3第三章 单元类型及单元刚度矩阵
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N 1 N 2 N 3 N 4 v 1 1 v 2 2
T
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元 其中
2x x l 2 N1 (1 )( ) (1 2 )( 1) 2 l l x 2 N 2 x(1 ) l (1 ) 2 l 2( x l ) x 2 2 N 3 1 ( ) ( 3 2 ) l l x 2 N 4 ( x l )( ) l ( 1) 2 l
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
一、形状函数类型及其特征
1.Langrange型形状函数 2.Hermite型形状函数
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 2.三次梁单元 三、二维单元及其单元刚度阵 1.三角形单元 2.矩形单元
四、三维单元及其单元刚度阵
1.六面体单元 3.曲线等参元 2.四面体单元
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
l
k 44 k12
l
4 4 EJ z 2 EJ z 2 (3 1) dx 0 l l
l
12 6 EJ z EJ z 3 (2 1)( 3 2)dx 0 l l2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
元素的计算
k13
36 12 EJ z EJ z 4 (2 1)(1 2 )dx 0 l l3
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）
d 2v y 2 dx
d 2 N1 y 2 dx d 2 N2 dx2 d 2 N3 dx2
B e
其中
v1 d 2 N 4 1 2 dx v2 2
●二次杆单元
E
D E
1 7 8 8 8 16
7 EA T e k A B D B dx 1 l 3l 8 元素的计算
2 EA l EA k11 2 (41 1) dx 7 l 0 3l
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
Hermite位移插值多项式
x 0 x l 2 x l x 0 2 v(x ) (1 2 )( ) v 1 (1 2 )( )v2 0l 0l l0 l0 x l 2 x 02 (x 0)( ) 1 (x l )( ) 2 0l l0
dN2 u1 d u2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 所以，几何矩阵为 单元应力为 ●一次杆单元
B 1 l 1 l E D E
e T V
弹性矩阵
单元刚度矩阵通式为
k A B DBdx
e T
k B DBdV
令
2 N1 (2 1)( 1) Leabharlann Baidu21 1
N 2 2 2 2
2 2 2
N 3 4 (1 ) 412
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
单元应变
●二次杆单元
所以单元内点位移为
u ( x ) N1
N2
u1 N 3 u 2 u 3
1 1 ; 2
F i(1) (3) l F ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 ●二次杆单元
l l ( x )(x l ) ( x 0)(x ) ( x 0)(x l ) 2 2 u ( x) u1 u2 u3 l l l l ( )(l ) l( ) ( )( ) 2 2 2 2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用， 将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部 坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
B yN1
N3 N4 yN N2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
同样令
0 x xi 1 x x j
1 1 2
6 6 2 (2 1) 2 (1 21 ) N1 l l 2 2 (3 2) (2 21 ) N2 l l 6 6 2 (1 2 ) 2 (1 22 ) N3 l l 2 2 (3 1) ( 22 1 ) N4 l l
其余元素利用对称性可求得
k21 k12
k31 k12
k32 k23
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
梁单元如图所示，仅考虑节点在xoy平面内的位移 为v、θ ，这时一个单元有四个自由度，形状函数为 三次多项式，即使用三次Hermite插值多项式。
y Qy1 1 Mz1 z l MZ2 Qy1 2 x
元素的计算
36 12 EJ z 2 k11 EJ z 4 (2 1) dx 0 l l3
l
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
元素的计算
k 22 k33
4 4 EJ z 2 EJ z 2 (3 2) dx 0 l l
l
36 12 EJ z 2 EJ z 4 (1 2 ) dx 3 0 l l
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。 ●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。 二维单元的帕斯卡三角形
1 Ni X l 0
l i l i
2.
N X 1
i 1 i i
m
Ni X i 1 Ni X j 0
3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续
4.保证所定义位移函数反映常应变状态 工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同， 一维单元又可分为杆单元和梁单元。
N1 1 ; N 2
得 N1 1 ; N 2 2
u ( x ) 1
u1 2 u 2
du du d 1 du 1 dN1 dx d dx l d l d u1 1 1 1 B e l u2
1 x x x
3 2
y xy y xy
2 2
x y
2
y
3
一、形状函数类型及其特征
1
三 维 的 帕 斯 卡 三 角 形
x z x2 zx z2 x3 zx 2 z2x z3 x2 y xyz xy
y y2 yz xy 2 y2z yz 2 y3
一、形状函数类型及其特征
形状函数应该满足以下条件 1.
有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即
~ ( x) N ( x) q u i i
i 1
m
这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange 和Hermite型。
可以直接应用
x2
x1
(m!)(n!) dx ( x2 x1 ) (m n 1)!
m 1 n 2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
元素的计算
●二次杆单元
k 22 k33 k12
EA l EA 2 2 (42 1) dx 7 0 l 3l EA l EA 2 2 (41 42 ) dx 16 l 0 3l EA l EA 2 ( 42 1)( 42 1)dx 1 l 0 3l
F i(1) l F ξ j(2) x
0 1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 ●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
e
GJ 1 1 1 1 l
Mn i(1) l Mn ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j, 三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
同样令
0 x xi 1 x x j
N1 (l x) l; N 2 x l
x l x0 u u1 u2 u N1 0l l 0
u1 N 2 u2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
代入 ，有 令 1 1 ; 2 所以单元内点位移为 单元应变
●一次杆单元
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
元素的计算
●二次杆单元
k13 k 23
EA l EA 2 (41 1)( 41 42 )dx (8) l 0 3l EA l EA 2 (42 1)( 41 42 )dx (8) l 0 3l
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单元应力为 单元刚度矩阵
E
D E
l T
k B DBdV ( B DBdA)dx
e T V 0 A
引入
( E y N N dA)dx
l 2 T 0 A
J z y 2 dA
一、形状函数类型及其特征
1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。
A
EJ z N N dx
l T 0
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单 元 刚 度 矩 阵
k
e
6l 12 6l 2 4l EJ z 3 l 12 6l 2 6 l 2 l
12 6l 2 6l 2l 12 6l 2 6l 4l
代入，得
这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！
AlB D B
T
l
EA 1 1 1 1 l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 ●一次杆单元
当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时， 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：
k
1 dN1 l d
几何矩阵为
dN2 d
u1 dN1 e u B 2 d u3
1 B (41 1) l
(42 1)
(41 42 )
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
单元应力为 单元刚度矩阵
T
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元 其中
2x x l 2 N1 (1 )( ) (1 2 )( 1) 2 l l x 2 N 2 x(1 ) l (1 ) 2 l 2( x l ) x 2 2 N 3 1 ( ) ( 3 2 ) l l x 2 N 4 ( x l )( ) l ( 1) 2 l
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
一、形状函数类型及其特征
1.Langrange型形状函数 2.Hermite型形状函数
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 2.三次梁单元 三、二维单元及其单元刚度阵 1.三角形单元 2.矩形单元
四、三维单元及其单元刚度阵
1.六面体单元 3.曲线等参元 2.四面体单元
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
l
k 44 k12
l
4 4 EJ z 2 EJ z 2 (3 1) dx 0 l l
l
12 6 EJ z EJ z 3 (2 1)( 3 2)dx 0 l l2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
元素的计算
k13
36 12 EJ z EJ z 4 (2 1)(1 2 )dx 0 l l3
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）
d 2v y 2 dx
d 2 N1 y 2 dx d 2 N2 dx2 d 2 N3 dx2
B e
其中
v1 d 2 N 4 1 2 dx v2 2
●二次杆单元
E
D E
1 7 8 8 8 16
7 EA T e k A B D B dx 1 l 3l 8 元素的计算
2 EA l EA k11 2 (41 1) dx 7 l 0 3l
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
Hermite位移插值多项式
x 0 x l 2 x l x 0 2 v(x ) (1 2 )( ) v 1 (1 2 )( )v2 0l 0l l0 l0 x l 2 x 02 (x 0)( ) 1 (x l )( ) 2 0l l0
dN2 u1 d u2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 所以，几何矩阵为 单元应力为 ●一次杆单元
B 1 l 1 l E D E
e T V
弹性矩阵
单元刚度矩阵通式为
k A B DBdx
e T
k B DBdV
令
2 N1 (2 1)( 1) Leabharlann Baidu21 1
N 2 2 2 2
2 2 2
N 3 4 (1 ) 412
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
单元应变
●二次杆单元
所以单元内点位移为
u ( x ) N1
N2
u1 N 3 u 2 u 3
1 1 ; 2
F i(1) (3) l F ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 ●二次杆单元
l l ( x )(x l ) ( x 0)(x ) ( x 0)(x l ) 2 2 u ( x) u1 u2 u3 l l l l ( )(l ) l( ) ( )( ) 2 2 2 2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用， 将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部 坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
B yN1
N3 N4 yN N2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
同样令
0 x xi 1 x x j
1 1 2
6 6 2 (2 1) 2 (1 21 ) N1 l l 2 2 (3 2) (2 21 ) N2 l l 6 6 2 (1 2 ) 2 (1 22 ) N3 l l 2 2 (3 1) ( 22 1 ) N4 l l
其余元素利用对称性可求得
k21 k12
k31 k12
k32 k23
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
梁单元如图所示，仅考虑节点在xoy平面内的位移 为v、θ ，这时一个单元有四个自由度，形状函数为 三次多项式，即使用三次Hermite插值多项式。
y Qy1 1 Mz1 z l MZ2 Qy1 2 x
元素的计算
36 12 EJ z 2 k11 EJ z 4 (2 1) dx 0 l l3
l
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
元素的计算
k 22 k33
4 4 EJ z 2 EJ z 2 (3 2) dx 0 l l
l
36 12 EJ z 2 EJ z 4 (1 2 ) dx 3 0 l l
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。 ●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。 二维单元的帕斯卡三角形
1 Ni X l 0
l i l i
2.
N X 1
i 1 i i
m
Ni X i 1 Ni X j 0
3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续
4.保证所定义位移函数反映常应变状态 工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同， 一维单元又可分为杆单元和梁单元。
N1 1 ; N 2
得 N1 1 ; N 2 2
u ( x ) 1
u1 2 u 2
du du d 1 du 1 dN1 dx d dx l d l d u1 1 1 1 B e l u2
1 x x x
3 2
y xy y xy
2 2
x y
2
y
3
一、形状函数类型及其特征
1
三 维 的 帕 斯 卡 三 角 形
x z x2 zx z2 x3 zx 2 z2x z3 x2 y xyz xy
y y2 yz xy 2 y2z yz 2 y3
一、形状函数类型及其特征
形状函数应该满足以下条件 1.
有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即
~ ( x) N ( x) q u i i
i 1
m
这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange 和Hermite型。
可以直接应用
x2
x1
(m!)(n!) dx ( x2 x1 ) (m n 1)!
m 1 n 2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
元素的计算
●二次杆单元
k 22 k33 k12
EA l EA 2 2 (42 1) dx 7 0 l 3l EA l EA 2 2 (41 42 ) dx 16 l 0 3l EA l EA 2 ( 42 1)( 42 1)dx 1 l 0 3l
F i(1) l F ξ j(2) x
0 1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 ●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
e
GJ 1 1 1 1 l
Mn i(1) l Mn ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j, 三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
同样令
0 x xi 1 x x j
N1 (l x) l; N 2 x l
x l x0 u u1 u2 u N1 0l l 0
u1 N 2 u2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
代入 ，有 令 1 1 ; 2 所以单元内点位移为 单元应变
●一次杆单元
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
元素的计算
●二次杆单元
k13 k 23
EA l EA 2 (41 1)( 41 42 )dx (8) l 0 3l EA l EA 2 (42 1)( 41 42 )dx (8) l 0 3l
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单元应力为 单元刚度矩阵
E
D E
l T
k B DBdV ( B DBdA)dx
e T V 0 A
引入
( E y N N dA)dx
l 2 T 0 A
J z y 2 dA
一、形状函数类型及其特征
1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。
A
EJ z N N dx
l T 0
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单 元 刚 度 矩 阵
k
e
6l 12 6l 2 4l EJ z 3 l 12 6l 2 6 l 2 l
12 6l 2 6l 2l 12 6l 2 6l 4l
代入，得
这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！
AlB D B
T
l
EA 1 1 1 1 l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 ●一次杆单元
当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时， 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：
k
1 dN1 l d
几何矩阵为
dN2 d
u1 dN1 e u B 2 d u3
1 B (41 1) l
(42 1)
(41 42 )
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
单元应力为 单元刚度矩阵