电路分析第十章习题解析
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S R
10-26 题图10-26所示电路中，已知电压表V1的读数为3V, 题图 所示电路中，已知电压表 的读数为 所示电路中 V2的读数为 。问电压表读数 3等于多少？ 的读数为4V。问电压表读数V 等于多少？
解：由于电感电压超前电阻电压90°，三个电压 由于电感电压超前电阻电压 ° 呈直角三角形关系， 呈直角三角形关系，总电压的有效值等于
u (t ) = 15cos(400t + 30o ) V i (t ) = 3sin(400t + 30o )A = 3cos(400t − 60o )A
ϕ = 30o − (−60o ) = 90o
根据电压相位超前于电流90° 根据电压相位超前于电流 °，可确定该元件为电感 元件， 元件，其元件参数为
解：先写出电压u1(t)、u2(t)的有效值相量 先写出电压 、 的有效值相量
& u1 (t ) = 2 2 sin 4t = 2 2 cos(4t − 90o )V → U1 = 2∠ − 90o V = − j 2 V & u (t ) = 10 cos(4t + 30o )V → U = 5 2∠30o V = (6.12 + j 3.54)V
U m 15 5Ω 5 ωL = = Ω→L= = H = 0.0125H = 12.5 mH Im 3 ω 400
（2）求电压与电流的相位差 ）
u (t ) = 8sin(500t + 50o ) V i (t ) = 2sin(500t + 140o )A
ϕ = 50o −140o = −90o
微分方程，并用相量法求正弦稳态电流 。 微分方程，并用相量法求正弦稳态电流i(t)。
解：列出题图10-11所示电路的微分方程 列出题图 所示电路的微分方程
di 2 + 200i = 200 2 cos100t dt
得到复数代数方程
& & j2×100Im + 200Im = 200 2∠0o
求解代数方程得到电流振幅相量
R
& & & U Lm = jω LI m = j107 ×10−3 ×1∠90o V = 104 ∠180o V U L = 7070∠180o V 1 & 1 & & U Cm = Im = × 1∠90o V = 104 ∠0o V U C = 7070∠0o V 7 −11 jωC j10 ×10
由Βιβλιοθήκη Baidu压相量得到正弦稳态电压
u c ( t ) = 1 0 co s(1 0 0 t − 4 5 o ) V
10-18
已知两个串联元件上的电压为 u1(t) = 2 2sin4t V
u2 (t) = 10cos(4t + 30o )V。试用相量方法求正弦
稳态电压u(t)=u1(t)+u2(t)。 稳态电压 。
根据电流相位超前于电压90° 根据电流相位超前于电压 °，可确定该元件为电容 元件， 元件，其元件参数为
Im 2 0.25S 0.25 F = 5 ×10−4 F = 500 µF ωC = = S = 0.25S → C = = ω Um 8 500
（3） 求电压与电流的相位差 ）
u (t ) = 8cos(250t + 60o ) V i (t ) = 5sin(250t + 150o )A = 5cos(250t + 60o )A
解：由电压和电流的瞬时值表达式得到以下结果： 由电压和电流的瞬时值表达式得到以下结果： 电压振幅U 电压振幅 m=311V 初相ψ= -30° 初相 ° 电流振幅Im=0.2A 电流振幅 角频率 ω =2.922×106rad/s × 角频率ω=314rad/s 角频率 频率f=50Hz 频率
频率f=465×103Hz 初相 =60° × 初相ψ 频率 °
用相量形式的欧姆定律求得电流i 、 用相量形式的欧姆定律求得电流 R(t)、iL(t)、iC(t)的 、 的
& & & 有效值相量 I R、I L、I C 。
& IR & IL & IC
& U s 1.5∠60o = = A = 1.5 × 10−3 ∠60o A = 1.5∠60o mA R 1000 & Us 1.5∠60o = = A = 15 ×10−3 ∠ − 30o A = 15∠ − 30o mA jω L j105 × 10−3 & = jωCU = j105 ×10−7 ×1.5∠60o A = 15 ×10−3 ∠150o A = 15∠150o mA
2 U 3 = U12 + U 2 = 32 + 42 V = 5V
10-27 题图 题图10-27所示电路中，已知电流表A1的读数 所示电路中，已知电流表 所示电路中 为1A，A2的读数为 。问电流表读数 3等于多少？ ， 的读数为2A。问电流表读数A 等于多少？
解：由于电容电流超前电阻电流90°，三个电流成 由于电容电流超前电阻电流 ° 直角三角形关系， 直角三角形关系，总电流的有效值等于
用相量形式的KVL方程求得电源电压 S(t)的振幅相量 U Sm 方程求得电源电压u 的振幅相量 & 用相量形式的 方程求得电源电压
& 和有效值相量 U S
& & & & & U Sm = U Rm + U Lm + U Cm = ( j100 + 104 ∠180o + 104 ∠0o )V = U Rm = j100V & & U = U = j 70.7V = 70.7∠90o V
2 2
再根据相量形式的KVL方程求出电压相量 U 方程求出电压相量 & 再根据相量形式的
& & & U = U1 + U 2 = (− j 2 + 6.12 + j 3.54)V = (6.12 + j1.54)V = 6.31∠14.1o V
o & 得到瞬时值形式的电压u(t) 最后根据电压相量 U = 6.31∠14.1 V 得到瞬时值形式的电压
ϕ = 60o − 60o = 0o
根据电压相位与电流同相，确定该元件为电阻元件， 根据电压相位与电流同相，确定该元件为电阻元件，其元 件参数为
Um 8 = Ω = 1.6Ω R= Im 5
10-23
题图10-23所示电路中，已知电压 所示电路中， 题图 所示电路中
us (t ) = 1.5 2 cos(105 t + 60o )V。
s
用相量形式的KCL方程求得电流 的有效值相量 I 方程求得电流i(t)的有效值相量 & 用相量形式的 方程求得电流
& & & & I = I R + I L + I C = (1.5∠60o + 15∠ − 30o + 15∠150o )mA = 1.5∠60o mA + (13 − j7.5 − 13 + j7.5)mA = 1.5∠60o mA
以电容电压为变量，列出题图10-12所示电路的微分方程 解： 以电容电压为变量，列出题图 所示电路的微分方程
duc 10 × 10 + uc = 10 2 cos100t dt
−3
得到复数代数方程
& ( j1 + 1)U Cm = 10 2∠0o
求解代数方程得到电容电压的振幅相量
10 2∠0o 10 2∠0o & U Cm = V= V = 10∠ − 45o V j1 + 1 2∠45o
2 I 3 = I12 + I 2 = 12 + 22 A = 5A = 2.236V
10-29 题图10-29所示电路中，已知 uS(t)=10cos(314t+50°)V。 题图 所示电路中， ° 。 所示电路中 试用相量法求电流i(t)和电压 试用相量法求电流 和电压uL(t)、uC(t)。 和电压 、 。
10-1 已知正弦电压和电流为 已知正弦电压和电流为u(t)=311cos(314t-π/6)V， ， i(t)=0.2cos(2π×465×103t+π/3)A。（ ）求正弦电压和电流的 × 。（1） × 。（ 振幅、角频率、频率和初相。（ ）画出正弦电压和电流的波 振幅、角频率、频率和初相。（2） 。（ 形图。正弦电压和电流的波形如题图10形图。正弦电压和电流的波形如题图10-1所示 10
解: (1) ϕ = ψ u −ψ i = −50 − (−90o ) = 40o (2) i(t ) = 10 2 cos(314t +ψ − ϕ)A = 10 2 cos(314 − 40o )A u
10-11 题图 题图10-11所示电路中，已知 所示电路中， 所示电路中
us (t ) = 220 2 cos100t V 。试建立电路
求电流iR(t)、iL(t)、iC(t)、i(t)的相量。 求电流 、 、 、 的相量。 的相量
解：由电源电压uS(t)的瞬时值表达式得到有效值相量 & s 由电源电压 的瞬时值表达式得到有效值相量 U
& us (t ) = 1.5 2 cos(105 t + 60o )V → U s = 1.5∠60o V
解：画出题图10-29（a）所示电路的相量模型，如 画出题图 （ ）所示电路的相量模型， 题图10-29（b）所示。用相量形式的 （ ）所示。用相量形式的KCL、KVL和 题图 、 和
& 相量形式的欧姆定律计算出电流相量 I ，并得到
瞬时值形式的电流i(t)。 瞬时值形式的电流 。
& US 7.07∠50o 7.07∠50o & I= A= A = 92.7∠128.7o mA = Z 15 + j 3.14 − j106.2 76.3∠ − 78.7o i (t ) = 92.7 2 cos(314t + 128.7o )mA
u (t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = 6.31 2 cos(4t + 14.1o )V
10-20
已知某二端元件的电压、电流采用关联参考方向， 已知某二端元件的电压、电流采用关联参考方向，其瞬
时值表达式为（ 15cos(400t+30 3sin(400t+ 时值表达式为（1）u(t)=15cos(400 +30°)V, i(t)=3sin(400 + 15cos(400 +30° 3sin(400 30° 30°)A; (2) u(t)=8sin(500t+50°)V, i(t)=2sin(500t+140°)A ; ° ° (3)u(t)=8cos(250t+60°)V, i(t)=5sin(250t+150°)A。试确定该元件 ° ° 。 是电阻、电感或电容，并确定其元件数值。 是电阻、电感或电容，并确定其元件数值。 解: (1) 求电压与电流的相位差
200 2∠0o 200 2∠0o & Im = A= A = 1∠ − 45o A j 2 ×100 + 200 200 2∠45o
由电流相量得到正弦稳态电流
i(t) = 1cos(100t − 45o ) A
10-12 题图 题图10-12所示电路中，已知 is (t ) =10 2cos100 t A 。试 所示电路中， 所示电路中 建立电路微分方程，并用相量法求正弦稳态电压 建立电路微分方程，并用相量法求正弦稳态电压uc(t)。 。
10-24 题图 题图10-24所示电路中，已知电流i(t)=1cos(107t+90°)A。 所示电路中，已知电流 所示电路中 ° 。 求电压u 、 的相量。 求电压 R(t)、uL(t)、uC(t)、uS(t)的相量。 、 、 的相量
解：由电流i(t)的瞬时值表达式得到振幅相量 I m 由电流 的瞬时值表达式得到振幅相量 &
10-4 已知正弦电压和电流为 u (t ) = 220 2 cos(314t − 50o )V , 求正弦电压与电流的相位差， 求正弦电压与电流的相位差 i (t ) = 10 2 cos(314t − 90o )A 。(1)求正弦电压与电流的相位差， 说明它们超前、滞后的关系，画出波形图。 假设将正弦电压 说明它们超前、滞后的关系，画出波形图。(2)假设将正弦电压 的初相改变为零，求此时正弦电流的表达式。 的初相改变为零，求此时正弦电流的表达式。 电压和电流的波形如题图10-4所示 所示 电压和电流的波形如题图
& i (t ) = 1cos(107 t + 90o )A → I m = 1∠90o A = j1A
利用相量形式的欧姆定律求出电压 uR (t )、uL (t )、uC (t ) 的振幅相量和有效值相量
& & U Rm = RI m = 100 ×1∠90o V = 100∠90o V = j100V & U = 70.7∠90oV = j 70.7V
10-26 题图10-26所示电路中，已知电压表V1的读数为3V, 题图 所示电路中，已知电压表 的读数为 所示电路中 V2的读数为 。问电压表读数 3等于多少？ 的读数为4V。问电压表读数V 等于多少？
解：由于电感电压超前电阻电压90°，三个电压 由于电感电压超前电阻电压 ° 呈直角三角形关系， 呈直角三角形关系，总电压的有效值等于
u (t ) = 15cos(400t + 30o ) V i (t ) = 3sin(400t + 30o )A = 3cos(400t − 60o )A
ϕ = 30o − (−60o ) = 90o
根据电压相位超前于电流90° 根据电压相位超前于电流 °，可确定该元件为电感 元件， 元件，其元件参数为
解：先写出电压u1(t)、u2(t)的有效值相量 先写出电压 、 的有效值相量
& u1 (t ) = 2 2 sin 4t = 2 2 cos(4t − 90o )V → U1 = 2∠ − 90o V = − j 2 V & u (t ) = 10 cos(4t + 30o )V → U = 5 2∠30o V = (6.12 + j 3.54)V
U m 15 5Ω 5 ωL = = Ω→L= = H = 0.0125H = 12.5 mH Im 3 ω 400
（2）求电压与电流的相位差 ）
u (t ) = 8sin(500t + 50o ) V i (t ) = 2sin(500t + 140o )A
ϕ = 50o −140o = −90o
微分方程，并用相量法求正弦稳态电流 。 微分方程，并用相量法求正弦稳态电流i(t)。
解：列出题图10-11所示电路的微分方程 列出题图 所示电路的微分方程
di 2 + 200i = 200 2 cos100t dt
得到复数代数方程
& & j2×100Im + 200Im = 200 2∠0o
求解代数方程得到电流振幅相量
R
& & & U Lm = jω LI m = j107 ×10−3 ×1∠90o V = 104 ∠180o V U L = 7070∠180o V 1 & 1 & & U Cm = Im = × 1∠90o V = 104 ∠0o V U C = 7070∠0o V 7 −11 jωC j10 ×10
由Βιβλιοθήκη Baidu压相量得到正弦稳态电压
u c ( t ) = 1 0 co s(1 0 0 t − 4 5 o ) V
10-18
已知两个串联元件上的电压为 u1(t) = 2 2sin4t V
u2 (t) = 10cos(4t + 30o )V。试用相量方法求正弦
稳态电压u(t)=u1(t)+u2(t)。 稳态电压 。
根据电流相位超前于电压90° 根据电流相位超前于电压 °，可确定该元件为电容 元件， 元件，其元件参数为
Im 2 0.25S 0.25 F = 5 ×10−4 F = 500 µF ωC = = S = 0.25S → C = = ω Um 8 500
（3） 求电压与电流的相位差 ）
u (t ) = 8cos(250t + 60o ) V i (t ) = 5sin(250t + 150o )A = 5cos(250t + 60o )A
解：由电压和电流的瞬时值表达式得到以下结果： 由电压和电流的瞬时值表达式得到以下结果： 电压振幅U 电压振幅 m=311V 初相ψ= -30° 初相 ° 电流振幅Im=0.2A 电流振幅 角频率 ω =2.922×106rad/s × 角频率ω=314rad/s 角频率 频率f=50Hz 频率
频率f=465×103Hz 初相 =60° × 初相ψ 频率 °
用相量形式的欧姆定律求得电流i 、 用相量形式的欧姆定律求得电流 R(t)、iL(t)、iC(t)的 、 的
& & & 有效值相量 I R、I L、I C 。
& IR & IL & IC
& U s 1.5∠60o = = A = 1.5 × 10−3 ∠60o A = 1.5∠60o mA R 1000 & Us 1.5∠60o = = A = 15 ×10−3 ∠ − 30o A = 15∠ − 30o mA jω L j105 × 10−3 & = jωCU = j105 ×10−7 ×1.5∠60o A = 15 ×10−3 ∠150o A = 15∠150o mA
2 U 3 = U12 + U 2 = 32 + 42 V = 5V
10-27 题图 题图10-27所示电路中，已知电流表A1的读数 所示电路中，已知电流表 所示电路中 为1A，A2的读数为 。问电流表读数 3等于多少？ ， 的读数为2A。问电流表读数A 等于多少？
解：由于电容电流超前电阻电流90°，三个电流成 由于电容电流超前电阻电流 ° 直角三角形关系， 直角三角形关系，总电流的有效值等于
用相量形式的KVL方程求得电源电压 S(t)的振幅相量 U Sm 方程求得电源电压u 的振幅相量 & 用相量形式的 方程求得电源电压
& 和有效值相量 U S
& & & & & U Sm = U Rm + U Lm + U Cm = ( j100 + 104 ∠180o + 104 ∠0o )V = U Rm = j100V & & U = U = j 70.7V = 70.7∠90o V
2 2
再根据相量形式的KVL方程求出电压相量 U 方程求出电压相量 & 再根据相量形式的
& & & U = U1 + U 2 = (− j 2 + 6.12 + j 3.54)V = (6.12 + j1.54)V = 6.31∠14.1o V
o & 得到瞬时值形式的电压u(t) 最后根据电压相量 U = 6.31∠14.1 V 得到瞬时值形式的电压
ϕ = 60o − 60o = 0o
根据电压相位与电流同相，确定该元件为电阻元件， 根据电压相位与电流同相，确定该元件为电阻元件，其元 件参数为
Um 8 = Ω = 1.6Ω R= Im 5
10-23
题图10-23所示电路中，已知电压 所示电路中， 题图 所示电路中
us (t ) = 1.5 2 cos(105 t + 60o )V。
s
用相量形式的KCL方程求得电流 的有效值相量 I 方程求得电流i(t)的有效值相量 & 用相量形式的 方程求得电流
& & & & I = I R + I L + I C = (1.5∠60o + 15∠ − 30o + 15∠150o )mA = 1.5∠60o mA + (13 − j7.5 − 13 + j7.5)mA = 1.5∠60o mA
以电容电压为变量，列出题图10-12所示电路的微分方程 解： 以电容电压为变量，列出题图 所示电路的微分方程
duc 10 × 10 + uc = 10 2 cos100t dt
−3
得到复数代数方程
& ( j1 + 1)U Cm = 10 2∠0o
求解代数方程得到电容电压的振幅相量
10 2∠0o 10 2∠0o & U Cm = V= V = 10∠ − 45o V j1 + 1 2∠45o
2 I 3 = I12 + I 2 = 12 + 22 A = 5A = 2.236V
10-29 题图10-29所示电路中，已知 uS(t)=10cos(314t+50°)V。 题图 所示电路中， ° 。 所示电路中 试用相量法求电流i(t)和电压 试用相量法求电流 和电压uL(t)、uC(t)。 和电压 、 。
10-1 已知正弦电压和电流为 已知正弦电压和电流为u(t)=311cos(314t-π/6)V， ， i(t)=0.2cos(2π×465×103t+π/3)A。（ ）求正弦电压和电流的 × 。（1） × 。（ 振幅、角频率、频率和初相。（ ）画出正弦电压和电流的波 振幅、角频率、频率和初相。（2） 。（ 形图。正弦电压和电流的波形如题图10形图。正弦电压和电流的波形如题图10-1所示 10
解: (1) ϕ = ψ u −ψ i = −50 − (−90o ) = 40o (2) i(t ) = 10 2 cos(314t +ψ − ϕ)A = 10 2 cos(314 − 40o )A u
10-11 题图 题图10-11所示电路中，已知 所示电路中， 所示电路中
us (t ) = 220 2 cos100t V 。试建立电路
求电流iR(t)、iL(t)、iC(t)、i(t)的相量。 求电流 、 、 、 的相量。 的相量
解：由电源电压uS(t)的瞬时值表达式得到有效值相量 & s 由电源电压 的瞬时值表达式得到有效值相量 U
& us (t ) = 1.5 2 cos(105 t + 60o )V → U s = 1.5∠60o V
解：画出题图10-29（a）所示电路的相量模型，如 画出题图 （ ）所示电路的相量模型， 题图10-29（b）所示。用相量形式的 （ ）所示。用相量形式的KCL、KVL和 题图 、 和
& 相量形式的欧姆定律计算出电流相量 I ，并得到
瞬时值形式的电流i(t)。 瞬时值形式的电流 。
& US 7.07∠50o 7.07∠50o & I= A= A = 92.7∠128.7o mA = Z 15 + j 3.14 − j106.2 76.3∠ − 78.7o i (t ) = 92.7 2 cos(314t + 128.7o )mA
u (t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = 6.31 2 cos(4t + 14.1o )V
10-20
已知某二端元件的电压、电流采用关联参考方向， 已知某二端元件的电压、电流采用关联参考方向，其瞬
时值表达式为（ 15cos(400t+30 3sin(400t+ 时值表达式为（1）u(t)=15cos(400 +30°)V, i(t)=3sin(400 + 15cos(400 +30° 3sin(400 30° 30°)A; (2) u(t)=8sin(500t+50°)V, i(t)=2sin(500t+140°)A ; ° ° (3)u(t)=8cos(250t+60°)V, i(t)=5sin(250t+150°)A。试确定该元件 ° ° 。 是电阻、电感或电容，并确定其元件数值。 是电阻、电感或电容，并确定其元件数值。 解: (1) 求电压与电流的相位差
200 2∠0o 200 2∠0o & Im = A= A = 1∠ − 45o A j 2 ×100 + 200 200 2∠45o
由电流相量得到正弦稳态电流
i(t) = 1cos(100t − 45o ) A
10-12 题图 题图10-12所示电路中，已知 is (t ) =10 2cos100 t A 。试 所示电路中， 所示电路中 建立电路微分方程，并用相量法求正弦稳态电压 建立电路微分方程，并用相量法求正弦稳态电压uc(t)。 。
10-24 题图 题图10-24所示电路中，已知电流i(t)=1cos(107t+90°)A。 所示电路中，已知电流 所示电路中 ° 。 求电压u 、 的相量。 求电压 R(t)、uL(t)、uC(t)、uS(t)的相量。 、 、 的相量
解：由电流i(t)的瞬时值表达式得到振幅相量 I m 由电流 的瞬时值表达式得到振幅相量 &
10-4 已知正弦电压和电流为 u (t ) = 220 2 cos(314t − 50o )V , 求正弦电压与电流的相位差， 求正弦电压与电流的相位差 i (t ) = 10 2 cos(314t − 90o )A 。(1)求正弦电压与电流的相位差， 说明它们超前、滞后的关系，画出波形图。 假设将正弦电压 说明它们超前、滞后的关系，画出波形图。(2)假设将正弦电压 的初相改变为零，求此时正弦电流的表达式。 的初相改变为零，求此时正弦电流的表达式。 电压和电流的波形如题图10-4所示 所示 电压和电流的波形如题图
& i (t ) = 1cos(107 t + 90o )A → I m = 1∠90o A = j1A
利用相量形式的欧姆定律求出电压 uR (t )、uL (t )、uC (t ) 的振幅相量和有效值相量
& & U Rm = RI m = 100 ×1∠90o V = 100∠90o V = j100V & U = 70.7∠90oV = j 70.7V