集合及表示意义及例题讲解附答案

集合的含义及表示如自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合。

到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等集合的含义是什么呢？观察下列实例：（1）1～20以内的所有质数；2,3,5,7,9,11,13,17,19（2）绝对值小于3的整数；-2,-1,0,1,2（3）满足x－3＞2 的实数；X>5（4）我国古代四大发明; 造纸术、活字印刷术、指南针，火药（5）英山一中高一（10）班的所有同学；（6）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）．（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合的含义：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）表示方法：集合通常用{}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作．集合的三个特征确定性：它的元素必须是确定的。

即，给定一个集合，那么元素与集合的关系只有“属于”及“不属于”两种。

互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象。

无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

判断下列对象是否能构成一个集合？①身材高大的人②所有的一元二次方程③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体⑥的近似值的全体⑦我国的小河流⑧所有的数学难题三常用数集及记（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合．记作N，．（2）正整数集：非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋，．（3）整数集：全体整数的集合．记作Z，．（4）有理数集：全体有理数的集合．记作Q，．（5）实数集：全体实数的集合．记作R，．注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0．（2）非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋．Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*．集合的表示方法例，请表示下列集合：，①方程x2－9=0的解的集合；{3，-3}②大于0且小于10的奇数的集合；{1,3,5,7,9}③不等式x－7<3的解集；④抛物线y=x2上的点集；1.列举法：把集合的元素一一列出来写在大括号的方法。

2.描述法：用集合所含元素的共同特征（或者说元素的公共属性）表示集合的方法。

表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x ЄA；若x ЄA,则x具有性质p。

说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；(2)应防止集合表示中的一些错误。

3.文氏图法(Venn图)我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．例如，图1-1表示任意一个集合A；图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．4、元素与集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作．6、点集与数集点集：平面直角坐标系中的点组成的集合是点集；数集：数轴上的点组成的集合是数集．7、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合．（2）无限集：含有无限个元素的集合．（3）空集：不含任何元素的集合．记作Φ，如：．二、例题讲解例1、设集合G中的元素是所有形如a＋b（a∈Z，b∈Z）的数，求证：（1）当x∈N时，x∈G；（2）若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而不一定属于集合G．证明：（1）在a＋b（a∈Z，b∈Z）中，令a=x∈N，b=0，则x= x＋0·= a＋b∈G，即x∈G．（2）∵x∈G，y∈G，∴x= a＋b（a∈Z，b∈Z），y= c＋d（c∈Z，d∈Z）∴x＋y=( a＋b)＋( c＋d)=(a＋c)＋(b＋d)∵a∈Z，b∈Z，c∈Z，d∈Z．∴(a＋c)∈Z，(b＋d)∈Z∴x＋y =(a＋c)＋(b＋d)∈G，又∵＝且不一定都是整数，∴＝不一定属于集合G．例2、用列举法表示下列集合（1）A={x|x=|x|，x∈Z，且x＜5}；（2）B={(x，y)|x＋y=6，x∈N*，y∈N*}；（3）a，b为非零实数}；分析：（1）根据x的范围解方程；（2）求不定方程x＋y=6的正整数解；（3）根据绝对值的意义化简；（4）所求的x要满足两个条件：①x是正整数，②x使是整数．解：（1）∵x=|x|，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，∴x=0，1，2，3，4，∴{x|x=|x|，x∈Z且x＜5}用列举法表示为：{0，1，2，3，4}；（2）B={（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}；（3）当a＞0，b＞0时，x=2；当a＜0，b＜0时，x=－2；当a，b异号时，x=0，∴C={－2，0，2}；说明：使用列举法时，应注意以下四点：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．例3、已知集合A={x|ax2－3x＋2=0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．分析：（1）首先要明确，集合A是关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）在实数集内的解的集合．方程无解；（2）方程有且只有一解．解：（1）∵A是空集，∴关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）无实数解．∴解得；（2）∵集合A中只有一个元素，∴关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）有且只有一解，若a=0，则原方程变为－3x＋2=0，只有一解；若a≠0，则方程有两相等实根，Δ=(－3)2－8a=0，解得．∴a=0或时，A中只有一个元素．例4、数集A满足条件：若a∈A，a≠1，则，证明：（1）若2∈A，则集合A中还有另外两个元素；（2）若a∈R，则集合A不可能是单元素集．分析：反复利用题设：若a∈A，a≠1，则，注意角色转换，单元素集指集合中只有一个元素．证明：（1）∵2∈A ，∴，于是，而， ∴A 中还有－1，两个元素．（2）假设A 是单元素集，则必有，即a2－a ＋1=0． △=(－1)2－4×1×1=－3＜0，方程没有实数解，故假设不成立，A 不可能是单元素集．例5、已知集合，其中a ∈R ．（1）若5是集合A 中的一个元素，求a 的值．（2）是否存在实数a ，使得A 中的最大元素是12？若存在，求出对应的a 的值；若不存在，试说明理由． 解析：（1）若，解得，此时都有， 若，解得，此时符合题意， ∴a 的值为－6或4．（2）若存在这样的实数，则，且，解得a 的值为3或－5．1、1、1集合的含义与表示 练习一一、选择题1、下列给出的对象中，能表示集合的是( )A 、一切很大的数B 、无限接近零的数C 、聪明的人D 、方程22-=x 的实数根 2、给出下列命题： i)N 中最小的元素是1； ii)若N a ∈，则N a ∉-； iii)若Na ∈，Nb ∈，则a+b 的最小值是2。

( )、其中所有正确命题的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、33、由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、24、下列集合表示法正确的是（ ）A.{1,2,2}B.{全体实数}C.{有理数}D.不等式052>-x 的解集为{052>-x }5、设A={a},则下列各式正确的是（ ）A 、A ∈0B 、A a ∉C 、A a ∈D 、a=A 6、集合{5|<∈+x N x }的另一种表示法是（ ）A 、{0，1，2，3，4}B 、{1，2，3，4}C 、{0，1，2，3，4，5}D 、{1，2，3，4，5} 7、由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）A 、{x|-3<x<11,Q x ∈}B 、{x|-3<x<11}C 、{x|-3<x<11,x=2k,N k ∈}D 、{x|-3<x<11,x=2k,Z k ∈} 8、下列说法正确的是 （ ）Ａ．某个村子里的年青人组成一个集合 Ｂ．所有小正数组成的集合Ｃ．集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合Ｄ．13611,0.5,,,,2244这些数组成的集合有五个元素9、下面有四个命题：（１）集合Ｎ中最小的数是否；（２）０是自然数； （３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合； （４）,a N B N a b ∈∈+则不小于2 其中正确的命题的个数是（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个二、填空题10、已知集合A={2，4，x x -2}，若A ∈6，则x=________________11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________12、方程0652=+-x x 的解集可表示为_____________________13、方程0)3)(2()1(2=-+-x x x 的解集中含有_________个元素。

14、集合{41|<<-∈x N x }用列举法表示为_________________ 三、解答题15、设集合A={(x,y)|x+y=6,N y N x ∈∈,} ，使用列举法表示集合A 。

16、关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax ，当a,b,c 分别满足什么条件时解集为空集、含一个集合、含两个集合？17、已知集合A={01682=+-x kx }只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A 。

1.1.1 集合的含义与表示一、选择题1．下列各组对象①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}， N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}， Q ＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( )A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ∉M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0}B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R }C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R }D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或∉填空：①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．13．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+321x z z y y x 的解集为______．14．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______． 15．用描述法表示下列各集合：①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________． ③}75,64,53,42,31{______________________________________________________． 16．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______．三、解答题17．集合A ＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．18．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a的值．19．实数集A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则A a∈-11． (1)若2∈A ，求A ；(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由； (3)求证：A a∈-11．20．已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R ①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．21．已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．集合与集合的表示方法参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．A6．C 解析：在选项A 中，M ＝φ，P ＝{0}，是不同的集合；在选项B 中，有M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1≥1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1≥1，y ∈R }，是不同的集合，在选项C 中，y ＝t 2＋1≥1，t ＝(y －1)2＋1≥1，则M ＝{y ｜y ≥1}，P ＝{t ｜t ≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和P 是同一个集合，在选项D 中，M 是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P 是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M 和P 是两个不同的集合．答案：C ．二、填空题7．2 8．x ≠3且x ≠0且x ≠－1根据构成集合的元素的互异性，x 满足⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/-=/.2,32,322x x x x x x解之得x ≠3且x ≠0且x ≠－1．9．2或4 10．①∈，∈，∈，∉，∈．②∈，∉，∈，∉． 11．m ＝3，n ＝2．12．31=a ，91=b ．解析：由题意知，方程x 2＋(a －1)x ＋b ＝0只有等根x ＝a ，则∆＝(a －1)2－4b ＝0①，将x ＝a 代入原方程得a 2＋(a －1)a ＋b ＝0②，由①、②解得91，31==b a .13．{(1，0，2)} 14．Q ＝{0，2，3，4，6，8，12}15．①{x ｜x ＝2n ，n ∈N *且n ≤6}，②{x ｜2≤x ≤4，x ∈N }，或{x ｜(x －2)(x －3)(x －4)＝0} ③}6,2|{*<∈+=n n n nx x 且N 16．B ＝{0，1，2}解析：∵y ∈A ，∴y ＝－2，－1，0，1，∵x ＝｜y ｜，∴x ＝2，1，0，∴B ＝{0，1，2}三、解答题17．解：有4个元素，它们分别是：(1)底边为1，顶角为40°的等腰三角形；(2)底边为1，底角为40°的等腰三角形； (3)腰长为1，顶角为40°的等腰三角形；(4)腰长为1，底角为40°的等腰三角形．18．解：∵5 ∈A ，且5∉B ．∴⎩⎨⎧=/+=-+,53，5322a a a 即⎩⎨⎧=/=-=.2,24a a a 或∴a ＝－419．证明：(1)若2∈A ，由于2≠1，则A ∈-211，即－1∈A ． ∵－1∈A ，－1≠1∴A ∈--)1(11，即A ∈21．∵,121，21=/∈A ∴A ∈-2111，即2∈A ． 由以上可知，若2∈A ，则A 中还有另外两个数－1和21∴}2,21,1{-=A ．(2)不妨设A 是单元素的实数集．则有,11aa -=即a 2－a ＋1＝0． ∵∆＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0， ∴方程a 2－a ＋1＝0没有实数根． ∴A 不是单元素的实数集． (3)∵若a ∈A ，则A a∈-11∴A a∈--1111，即A a∈-11． 20．解：①∵A 是空集∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根 ∴⎩⎨⎧<-=∆=/,089,0a a 解得⋅>89a②∵A 中只有一个元素，∴方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．当a ＝0时，方程化为－3x ＋2＝0，只有一个实数根32=x ； 当a ≠0时，令∆＝9－8a ＝0，得89=a ，这时一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即A 中只有一个元素．由以上可知a ＝0，或89=a 时，A 中只有一个元素． ③若A 中至多只有一个元素，则包括两种情形，A 中有且仅有一个元素，A 是空集，由①、②的结果可得a ＝0，或89≥a ． 21．解：①由9－x ＞0可知，取x ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x ＝0，6，8时199=-x，3，9也是自然数，∴A ＝{0，6，8}②由①知，B ＝{1，3，9}．③∵y ＝－x 2＋6≤6，而x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2符合题意． ∴C ＝{2，5，6}．④点(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2,5,1,6,0y x y x y x ∴D ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． ⑤由p ＋q ＝5，p ∈N ，q ∈N *得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,4,2,3,3,2,4,1,5,0q p q p q p q p q p 又∵qpx =，∴}4,23,32,41,0{=E22．解：由已知，∆＝4(p －1)2－4≥0，得P ≥2，或P ≤0，∴A ＝{p ｜p ≥2，或p ≤0}，∵x ∈A ，∴x ≥2，或x ≤0．∴2x －1≥3，或2x －1 ≤－1，∴B ＝{y ｜y ≤－1，或y ≥3}．答案：1、D2、A3、C4、C5、C6、B7、D8、C9、A 10、3或-211、}00|),{(〉且y x y x < 12、{2，3} 13、3 14、{0，1，2，3}15、解：集合A 中的元素是点，点的横坐标， 纵坐标都是自然数， 且满足条件x+y=6。