1.2 应用举例-王后雄学案

张喜林制

1.2 应用举例

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考点知识清单

1．解三角形应用问题的基本思路： 实际问题 → →实际问题． 2．解三角形应用问题的一般步骤：

(1)准确理解题意，分清已知与所求； (2)根据题意画出示意图；

(3)建立数学模型，合理运用 求解，并作答.

要点核心解读

1．正弦定理、余弦定理的应用问题中的名词、术语

(1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图1-2 -1①所示，角α为仰角，角β为俯角． (2)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如东c

45南（或东南方向），是指由正东方向向南偏,45o 如图1-2 -1②中.45o

=α

(3)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如图1-2 -1③中的角.α

(4)坡角：坡面与水平面的夹角，如图1-2 -1④中的角.α (5)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即==

l

h

i i (tan α为坡比，α为坡角），如图1-2 -1④，

正确认识上述有关角的概念有助于正确地理解实际问题，是解斜三角形实际应用问题时不可缺少的知识．

2．正弦定理、余弦定理应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的量．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的量．

(3)实际问题抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由已知条件解三角形时，需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解． 3．建模思想

解斜三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形边、角的大小，从而得出实际问题的解，这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：

4．正弦定理、余弦定理应用问题的解题步骤

(1)准确理解题意，分清已知与所求。准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；

(2)根据题意画出图形，目的是利用图形的直观性帮助我们进一步分析题意，找到正确的解题思路； (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算 要准确，最后作答.

5.解正弦定理、余弦定理的应用题时应注意的问题 (1)检验求解出的结果是否符合实际意义；

(2)题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值，并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽

量地使用已知（原始）数据，少用或不用间接求出的近似值，必用时要按照近似诗算的规则取近似值 ； (3)利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多，关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算式工整、计算准确，还应注意方程思想的运用．

典例分类剖析

考点1测量高度的问题 命题规律

(1)把高度的计算问题放到三角形中求解． (2)利用正弦定理解决高度的计算问题．

[例1]某人在塔的正东沿着南

60西的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为,30

求塔高．

[解析] 依题意画出示意图如图l -2 -2，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，40=CD 米，此时

=∠DBF ,45o 从C 到D 测塔的仰角，只有B 到CD 最短时，仰角才最大，这是因为AB BE

AB

AEB ,tan =

∠ 为定值，要求出塔高AB ，必须先求B E ，而要求BE ，必须先求BD(或 BC).

[答案] 画出示意图如图l -2 -2.在△BDC 中，.135,30,40 =∠=∠=DBC BCD CD o 由正弦 定理，得

,sin sin DCB

BD

DBC CD ∠=⊥

.220135sin 0

ˆ3sin 40==∴

BD

在Rt △BED 中，.1530135180

=--=∠O

o

o

BDE

).13(104

2

622015sin -=-⨯

==∴O DB BE 在Rt △ABE 中．,30 =∠AEB

)33(3

10

0.-=

=∴ BEta AB （米）． 故所求的塔高为

)33(3

10

-米． [启示] (1)依据题意画图是解决三角形应用题的关键．本例中，既有方位角（它是在水平面上所成角），又有仰角（它是铅垂面上的角），因而本例的图形是一个立体的图形，因此在画图时，要注意运用空间想象力进行画图． (2)由本例可知，方位角是相对于在某地而言，因此在确定方位角时，必须先弄清是哪一点的方位角．从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．

母体迁移 1．为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A 处测得塔尖的仰角等于,5.75o

前进38.5 m 后，到达B 处测得塔尖的仰角为.0.80o

试计算东方明珠塔的高度．(精确到l m)

考点2 测量距离的问题

命题规律

(1)将距离问题归结到三角形的边长问题．

(2)利用正余弦定理可以求得两个不可到达点之间的距离． [例2] 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为

2

3a

的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且=∠=∠BDC ADB ,30

,60,30

=∠DCA ,45

=∠ACB 如图1 -2 -3所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．