正态分布及3σ原则
正态分布及3σ原则
在可靠性工程中，3σ原则用于评估产品的可靠性。通过计 算产品的寿命分布和可靠性指标，可以预测产品在给定时 间内的失效概率。
3σ原则的局限性
01
假设限制
3σ原则基于正态分布的假设，而实际数据分布可能并不完全符合正态
分布。因此，在应用3σ原则时需要谨慎考虑数据的分布情况。
02 03
异常值处理
投资组合再平衡
基于正态分布的假设，投资者可以通过定期重新平衡投资组合来降低非系统风险，确保 投资组合与目标风险水平保持一致。
05
正态分布与其他统计学的关
系
与中心极限定理的关系
1
中心极限定理：在大量独立随机变量的平均值接 近正态分布，不论这些随机变量的分布形状如何， 这一结论都成立。
2
正态分布是中心极限定理的一种表现形式，当独 立随机变量的数量足够大时，它们的平均值的分 布趋近于正态分布。
正态分布及3σ原则
• 正态分布的介绍 • 正态分布的3σ原则 • 正态分布在质量管理中的应用 • 正态分布在金融领域的应用 • 正态分布与其他统计学的关系
目录
01
正态分布的介绍
正态分布的定义
01
正态分布是一种概率分布，描述 了许多自然现象的随机变量（或 一组随机变量）的概率分布形态 。
02
它具有钟形曲线，其中平均值（μ） 和标准差（σ）是两个关键参数， 决定了分布的形状和范围。
3
中心极限定理是概率论和统计学中的一个基本原 理，在许多领域都有广泛的应用，如金融、生物、 医学等。
与大数定律的关系
01
大数定律：在独立随机试验中 ，随着试验次数的增加，某一 事件发生的频率趋于该事件发 生的概率。
02
正态分布与大数定律密切相关 ，因为在大数定律的作用下， 大量独立随机变量的平均值会 呈现出正态分布的特征。
正态分布3σ 概率
正态分布3σ概率正态分布是一种普遍存在的统计数学模型，因其广泛的应用而闻名。
正态分布是十维空间中最常用的一种分布，它可以用来描述连续随机变量的分布情况，例如理论数学上的概率统计学这一门课程。
在统计学中，正态分布是一种普遍分布，描述大量数据集中变量分布的典型模型。
这篇文章将解释3σ正态分布概率模型的原理，以及它在实际应用中的结论。
正态分布的研究始于18世纪，由卡尔斯鲁厄首先提出，后来又被法国数学家拉普拉斯扩展，最终被拉普拉斯以及卡尔斯鲁厄的名字放在一起命名为正态分布。
正态分布的概念是，在一个总体中，每一个变量的观测值都可以看作一个来自一个指定的总体平均值的正态分布。
例如，如果你要对一个总体人口的“身高”进行统计，那么就可以使用正态分布模型，它能够正确描述这个总体身高的分布情况。
3σ正态分布概率是指满足正态分布的条件下，数据集或者总体的每一个样本的概率。
换句话说，3σ正态分布概率就是一个数据集中每个样本分布的概率值。
具体而言，3σ正态分布概率是指将样本总体水平划分为三部分：两个百分之34.13的数据位于均值和方差之间，即两个百分之34.13的样本分布在均值±1个标准差之间；这种情况就是一般所说的3σ正态分布概率。
3σ正态分布概率在实际应用中有着重要的作用。
由于正态分布模型可以比较准确的描述数据集中不同变量的分布特征，因此在各种技术统计分析中，正态分布概率模型经常被用于估算某一参数的最终结果。
例如，假如有一个总体，每个变量的观测值都可以看作一个来自总体平均值的正态分布，那么在预测这个总体未来的变量分布时，就可以使用3σ正态分布的概率模型，来获得该总体未来的结果。
此外，在股市交易中，3σ正态分布概率也可以被用于确定目标行动点，以及预测股票的未来行情。
此外，3σ正态分布概率还可以被用于投资组合分析，以准确度量投资组合胜率，以及投资组合的风险等方面。
总之，3σ正态分布概率是普遍存在的统计学模型，它可以用来描述连续随机变量的分布情况，例如理论数学上的概率统计学这一门课程。
3sigma原则确定异常值
3σ原则-确定异常值什么是异常值？在统计学中，异常值（Outlier）指的是与大部分数据点显著不同的数据点。
它们可能是由于测量误差、数据收集错误、实验误差或其他未知原因而导致的。
异常值不符合数据的总体特性，可能会对统计分析结果产生显著影响。
因此，识别和处理异常值对于保证数据的准确性和可靠性至关重要。
为什么需要确定异常值？确定异常值的主要目的是排除错误数据，保证分析结果的可靠性和有效性。
异常值的存在会对数据的描述统计量、回归模型、聚类分析等各种统计分析产生不良影响。
通过识别和处理异常值，可以提高统计模型的拟合度、准确性和可解释度。
3σ原则是什么？3σ原则（3 Sigma Rule）是一种常用的统计方法，用于确定异常值。
它基于正态分布的假设，假设数据服从正态分布并以均值μ 和标准差σ 描述。
根据3σ原则，异常值可以定义为与均值相差超过3倍标准差的数据点。
具体来说，对于服从正态分布的数据： - 68.27% 的数据会落在均值附近的一个标准差范围内（[μ-σ, μ+σ]）； - 95.45% 的数据会落在均值附近的两个标准差范围内（[μ-2σ, μ+2σ]）； - 99.73% 的数据会落在均值附近的三个标准差范围内（[μ-3σ, μ+3σ]）。
因此，根据3σ原则，我们可以将与均值相差超过3倍标准差的数据点定义为异常值。
如何确定异常值？确定异常值可以按照以下步骤进行：第一步：计算均值和标准差首先，计算数据的均值（μ）和标准差（σ）。
均值表示数据的中心趋势，标准差表示数据的离散程度。
第二步：计算异常值阈值根据3σ原则，计算异常值的阈值。
将均值加减三倍标准差得到上限和下限。
即：- 上限 = 均值+ 3 × 标准差 - 下限 = 均值 - 3 × 标准差第三步：识别异常值根据异常值阈值，对数据进行识别。
将大于上限或小于下限的数据点标记为异常值。
第四步：处理异常值确定异常值后，可以根据具体情况进行处理。
4.2.5正态分布课件-高二上学期数学人教B版选择性
学习总结
例1 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm， 下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
①在区间[160，180]内的概率； ②不高于160的概率. 问题：(1)服从正态分布的两个参数μ，σ分别为多少？ (2)题中数据160、180如何用参数μ，σ表示？
新授课 课时13 正态分布
复习导入
(x)
1
e
(
x )2 2 2
2
正态曲线的性质： (1)曲线关于直线x=μ对称，具有中间高，两边低的特点；
正态曲线在实际生活 中有何作用呢？
(2)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1.
(4)σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”;
解：(1)设该学生的身高为X，由题知μ=170，σ=10，所以X~N(170 ，102 ).(2)160=μ-σ，180=μ+σ，
学习目标
学习活动
学习总结
(3)上述事件可以如何表示？概率分别为多少？
①身高在区间[160，180]内：μ-σ≤X≤μ+σ， ∴P(160≤X≤180 ) =P(|X–170|≤10)≈68.3％； ②不高于160：X≤μ-σ， ∴P(X≤160)=P(X≥180)=(1-P(160<X<180))≈15.87％.
出什么结论？
Y~N(μ，σ2)
令X Y
X~N(0，1)
结论：任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.
学习目标
学习活动
学习总结
问题2：若X~N(0，1)，则P(X<-1)与P(X<1)的值相加等于多少？ P(X<-a)与P(X<a)也满足这样的关系吗？为什么？
关于正态分布
关于正态分布正态分布图的解释来源 normal distribution正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与Μ邻近的值的概率大，而取离Μ越远的值的概率越小；Σ越小，分布越集中在Μ附近，Σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形。
当μ=0，σ^2 =1时，称为，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
V 结合分析理解：用户ARPU变动值，方差越小，则证明图形越靠近中心，也就是可以看出这样的用户ARPU变动不十分大，属于较为稳定的用户类型。
正态分布的特征正态分布的特征：服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
1. 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2. 对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
3. u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
Σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，Σ越大，数据分布越分散，Σ越小，数据分布越集中。
人教A版数学选修2—32.4正态分布
尺寸， i 1, 2,,16 ．
用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值ˆ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程
进行检查？剔除 (ˆ 3ˆ, ˆ 3ˆ ) 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）．
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，
及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可
能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95
10.1 2
9.96
9.96
10.0 1
10.2 6
9.91
10.1 3
10.0 2
9.22
9.92
10.0 4
9.98
10.0 5
10.0 4
9.95
经计算得
x
1 16
16 i 1
xi
9.97 ， s
1 16
16
( xi
i 1
x)2
1
16
(
16 i1
xi2
16x 2 )2
0.212 ，其中 xi
为抽取的第 i 个零件的
分以上的人数为________． [答案] 10
[解] 由 ξ～N(100,102)知，μ＝100，σ＝10， 又 P(90≤ξ≤100)＝0.3， ∴P(ξ>110)＝P(ξ<90) ＝1－P90≤2 ξ≤110＝1－2P902≤ξ≤100＝1－22×0.3＝0.2. ∴该班学生成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50＝10 人．
3σ原则检测
3σ原则检测
摘要：
1.3σ原则检测的定义和原理
2.3σ原则检测的具体步骤
3.3σ原则检测在实际应用中的优势和局限性
正文：
3σ原则检测是一种常用的数据分析方法，其原理基于统计学中的标准差概念。
标准差是用来衡量一组数据的离散程度，而3σ原则则是指在一个正态分布曲线下，距离平均值三个标准差的范围内，包含了约99.73% 的数据。
因此，通过3σ原则检测，可以快速判断一组数据是否符合正态分布，从而为后续的统计分析提供依据。
3σ原则检测的具体步骤如下：
1.计算数据的平均值和标准差。
平均值是所有数据的和除以数据的个数，而标准差则是每个数据与平均值的差的平方的平均值的平方根。
2.计算距离平均值三个标准差的范围。
这个范围通常用于判断数据是否符合正态分布，因为在正态分布曲线下，距离平均值三个标准差的范围内，包含了约99.73% 的数据。
3.将每个数据与平均值的差的绝对值与三个标准差进行比较。
如果某个数据的差的绝对值大于三个标准差，则认为这个数据是异常值，需要进行进一步的分析。
3σ原则检测在实际应用中有广泛的应用，例如在质量控制中，可以用于判断产品的尺寸是否符合要求；在金融领域中，可以用于判断投资项目的风险是
否可控。
然而，3σ原则检测也有其局限性，例如对于偏态分布的数据，3σ原则检测可能无法有效地识别出异常值。
总的来说，3σ原则检测是一种简单有效的数据分析方法，适用于大部分的数据分析场景。
关于正态分布
正态分布图的解释来源normal distribution正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与Μ邻近的值的概率大，而取离Μ越远的值的概率越小；Σ越小，分布越集中在Μ附近，Σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ=0，σ^2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
V结合分析理解：用户ARPU变动值，方差越小，则证明图形越靠近中心，也就是可以看出这样的用户ARPU变动不十分大，属于较为稳定的用户类型。
正态分布的特征正态分布的特征：服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
1.集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2.对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
3.u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
Σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，Σ越大，数据分布越分散，Σ越小，数据分布越集中。
正态分布
[一点通]
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将
所求概率向P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－
3σ<X<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概 率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面 积为1这一特殊性质．
6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于 交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)， 则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为______． 解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
3．正态分布的 3 原则
(1) P( X ) 68.3% (2) P( 2 X 2 ) 95.4%
(3) P( 3 X 3 ) 99.7%
正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就 是正态分布的3σ原则．
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm)
25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
复习
频率 组距
样本容量增大时 频率分布直方图
分布密度曲线
产品 尺寸 (mm)
这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，此曲线对应的函 数称为X的分布密度函数，记为f(x).
频率 组距
产品尺寸X的 分布密度曲线
产品 尺寸 (mm)
频率 组距
产品 尺寸 (mm) a b
正态分布3σ 概率
正态分布3σ概率正态分布是统计学常用的一种概率分布，其特点是呈“钟型曲线”，即正态分布曲线。
该理论得名于马克斯威廉弗里德曼（Maxwell William Fritman），在统计学中有着举足轻重的地位。
对于正态分布，有一个常见的概念--3σ概率，由其名字可知，这种概率指的是一个正态分布曲线以这3σ的分布面积作为主要影响因素的概率。
正态分布的3σ概率如下：3σ概率：68.27%2σ概率：95.45%1σ概率：99.73%3σ概率是指，对于一个正态分布曲线，某个特定值及它两侧共68.27％的数据点都将在这个值的3σ范围内。
也就是说，3σ概率表示的是一个正态分布曲线两侧共计68.27％的数据位于这个曲线上某个特定值两侧3σ的范围内。
3σ概率是统计学中使用广泛的概念，用以衡量数据的分布情况。
在统计分析中，将一个正态分布数据的统计均值定义为X，则可以量化两侧的离散度，形成X±3σ的范围。
由此，可以看出，其实整个正态分布数据的分布都必须满足 X 3σ样一个条件。
在实际应用中，3σ概率可以用来衡量任何一个数据集的分布情况，以及检测数据集中的离群点。
它可以用来识别和探测出被测样本的分布情况，从而把全体样本分为几类，合理分类处理，有利于数据的分析处理。
3σ概率也可以用来分析指标的敏感度，在开展敏感度分析时，首先通过采用3σ概率的方法，将模型中的特征参数及其取值分为几类，从而对模型中特征参数及其取值进行测度，有助于研究工作灵活有效地完成。
另外，3σ概率还可以用来研究概率分布的改变情况，由于3σ概率反映的是一个正态分布曲线中一个特定值两侧3σ内数据点的概率分布，因此，它可以用来分析正态分布情况的改变，从而对曲线的数量分布特征进行分析，推断出曲线的变化范围，进而判断出系统的变化情况。
总之，3σ概率是一种流行的统计概念，它可以帮助人们更好地分析和处理数据，为后续的研究活动提供重要的参考依据。
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、正态曲线与正态分布曲线1.正态曲线如果随机变量X 的概率密度函数为φu ,σ(x)=222)(21σπσu x e --，x ∈(-∞,+∞)其中实数u 和σ（σ＞0）为参数.我们称φu ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.要点提示 高尔顿板试验中，当试验次数越多，也就是放入小球的个数越多，实验就越接近正态曲线.2.正态分布一般地，如果对于任何实数a<b ，随机变量X 满足P(a<X≤b)=⎰ba dx x )(,σμϕ，则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布，则记为X —N(μ,σ2).参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.把μ=0，σ=1的正态分布叫做标准正态分布.方法归纳 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.热点聚焦 正态分布是客观存在的规律，高尔顿板试验只不过是验证了这一规律而已.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条 件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.3.正态曲线的特点（1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交；（2）曲线是单峰的.它关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ处达到峰值πσ21；（4）曲线与ｘ轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿ｘ轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.特点（1）：说明函数的值域为正实数集的子集，且以ｘ轴为渐近线；特点（2）：是曲线的对称性，关于直线x=μ对称；特点（3）：说明函数x=μ时取得最大值;特点（4）：说明正态变量在（-∞，＋∞）内取值的概率为1;特点（5）：说明当均值一定时，σ变化时总体分布的集中、离散程度.知识拓展 若标准正态分布N （0，1）总体取值小于x 0的概率用φ(x 0)表示，即φ(x 0)=P(x<x 0),则φ(x 0)+φ(-x 0)=1;对一般正态总体N （μ,σ2）来说，可通过线性代换y=σμ-x 转化为标准正态总体N （0，1）.二、3σ原则1.正态分布在区间(μ-a,μ+a ］上的概率若X —N （μ,σ2），则对于任何实数ａ＞0，概率P(μ-a<X≤μ+a)=⎰+-αμαμσμϕdx x )(,为直线x=μ-a,x=μ+a 与正态曲线和ｘ轴所围成的图形的面积.对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.这说明σ越小，X 落在区间(μ-a,μ+a ］的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大.上述规律是通过正态曲线的形象直观地得到的，也就是通过定性分析得到的，事实上我们也可以利用定量计算得到，即通过对定积分⎰+-αμαμσμϕdx x )(,计算得到. 深化升华 几个特殊结论：P(μ-a<X≤μ+a)=0.682 6，P(μ-2a<X≤μ+2a)=0.954 4,P(μ-3a<X≤μ+3a)=0.997 4.2.3σ原则由于正态总体几乎总取值于区间(μ-3a,μ+3a)之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X 只取(μ-3a,μ+3a)之间的值，并简称之为3σ原则.深化升华 从理论上可以证明，正态变量在(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内，取值的概率分别约是68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在（-∞,+∞）内取值的概率是1，容易得出，它在（μ-3σ,μ+3σ）之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍的标准差之内，这就是正态分布的3σ原则.问题·探究问题 1 在高尔顿板试验中，小球第一次与高尔顿板的底部接触时的坐标X 服从正态分布吗？思路:一个随机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.在高尔顿板试验中，小球到达底部的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布.探究:判断一个变量是不是服从正态分布，就是看是否为随机变量，并且是否符合正态分布的定义及条件.尽管我们是利用高尔顿板试验近似地得到正态曲线，进而得到正态分布.但正态分布是客观存在的规律，这一试验只是验证了这一问题.而且当试验的次数越多，也就是放入的小于的个数越多，试验就越接近正态曲线.问题2 某厂生产的圆柱形零件的外直径X 服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 ｃｍ，试求该厂生产的这批零件是否合格？思路:由X 服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52),在(4-3×0.5,4+3×0.5)之外的取值概率只有0.03，而5.7 (2.5,5.5).这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格.探究:解决此类问题可以用假设检验的思想方法来解决，其基本步骤可分为三步.一是提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N （μ,σ2）;二是确定一次试验中的取值σ是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);三是作出判断，如果a ∈(μ-3σ,μ+3σ)，则接受统计假设，如果a (μ-3σ,μ+3σ)则拒绝统计假设.要注意小概率事件原理是假设检验的基础.运用小概率事件原理时须注意：这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的；运用“小概率事件原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能.典题·热题例1设ξ服从标准正态分布，则（1）P(ξ<1.8)=___________;(2)P(-1<ξ<1.5)=___________;(3)P(ξ>-1.5)=___________;(4)P(|ξ|<2)=___________.思路分析： 由标准正态分布的性质直接代入求解：（1）P(ξ<1.8)=φ(1.8)=0.964 1;（2）P(-1<ξ<1.5)=φ(1.5)-φ(-1)=0.993 2-1+φ(1)=0.993 2-1+0.841 3=0.774 5;(3)P(ξ>-1.5)=1-P(ξ≤-1.5)=1-φ(-1.5)=φ(1.5)=0.993 2;(4)P(|ξ|<2)=φ(2)-φ(-2)=2φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.答案：（1）0.964 1 （2）0.774 5 （3）0.993 2 （4）0.954 4.方法归纳 利用公式φ(x)=1-φ(-x)及标准正态分布的几何意义（即其概率为相应的曲边多边形的面积），是将求服从正态分布的随机变量的概率转化为求φ(x 0)的值的关键，进而通过查标准正态分布表即可求出相关的概率.同样，利用公式P （X<x ）=φ(σμ-x )可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题，应熟练掌握.例2假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002).现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线.思路分析： 这是一个实际问题，通过数学建模可知，其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题.解：设分数线为μ，那么分数超过μ的概率应为录取率，即P(ξ≥μ)=2500010000=0.4， 因为ξ—N(500,1002)，所以P(ξ≥μ)=P(100500100500-≥-μξ=1-p(100500100500-<-μξ) =1-φ(100500-μ). 于是有φ(100500-μ)=1-P(ξ≥μ)=1-0.4=0.6. 从标准正态分布表中查得φ(0.25)=0.598 7≈0.6，故φ(100500-μ)≈0.6， 即μ≈525.由此可以估计录取分数线为525分.方法归纳 本题关键是由录取人数（计划招生人数）与考生总数之比求得录取率（即超过录取分数线的概率），从而成功地建立数学模型.例3正态总体N （0，1）的概率密度函数是f(x)=2221x e -π,x ∈R .（1）求证：ｆ（ｘ）是偶函数；（2）求ｆ（ｘ）的最大值；（3）利用指数函数的性质说明ｆ（ｘ）的增减性.思路分析： 对给出的标准正态分布的概率密度函数，可以利用函数的相关知识来研究它的相关性质.解：（1）对于任意的x ∈R ,f(-x)=2)(221x e --π=2221x e -πf(x).所以ｆ（ｘ）是偶函数；（2）令z=22x ,当ｘ=0时，z=0,e x =1, ∵e x 是关于ｚ的增函数，当ｘ≠0时，z>0,e x >1，∴当ｘ=0，即ｚ=0时，22x e =e x 取得最小值，当ｘ=0时，f(x)=2221x e -π取得最大值π21（3）任取x 1<0,x 2<0,且x 1<x 2,有x 12>x 22, ∴2222212221,2x x e e x x x --<-<- 所以2222212121x x e e --<ππ,即f(x 1)<f(x 2).这表明当ｘ＜0时，ｆ（ｘ）是递增的.同理可得，对于任取的x 1>0,x 2>0,且x 1<x 2，有f （x 1）>f(x 2)，即当ｘ＞0时，ｆ（ｘ）是递减的.拓展延伸 已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为______________.思路分析： 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线正方的面积相等，另外，因为区间（-3，-1）和区间（3，5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称， μ的概率意义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了.因为区间（-3，-1）和区间（3，5）关于ｘ=1对称，所以正态分布的数学期望是1.答案：1深化升华 通过例题的解决总结标准正态分步的概率密度函数的一些性质并注意应用. 例4已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27.327.49 27.55 27.23 27.40 27.46 27.38 27.58 27.54 27.68,请你根据正态分布的3σ原则，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的.思路分析： 正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准之内，所以对落在区间（27.45-3×0.05，27.45+3×0.05）之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说.解：有两个零件不符合落在区间（27.45-3×0.05，27.453×0.05）内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的.深化升华 本例是统计中假设检验的一个实例，依据的准则是正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率很小（大约只有0.3%），所以几乎不可能发生.此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。
3 sigma原则
3 Sigma原则1. 简介3 Sigma原则，也被称为3σ原则，是一种质量管理方法，用于评估和控制过程的稳定性和可靠性。
它基于统计学中的标准差概念，可以帮助组织识别和减少过程中的变异性，从而提高产品或服务的质量水平。
3 Sigma原则最早由美国质量专家Walter Shewhart在20世纪20年代提出，并在20世纪50年代由日本著名质量管理专家Kaoru Ishikawa进一步发展和推广。
如今，它已成为许多组织在质量管理中常用的工具之一。
2. 标准差与正态分布要理解3 Sigma原则，首先需要了解标准差和正态分布的概念。
2.1 标准差标准差是衡量数据集合内部变异性或离散程度的统计指标。
它表示观测值与平均值之间的偏离程度。
标准差越大，数据集合内部的变异性就越大；标准差越小，则表示数据集合内部的变异性越小。
2.2 正态分布正态分布是统计学中最为常见的一种分布形式，也被称为钟形曲线。
它具有以下特点： - 均值、中位数和众数相等； - 曲线对称于均值； - 标准差越小，曲线越瘦高；标准差越大，曲线越矮胖。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，许多随机变量都可以近似地服从正态分布。
因此，在质量管理中，我们常常使用正态分布来描述过程的变异性。
3. 3 Sigma原则的应用3 Sigma原则基于标准差和正态分布的概念，通过设定一条上限和下限来评估过程的稳定性。
这条上下限通常是根据过程的历史数据计算得出的。
3.1 过程能力指数过程能力指数是衡量一个过程是否稳定并满足要求的指标。
在3 Sigma原则中，最常用的过程能力指数是Cp和Cpk。
Cp表示过程能力指数，它衡量了一个过程在规格范围内所能容纳的变异性。
Cp大于1表示该过程具备良好的稳定性；Cp小于1则意味着过程的变异性超出了规格范围。
Cpk表示过程潜在能力指数，它考虑了过程的中心位置偏移。
Cpk大于1表示该过程在规格范围内具备良好的稳定性和中心位置偏移控制；Cpk小于1则意味着过程的变异性超出了规格范围，并且中心位置也存在偏移。
三西格玛计算公式
三西格玛计算公式
三西格玛计算公式为：3σ= (总体标准差×3) /目标值。
这个公式的含义是在均值加减三个标准差的范围内，包含了99.7%的数据。
如果一组数据的大部分数据点都在这个范围内，那么就可以认为这组数据符合正态分布。
在数据分析中，如果一组数据符合正态分布，就可以使用一些特殊的统计方法来进行数据分析，比如t检验、F检验等。
三西格玛原则在数学和统计中的广泛应用，尤其在金融学中，股票价格的波动通常被认为符合正态分布，因此可以使用三西格玛原则来控制投资风险。
然而，三西格玛原则也存在着一定的局限性和适用范围，需要在使用时注意判断和分析。
CPK的计算原理：乘以3σ确保过程能力满足规格要求
CPK的计算原理：乘以3σ确保过程能力满足规格要
求
CPK是一个衡量过程稳定性的指标，表示实际过程输出与公差要求的接近程度。
CPK的计算公式中乘以3主要是基于过程能力的考虑。
在计算CPK时，需要基于过程的稳态数据，并且假定过程是标准正态分布的。
标准正态分布的特性决定了3σ原则，即99.73%的数据会落在均值（μ）加减3σ的范围内。
乘以3σ实际上是为了确保过程能力满足规格要求，即保证不合格率低于0.27%。
因此，乘以3是为了确保过程能力满足规格要求，并反映过程的稳定性。
异常值判断方法
异常值判断方法引言：在数据分析和统计学中，异常值（Outlier）是指在样本中与其他观测值明显不同的数据点。
异常值的存在可能会影响数据分析的结果，因此正确判断和处理异常值非常重要。
本文将介绍几种常用的异常值判断方法，帮助读者正确识别和处理异常值。
一、箱线图（Box Plot）法箱线图是一种常用的异常值判断方法，它通过绘制数据的箱线图来判断是否存在异常值。
箱线图将数据分为四分位数，并根据四分位数计算出上下限，超过上下限的数据点即被视为异常值。
箱线图通过可视化的方式直观地展示了数据的分布情况，便于判断是否存在异常值。
二、3σ原则3σ原则是一种基于统计学的异常值判断方法，它假设数据服从正态分布，并以均值加减三倍标准差作为异常值的判断依据。
根据3σ原则，如果某个观测值与均值的差值超过三倍标准差，那么该观测值即被视为异常值。
3σ原则可以较好地判断数据的离群程度，但对于非正态分布的数据效果可能不佳。
三、箱线图和3σ原则的结合应用箱线图和3σ原则可以结合应用来判断异常值。
首先使用箱线图来初步筛选异常值，然后再根据3σ原则进一步判断。
如果某个观测值同时被箱线图和3σ原则判断为异常值，那么可以较为确定地将其看作是异常值。
四、基于机器学习的异常值判断方法除了传统的统计学方法，还可以使用机器学习算法来判断异常值。
机器学习算法可以通过学习数据的模式和规律来判断异常值。
常用的机器学习算法包括聚类算法、孤立森林算法等。
这些算法可以根据数据的分布特点自动识别异常值，具有一定的鲁棒性和适应性。
五、专家判断法除了以上方法，还可以借助领域专家的经验和知识来判断异常值。
专家根据对领域的了解和经验判断数据是否存在异常值。
专家判断法的优点是可以针对不同领域的特点进行判断，但缺点是可能受到主观因素的影响。
六、结语正确判断和处理异常值对于数据分析的准确性和可靠性至关重要。
本文介绍了几种常用的异常值判断方法，包括箱线图法、3σ原则、机器学习方法和专家判断法。
正态分布3σ 概率
正态分布3σ概率正态分布3σ概率是统计学中一个术语，它指的是连续变量在正态分布中被认为是零均值的情况下，它的出现概率有三倍标准差（3σ）之外的概率小于1%。
正态分布3σ概率是一种用于统计判断的重要概念，它常常被用在质量控制、过程能力分析和设备管理等诸多统计应用中。
本文主要分析正态分布三倍标准差的概念及其应用。
正态分布3σ概率概念的核心是正态分布，它也被称为高斯分布，是描述一组随机变量分布情况的有效分布模型。
正态分布以数学期望和方差为参数，它的概率密度函数可以描述数据的整体分布情况，具体来说，正态分布概率有三个特点：第一，正态分布图形呈现出一条钟形曲线；第二，正态分布均值μ是概率分布的中心，而且所有数据的绝对值之和等于零；第三，每一列的概率都是相同的。
正态分布的三倍标准差（3σ）指的是在正态分布中，随机变量可能出现在均值±3σ之外的概率。
换句话说，正态分布3σ概率是指在正态分布的均值之外的值的概率。
例如，假设一组数据的均值是100，标准差为15，那么正态分布3σ概率是指在70（100-3×15）和130（100+3×15）之外的概率小于1%。
正态分布3σ概率主要用于质量控制和过程能力分析，用来描述一组随机变量的概率分布情况。
在质量控制中，此概念可以帮助检测和评估品质边界数值，进而帮助管理者制定合理的质量控制规则和标准。
在过程能力分析中，此概念可以帮助企业判断其生产过程是否处于可控状态，以确定过程中变量的趋势和偏差，从而实现质量控制和过程改进。
此外，正态分布3σ概率也广泛用于设备管理。
设备管理是针对一个企业所有设备，包括机械设备、电子设备和软件设备等，以及设备使用的环境、物料和能源等的管理，是企业管理的重要组成部分。
正态分布3σ概率可以帮助企业管理者了解设备的故障率水平，并将此信息用于设备调整、维护和更新等活动，以确保设备能够正常运行，让企业管理者更好地利用设备来提高质量，提升生产效率和降低运营成本。
正态分布正态分布
§2.4正态分布学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义(重点).2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题(重、难点).知识点1正态曲线与正态分布1.正态曲线函数22()2,()2xxμσμσϕπσ--=，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2.正态分布如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝⎠⎛abφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).【预习评价】(1)正态曲线22()2,()2xxμσμσϕπσ--=，x∈R中的参数μ，σ有何意义？(2)若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？提示(1)μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.(2)若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a＜X≤b)＝⎠⎛abφμ，σ(x)d x可知，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量.知识点2正态曲线的性质正态曲线22()2,1()2xx eμσμσϕπσ--=，x ∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.【预习评价】某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是()A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙总体的平均数不相同知识点3正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.由P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4，知正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则.【预习评价】已知X～N(1.4，0.052)，则X落在区间(1.35，1.45]内的概率是________.题型一正态曲线【例1】如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20).规律方法利用图象求正态密度函数的解析式，(1)是找对称轴x＝μ；(2)是最值1，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了.σ2π【训练1】如图所示是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差.典例题型二利用正态分布求概率迁移【例2】设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5).【迁移1】(变换所求)例2条件不变，求P(ξ≥5).【迁移2】(变换条件)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2规律方法利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6，0.954 4，0.997 4求解.【训练2】设ξ～N(1，1)，试求：(1)P(0<ξ≤2)；(2)P(2<ξ≤3)；(3)P(ξ≥3).题型三正态分布的实际应用【例3】某厂生产的圆柱形零件的外直线ξ(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？规律方法解题时，应当注意零件尺寸应落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.【训练3】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？课堂达标1.正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A.P1＝P2B.P1＜P2C.P1＞P2D.不确定2.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%3.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c等于________.4.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________.5.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人.(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？课堂小结1.在正态分布N(μ，σ2)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即总体随机变量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值是任意的实数.参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可以用样本的标准差去估计，其取值范围是正数，即σ>0.2.正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值.(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.3.因为P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验基本思想.基础过关1.设随机变量X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x )＝16πe －x 2－4x ＋46，则( ) A.μ＝2，σ＝3 B.μ＝3，σ＝2 C.μ＝2，σ＝ 3D.μ＝3，σ＝ 32.已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2).若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9773.若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，则该随机变量的方差等于( ) A.10B.100C.2πD.2π4.已知随机变量x ～N (2，σ2)，如图所示，若P (x <a )＝0.32，则P (a ≤x <4－a )＝________.5.已知随机变量X 服从正态分布N (a ，4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为________.6.设随机变量X ～N (μ，σ2)，且X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1，3)内的概率相等，若P (X >2)＝p ，求P (0<X <2)的值.7.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，求P (0<ξ<2)的值.能力提升8.已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( ) A.(90，110]B.(95，125]C.(100，120]D.(105，115]9.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2 386B.2 718C.3 413D.4 77210.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________.11.已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝12πe－（x－1）22，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2，3]内的概率为__________. 12.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X).附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.13.(选做题)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B 型车各多少辆？。
成都市2022届高二下期新课讲义(九)《正态分布》新课讲义
成都市2022届高二下期新课讲义（九）《正态分布》新课讲义思维导图正态总体在三个特殊区间内取值的概率值若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974. 上述结果可用图表示如下：3σ原则：由P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997知，正态变量X 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%.于是若X ～N (μ，σ2)，则正态变量X 的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，即在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，这就是正态分布的3σ原则. 典型例题一、正态曲线的定义与性质例1.将一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的正态曲线C 2，下列说法中不正确的是 A .曲线C 2仍然是正态曲线 B .曲线C 1和曲线C 2的最高点的纵坐标相等C .以曲线C 2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的期望大2图D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2变式.关于正态曲线性质的叙述: 其中正确的是.①曲线关于直线x=μ对称，整条曲线在x轴上方; ②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数;③曲线在x=μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低;④曲线的对称位置由μ确定;曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”.变式.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A.μ1<μ2，σ1<σ2B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2D.μ1>μ2，σ1>σ2二、计算服从正态分布的随机变量的概率例2.求正态总体N(1，4)在(－∞，3)内取值的概率.变式.设X~N(1，22)，试求:(1)P(－1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).变式.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2三、正态分布的应用例3.设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.变式.(16杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.课后训练2（正态分布）： 可能使用的结论：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P1.（15湖南理）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.47722．(17双流)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A ．1193 B ．1359 C ．3413 D ．27183.设随机变量X ～N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1).(1)求c 的值；(2)求P (－4<x <8).4.（15山东理）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%5.（12全国理15）某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布()21000,50N ，且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .6. (17宜宾)若随机变量ξ服从正态分布)1(2σ，N ，且8.0)2(=<ξP ，则)10(<<ξP 的值为__________．7.已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.84，则P (X ≤0)＝________.8.（17乐山三诊）已知三个正态分布密度函数()()ii x iex σμπσϕ21221--=（R x ∈,3,2,1=i ）的图象如图所示，则A.321321,σσσμμμ>==<B.321321,σσσμμμ=<<=C.321321,σσσμμμ<==>D.321321,σσσμμμ<==<9、甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布),(),,(222211δμδμN N ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数99.12=δB. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小C. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均左右D. 甲类水果的平均质量kg 4.01=μ10.（14全国Ⅰ）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.甲0.80.41.99乙xy O11.（17新课标Ⅰ理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．12. 质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中a 的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为21S ，22S ，试比较21S ，22S 的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z 服从正态分布),(2σμN ．其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差22S ，设X 表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求X 的数学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得9.1175.1422≈=S②若Z ),(~2σμN ，则6826.0)(=+<<-σμσμZ P ，9544.0)22(=+<<-σμσμZ P ．。
正态分布及3σ原则
正态分布及3σ原则正态分布是一种在统计学和概率论中广泛应用的概率分布。
它通常用来描述自然界和社会现象中出现的很多随机变量，例如人的身高、体重、智力分数等。
正态分布也被称为高斯分布，以数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名。
正态分布的概率密度函数的形状呈钟形曲线，中心点对称，两边的概率逐渐减小。
具体而言，正态分布的概率密度函数可以用以下的公式表示：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)² / (2σ²))其中，f(x)表示x的概率密度，μ为均值，σ为标准差，exp表示自然指数。
正态分布的均值μ决定了钟形曲线的中心位置，标准差σ决定了曲线的宽度。
均值越大，钟形曲线越向右偏；标准差越大，曲线越宽，反之则曲线越窄。
在正态分布中，有着3个标准差范围内的概率占据了整个分布的大约68%。
具体而言，对于一个服从正态分布的随机变量，大约68%的观测值会落在均值μ的一个标准差σ的范围内。
3σ原则是基于正态分布性质的一个重要原则。
根据3σ原则，大约95%的观测值会落在均值μ的3个标准差σ范围内，约有68%的观测值会落在1个标准差范围内。
3σ原则在质量管理、统计分析等领域得到了广泛应用。
通过计算实际观测值与均值之间的差异，可以判断该观测值是否落在合理范围内。
如果一个观测值偏离均值超过了3个标准差范围，就可以认为它是一个异常值或离群值。
举个例子来说明3σ原则的应用。
假设一些城市的平均体温是37摄氏度，标准差是0.5摄氏度。
根据3σ原则，大约95%的人的体温会落在36摄氏度到38摄氏度之间。
如果一些人的体温超过了38摄氏度+3*0.5摄氏度=39.5摄氏度，就可以认为该人体温异常。
除了质量管理，3σ原则还可以应用于金融风险管理、品牌管理等领域。
通过分析数据的正态分布情况，可以快速定位和解决潜在问题，提高决策的准确性和效率。
正态分布及其3σ原则在数据分析和统计学中具有重要的意义。
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正态分布
• 正态分布（normal distribution）又名高斯 分布（Gaussian distribution），是一个在 数学、物理及工程等领域都非常重要的概 率分布，在统计学的许多方面有着重大的 影响力。
正态分布曲线性质
1. 当x<µ时，曲线上升;当x>µ时，曲线下降。 当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为 渐近线 2. 正态曲线关于直线x=µ对称。 3. σ越大，正态曲线越扁平;σ越小，正态曲 线越尖陡。 4. 在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面 积为1。
该组数据的基本参数
• N=100 • µ=165.1 • σ=1.895
该组数据的直方图
某组随机数据的直方图
正态 25
均值 165.1 标准差 1.895 N 100
20
频率
15
10
5
0 160 162 164 数值 166 168
该组数据的正态分布曲线
• 绿色范围为(159.415,170.785], 即(µ+3σ,µ-3σ] • 由上图可以看出数据在该范围内的概率为 99.73%,在该范围外的概率仅为0.27%
该组数据的基本参数
• N=75 • µ=1.897 • σ=0.05117
该组数据的直方图
某品种收率指标的直方图
正态 20
均值 1.897 标准差 0.05117 N 75
15
频率
10
5
0 1.75 1.80 1.85 收率 1.90 1.95 绿色范围为(1.74349,2.05051], 即(µ+3σ,µ-3σ] • 由上图可以看出数据在该范围内的概率为 99.73%,在该范围外的概率仅为0.27%
3σ原则
• • • • P(µ-σ<X≤µ+σ)=68.3% P(µ-2σ<X≤µ+2σ)=95.4% P(µ-3σ<X≤µ+3σ)=99.7% 正态分布在(µ+3σ,µ-3σ]以外的取值概率不 到0.3%,几乎不可能发生,称为小概率事件.
某组符合正态分布的随机数据
• • • • • • • • • • • • • • 165.021 167.085 163.879 167.248 165.509 167.586 165.526 163.500 162.716 165.570 166.870 165.105 166.082 165.453 163.114 164.998 165.959 164.066 166.248 165.722 162.394 164.798 165.313 164.375 164.066 164.523 168.181 164.666 165.246 162.256 168.726 168.605 164.695 164.888 166.420 163.414 164.744 168.969 163.723 165.235 161.080 166.724 165.018 161.887 165.603 163.568 163.394 168.714 164.871 167.886 164.014 166.042 164.260 166.530 167.901 166.270 166.246 163.873 168.432 165.900 167.511 165.388 165.825 162.790 165.023 168.069 163.745 163.820 163.081 164.932 162.139 164.537 166.486 168.958 165.196 163.893 168.154 161.673 164.565 165.461 165.453 163.925 164.398 164.696 162.842 167.191 164.491 165.225 164.930 166.030 165.885 163.257 160.200 162.838 168.245 160.990 163.880 163.401 167.378 166.063
某厂家某品种收率指标
• • • • • • • • • 197.57 189.38 193.01 186.16 191.61 178.47 192.58 194.50 190.36 195.09 194.61 190.14 192.16 190.95 182.81 182.72 194.80 184.68 188.64 192.41 190.45 187.05 194.65 189.30 188.00 180.67 192.39 193.33 190.10 189.13 195.20 190.35 193.71 181.24 191.61 194.12 190.57 191.88 189.93 195.48 188.71 187.50 175.99 193.18 191.50 196.95 182.29 191.74 192.30 180.14 194.54 178.12 193.07 197.38 188.97 193.96 189.10 187.36 176.61 198.54 187.38 186.08 186.83 190.95 194.41 190.00 190.39 188.54 190.75 190.52 177.91 192.46 186.38 192.53 193.55