第5章 波浪

是指运动过程中所产生或具有的能量。包括波动中水质点 运动动能和波面相对于平均水面的重力势能，它沿波浪传播 方向不断向前传递。
对于小振幅波可以证明： 波峰线方向单位宽度，一个波长内波面相对于平均 水面的重力势能 E z l gzdxdz 1 gH 2l
p

0
0 0
0
16
波峰线方向单位宽度，一个波长内自海面到波动消失处波 动所具有的动能 E z l 1 (u 2 w2 )dxdz 1 gH 2l
2
或
C
gl tanh( ) kh 2p
gT tanh(kh) 由于l=CT，因此波速(C)和周期(T)关系式 C 2p
小振幅波
波速(C)、波长(l)及周期(T)
gT C tanh(kh) 2p
gl gT 2p 2p
对于深水波(h/l≥1/2)，理论上即 C kh→∞，则tanh(kh)≈1，故有 对于浅水波(h/l<1/20)，理论上 即kh→0 ，则tanh(kh)≈kh，故有
1 2kh 得到 cg c1 sinh2kh 2
波群传播速度
对于深水波，2kh/sinh2kh=0，cg=c/2 对于浅水波，2kh/sinh2kh≈1，cg=c
小振幅波
由船只行进所产生的波浪—— 船波，便具有波群的特性。
有限振幅波
水面变动h [cm/s]
有限振幅波概念
波浪概述
小振幅波
定义
是指波动振幅相对于波长为无限小(a/l→0)，重力为其 唯一外力的海面规则波动，具有正弦波形。 理论上，可根据海水连续方程、运动方程和初边界条 件，在一定假定条件下求解其运动规律。
小振幅波
波面方程
在右手直角坐标系中，二维小振幅重力波波面方程为 z = a sin(kx-st)，式中z为t时刻位于坐标x处的水面相对 于平均静止水面的位移，a为振幅，kx-st为幅角，k和s 分别为波数和圆频率，且k=2p/l，s=2p/T。 当水深为h时，可证明 s2= kg tanh(kh)，上式称为频散 关系。其中g为重力加速度。
C gh
T l
gh
当1/20<h/l<1/2时，称为过渡波(或中间波)，则必须考虑浅水 订正项tanh(kh)。
exp( x) exp( x) tanh x exp( x) exp( x)
为双曲正切函数 当x→0，tanhx→x 当x→∞，tanhx→1
小振幅波
波浪能量
不 同 波 长 、 波 速 与 水 深 的 关 系
小振幅波
波速(C)、波长(l)及周期(T)
dx s l 波速表示波形在单位时间内移动的距离 C 令kx-st=常数，并将其对时间t求导，则 dt k T
利用频散关系s2= kg tanh(kh)，可得波速(C)和波长(l)关系式
g gl C tanh(kh) tanh(kh) k 2p
小振幅波
波群由两列振幅相等，波 长和周期相近，传播方向相 同的正弦波叠加而成。 z1=a sin(kx-st) z2=a sin(k’x-s’t) 波群的波面方程：z=2a cos[(k-k’)x/2-(s-s’)t/2]∙sin[(k+k’)x/2-(s+s’)t/2] 合成波速 c 合成振幅 a c=(s+s’)/(k+k’) 合成振幅变化范围 2a 合成振幅变化速度(s-s’)/(k-k’)=ds/dk=cg 利用波动频散关系s2 = kg tanh(kh)
小振幅波
波浪叠加
小振幅波
小振幅波的合成
实际海浪是复杂的随机波动。
根据波动叠加原理，复杂波动可看作由许多简单 波动叠加而成。 合成波的性质取决于叠加前简单波动的振幅、周 期、波长及传播方向等。 最常见的合成波有驻波和波群。
小振幅波 驻波由两列振幅、周期、 波长相等，但传播方向相 反的正弦波叠加而成。 z1=a sin(kx-st) z2=a sin(kx+st) 因此，驻波波面方程：z =z1+z2 =2a sinkx cosst 显然，在x=±(2n+1)l/4 (n=0,1,…)各点处，波面z在一个周期内具 有最大的升降幅度，这些点称为波腹。 而在x=±nl/2 (n=0,1,…)各点处，波面z在一个周期内恒为零，这些 点称为波节。 波腹处水质点只有垂直速度分量w，波节处水质点只有水平速度分 量u，其余水质点水平和垂直速度分量均有；波面|z|值达到最大值时， u=w=0，波面z=0时u和w达到最大值； 驻波波形并不向前传播，所有水质点均围绕各自平衡位置作振动。
质量输送速度U
有限振幅波的水质点运动轨迹
u*随深度增加而指数减小。
有限振幅波
有限振幅波理论 ← Stokes wave
与小振幅波不同，有限振幅波的动能大于势能，即 Ek>Ep，且铅直方向上的动能大于水平方向Ekv>Ekh。 波高相对波长超过一定限度时，波面将破碎，其理 论值是 >=1/7。但实际上 >1/10时，波峰就会破碎。
溢出型碎波(Spilling breakers)
波浪破碎
当波峰附近的水粒子向前运动的速度比波形移动 崩卷型(Plunging breakers) 还要快时，波浪便破碎。
当波面上水分子在垂直方向上的加速度大于重力 加速度是，水分子便会脱离波面，波浪也会破碎。 崩塌型(Surging breakers) 波浪波碎未必限定在海滩上，深海也可发生，如 白浪滔天。 波浪破碎一般表现为三种形态。
事实上，波幅随深度增加而按指数减小，因此，波动总能量 主要在水面附近。
小振幅波
波浪能量
单位时间沿波动传播方向传递的能量在一个周期内 的平均值称为平均能流 p ，其计算公式为：
1 2kh p E C1 sinh2kh 2
其中 E E l gH2 8 称为能量密度，表示单位海 面面积水柱内的总能量。 对于深水波， p EC 2 对于浅水波， p EC
小振幅波
波浪运动的水质点轨迹
波峰前部为水质点的辐聚区，波面未来上升，而波峰后部则为辐散 区，未来波面下降，从而使波形不断向前传播，而水质点却只围绕自 己的平衡位置作圆周运动。 水质点在波峰处具有 正的最大水平速度，在 波谷处具有负的最大水 平速度，且其铅直速度 分量w皆为零。
处在平均水面上的水 质点，水平速度分量皆 为零。铅直速度分量最 大。而且波峰前部为正 (向上)，波峰后部为负 (向下)。
波浪概述
当波长小于1.74cm时，表面张力效应较为重要，这种涟漪小波(表面张 力波)具有圆形波峰以及V型波谷。 当波长较长时，重力效应就变得比较重要，此时波形和正弦曲线非常 相近，这是重力波的特性。 当波浪能量不断增加，重力波的波形便会渐渐改变为波峰变尖而波谷 则变圆的形状，当波陡达到1/7或以上时波形就无法支撑而发生碎波。
波浪概述
波浪分类
按成因：风浪、涌浪、近岸浪、潮波、风暴潮及海啸等； 按周期：毛细波(<1s)、重力波(1~30s)、超重力波(数分钟~ 数小时)、潮波(12~24小时)和长周期波(数天)； 按波形：前进波和驻波； 按水深与波长之比：深水波 (h≥l/2)、过渡波(l/20<h<l/2) 及浅水波( h≤l/20)； 按作用力性质：自由波（如涌浪、海啸）和强迫波（如风 浪、潮波） 按发生深度：表面波和内波； 按振幅与波长之比：小振幅波(或线性波)和有限振幅波。
平均周期
1 T N
p H 1p N
N/ p
T N为在固定点连续观测到的周期总数。
i 1 i
N
1/p平均周期
p T1 p N
N/ p i 1
T N、p同上。当p=3时称为有效周期T1/3；
i
当p=10时称为1/10平均周期。依次类推。通常有T1/3= 1.15平均 周期，T1/10=1.31平均周期，T1/10=1.14T1/3。
k

2
16
u和w分别是波动中水质点水平和垂直速度。
小振幅波
波浪能量
由此，在一个波长、单位波峰线宽度内，波动的动能和势能 相等，波动总能量E为 1 E EP Ek glH 2 8 显然，它与波高平方成正比，故通常以波高平方作为波动能 量的相对尺度。
应当指出的是，这里的波动能量是其总能量，波动中不同水 质点的能量是不断变化的。
p
3p/2
2p 相位 wt
实验结果
H=4.6cm，T=1.0s，h=13cm
z/h= -0.231，H/L=0.045
有限振幅波
有限振幅波理论 ← Stokes wave
随着波高的增大，有限振幅波波剖面的非对称性逐渐增强。
12
Stokes波的波剖面不 是简谐曲线，相对于平 均水面是不对称的，其 水质点振动中心高于平 均水面ka2/2。
波浪概述
规则波浪诸要素
波峰、波谷 波高(H)、波长(l)、周期(T) 波速(c)、波幅(a) 、波陡(H/l) 波数(k)、圆频率(s) 波峰线、波向线
波浪概述
波峰线和波向线
波浪概述
波浪要素表示法
平均波高
H 1 N
H N为在固定点连续观测到的波高总数。
i 1 i
N
Hi p为在固定点连续观测到的N个 1/p大波平均波高 i 1 波高中前N/p个大波波高，以H1/p表示。当p=3时，H1/3称为1/3大 波平均波高(有效波高)；当p=10时，称为1/10大波平均波高(显 著波高)。其余依次类推。
小振幅波
小振幅波水质点轨迹
小振幅波
水质点轨迹
对于深水小振幅波动，平衡位置在(x0, z0)的水质点的轨迹为 (x-x0)2+(z-z0)2=a2exp(kz0)，式中a为海面小振幅波动的振幅。即， 深水小振幅波动时水质点轨迹为圆，其半径为r=aexp(kz0)。 在海面时z0=0，则r=a；海面以下z0<0，则r=aexp(k|z0|)，即r随 深度增加而指数衰减；当z0=-l/2时，则r=aexp(-p)≈0.043a，即该 深度处水质点轨迹圆半径是海面处水质点的4.3%。由此可见， 小振幅波动在相当于半个波长的深度以下，其波形已可忽略， 故当水深|z0|≥l/2时，即可当作深水波来处理。 对于浅水(|z0|<l/20)小振幅波动，可以证明，水质点的轨迹为 椭圆，其长轴与x轴平行；短轴则与z轴平行，且随深度增加而 减小。水底时，短轴变为0，即水质点只作水平往复运动。