可知,数列{c n }是公差34d =的等差数列,它的首项11122a c ==,故3144n c n =-. 【总结升华】本题从已知条件入手,分析数列间的相互关系,合理实现了数列间的转化,从而使问题获解,综合法是直接证明中最常用的证明方法.举一反三:【变式1】已知数列{}n a 满足15a =, 25a =,116(2)n n n a a a n +-=+≥.求证:{}12n n a a ++是等比数列;【证明】 由a n +1=a n +6a n -1,a n +1+2a n =3(a n +2a n -1) (n ≥2),∵a 1=5,a 2=5∴a 2+2a 1=15,故数列{a n +1+2a n }是以15为首项,3为公比的等比数列.【变式2】在△ABC 中,若a 2=b (b +c ),求证:A =2B .【证明】∵a 2=b (b +c ),222222()cos 22b c a b c b bc A bc bc+-+-+==, 又222222222()22cos 2cos 12121222()2a c b b c b c b bc c b B B ac a b b c b ⎛⎫+-++---⎛⎫=-=-=-== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,∴cos A =cos2B .又A 、B 是三角形的内角,故A =2B .例3.如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .求证:(1)P A ∥平面EDB ;(2)PB ⊥平面EFD .【证明】(1)连结AC 交BD 于O ,连结E O .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点,在△P AC 中,E O 是中位线,∴P A ∥E O .而E O ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ,∴P A ∥平面EDB .(2)PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ,∴PD ⊥DC .由PD =DC ,可知△PDC 是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 上的中线,∴DE ⊥PC .①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD是正方形,∴DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E,∴PB⊥平面EFD.【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理.举一反三:【变式1】如图,设在四面体PABC中,90ABC∠=o,PA PB PC==,D是AC的中点.求证:PD垂直于ABC∆所在的平面.【证明】连PD、BD因为BD是Rt ABC∆斜边上的中线,所以DA DC DB==又因为PA PB PC==,而PD是PAD∆、PBD∆、PCD∆的公共边,所以PAD∆≅PBD PCD∆≅∆于是PDA PDB PDC∠=∠=∠,而90PDA PDC∠=∠=o,因此90PDB∠=o∴PD AC⊥,PD BD⊥由此可知PD垂直于ABC∆所在的平面.【变式2】如图所示,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是正方形,SA平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.求证:(1)EF⊥CD;(2)平面SCD⊥平面SCE.【证明】(1)∵SA⊥平面ABCD,F为SC的中点,∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线.∴12AF SC=.又∵四边形ABCD是正方形,∴CB⊥AB.而由SA ⊥平面ABCD ,得CB ⊥SA ,∴CB ⊥平面SAB .又∵SB ⊂平面SAB ,∴CB ⊥SB .∴BF 为Rt △SBC 的斜边SC 上的中线,∴12BF SC =. ∴AF =BF ,∴△AFB 为等腰三角形.又E 为AB 的中点,∴EF ⊥AB .又CD ∥AB ,∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ,SE =EC ,即△SEC 是等腰三角形,∴EF ⊥SC .又∵EF ⊥CD 且SC ∩CD =C ,∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ,∴平面SCD ⊥平面SCE .类型二:分析法证明例4. 设0a >、0b >,且a b ≠,用分析法证明:3322a b a b ab ++>.【证明】要证3322a b a b ab +>+成立,只需证33220a b a b ab +--> 成立,即证22()()0a a b b b a -+->成立,即证22()()0a b a b -->成立,也就是要证2()()0a b a b +->成立,因为0a >、0b >,且a b ≠,所以2()()0a b a b +->显然成立,由此原不等式得证.【总结升华】1.在证明过程中,若使用综合法出现困难时,应及时调整思路,分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻找使当前命题成立的充分条件的方法.2. 用分析法证明问题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语.举一反三:【变式1】设a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac bc +≤【证明】当ac +bc ≤0时,不等式显然成立.当ac +b d >0时,要证明ac bd +只需证明(ac +b d)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2),即证明a 2c 2+2abc d+b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2,只需证明2abc d≤a 2d 2+b 2c 2,只需证明(a d -bc )2≥0. 而上式成立,∴2222ac bd a b c d +≤+⋅+成立. 【变式2】求证:123(3)a a a a a --<---≥【证明】分析法: 要证123(3)a a a a a --<---≥成立, 只需证明321(3)a a a a a +-<-+-≥, 两边平方得232(3)232(2)(1)a a a a a a -+-<-+--(3)a ≥, 所以只需证明(3)(2)(1)a a a a -<--(3)a ≥, 两边平方得22332a a a a -<-+,即02<,∵02<恒成立,∴原不等式得证.【变式3】用分析法证明:若a >0,则212122-+≥-+a a a a . 【证明】要证212122-+≥-+a a a a , 只需证212122++≥++aa a a . ∵a >0,∴两边均大于零,因此只需证2222)21()21(++≥++a a a a 只需证)1(222211441222222a a a a a a a a +++++≥++++, 只需证)1(22122a a a a +≥+,只需证)21(2112222++≥+a a a a , 即证2122≥+a a ,它显然成立.∴原不等式成立.例5. 若a ,b ,c 是不全相等的正数,求证:lg2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +>lg a +lg b +lg c . 【证明】要证lg 2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +>lg a +lg b +lg c , 只需证lg 2b a +·2c b +·2a c +>lg (a ·b ·c ), 只需证2b a +·2c b +·2a c +>abc . 但是,2b a +0>≥ab ,2c b +0>≥bc ,2a c +0>≥ac .且上述三式中的等号不全成立,所以,2b a +·2c b +·2a c +>abc . 因此lg 2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +>lg a +lg b +lg c . 【总结升华】这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.在实际证题过程中,分析法与综合法是统一运用的,把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合;没有综合也没有分析.问题仅在于,在构建命题的证明路径时,有时分析法居主导地位,综合法伴随着它;有时却刚刚相反,是综合法导主导地位,而分析法伴随着它.举一反三:【变式1】设a 、b 是两个正实数,且a ≠b ,求证:3a +3b >22ab b a +【证明】证明一:(分析法)要证3a +3b >22ab b a +成立,只需证(a +b )( 2a -ab +2b )>ab (a +b )成立,即需证2a -ab +2b >ab 成立.(∵a +b >0)只需证2a -2ab +2b >0成立,即需证()2b a ->0成立. 而由已知条件可知,a ≠b ,有a -b ≠0,所以()2b a ->0显然成立,由此命题得证. 证明二:(综合法)∵a ≠b ,∴a -b ≠0,∴()2b a ->0,即2a -2ab +2b >0,亦即2a -ab +2b >ab . 由题设条件知,a +b >0,∴(a +b )( 2a -ab +2b )>(a +b )ab即3a +3b >22ab b a +,由此命题得证.【变式2】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列,求证:113a b b c a b c +=++++ 【证明】要证原式成立,只要证3a b c a b c a b b c +++++=++, 即只要证1c a a b b c+=++ 即只要证2221bc c a ab ab b ac bc+++=+++; 而2A C B +=,所以060B =,由余弦定理得222b a c ac =+-所以222222222221bc c a ab bc c a ab bc c a ab ab b ac bc ab a c ac ac bc ab a c bc+++++++++===+++++-+++++. 类型三:反证法证明例6.【证明】=只需证22≠,即证10≠5≠,即证2125≠,而该式显然成立,≠不成等差数列.=2125≠∵,5≠,10≠∴,即3720+≠,即2≠,∴ ≠∴【总结升华】结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适宜应用反证法. 举一反三:【变式1】求证:函数()f x =不是周期函数.【证明】假设()f x =则存在常数T (T≠0)使得对任意x ∈R ,都有成立.上式中含x=0,则有cos01=,2m =π(m ∈z 且m≠0). ①再令x=T ,则有1=,2n =π(n ∈Z 且n ≠0). ②②÷①得:32n m =, 这里,m ,n 为非零整数,故n m为有理数,而32无理数,二者不可能相等. 因此3()cos f x x =不是周期函数.【变式2】设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 为它的前n 项和.(1)求证:数列{S n }不是等比数列.(2)数列{S n }是等差数列吗?为什么?【解析】(1)证明:假设{S n }是等比数列,则2213S S S =, 即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.∵a 1≠0,∴(1+q )2=1+q +q 2.即q =0,与等比数列中公比q ≠0矛盾.故{S n }不是等比数列.(2)解:①当q =1时,S n =na 1,n ∈N*,数列{S n }是等差数列.②当q ≠1时,{S n }不是等差数列,下面用反证法证明:假设数列{S n }是等差数列,则S 1,S 2,S 3成等差数列,即2S 2=S 1+S 3,∴2a 1(1+q )=a 1+a 1(1+q +q 2).∵a 1≠0,∴2+2q =1+1+q +q 2,得q =q 2.∵q ≠1,∴q =0,这与等比数列中公比q ≠0矛盾.从而当q ≠1时,{S n }不是等差数列.综上①②可知,当q =1时,数列{S n }是等差数列;当q ≠1时,数列{S n }不是等差数列.【变式3】已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n =2a n -3n (n ∈N *).(1)求证{a n +3}为等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)数列{a n }是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.【解析】 (1) 证明:∵S n =2a n -3n (n ∈N *),∴a 1=S 1=2a 1-3,∴a 1=3.又由112323(1)n n n n S a n S a n ++=-⎧⎨=-+⎩得a n +1=S n +1-S n =2a n +1-2a n -3, ∴a n +1+3=2(a n +3),∴{a n +3}是首项为a 1+3=6,公比为2的等比数列.∴a n+3=6×2n-1,即a n=3(2n-1).(2)解:假设数列{a n}中存在三项a r,a s,a t (r<s<t),它们可以构成等差数列.由(1)知a r<a s<a t,则2a s=a r+a t,∴6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),即2s+1=2r+2t,∴2s+1-r=1+2t-r(*)∵r、s、t均为正整数且r<s<t,∴(*)左边为偶数而右边为奇数,∴假设不成立,即数列{a n}不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列.例7. 已知a,b,c∈(0,1),求证:(1―a)b,(1―b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于14.【证明】证法一:假设三式同时大于14,即1(1)4a b->,1(1)4b c->,1(1)4c a->,三式相乘,得1 (1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅->,又211 (1)24a aa a-+⎛⎫-≤=⎪⎝⎭,同理1(1)4b b-≤,1(1)4c c-≤,以上三式相乘,得1 (1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅-≤,这与1(1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅->矛盾,故结论得证.证法二:假设三式同时大于14.∵0<a<1,∴1-a>0.∴(1)11(1)242a ba b-+≥->=.同理(1)122b c-+≥,(1)122c a-+≥.三式相加,得33 22 >,∴原命题成立.【总结升华】从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如这类带有“至少有一个”等字样的数学问题.举一反三:【变式】已知,,,0,1a b c R a b c abc ∈++==,求证:,,a b c 中至少有一个大于32. 【证明】假设,,a b c 都小于或等于32, 因为 1abc =,所以,,a b c 三者同为正或一正两负,又因为0a b c ++=,所以,,a b c 三者中有两负一正,不妨设0,0,0a b c ><<,则1,b c a bc a +=-=由均值不等式得()2b c bc -+≥,即12a a ≥, 解得33273482a ≥≥=,与假设矛盾,所以 ,,abc 中至少有一个大于32. 例8.已知:直线a 以及A ∉a .求证:经过直线a 和点A 有且只有一个平面.【证明】(1)“存在性”,在直线a 上任取两点B 、C ,如图.∵A ∉a ,B ∈a ,C ∈a ,∴A 、B 、C 三点不在同一直线上.∴过A 、B 、C 三点有且只有一个平面α∵B ∈α,C ∈α,∴a ⊂α,即过直线a 和点A 有一个平面α.(2)“唯一性”,假设过直线a 和点A 还有一个平面β.∵A ∉a ,B ∈a ,C ∈a ,∴B ∈β,C ∈β.∴过不共线的三点A 、B 、C 有两个平面α、β,这与公理矛盾.∴假设不成立,即过直线a 和点A 不可能还有另一个平面β,而只能有一个平面α.【总结升华】 这里证明“唯一性”时用了反证法.对于“唯一性”问题往往使用反证法进行证明,要注意与“同一法”的区别与联系.举一反三:【变式】求证:两条相交直线有且只有一个交点.【证明】假设结论不成立,即有两种可能:(1)若直线a 、b 无交点,那么a ∥b ,与已知矛盾;(2)若直线a 、b 不止有一个交点,则至少有两个交点A 和B ,这样同时经过点A 、B 就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.。
确界原理的证明

确界原理的证明在现代数学中,确界原理是一条基本的原理,也被称为实数完备性原理或连续性公理。
该原理指出,非空有上界的实数集合必定存在上确界,以及非空有下界的实数集合必定存在下确界。
为了证明确界原理,我们需要引入实数的基本性质和定义。
首先,我们需要了解实数的有序性质。
实数集合R中的任意两个不相等的元素a和b,必然满足以下三种情况之一:a<b,a=b,或者a>b。
这个性质被称为实数的全序性。
接下来,我们定义了实数集合中的上界和下界。
对于一个实数集合S,如果存在一个实数M,使得对于集合中的任意元素s,都有s≤M,则M被称为S的上界。
类似地,如果存在一个实数m,使得对于集合中的任意元素s,都有s≥m,则m被称为S的下界。
有了上界和下界的概念,我们可以开始证明确界原理。
首先,我们考虑有上界的实数集合S。
假设S是一个非空的实数集合,且存在一个实数M,使得对于集合中的任意元素s,都有s≤M。
我们需要证明存在一个实数M',满足M'是S的上确界。
我们分两步进行证明:第一步,我们需要证明存在一个实数M',使得M'是S的一个上界。
根据S的定义,我们知道存在一个实数M,使得对于集合中的任意元素s,都有s≤M。
所以M是S的一个上界。
换句话说,M是一个满足S的上界定义的实数。
第二步,我们需要证明若M'是一个比M更小的上界,则M'不能是S的上确界。
假设存在一个实数M',满足M'<M,且M'也是S的一个上界。
根据实数的全序性,我们可以找到一个介于M'和M之间的实数M",使得M'<M"<M。
由于M"介于M'和M之间,所以对于集合中的任意元素s,都有s≤M"。
然而,这与M是S的上界的定义相矛盾。
所以假设不成立,即不存在一个比M更小的上界。
综上所述,我们证明了有上界的实数集合必定存在上确界。
直接证明与间接证明 知识点+例题+练习

教
学
过
程
1.分析法的特点:从未知看需知,逐步靠拢已知.
2.综合法的特点:从已知看可知,逐步推出未知.
3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易
寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从
条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常
常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来.
4.利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设的命
题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是
错误的.
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、填空题
1.(2014·安阳模拟)若a<b<0,则下列不等式中成立的是________.
①1
a<
1
b;②a+
1
b>b+
1
a;③b+
1
a>a+
1
b;④
b
a<
b+1
a+1
.
2.用反证法证明命题:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,应反设________成立.
3.(2014·上海模拟)“a=1
4”是“对任意正数x,均有x+
a
x≥1”的
________条件.教学效果分析。
确界原理的证明

确界原理的证明任何一个有上界的非空数集必有上确界,有下界的非空数集必有下确界引理:∀x∈R,x=[x]+(x)且任何实数都可以写成无限小数形式证法一:设S⊂R,且非空,有上界S={a0+0.a1a2a3...an...|a0=[x],0.a1a2a3...an...=(x),x∈S}因为S有上界取S元素中a0最大的所有数,记为α0设S0={x|x∈S,[x]=α0}若x∈S,且x∉S0则x<α0取S0中x的小数部分第1位小数最大的为α1S1={x|x∈S0,x的小数部分中第1位数为α1}若x∈S,且x∉S1则x<α0+0.α1取S1中x的小数部分第2位小数最大的为α2 S2={x|x∈S1,x的小数部分中第2位小数为α2}若x∈S,且x∉S2则x<α0+0.α1α2我们继续进行进行下去可以得到取Sn−1中x的小数部分第n位小数最大的为αn Sn={x|x∈Sn−1,x的小数部分中第n位为αn}若x∈S,且x∉Sn,则x<α0+0.α1α2α3...αn无限下去可以得到S⊃S0⊃S1⊃...⊃Sn⊃...其中α0∈Z , α1,α2,α3...∈{0,1,2, (9)令β=α0+0.α1α2α3...αn...现在我们来证明β为S的上确界1′先证β为S的一个上界∀x∈S,x有两种情况:i)∃n1∈N,使得x∉Sn1则x≤βii)∀n2∈N使得x∈Sn2,则x的整数和每位小数都与β相等,因此有x=β故β为S的一个上界2′现证β为S的上确界即证∀ε>0,β−ε不是上界取n3∈N,使得110n3<ε取x∈Sn3,有x=α0+0.α1α2α3...αn3β−x<110n3<ε即x>β−ε,β−ε不是S的上确界所以β为S的最小上确界故对于任意的非空有上界集合都可通过此种办法找到β因此非空有上界集合必定有上确界。
确界原理的证明

确界原理的证明确界原理是一种数学概念,它是指对于一个有上界的非空实数集合,必然存在一个最小的上界。
这个概念在实际生活中有着广泛的应用,比如在金融领域中,对于投资组合的收益率,就需要找到最小的上界来进行有效的投资决策。
那么,接下来我们将通过数学推导来证明确界原理的有效性。
首先,我们假设存在一个非空实数集合A,它有上界,但不存在最小的上界。
即对于任意的上界M,必然存在另一个上界N,使得N<M。
那么我们可以构造一个序列{M_n},其中M_1是A的一个上界,然后我们依次取M_2,M_3,...,使得M_1>M_2>M_3>...。
根据确界原理,这个序列必然收敛,即存在极限lim(M_n)=L。
接下来我们证明L是A的上界。
假设L不是A的上界,那么存在一个元素a∈A,使得a>L。
但是根据序列{M_n}的定义,我们可以找到一个M_k,使得M_k<L,这与L是序列的极限相矛盾,所以L必然是A的上界。
另一方面,我们知道对于任意的ε>0,存在N,使得当n>N时,|M_n-L|<ε。
那么取ε=1,根据极限的定义,存在一个M_N,使得|M_N-L|<1,即M_N<L+1。
而根据序列{M_n}的定义,M_N是A的一个上界,但是它小于L+1,这与L是A的最小上界相矛盾。
综上所述,我们得出结论,对于一个有上界的非空实数集合A,必然存在一个最小的上界。
这就是确界原理的证明过程。
通过以上的数学推导,我们证明了确界原理的有效性。
这个原理在数学上有着重要的地位,也在实际生活中有着广泛的应用。
希望本文能够帮助读者更加深入地理解确界原理的概念和意义。
区间套定理证明确界原理

区间套定理证明确界原理
区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以.就说一下有上界数集如何证有上确界,下界类似.
分两步,第一步套出一个数,第二步证明这个数就是上确界.
①对于数集X,如果它有上界M,就构造闭区间列U[n],U[1]=[a[1],M],a[1]是任意一个数,只要使得U[1]∩X≠∅就可以.U[2]这样构造,如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数,就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2].U[3]构造类似,就是再把U[2]一分为二,右半边如果有X中的数就等于右半区间,否则等于左半区间.就这样一直构造下去,所有的U[n]都是递减区间列,根据闭区间套定理,它们必有一个公共元素m.
②要证m就是X的上确界.下面分类讨论.
1)先说如果m就是集合X中的元素,那么假设X中还有比m大的m',上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的,和m是公共元素矛盾了.这个比较好证明,就不写具体过程了.这样m在X中,而且X中还没有比m更大的数,显然m是X中的最大数,自然是上确界(根据上确界定义可知).
2)m不在X中.先证明m任意小邻域里面有X中的数.还是反证法,假设可以找到一个δ>0,使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数,那由于区间U[n]长度可以任意小,只要n足够大.所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ,但所有U都包含m,于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中,但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素,意思是U[j]里面就没有X中元素,和一开始约定的U[n]构造规则矛盾,所以m任意邻域都有X 中数.再证X中的数不可能比m大.还是反证法,和1)完全类似,就不写了.
根据上确界的定义,m是X的上确界,就找到了.。
确界原理的证明范文

确界原理的证明范文
一、准确界定原理
准确界定原理是确定一个变量或一个组合的变量在其中一种条件下有
唯一解的理论。
它的核心思想是,对等价变量的讨论可以可以被独立地表达,而对它们的组合变量可以由它们的等价变量表示。
准确界定原理被用
来证明一些抽象数学结构的唯一性,它也被用来证明一些计算机问题的唯
一性。
二、证明准确界定原理
准确界定原理可以用组合可能性法证明。
我们假设存在X个自由变量:x1,x2,…,xn,并且它们可以通过运算机程序来定义。
令R为这些变量
的可能取值的集合。
对于任意给定项,可以将它们的组合构成一个具有n维向量的n维空间,并用它们表示总的取值空间。
则每一个X取值R{x1,x2,……,xn}
唯一地表示为与之对应的n维空间的点rn,更进一步说,任何给定项的
特定排列都可以由它的特定位置表示,例如给定取值x1=3,x2=7,……,xn=0,则它可以表示为空间点rn(3,7,…,0)。
假定每一个变量都有一个有限的取值集合,而这些变量的组合可以由
它们的取值解析构成出一个空间点,也就是说,对于每一个给定的变量取值,都可以得到唯一的空间点,否则有两个变量取值的组合得到相同的空
间点,从而矛盾。
确界原理证明

确界原理证明
根据你的要求,以下是一种方式,通过解释这个原理的概念和相关性来证明这个结论:
确界原理是一种基于逻辑思维的原理,用于证明一个不等式或函数存在上下确界。
在数学中,上确界(supremum)指的是某个集合中的最小上界,下确界(infimum)指的是某个集合中的最大下界。
确界原理断言,非空有上界的实数集合必然存在上确界,同样地,非空有下界的实数集合必然存在下确界。
这个原理的概念可以用来证明数学问题中的一些重要结论。
例如,对于一个递增且有上界的数列,我们可以使用确界原理来证明该数列收敛于某个有限的极限。
类似地,针对一个递减且有下界的数列,可以使用确界原理来证明该数列亦会收敛于某个有限的极限。
确界原理的重要性在于,它为我们提供了一种证明存在性的方法,尤其在处理上下确界问题时。
通过使用确界原理,我们可以确保某个集合中存在一个最大值或最小值,从而帮助简化复杂的数学计算。
总结来说,确界原理是一种基于逻辑推理的原理,用于证明实数集合中存在上确界和下确界。
它在数学中具有广泛的应用,尤其在解决极限和收敛问题时具有重要的意义。
第二节数集确界原理

确界原理的扩充
若把 和 补充到实数集中, 并规定一实数 a 与 、 的大小关系为 a , a , , 则确界概念可扩充为 若 S 无上界, 则定义 + 为 S 的非正常上确界,记作 sup ; 若 S 无下界, 则定义 - 为 S 的非正常下确界, 记作 inf .
相应地,前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正 常上、下确界. 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非 正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的).
例
正整数N+有
S y y 2 x 2 , x R 的 inf , sup 2.
inf N+ =1,sup N+ = +∞.
是S的下界中最大的一个) ,则称数 为数集S 的下确界,记作 inf S .
命题 2 inf S 的充要条件: 1) 是S下界; 2) >0, x0 S, 有x0 < .
例3 设S { x | x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、 下确界的定义验证: sup S 1,inf S 0.
2.邻域: 设a与 是两个实数 , 且 0.
U (a) {x a x a }.
U 0 (a) {x 0 x a }.
a
a
a
x
U () {x x M }.
二 有界集 确界原理
(一)有界集
定义1 S为R中的一个数集,若 M R, x S有x M .
注1 确界若存在则必唯一 注2 S sup S inf S 注3 S 的确界可能 S 可能 S
定义4 最大数与最小数
第二节数集-确界原理

而 x0 S .
综合(1)(2)命题得证。
若数集S无上界,则定义+ ∞为S的非 正常上确界,记着supS=+∞. 若数集S无下界,则定义-∞为S的 非正常下确界,记着inf S=-∞. 推广的确界原理:任一非空数集必有上、 下确界(正常的或非正常的)。 如:A 表示全体正整数的集合,则 infA=1, supA=+∞.
注 1 (2)也可写成: 0, x0 S , 使
注2 确界若存在,则必是唯一的,且
)界确下( 0x 或 )界确上( 0x
infS supS (仅当S是单点集时,等 号成立)。 注3 确界不是最大、最小值。
注4 数集S的确界可能属于S,也可能不属 于S,何时属于S,见例3。
a
o
a
a
x
点a的去心的邻域 :
U (a; ) { x | 0 x a }
右邻域:
U (a; ) [a, a )
左邻域:
o
U (a; ) (a , a]
o U (a; ) (a , a )
U (a; ) (a , a ),
(1)x A, 则x 2 .
b
x0
2
(2)若b< 2 , 分两种情况考虑。
( )若b 0, 则x A, 有x b.
()若0 b 2 , 取x0为大于b小于 2的有理数,
则b x0 2, 即x0 A, 但x0 b. 故 sup A
2 2
2.
显然上确界不是有理数。
(a,b), [a,b], (a,b], [a,b)
(, a), (, a], (a,),[a,), (,)
数集确界原理

a
a
a x
点a 旳 右邻域 和 点 a 旳空心 右邻域
U (a, ) {x a x a } [a, a ) U 0(a, ) {x a x < a } (a,a )
a
a
a x
点 a 旳 左邻域 和 点 a 旳空心 左邻域
U(a, ) {x a x a } (a ,a] U 0(a, ) {x a x a } (a ,a)
2、数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.
3、确界与最值的关系:设E为数集. E 的最 值必属于E,但确界未必, 确界是一种临 界点. 非空有界数集必有确界, 但未必有 最值. 若max E存在, 必有 max E = supE, 对下确界有类似的结论.
思索题
1、任何有限数集是否一定都存在上、下确界? 若都存在,它们分别是数集中的什么数?
上确界
M
上界
M1
M2
下界 下确界
m2 m1 m
确界旳精拟定义
定义3 设 S 是 R 中旳一种数集,若数 满足
(i) 对一切 x S, 有x , 即 是 S 的上界; (ii) 对任何 , 存在 x0 S, 使得 x0 , 即 又是 S 的最小上界,则称数 为数集 S 旳
上确界,记为 sup S.
例1 证明数集 N+{n / n为正整数}有下界而无上界.
证 显然,任何一个不大于1 的实数都是N 的下界,
பைடு நூலகம்故N
为有下界的数集
下证 N+ 无上界
按照无界集定义, 只须证:即对任意M 0,
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上,对任何正数M,取 n0 M 1,
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N无上界.
上确界的证明方法

上确界的证明方法嘿,咱今儿就来唠唠上确界的证明方法这档子事儿!你说上确界,就好像是一群数里的那个“老大”,它得管着下面那些数,不能让它们太“张狂”。
要证明一个数是上确界,那可得费点心思。
咱可以从定义入手啊,就好比你找一个东西,得先知道它长啥样不是?上确界就是那个比集合里所有数都大或者相等,但又不能再小的数。
比如说,咱有一堆数,你得看看有没有一个数,其他数都比它小或者最多跟它一样大。
这就有点像找班级里最高的那个同学,你得把所有人都比一遍,才能确定谁最高嘛。
有时候呢,咱还可以用反证法。
你想想,要是它不是上确界,那会咋样?肯定会有矛盾出现呀!这就好比你说一个人不是好人,那肯定得有不好的表现来证明嘛。
再举个例子,就好像你有一堆糖果,你要找能盖住这堆糖果的最小盖子,那这个盖子就是上确界呀。
要是你找的盖子太大,那肯定不行,浪费;要是找的盖子小了,盖不住,也不行。
证明上确界还可以通过一些定理和性质来,就像走迷宫有了地图一样。
比如说单调有界定理,这就像是有了个指引方向的箭头。
咱还可以通过具体的例子来理解。
比如一个数列,它一直往上走,但又有个尽头,那这个尽头不就是上确界嘛。
你说这上确界的证明方法是不是挺有意思的?就像解开一个谜题一样,得一点点找线索,一点点分析。
咱得仔细着,不能马虎,不然可就找错“老大”啦!总之呢,证明上确界需要咱细心、耐心,还得有点小技巧。
不能瞎蒙,得有理有据。
这就跟破案似的,得找到关键证据才能定罪不是?咱对上确界的证明也是这个道理,得找到足够的证据来证明它就是那个“老大”!你说是不是这个理儿?。
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“R”指的是全体实数集合“∀”一切“a A∀∈”,表示对一切属于集合A的元素a用定义证明没有最大上界确界存在原理证明的学习笔记北京师范大学郇中丹这是我的学习笔记,里面的有些证明是王峻老师给出的。
确界存在定理是初学数学分析遇到的第一个学习难度大的定理,一是理解难度比较大,还有就是对定理重要性的认识不是很到位。
在看郇中丹的教学视频之前我反复看过这个定理两个不同版本数学分析教材中的证明,一个是陈纪修版,高等教育出版社的《数学分析第二版》(2004年6月第2版),一个是张筑生编著,北京大学出版社的《数学分析新讲》(1990年1月第1版)。
当时我认为自己弄懂了这个定理的证明,但当我看到北京师范大学郇中丹的课堂教学视频实录(2006年9月25日的两节课,100分钟)后才发现自己还没有完全明白。
郇中丹证明严谨,当然也就更难理解。
我花了自己近一个月的业余时间,揣摩他的证明,弄明白了这个定理证明,整理了这份学习笔记。
采取双栏(左窄右宽)的方式是因为这个定理的证明非常长,当你从起点出发走的比较远时,你会发现已经经常会忘了自己到哪里了,又该去哪里,左边的窄栏帮你快速了解自己现在所处的位置,方便你继续前进。
一、定义上界和上确界在证明过程中会反复用到这两个定义,尤其是上确界的定义,一定要搞明白.1.上界设A⊂R,A不是空集,b∈R,如果a A∀∈,都有a b≤,称b是集合A的上界.下面的问题是显然的.(1)非空有上界的实数集合A有最大上界吗?显然没有最大的上界.理由如下:因为若b是集合A的上界,有1b b>,则a A∀∈,都有1b b a>≥,即1a b b≤<,那么1b也是集合A的上界.所以集合A没有最大的上界.问题2即确界存在原理对任何小于b的数c,在集合A中都存在一个元素a大于c.即任何小于b的数都不是集合A有上界.supA表示集合A有上确界(2)非空而有上界的实数集集合A有最小上界吗?在讲清问题2之前需要先定义什么是最小上界?即什么是上确界?(上确界即最小上界)2.上确界集合A是实数非空集合,即A⊂R,A≠∅,如果存在一个实数b,同时满足下面的两个条件:(1) b是集合A的上界;(2)c b∀<,a A∃∈,并且a>c.我们称b是集合A的上确界.这个定义非常重要,下面的证明就要完全符合这个定义才可以.先不着急,解决两个非常重要的命题.命题1:上确界的惟一性:上确界至多有一个.证明:反证法.若集合A的上确界不止一个,不妨设有两个,即集合A有两个不同的上确界,1M和2M,则1M和2M只有下面两种大小关系:或者12M M<.因为2M是集合A的上确界,则根据上确界的定义,任何小于2M的数都不是集合A的上界,也就是说1M不可能是集合A的上界,这与假设冲突,则12M M<不成立,即12M M≥.或者12M M>.同上,这种情况也不成立,即12M M≤.有12M M≥,同时12M M≤,所以12M M=,即集合A 的上确界如果有,则至多有一个.注意:不是所有的实数集合都有上界,举个最简单的例子,集合:}{2,x x x R>∈就没有上界,也就不可能有上确界,所以上面命题的表述是严谨的.命题2:若非空实数集A Z⊂,并且集合A有上界,则集合A有上确界,并且supA A∈.证明:(王峻老师给出的证明)因为整数集的子集A有上界,不妨设b是集合A的上界,即对x A∀∈,有x b≤.显然集合A非空,在集合A中找一个元素1a A∈.注意:b是集合A的上界可简述为:有上界则必有上确界.构造阶段取整的规则:2.3=2+0.3-1.2=-2+0.8注意这里的两种情况,非常细致.因为1a A∈,则1a b≤,令[]1bb=+(这样可以保证b是整数,并且b也是集合A的上界),有10a b<,设m=01ab-(b和1a都是整数,则m也是整数,并且是正整数),则数列111012...ba a a<+<+<<有m+1项,即集合A中大于1a的元素最多有m项,显然这中间有最大的元素,它就是集合A的上确界.注:若一个集合A有最大的元素M,则这个最大的元素M 一定是该集合的上确界.证明:对m M∀<,都有M A∈,并且M>m(因为M是集合A中最大的元素),即m不是集合A的上界,于是M就是集合A的上确界.这种准备工作显然是欧几里得式的,有两个定义,加命题2,再加上比较两个实数大小的规则,就可以证明确界存在原理了.确界存在原理:设A R⊂,A≠∅,若集合A有上界,则集合A有上确界.证明:大致的思路,先构造一个数,再证明这个数是集合A的上确界.设m是集合A的一个上界.(符合命题的题设)先构造一个集合A的一个子集A,[]}{A x x A=∈,也就是把集合A中所有元素取整.集合A显然有上界.因为集合A是整数集,并且由上界,由前面证明的命题2可得集合A有最大数,记为β,就是说β是集合A中所有元素整数部分最大的.有两种情况:情况1:x A∀∈,xβ≤.则显然在集合A中存在一个元素,它就等于β,而β就是集合A的上确界.不管是情况1还是情况2-1都指的是上确界为有限小数的情况.后面还要证明上确界为无限小数的情况.对应的例子是:{}, 1.414x x R x∈≤上确界是无限小数的情况情况2:,x A xβ∃∈>.β不是集合A的上界,即集合{}0,x x A xβ∈>≠∅.因为在集合A中存在大于β的元素,所以上面的集合不为空.取集合A中所有整数部分等于β的元素的第一位小数.因为小数数位只能取0,1,2,3,……,9,所以有下面的一系列过程:{}sup[]x x Aβ=∈(集合A所有元素整数部分的最大数){}10sup(1),x x A xββ=∈>(集合A中大于β数小数部分第一位的最大数){}201sup(2),0.x x A xβββ=∈>+{}3012sup(3),0.x x A xββββ=∈>+……{}0121sup(),0....k kx k x A xβββββ-=∈>+这个过程用的是数学归纳法.先找集合A中整数部分为β的元素,在这些元素中再找第一位小数的最大值,如此重复下去,直到kβ.情况2下面还有两种小情况:情况2-1:{}012,0....kx x A xββββ∈>+=∅,意思是上面的过程没法继续了,因为集合A的上确界是有限小数,找到第k位小数时就结束了,显然,(),0,1,2,......,.ib A b i i kβ∃∈==这个元素b就是集合A 的上确界,而且集合A的上确界就存在于集合A本身.情况2-2:若{}012,0....kx x A xββββ∈>+≠∅,考虑集合{}1012,0....k kA x x A xββββ+=∈>+≠∅,并且总是不空的,可以一直进行下去.可能会出现两种情况:情况2-2-1:1,9,.kn k nβ∃≥=∀≥即kβ从第n位起开始了无限小数出现9循环9循环.这种情况不可怕,把9进上去就可以了. 如果n=1,则从第1位小数开始9循环,令0 1.b β=+ 如果n>1,则令01210....(1)n b ββββ-=++.下面证明情况2-2-1中得到的b 就是集合A 的上确界,当然先证明b 是集合A 的上界.证明无限小数并且9循环的情况下b 是集合A 的上界. “如果n=1,则从第1位小数开始9循环,令0 1.b β=+”由0β的定义可知,x A ∀∈,有0(0)x β≥,利用不等式的缩放,有x A ∀∈,有001(0)b x ββ=+>≥,可推出,.b x x A >∀∈b 是集合A 的上界.如果n>1,则令01210....(1)n b ββββ-=++.还是先证这种情况下b 是集合A 的上界.(),0,1,2,...,1i x i i n β==-,则11(1)1n n x n ββ---=<+,则,.x b x A <∀∈再证明两种情况下(无限小数9循环),b 是集合A 的上确界.对于某个(),0,1,2,...,1i c i i n β==-,而()n c n β<(因为此时n β都是9).这是能找到的最大的比b 小的数,如果都可以在集合A 中找到一个数比这个最大的比b 小的数都大,那b 就是集合A 的上确界.由β的构造,,(),0,1,2,...,1i y A y i i n β∃∈==-, 同时()9,,1,...y i i n n ==+.有y>c ,b=supA . 至此,无限小数9循环的证明结束. 再次回到情况2-2:无限小数没有出现9循环的情况若{}012,0....kx x A xββββ∈>+≠∅,考虑集合{}1012,0....k kA x x A xββββ+=∈>+≠∅,并且总是不空的,可以一直进行下去.并且没有出现9无限循环的情况,即情况2-2-2:,,9.kn k nβ∀∃><令b=β.还是先证b是集合A的上界.这里用到反证法,若b不是集合A的上界,则,.x A x b∀∈>则,(),,().k nn x k k n x nββ∃=<>这与nβ的构造矛盾,因此b是集合A的上界.再证明b是集合A的上确界.若c<b,则,()(),,()().n c k b k k n c n b n∃=∀<>若n=0,有β的定义,,(0)(0)(0).y A y b cβ∃∈==>b 是集合A的上确界.若n>0,由β的定义,,(),0,1,..., 1.iy A y i i nβ∃∈==-()()()ny n b n c nβ==>,即y>c,总之b=supA.证毕.。