第三章 半导体中的电子状态
05-第三章-半导体电子和空穴的_...
V * 3/ 2 1/ 2 g v ( E ) 2 3 (2mh ) ( Ev E ) 2
特点： •状态密度与能量呈抛物线关系 •有效质量越大，状态密度也就越大 •仅适用于能带极值附近
* 导带极值在 k k0 ，等能面为椭球面
(k y k0 y ) 2 (k z k0 z ) 2 2 (k x k0 x ) 2 E ( k ) Ec * * * 2 mx my mz
* * 空穴状态密度有效质量 Ge : mhh 0.28m0 , mlh 0.044m0 m* hd 0.29m0
4V * g v ( E ) g vl ( E ) g vh ( E ) 2 (2mhd ) 3 / 2 ( Ev E )1/ 2 h
(m ) (m ) (m )
* 3/ 2 hd * 3/ 2 lh
* 3/ 2 hh
* * Si : mhh 0.49m0 , mlh 0.16m0 m* hd 0.55m0
2V / 8 3
2V d * dk dZ dZ d * dk g (E) 8 3 dk dE dE d * dk dE
* 能带极值在 k 0 ，等能面为球面
2k 2 导带的E－k关系： E (k ) Ec * 2me
* ( E E ) 2 m c e 球型等能面方程： k 2 2 球体体积： * 4 k 3 3
i x, y , z
4 4 * * * 1/ 2 3/ 2 * r r r ( 8 m m m ) ( E E ) 椭球的体积： x y z x y z c 3 3h 3
* * * 1/ 2 1/ 2 能量变化dE引起的体积变化： d* 2 ( 8 m m m ) ( E E ) dE x y z c 2
《半导体物理》胡礼中第三章 半导体中的电子状态
第三章半导体中的电子状态半导体独特的物理性质与其内部电子的运动状态密切相关。
本章扼要介绍一些有关的基本概念。
§3-1 电子的运动状态和能带§3-1-1孤立原子和自由空间中的电子状态为了便于理解半导体中的电子运动状态和能带的概念，先复习一下孤立原子中的电子状态和能级﹑自由空间中的电子状态和能谱的概念。
一．原子中的电子状态和能级。
原子是由带正电荷的原子核和带负电荷的电子组成的，原子核的质量远大于电子的质量。
因此，可认为电子是在原子核的库仑引力作用下绕着原子核运动的。
电子绕原子核运动遵从量子力学规律，处于一系列特定的运动状态，这些特定状态称量子态或电子态。
在每个量子态中，电子的能量（能级）是确定的。
处于确定状态的电子在空间的几率分布是一定的。
在讨论原子中的电子运动时，也常采用经典力学的“轨道”概念，不过其实际含义是指电子在空间运动的一个量子态和几率分布。
按“轨道”概念，对于原子中的电子，能级由低到高可分为E1﹑E2﹑E3﹑E4..等，分别对应于1s﹑2s﹑2p﹑3s…等一系列量子态。
如图3-1所示，内层轨道上的电子离原子核近，受到的库仑束缚作用强，能级低。
越往外层，电子受到的束缚越弱，能级越高。
总之，在单个原子中，电子运动的特点是其运动状态为一些局限在原子核周围的局域化量子态，其能级取一系列分立值。
二．自由空间中的电子状态和能谱。
根据量子力学理论，在势场不随位置变化的自由空间中，电子的运动状态满足下面的定态薛定谔方程)(）（)(222r k E r mψψ=∇- （3-1） 该方程的解为平面波：r k i ke V r ⋅=1)(ψ )(22)(222222z y x k k k mm k k E ++== （3-2） 其中，)(r k ψ称波函数，)(k E 称能量谱值或本征值，V 为空间体积，k 为平面波的波矢，其大小为波长倒数的2π倍，即k=2π/λ。
这里k 也起着量子数的作用，用来标志自由电子的运动状态。
半导体物理_第三章
其中NC称为导带的有效态密度函数，若取 mn*=m0，则当T=300K时， NC=2.5X1019cm-3， 对于大多数半导体材料来说，室温下NC确实是在 1019cm-3的数量级。
其中NV称为价带的有效态密度函数，若取mp*=m0，则 当T=300K时， NV=2.5X1019cm-3 。
这个积分函数随着变量ηF的变化关系如下图。
费米－狄拉克积分函数随着归一化费米能级的变化：
ηF>0时，意味着费米能级已经进入到导带中。
与此类似，热平衡状态下的空穴浓度也可以表 示为：
η’F>0，意味着费米能级已经进入到价带中。
4. 简并半导体与非简并半导体 在前面关于非本征半导体材料的讨论中， 实际上假设了半导体材料中的掺杂浓度通常都 是远远低于其本体原子密度的,通常把这种类 型的半导体材料称为非简并半导体。此时，在 N型半导体材料中，施主能态之间不存在相互 作用，同样，在P型半导体材料中，受主能态 之间也不存在相互作用，
而当半导体材 料中掺入受主 杂质后，空穴 浓度将大于电 子浓度，其费 米能级的位置 也将由禁带中 心附近向价带 顶部下移
在前面导出的有关本征半导体材料在热平 衡状态下的载流子浓度公式同样也适用于非本 征的半导体材料，只是这时半导体材料中费米 能级EF的位置随着掺杂情况的不同而发生相应 的改变。因此电子和空穴的浓度也将会发生相 应的变化，且二者一般不再相等。即：
其中gV(E)是价带中的量子态密度， 1−fF(E) 反映的是价带中的量子态未被电子填充的几率。 p(E)的单位也是cm-3eV-1。价带中总的空穴浓度 p则由上式对整个价带的能量区间进行积分即可 求得，p的单位是cm-3，即单位体积内的空穴数 量。
费米能级EF的位置的确定
半导体物理习题答案完整版
半导体物理习题答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第一章半导体中的电子状态例1.证明:对于能带中的电子，K状态和-K状态的电子速度大小相等,方向相反。
即：v(k)= －v(－k)，并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。
解：K状态电子的速度为：（1）同理，－K状态电子的速度则为：（2）从一维情况容易看出：（3）同理有：（4）（5）将式（3）（4）（5）代入式（2）后得：（6）利用（1）式即得：v(－k)= －v(k)因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关，即：E(k)=E(－k)故电子占有k状态和-k状态的几率相同，且v(k)=－v(－k)故这两个状态上的电子电流相互抵消，晶体中总电流为零。
例2.已知一维晶体的电子能带可写成：式中，a为晶格常数。
试求：（2）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（1）由E(k)关系（1）（2）令得：当时，代入（2）得：对应E(k)的极小值。
当时，代入（2）得：对应E(k)的极大值。
根据上述结果，求得和即可求得能带宽度。
故：能带宽度（3）能带底部和顶部电子的有效质量：习题与思考题：1 什么叫本征激发温度越高，本征激发的载流子越多，为什么试定性说明之。
2 试定性说明Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数的原因。
3 试指出空穴的主要特征。
4 简述Ge、Si和GaAs的能带结构的主要特征。
5 某一维晶体的电子能带为其中E0=3eV，晶格常数a=5×10-11m。
求：（2）能带底和能带顶的有效质量。
6原子中的电子和晶体中电子受势场作用情况以及运动情况有何不同原子中内层电子和外层电子参与共有化运动有何不同7晶体体积的大小对能级和能带有什么影响？8描述半导体中电子运动为什么要引入“有效质量”的概念？用电子的惯性质量描述能带中电子运动有何局限性？9 一般来说，对应于高能级的能带较宽，而禁带较窄，是否如此为什么10有效质量对能带的宽度有什么影响？有人说：“有效质量愈大，能量密度也愈大，因而能带愈窄。
半导体物理复习资料
第一章 半导体中的电子状态1.导体、半导体、绝缘体的划分：Ⅰ导体内部存在部分充满的能带，在电场作用下形成电流；Ⅱ绝缘体内部不存在部分充满的能带，在电场作用下无电流产生； Ⅲ半导体的价带是完全充满的，但与之上面靠近的能带间的能隙很小，电子易被激发到上面的能带，使这两个能带都变成部分充满，使固体导电。
2.电子的有效质量是*n m ，空穴的有效质量是*p m ；**np m m -=，电量等值反号，波矢k 与电子相同 能带底电子的有效质量是正值，能带顶电子的有效质量是负值。
能带底空穴的有效质量是负值，能带顶空穴的有效质量是正值。
3.半导体中电子所受的外力dtdkh f ⋅=的计算。
4.引进有效质量的意义：概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。
第二章 半导体中杂质和缺陷能级1.施主能级：被施主杂质束缚的电子的能量状态称为施主能级E D ；施主能级很接近于导带底；受主能级：被受主杂质束缚的空穴的能量状态称为受主能级E A ；受主能级很接近于价带顶。
施主能级图 受主能级图2.浅能级杂质：杂质的电离能远小于本征半导体禁带宽度的杂质，电离后向相应的能带提供电子或空穴。
深能级杂质：能级位于禁带中央位置附近，距离相应允带差值较大。
深能级杂质起复合中心、陷阱作用；浅能级杂质起施主、受主作用。
3.杂质的补偿作用：半导体中同时含有施主和受主杂质，施主和受主先相互抵消，剩余的杂质发生电离。
在Ⅲ-Ⅴ族半导体中(Ga-As )掺入Ⅳ族杂质原子(Si )，Si 为两性杂质，既可作施主，亦可作受主。
设315100.1-⨯=cm N A ，316101.1-⨯=cm N D ；则316100.1-⨯=-=cm N N n A D 由p n n i ⋅=2，可得p 值；①p n ≈时，近似认为本征半导体，i F E E =；②p n μμ=时，本征电导p n σσ=； p n >>时，杂质能级靠近导带底；第三章 半导体中载流子的统计分布1.费米分布函数(简并半导体)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=Tk E E E f F 0exp 11)((本征)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=T k E E E f F 0exp 2111)((杂质)；玻尔兹曼分布函数(非简并半导体) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=T k E A E f B0exp )(；2.费米能级：TF N F E ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂==μ；系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
半导体物理习题答案
第1章 半导体中的电子状态1. 设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量()c E k 和价带极大值附近能量()v E k 分别为2222100()()3c h k k h k E k m m -=+，22221003()6v h k h k E k m m =-0m 为电子惯性质量，112k a =， 0.314a =nm 。
试求：1) 禁带宽度；2) 导带底电子有效质量； 3) 价带顶电子有效质量；4) 价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。
解：1) 禁带宽度g E ，根据22100()2()202c dE k h k k h k dk m m -=+=，可求出对应导带能量极小值min E 的k 值：min 134k k =， 由题目中()c E k 式可得：min 12min 3104()4c k k k h E E k k m ====； 根据20()60v dE k h k dk m =-=，可以看出，对应价带能量极大值max E 的k 值为：k max = 0；可得max 221max 00()6v k k h k E E k m ====，所以2221min max 2001248g h k h E E E m m a=-== 2) 导带底电子有效质量m n由于2222200022833c d E h h h dk m m m =+=，所以202238nc m h md E dk== 3) 价带顶电子有效质量vn m由于22206v d E h dk m =-，所以20226v nv m h m d E dk ==- 4) 准动量的改变量min max 133()48hh k h k k hk a∆=-==2. 晶格常数为 nm 的一维晶格，当外加102V/m 、107V/m 的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
解：设电场强度为E ，电子受到的力f 为dkf hqE dt==（E 取绝对值），可得h dt dk qE =， 所以12012ta h h t dt dk qE qE a===⎰⎰，代入数据得： 34619106.62108.310()1.6102(2.510)t s E E----⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯ 当E = 102V/m 时，88.310t s -=⨯；当E = 107V/m 时，138.310t s -=⨯。
半导体物理的知识点及重点习地的题目地总结
半导体物理的知识点及重点习地的题⽬地总结基本概念题：第⼀章半导体电⼦状态1.1 半导体通常是指导电能⼒介于导体和绝缘体之间的材料，其导带在绝对零度时全空，价带全满，禁带宽度较绝缘体的⼩许多。
1.2能带晶体中，电⼦的能量是不连续的，在某些能量区间能级分布是准连续的，在某些区间没有能及分布。
这些区间在能级图中表现为带状，称之为能带。
1.2能带论是半导体物理的理论基础，试简要说明能带论所采⽤的理论⽅法。
答：能带论在以下两个重要近似基础上，给出晶体的势场分布，进⽽给出电⼦的薛定鄂⽅程。
通过该⽅程和周期性边界条件最终给出E-k关系，从⽽系统地建⽴起该理论。
单电⼦近似：将晶体中其它电⼦对某⼀电⼦的库仑作⽤按⼏率分布平均地加以考虑，这样就可把求解晶体中电⼦波函数的复杂的多体问题简化为单体问题。
绝热近似：近似认为晶格系统与电⼦系统之间没有能量交换，⽽将实际存在的这种交换当作微扰来处理。
1.2克龙尼克—潘纳模型解释能带现象的理论⽅法答案：克龙尼克—潘纳模型是为分析晶体中电⼦运动状态和E-k关系⽽提出的⼀维晶体的势场分布模型，如下图所⽰VX克龙尼克—潘纳模型的势场分布利⽤该势场模型就可给出⼀维晶体中电⼦所遵守的薛定谔⽅程的具体表达式，进⽽确定波函数并给出E-k关系。
由此得到的能量分布在k空间上是周期函数，⽽且某些能量区间能级是准连续的（被称为允带），另⼀些区间没有电⼦能级（被称为禁带）。
从⽽利⽤量⼦⼒学的⽅法解释了能带现象，因此该模型具有重要的物理意义。
1.2导带与价带1.3有效质量有效质量是在描述晶体中载流⼦运动时引进的物理量。
它概括了周期性势场对载流⼦运动的影响，从⽽使外场⼒与加速度的关系具有⽜顿定律的形式。
其⼤⼩由晶体⾃⾝的E-k关系决定。
1.4本征半导体既⽆杂质有⽆缺陷的理想半导体材料。
1.4空⽳空⽳是为处理价带电⼦导电问题⽽引进的概念。
设想价带中的每个空电⼦状态带有⼀个正的基本电荷，并赋予其与电⼦符号相反、⼤⼩相等的有效质量，这样就引进了⼀个假想的粒⼦，称其为空⽳。
半导体物理学刘恩科习题答案权威修订版
半导体物理学 刘恩科第七版习题答案---------课后习题解答一些有错误的地方经过了改正和修订！第一章 半导体中的电子状态1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量E V (k)分别为：220122021202236)(,)(3Ec m k m k k E m k k m k V0m 。
试求：为电子惯性质量，nm a ak 314.0,1（1）禁带宽度;（2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量;（4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：10911010314.0＝ak （1）J m k m k m k E k E E m k k E E k m dk E d k m kdk dE J m k Ec k k m m m dk E d k k m k k m k dk dE V C g V V V V c C 17312103402120122021210122022202173121034021210202022210120210*02.110108.912)1010054.1(1264)0()43(6)(0,0600610*05.310108.94)1010054.1(4Ec 43038232430)(232因此：取极大值处，所以又因为得价带：取极小值处，所以：在又因为：得：由导带：043222*83)2(1m dk E d mk k C nCs N k k k p k p m dk E d mk k k k V nV/1095.71010054.14310314.0210625.643043)()()4(6)3(251034934104300222*11所以：准动量的定义：2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107V/m 的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
解：根据：tkqE f得qE k ts a t s a t 137192821993421911028.810106.1)0(1028.810106.11025.0210625.610106.1)0(第二章 半导体中杂质和缺陷能级7. 锑化铟的禁带宽度Eg=0.18eV ，相对介电常数 r =17，电子的有效质量*n m =0.015m 0, m 0为电子的惯性质量，求①施主杂质的电离能，②施主的弱束缚电子基态轨道半径。
半导体物理半导体中的电子状态
半导体物理半导体中的电子状态半导体物理：半导体中的电子状态在现代科技的宏伟画卷中，半导体无疑是一颗璀璨的明珠。
从智能手机到超级计算机，从新能源汽车到航天航空，半导体的身影无处不在。
而要深入理解半导体的奇妙特性，关键就在于探究半导体中的电子状态。
让我们先来了解一下什么是半导体。
半导体，顾名思义，其导电性能介于导体和绝缘体之间。
常见的半导体材料有硅、锗等。
在半导体中，电子的行为和在导体、绝缘体中有着显著的差异。
在半导体晶体中，原子按照一定的规律紧密排列，形成晶格结构。
电子所处的能态不再是像在自由空间中那样连续分布，而是被分成一系列离散的能级，这些能级形成了所谓的能带。
能带可以分为导带和价带。
价带是能量较低的能带，其中的电子被原子束缚得较为紧密，一般情况下不能参与导电。
而导带是能量较高的能带，其中的电子能够在电场的作用下自由移动，从而形成电流。
在绝对零度时，半导体中的电子刚好填满价带，而导带中则没有电子。
随着温度的升高，部分电子会获得能量，从价带跃迁到导带，在导带中形成自由电子，同时在价带中留下空穴。
自由电子和空穴都能参与导电，这是半导体导电的关键机制。
半导体中的电子状态还受到杂质的显著影响。
杂质原子可以分为施主杂质和受主杂质。
施主杂质能够释放出电子，增加导带中的电子浓度；受主杂质则能够接受电子，增加价带中的空穴浓度。
通过控制杂质的种类和浓度，可以精确地调节半导体的导电性能，这就是半导体掺杂技术。
比如在硅晶体中掺入少量的磷元素，磷是五价原子，在与硅原子形成共价键时，会多出一个电子。
这个电子很容易进入导带，使硅成为 n 型半导体，电子成为主要的载流子。
而如果掺入少量的硼元素，硼是三价原子，会形成一个空穴，使硅成为 p 型半导体，空穴成为主要的载流子。
半导体中的电子状态还与晶体缺陷有关。
晶体缺陷会在能带中引入能级，影响电子的跃迁和导电过程。
此外，外电场的作用也会改变半导体中电子的状态。
当施加外电场时，电子和空穴会在电场力的作用下发生定向移动，形成电流。
半导体物理第三章半导体中的电子状态
有化运动：2s能级引起“2s”的共有化运动，2p能级引起
“共2有p化”的运动。
2p
• 2s • • •
► 晶体中电子的运动
► 晶体中电子做共有化运动时的能量是怎样的？
a: 考虑一些相同的原子，当它们之间的距离很大时，可以 忽略它们之间的相互作用，每个原子都可以看成孤立的， 它们有完全相同的电子能级。如果把这些原子看成一个 系统，则每一个电子能级都是简并的。(2个原子构成的 系统，为二度简并（不计原子本身的简并时）；N个原 子构成的系统，为N度简并）。
b: 能带的形成：原子相互靠近时，由于之间的相互作用， 使简并解除，原来具有相同能量的能级，分裂成具有不 同能量的一些能级组成的带，称为能带。原子之间的距 离愈小它们之间的相互作用愈强，能带的宽度也愈大。 (图3.2)
• 原子能级和能带之间并不一定都存在一一对应的关系。 当共有化运动很强时，能带可能很宽而发生能带间的重 叠，碳原子组成的金刚石就是属于这种情况。(图3.3)
3：处于低能级的内壳层电子共有化运动弱，所以能级分裂小， 能带较窄；处于高能级的外壳层电子共有化运动强，能级分 裂大，因而能带较宽。
4：每个能带都是共有化电子可能的能量状态，称为允带；各允 带之间有一定的能量间隙，电子能量不可能在这一能量间隙 内，称之为禁带。
5：每个允带包含的能级数一般等于孤立原子相应能级的简并度 （不计自旋简并）× 组成晶体的原子数目。
设一维晶格长为L，
则有：
L
0
(
x
)
2
dx
1
( 归一化）
即：
L
0
2
A dx 1，
取A
1, L
则 ( x )＝
1 exp(ikx) L
半导体物理第三章
p0 = ∫
价带底能量
Ev
/ Ev
gv (E) [1 − f ( E )] dE V ( 2m ) h
* 3/ 2 p 3
= 4π
∫
Ev
/ Ev
e
E − EF kT 0
( Ev − E ) dE
1/ 2
令x = ( Ev − E ) /(k0T ) ( Ev − E )1/ 2 = (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( Ev − E ) = −(k0T )dx x' = ( Ev − Ev' ) /(k0T )
导带中大多数电子是在导带底附近，而价带中大多数空穴 则在价带顶附近。 1. 导带中电子浓度 在能量E～(E+dE)之间有： 量子态：dZ=gc(E)dE 电子占据能量为E的量子态的概率： 则电子数为：
29
f B (E) = e
E − EF − kT 0
dN = dZ ⋅ f B ( E ) ( 2m ) = 4πV h
利用前述方法可得：
k12 + k 2 2 k3 2 h E ( k ) = Ec + + 2 mt ml
2
电子态 密度有 15 效质量
2. 价带顶状态密度 在实际Si、Ge中，价带中起作用的能带是极值相重合的 两个能带，与这两个能带相对应的有轻空穴有效质量(mp)l和 重空穴有效质量(mp)h，因此价带顶附近状态密度应为这两个 能带的状态密度之和，称为价带顶空穴的状态密度有效质量 价带顶空穴的状态密度有效质量 (空穴态密度有效质量 空穴态密度有效质量)。价带顶状态密度式子与球形等能面情 空穴态密度有效质量 况下的价带状态密度式(5)有相同的形式，
蒋玉龙教授-半导体物理ppt-5
r r r = −q[(vyBγ − vzBβ)i +(vzBα − vxBγ ) j +(vxBβ −vyBα)k]
* x
* , , , , dv x * dv x i ω m v + qB γ v − qB β v v = v exp( i ω t ) x x y z =0 mx + qB ( v yγ − v z β ) = 0 x fx = m x dt dt , * , , , * dv y * dv y v = v exp( i ω t ) i ω m v + qB α v − qB γ v y y y z x =0 my f y = my + qB ( v zα − v xγ ) = 0 y dt dt * , , , , * dv z * dv z i ω m v + qB β v − qB α v v = v exp( i ω t ) z z x y =0 mz + qB ( v x β − v yα ) = 0 z fz = mz z dt dt
E
Bc =
ωm *
q
B Bc
23/32
3.3 回旋共振和等能面7
3.3.2 回旋共振
kz, k γ α kx，i B β ky, j
r r r r 各向异性晶体 B = B α i + B β j + B γ k
群速
r r r r v = vxi + vy j + vzk
r r r r r F = −qv × B = f xi + f y j + f zk
*
−1 2 1 dE ⎛ 1 d E⎞ * vg= ⎟ mn = ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ h dk ⎝ h dk ⎠
半导体物理课后习题答案(1-12章)
∆ ED =
7.06 10− 4 eV
r1,n = ε r (
° m0 1 ) � a 17 = 0.53 600.67 A 0 ∗ mn 0.015
8. 磷化鎵的禁带宽度 Eg = 2.26eV ，相对介电常数 ε r = 11.1 ，空穴的有效质量
m∗p = 0.86m0 ， m0 为电子的惯性质量，求ⅰ）受主杂质的电离能，ⅱ）受主所若 束缚的空穴基态轨道半径。 [解]： ∆ E A = 已知， E0 = m m∗p E0 rp = n 2ε r ( ∗0 ) a0 2 ， mp m0 ε r
第1章 半导体中的电子状态
1. 设晶格常数为 a 的一维晶格，导带极小值附近能量 Ec（k）和价带极大值附近 能量 Ev（k）分别为： Ec(k)=
h 2 k 2 h 2 (k − k1) 2 h2k 2 3h 2 k 2 + 和 Ev(k)= － ； 3m 0 6m 0 m0 m0
m0 为电子惯性质量，k1＝1/2a；a＝0.314nm。试求： ①禁带宽度； ②导带底电子有效质量； ③价带顶电子有效质量； ④价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。 [解] ① 禁带宽度 Eg 根据 值： kmin＝
[ 110] , [ 101] , [ 011] , 轾 臌1 10
轾 臌10 1 , 轾 臌0 1 1 ;
,
[1 10], 轾 10 1 , 轾 臌 臌01 1 , 轾 臌110 , 轾 臌101 , 轾 臌0 11 ; 则由解析几何定理得, B 与 k3 的夹角余弦 cos θ 为: cos θ = 式中, B = b1i + b2 j + b3k . 对不同方向的旋转椭球面取不同的一组 (k1 , k2 , k3 ) .
半导体中的电子状态
半导体中的电子状态引言随着科技的发展，半导体材料在电子行业中扮演了重要的角色。
半导体材料的特殊结构使得它们在导电性质上介于导体和绝缘体之间。
研究半导体中的电子状态对于了解半导体的导电机制和优化器件性能具有重要意义。
本文将介绍半导体中的电子状态，并探讨其在实际应用中的影响。
电子能级受限在半导体中，电子能级是受限的，这意味着电子只能取特定的能量值。
通过与能带理论相关联，我们可以将半导体中的电子能级划分为价带和导带。
价带是半满的，而导带是部分填充的。
能带间隙能带间隙（band gap）是指价带和导带之间不允许存在任何电子能级的能量差。
对于导体来说，能带间隙非常小，几乎可以忽略不计。
而对于绝缘体来说，能带间隙非常大，使得电子无法跃迁到导带中。
而半导体的能带间隙大小适中，介于导体和绝缘体之间。
能带间隙的大小决定了半导体的电导率和其他电学性质。
纯半导体中的电子状态在纯半导体中，没有掺杂物存在。
在绝对零度下，所有的价带都被填满，而导带都是空的。
这种状态下，半导体是非导电的。
当温度升高时，由于晶格的振动，一些电子可以跃迁到导带中，形成导电。
这种现象被称为本征激发。
杂质半导体中的电子状态杂质半导体是指在纯半导体中掺入其他原子，以改变半导体的电子状态。
当掺入杂质元素时，会形成杂质能级。
这些能级位于能带间隙的中间，可分为n型杂质能级和p型杂质能级。
n型杂质能级暗示占据了原本在导带的电子，而p型杂质能级暗示原本从价带“升级”的电子。
能带理论和电子迁移能带理论是半导体物理学中的基本概念之一。
它描述了在不同能带之间电子的跃迁行为。
根据能带理论，当一个电子从价带跃迁到导带时，会在价带留下一个“空穴”（被电子跃迁到导带的位置）。
空穴的移动速度会影响半导体器件的工作性能。
由于空穴的速度较慢，限制了电子的迁移速度。
这也是为什么n型半导体比p 型半导体具有更好的导电性能的原因，因为电子比空穴移动速度更快。
电子状态与半导体器件性能的关系半导体中的电子状态与器件性能密切相关。
半导体物理课后习题(保密)
解: 须先求出本征载流子浓度ni，即
代入数据得，ni=1.86 ×1013cm-3 根据电中性条件有 p0+ND+=n0+NA-
ni
q( n p )
i
1 i ( n p )
联立 载流子浓度公式
n0p0=ni2
可求解得 n0=3.89 ×1013cm-3, p0=8.89 ×1012cm-3 所以样品的电导率为：
解: 由图3-7查得T=500k时，Si的本征载流子浓度ni=3.5×1014cm-3 联立方程
p0=ni2/n0
解得， ND=3.5×1014cm-3时，n0≈4.3×1014cm-3, p0=2.8×1014cm-3 —— n0,p0差别不显著，杂质导电特性不很明显 ND=1012cm-3时，n0≈ni=3.5×1014cm-3, p0=3.5×1014cm-3,即n0=p0. —— 进入本征 半导体材料在某一温度下所处的区域与杂质浓度相关 或 杂质浓度不同，材料进入同一区域所需要的温度不一样。
m0为电子惯性质量，k1=1/2a; a=0.314nm。试求： （1）禁带宽度； （2）导带底电子有效质量； （3）价带顶电子有效质量； （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。
练习2-课后习题2
第一章 半导体中的电子状态
2.晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m和107V/m 的电 场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
作业-课后习题14
第三章 半导体中载流子的统计分布
计算含有施主杂质浓度ND=9×1015cm-3与受主杂质浓度为1.1×1016cm-3 的硅在室温时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。
半导体物理半导体中的电子状态
半导体物理半导体中的电子状态半导体物理：半导体中的电子状态半导体是一种在电性能上介于导体和绝缘体之间的材料。
半导体中的电子状态对于半导体器件的特性和性能起着至关重要的作用。
本文将探讨半导体中的电子状态，并介绍与之相关的几个重要概念。
1. 能带结构半导体中的电子状态与能带结构密切相关。
能带是将材料中的电子能级按照能量高低进行分类的一种方式。
在半导体中，一般存在两个主要的能带，即价带和导带。
价带是电子处于较低能量状态的能带，而导带则是电子处于较高能量状态的能带。
能带之间的能隙决定了电子的跃迁行为。
2. 杂质能级半导体中的杂质能级是指由掺入杂质引起的局部能量水平。
掺杂是通过向半导体中引入少量的杂质元素改变其电子状态。
掺入五价元素（如磷）会产生施主能级，该能级位于导带上方，提供自由电子；而掺入三价元素（如硼）会产生受主能级，该能级位于价带下方，吸收自由电子。
杂质能级的引入对半导体器件的性能起着决定性作用。
3. 载流子在半导体中，载流子是负责电荷传输的粒子。
主要有电子（负载流子）和空穴（正载流子）两种类型。
在纯净的半导体中，电子和空穴的浓度相等，称为本征半导体。
通过掺杂，可以改变载流子的浓度，从而实现半导体的导电性的调控。
4. 载流子的浓度与掺杂浓度的关系半导体材料的光、热、电等特性与掺杂浓度有关。
掺杂浓度越高，材料的导电性能越好。
在一定范围内，载流子浓度与掺杂浓度成正比。
然而，过高的掺杂浓度可能导致材料中的杂质能级相互重叠，从而影响器件的性能。
5. 半导体的禁带宽度禁带宽度是指价带和导带之间的能量间隔，决定了半导体材料的电导率。
半导体的禁带宽度较小，比绝缘体的小，但比导体的大。
通过控制禁带宽度，可以实现对半导体的电学性质调控。
总结：本文讨论了半导体中的电子状态。
通过对能带结构、杂质能级、载流子浓度与掺杂浓度关系，以及禁带宽度等概念的介绍，我们可以更好地理解半导体器件的工作原理和性能特点。
半导体物理作为一门重要的学科领域，对于现代电子技术的发展和应用具有重要意义。
半导体物理 第三章
积分后可得热平衡状态下非 简并半导体的导带电子浓度
30
导带顶能量
n0
/ Ec
Ec
(2m ) 4 h
* 3/ 2 n 3
e
E EF kT 0
( E Ec ) dE
1/ 2
令x ( E Ec ) /(k0T ) ( E Ec )1/ 2 (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( E Ec ) (k0T )dx x' ( Ec' Ec ) /(k0T )
33
p0 4
(2m ) h
* 3/ 2 p 3
e
Ev EF kT 0
Hale Waihona Puke x'0
x1/ 2e x dx
2
(，Ev' )的空穴数 极少，忽略不计
* p 0 3
0
x e dx
Ev EF kT 0
1/ 2 x
p0 2
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能； N：电子总数，决定费米能级的条件是： f ( Ei ) N
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变 化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
f B ( E ) g c ( E )dE e
E EF kT 0
( E Ec )1/ 2 dE
单位体积中的电子数即电子浓度
(2m ) dN dn 4 V h
半导体物理习题答案
半导体物理习题答案 The document was prepared on January 2, 2021第一章半导体中的电子状态例1.证明:对于能带中的电子，K状态和-K状态的电子速度大小相等,方向相反。
即：v(k)= －v(－k)，并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。
解：K状态电子的速度为：（1）同理，－K状态电子的速度则为：（2）从一维情况容易看出：（3）同理有：（4）（5）将式（3）（4）（5）代入式（2）后得：（6）利用（1）式即得：v(－k)= －v(k)因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关，即：E(k)=E(－k)故电子占有k状态和-k状态的几率相同，且v(k)=－v(－k)故这两个状态上的电子电流相互抵消，晶体中总电流为零。
例2.已知一维晶体的电子能带可写成：式中，a为晶格常数。
试求：（1）能带的宽度；（2）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（1）由E(k)关系（1）（2）令得：当时，代入（2）得：对应E(k)的极小值。
当时，代入（2）得：对应E(k)的极大值。
根据上述结果，求得和即可求得能带宽度。
故：能带宽度（3）能带底部和顶部电子的有效质量：习题与思考题：1 什么叫本征激发温度越高，本征激发的载流子越多，为什么试定性说明之。
2 试定性说明Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数的原因。
3 试指出空穴的主要特征。
4 简述Ge、Si和GaAs的能带结构的主要特征。
5 某一维晶体的电子能带为其中E0=3eV，晶格常数a=5×10-11m。
求：（1）能带宽度；（2）能带底和能带顶的有效质量。
6原子中的电子和晶体中电子受势场作用情况以及运动情况有何不同原子中内层电子和外层电子参与共有化运动有何不同7晶体体积的大小对能级和能带有什么影响8描述半导体中电子运动为什么要引入“有效质量”的概念用电子的惯性质量描述能带中电子运动有何局限性9 一般来说，对应于高能级的能带较宽，而禁带较窄，是否如此为什么10有效质量对能带的宽度有什么影响有人说：“有效质量愈大，能量密度也愈大，因而能带愈窄。
半导体中的电子状态
01
半导体基本概念及性质
半导体材料的特点及分类
半导体材料的特点
• 介于导体和绝缘体之间的高电阻率 • 温度敏感性 • 光电响应性
半导体材料的分类
• 元素半导体：如硅、锗 • 化合物半导体：如镓砷、镉碲 • 合金半导体：如硅锗合金、镓砷磷合金
半导体中的能带结构
能带理论的基本概念
• 波函数表示法 • 能带表示法 • 矩阵元表示法
电子态的性质
• 电子态的归一化 • 电子态的叠加 • 电子态的纠缠
电子态的跃迁与吸收光谱
电子态的跃迁
• 量子跃迁：电子从一个能量状态跃迁到另一个能量状态 • 跃迁概率：电子跃迁的几率 • 跃迁矩阵元：描述电子跃迁的物理量
吸收光谱
• 光吸收：电子从低能量状态跃迁到高能量状态的过程 • 吸收系数：描述光吸收强度的物理量 • 吸收光谱：不同波长光吸收的强度分布
03
半导体中的电子状态
半导体中的价带电子态
价带电子态的特点
• 能量较低 -主要分布在原子核附近 • 与晶格振动相互作用
价带电子态的分布
• 电子态密度：描述电子态在空间分布的物理量 • 能带结构：描述电子态能量的分布
半导体中的导带电子态
导带电子态的特点
• 能量较高 • 主要分布在晶格之外 • 与自由电子类似
02
电子状态的基本概念
电子态的定义与分类
电子态的定义
• 电子在原子核外的能量状态 • 电子的量子数：主量子数、角量子数、磁量子数
电子态的分类
• 束缚态：电子在原子或分子内的能量状态 • 自由态：电子在原子或分子外的能量状态 • 激态：电子在激发态上的能量状态
电子态的表示方法与性质
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第3章半导体中的电子状态半导体的许多物理性质与其内部电子的运动状态密切相关。
本章扼要介绍一些有关的基本概念。
§3-1 电子的运动状态和能带为了便于理解半导体中的电子运动状态和能带的概念，先复习一下孤立原子中的电子态和自由空间中的电子态概念。
一．原子中的电子状态和能级。
原子是由带正电荷的原子核和带负电荷的电子组成的，原子核的质量远大于电子的质量。
因此，可认为电子是在原子核的库仑引力作用下绕着原子核运动。
电子绕原子核运动遵从量子力学规律，处于一系列特定的运动状态，这些特定状态称量子态或电子态。
在每个量子态中，电子的能量（能级）是确定的。
处于确定状态的电子在空间有一定的几率分布。
在讨论电子运动时，也常采用经典力学的“轨道”概念，不过其实际含义是指电子在空间运动的一个量子态和几率分布。
对于原子中的电子，能级由低到高可分为E1﹑E2﹑E3﹑E4..等，分别对应于1s﹑2s﹑2p﹑3s…等一系列量子态。
如图3-1所示，内层轨道上的电子离原子核近，受到的束缚作用强，能级低。
越往外层，电子受到的束缚越弱，能级越高。
总之，在单个原子中，电子运动的特点是其运动状态为一些局限在原子核周围的局域化量子态，其能级取一系列分立值。
二．自由空间中的电子态和能级。
在势场不随位置变化的自由空间中，电子的运动状态满足下面的定态薛定格方程（3-1）该方程的解为平面波：（3-2）其中，称波函数，称能量谱值或本征值，V为空间体积，为平面波的波矢，其大小为波长倒数的2π倍，即k=2π/λ。
这里也起着量子数的作用，用来标志自由电子的运动状态。
E~~关系曲线如图3-2所示。
在波矢为的量子态中，自由电子的动量也有确定值（3-3）在波矢量子态中，自由电子的速度也有确定值（3-4）利用能量与波矢之间的关系，容易将速度公式改写为（3-5）总之，自由空间中电子的运动特点是在相当大的范围内自由运动，几率分布延展于整个体积V，能谱是连续的。
三．晶体中的电子态和能带。
在单个原子中，电子是在原子中的电子态中运动的。
当大量原子结合成晶体后，近邻原子中的电子态将发生不同程度的交叠，原来属于一个原子的电子，这时则可能进入邻近原子中，因而电子不仅受到原来原子的作用，还要受到其他原子的影响。
此时，晶体中的电子已不再属于某个原子，而是一方面绕每个原子运动，同时还要在原子间作共有化运动，如图3-3所示。
1）周期性势能。
晶体中作共有化运动的电子要受到周期排列的原子的作用，其势能具有晶格的周期性（3-6）式中，为晶格矢量。
图3-4给出了晶体周期场中电子的势能示意图。
2）布洛赫函数。
确定周期性晶格中电子运动的定态薛定格方程为（3-7）由于具有晶格的周期性，根据布洛赫定理，（3-7）式解的一般形式一定可表示为一个平面波因子与另一个周期性函数之积，即，且（3-8）（3-8）式给出的波函数就是著名的布洛赫函数。
布洛赫函数还可表示为另一种形式：（3-9）式中，波矢也起着量子数作用，用来标志电子的运动状态。
平面波因子与自由电子的波函数相同，而在各原胞中只是周期性重复着。
因此，可对上面形式的波函数给予一个粗略的解释：平面波因子是描述电子在晶体中作共有化运动情况的，而周期性因子则是描述电子在每个原胞中绕原子运动情况的。
3）晶体中电子的能带结构。
晶体中的电子既有绕原子运动的属性，又有在原子间作共有化运动的属性。
因此，其能谱分布就应该在原子能级的基础上按电子共有化运动的不同分裂成若干组，每一组中的能级彼此靠得很近，组成有一定宽度的“带”，称能带，而不同能带间的能量间隔则为电子的能量禁区，如图3-5所示。
每个能带对应一个能量作为的函数，不同的能带对应不同的函数。
因此，为了表示晶体中电子运动状态和能级，需引入两个量子数，一是量子数“n”，它是能带的编号，另一个是波矢，它是每个能带中不同能级和电子态的标志。
从而晶体中电子的能谱和波函数可分别表示为：和 n=1，2，3，…… (3-10)且有（3-11）式中，为倒格矢。
（3-11）式是由晶体能带的对称性得到的。
总之，原子结合成晶体后，由于原子之间的相互作用，使得原子中电子的能级分裂成晶体中电子的能带。
显然，内层电子态间的交叠小，原子间的影响弱，分裂成的能带比较窄；而外层电子态间的交叠大，分裂的能带比较宽，以至于近邻的能带有可能发生重叠。
利用第二章讨论过的周期性边界条件，同样可得晶体中电子的波矢的取值也是非连续的，每个能带中的代表点数为N，N为晶体的总原胞数。
能带中的每个能级可容纳两个自旋相反的电子，从而每个能带中的电子态数为2N个。
4）晶体中电子的平匀速度和准动量。
与自由电子类似，在晶体的每个量子态中，电子作共有化运动的平均速度（不是速度）可表示为（3-12）而晶体中电子的动量（准动量）则可表示为（3-13）式中，为晶体中电子的能谱。
5）晶体中电子的加速度和有效质量。
晶体中电子在外场力作用下的加速度可表示为(3-14)式中，外场力。
将（3-14）式与牛顿第二定律比较，只要定义（3-15）则在形式上，（3-14）式与牛顿第二定律是一致的。
这里将由（3-15）式定义的量称有效质量倒数张量。
因此，（3-14）式也可写为= （3-16）式中，m称有效质量，也为张量。
（3-16）式说明，晶体中电子的加速度同外力之间关系，在形式上与牛顿第二定律类似，差别只在于要用电子的有效质量代替惯性质量。
之所以如此，是因为晶体中的电子除了受外力作用外，还要受晶体内部的周期性势场的作用，而有效质量就是表达这部分作用的。
总之，晶体中电子运动的特点是，不仅绕每个原子运动，还要在原子之间作共有化运动，能谱分裂成一系列能带。
§3-2 价带、导带和禁带1）价带：T=0K时，在晶体电子的一系列能带中，完全被价电子占据（满）的最高能带称价带。
价带中的电子被束缚着，不参与导电。
价带一般用E V表示；2）导带：T=0K时，在晶体电子的一系列能带中，完全被空着的最低能带称导带。
被激发到导带中的电子可自由运动，参与导电。
导带一般用E C表示；3）禁带：导带与价带间的能量间隔称禁带，导带底与价带顶间的能量差称禁带宽度，用E g表示，见图3-6。
4）直接带隙半导体和间接带隙半导体：在k空间中，若半导体的导带底与价带顶发生在同一k值点，则为直接带隙半导体，否则为间接带隙半导体。
§3-3 （自由）载流子1）空穴：共价键上的电子空位称空穴。
一定温度下，半导体中总有少数电子被作热振动的晶格激发，从共价键中挣脱出来，成为自由电子。
与此同时，在其原来的共价键上，留下电子的空位，即空穴。
电子—空穴对的这种产生过程，在能带图上，相应于电子由价带到导带的激发过程。
结果在导带上出现电子，在价带中留下了空穴。
见图3-7。
导带电子和价带空穴还可通过掺杂等其他途径获得。
2）（自由）载流子：导带电子和价带空穴可自由运动，在外电场的作用下将沿着电场作用方向作漂移运动，从而引起电流。
因此将二者统称为（自由）载流子。
§3-4 杂质能级与杂质补偿效应* n型半导体：主要由导带电子导电的半导体称n型半导体；* p型半导体：主要由价带空穴导电的半导体称p型半导体。
1．杂质能级1．施主杂质与施主能级1）施主杂质：能够向导带提供自由电子的杂质称施主杂质。
如Ge，Si中的Ⅴ族元素P，As，Sb等，见图3-8。
2）施主能级：与施主杂质上的电子态相对应的能级称施主能级，用E d表示。
施主能级E d一般位于靠近导带底的禁带中。
3）施主电离能：电子从施主原子中挣脱出来所需的最小能量称施主电离能。
若用E I表示，则有E I=E C-E d（3-17）见图3-10。
2．受主杂质和受主能级1）受主杂质：能够从价带中接受电子（向价带提供空穴）的杂质称受主杂质。
如Ge，Si中的Ⅲ族元素B，Al，Ga等，见图3-9。
2）受主能级：与受主杂质上的电子态相对应的能级称受主能级，用E a表示。
受主能级E a一般位于靠近价带顶的禁带中。
3）受主电离能：受主原子从其周围的共价键中接受一个电子所需要的最小能量称受主电离能，若用E I表示，则有：E I=E a-E V（3-18）见图3-10。
3．浅能级和深能级1）浅能级：电离能与禁带宽度相比非常小或者说在禁带中很靠近导带底或价带顶的杂质能级为浅能级。
靠近导带底的施主能级为浅施主能级，靠近价带顶的受主能级为浅受主能级。
通常情况下，浅能级杂质是导带电子和价带空穴的主要来源。
2）深能级：电离能与禁带宽度相比较大，往往靠近禁带中心的杂质能级为深能级。
深能级的电离能也可大于E g/2。
4．杂质密度：单位体积中的杂质数称杂质密度。
通常施主杂质密度用N d表示，受主杂质密度用N a表示。
2．杂质补偿效应：在同时掺有施主和受主杂质的半导体中，两种杂质要相互补偿。
施主杂质上的电子首先要占据能量比其低的受主能级，剩余的才能够被激发到导带；受主杂质首先也要接纳来自施主的能量较高的电子，余下的受主才能接受来自价带的电子。
这样一来，就使得施主提供导带电子和受主提供价带空穴的能力因相互抵消而减弱。
这就是杂质补偿效应。
此时，施主和受主的密度之差N d-N a（N d>N a）或N a-N d(N a>N d)称有效施主或有效受主密度，而半导体的导电类型则由有效杂质密度决定。
3．其他与杂质和缺陷有关的概念1．两性杂质：Ⅳ族元素原子在Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体中的行为比较复杂。
如果Ⅳ族原子取代晶格中的Ⅲ族原子，起施主作用；若其取代的是晶格中的Ⅴ族原子，则起受主作用。
从而称这类杂质为两性杂质。
2．缺陷能级与自补偿由电负性差别较大的原子结合成晶体时，形成离子晶体。
构成离子晶体的元素是正负离子，这些正负离子相间排列构成稳定的离子晶体结构。
对离子晶体有以下概念：1）正电中心：负离子空位和间隙正离子为正电中心。
正电中心束缚的电子容易摆脱出去成为导带电子，因此具有正电中心的半导体相当于掺有施主杂质，呈n型。
2）负电中心：正离子空位和间隙负离子为负电中心。
负电中心容易从价带中夺取电子，从而使价带出现空穴，因此具有负电中心的半导体相当于掺有受主杂质，呈p型。
图3-11中画出了正电中心和负电中心的示意图。
3）缺陷能级：由正电中心和负电中心在禁带中引起的的类似于杂质能级的能级称缺陷能级。
缺陷能级也可由位错等其它缺陷引起。
4）自补偿：许多离子型半导体，如大多数Ⅱ-Ⅵ族化合物半导体，它们或者只能是n型的，或者只能是p型的，不容易实现两种导电类型。
这是因为在离子型半导体中，往往容易形成负离子或正离子空位。
因而在通常条件下，总有相当数量的正电中心或负电中心存在，它们起着施主或受主作用。
因此，当掺入少量的受主或施主杂质时，要被其自身的正电中心或负电中心补偿，从而材料只能呈n型的或p型的。
这种由晶体自身的离子空位引起的补偿，称自补偿。