中考数学九年级寒假尖子班专题讲义
最新九年级初三数学假期尖子生学习课外提高学习讲义
例 5．二次函数 y (x 1)2 (x 3)2 与 y (x a)2 (x b)2 的图象关于 y 轴对称，则 (a 1)2 (1 b)2 的值为
()
A．9
B．10
C．20
D．25
例 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 1 x2 经过平移得到抛物线 y 1 x2 2x ，其对称轴与两段抛
D． y x2 x 2
6．如图，把抛物线 y 1 x2 平移得到抛物线 m ，抛物线 m 经过点 A(6, 0) 和原点 O(0, 0) ，它的顶点为 P ， 2
它的对称轴与抛物线 y 1 x2 交于点 Q ，则图中阴影部分的面积为 ． 2
7．如图，抛物线 y1 x2 2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2 ，回答下列问题：
最新九年级初三数学假期尖 子生学习课外提高学习讲义
目录
第 1 讲 二次函数的图像性质…………………………………………03 第 2 讲 二次函数的应用………………………………………………16 第 3 讲 实际问题应用题………………………………………………28 第 4 讲 二次函数几何综合……………………………………………40 第 5 讲 圆的基本性质与定理…………………………………………49 第 6 讲 圆有关的位置与切线…………………………………………75 第 7 讲 圆有关计算……………………………………………………90 第 8 讲 圆相关重难点…………………………………………………112
为底的等腰三角形，则点 P 的坐标为
．
四．二次函数图象与几何变换 1.平移规律：“左加右减，上加下减”
2.对称规律：通过顶点以及开口方向判断 关于 x 轴对称，顶点横坐标不变，纵坐标互为相反数，开口相反； 关于 y 轴对称，顶点横坐标互为相反数，纵坐标不变，开口相同；
九年级数学寒假班精品尖子班讲义
《全等三角形及三角形全等的条件》【知识精讲】全等三角形是研究图形的重要工具，掌握好全等三角形的内容是进一步学习四边形、圆的重要基础。
本讲内容是了解全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；掌握三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式.重视探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.比如：(1) 满足一个条件⎩⎨⎧一角对应相等 一边对应相等 )2()1( (2) 满足两个条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等 )3()2()1((3) 满足三个条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等三边对应相等)4()3()2()1( 再如探究直角三角形全等条件的过程：由于直角三角形隐含了直角的条件，那么思考判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个？(1) 两边对应相等⎩⎨⎧(?))SAS 等一直角边、斜边对应相两直角边对应相等（(2) 两锐角对应相等（×）(3) 一边一锐角对应相等（ASA 或AAS ）【典例剖析】1．如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC=90°,则∠A = °。
2．如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙 D 只有丙3．如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。
b ac a c c a 丙72︒50︒乙50︒甲50︒C BA 50︒72︒58︒4．如图，已知三角形的两边长分别为5和7，求第三边的中线长x的取值范围.5．如图(1)，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA=∠ECD，连接BE，AD. 求证：BE=AD.若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？【王牌例题】1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C＝∠D，BC＝DE，M为CD中点，求证：AM ⊥CD2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足。
最新初三数学寒假培优提高班讲义——圆(1)
初三数学寒假培优提高班讲义（1）————圆（1）1、如图，⊙O 的半径是10cm ，弦AB 的长是12cm ，OC 是⊙O 的半径且OC AB ，垂足为D ，CD =__________cm.2、Rt △ABC ，∠A=90°，AB=6，AC=8，以A 为圆心，AB 为半径的圆交BC 于D ，求弦BD 的长。
3、在半径为5cm 的圆内，有两条平行弦长分别为6cm,8cm,则这两条平行弦之间的距离是多少？4、矩形ABCD 中，AB =5，BC =12，如果分别以A、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是5、 已知半径分别是17cm 和10cm ，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB 的长是16cm ，求圆心距0102的长.图5-2图5-16、（2005年上海中考）已知：如图6，圆O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD 上，E 、F 分别是边AC 和BC 的中点，求证：四边形CEDF 是菱形.7、（2006年上海中考）本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．8、（2008年上海中考）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i 是坡面CE 的坡度），求r 的值．E F D B A O C 图7OC A 图89、（2004年上海中考）在△ ABC 中, ∠ BAC=90°,AB=AC=2 2 ,圆A 的半径为1,如图5所示,若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x,△AOC 的面积为y,（1）求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;（2）以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切时,△AOC 的面积.压轴题练习1、（2008年上海中考）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长； （3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．BAD MEC图13BA D C备用图B C O2.已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．做好国有粮食企业廉政风险防控工作的思考ABF DEMNC近期，在开展党的群众路线教育实践活动中，我们带着拟定的专题“如何推进国有粮食企业廉政风险防控工作”，深入基层调研走访，着力查找问题的主要表现，分析产生问题的原因，探求解决问题的办法。
九年级数学寒假班培优精品讲义
个性化教学辅导教案学生姓名年级九年级学科数学上课时间2017年月日教师姓名课题圆的有关概念教学目标1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2．探索并掌握垂径定理及其推论．3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4．知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．教学过程教师活动学生活动1．圆的基本概念：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点_______形成的图形叫做圆，_______叫做圆心，_______叫做半径．圆上任意两点间的_______叫做圆弧；在同圆或等圆中，能够_______的弧叫做等弧．2．圆的有关性质：(1)对称性：圆是中心对称图形，_______是它的对称中心；圆也是轴对称图形，_______都是它的对称轴．(2)圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_______．(3)垂径定理：垂直于弦的直径_______弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，且平分这条弦所对的两条弧．3．圆心角和圆周角：(1)圆心角：顶点在_______的角叫做圆心角；圆心角的度数_______它所对的弧的度数．圆周角：顶点在圆上，两边都与圆_______的角叫做圆周角．1．如图，CD是⊙A．AE＝BE2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数为( ) A．20°B．40° C．50° D．80°3．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为(0，3)，M 是第三象限内弧OB BMO＝120°，则⊙C的半径长为( )取线，上一点，OD⊥AC，教学目标：1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2、探索并掌握垂径定理及其推论．3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4、知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．目标分解：【掌握圆的有关概念和计算】①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．⑦掌握圆内接四边形的性质知识点梳理：1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
初中数学九年级寒假尖子班专题讲义
初中数学九年级寒假尖子班专题讲义导言初中九年级寒假尖子班专题讲义旨在为学生提供全面系统的数学知识，帮助他们在寒假期间巩固和拓展数学基础，为高中数学研究打下坚实的基础。
课程目标- 深入研究数学的重要概念和方法；- 培养学生的数学思维和问题解决能力；- 掌握九年级数学的重点知识和技能。
课程安排单元一：代数与函数- 知识点：- 代数运算规律- 一元一次方程与一元一次不等式- 线性函数与二元一次方程组- 练和应用：- 解一元一次方程和不等式- 解二元一次方程组- 理解线性函数在实际问题中的应用单元二：数与式- 知识点：- 数的整数指数与实数指数幂- 实数的开方与乘方运算- 练和应用：- 计算数的整数指数与实数指数幂- 计算实数的开方与乘方运算- 解决实际问题中的数与式的计算和应用单元三：几何与观察- 知识点：- 平面图形的性质和判断- 空间图形的性质和判断- 练和应用：- 分析和判断平面图形的性质- 分析和判断空间图形的性质- 解决几何问题和观察问题单元四：概率与统计- 知识点：- 事件的概率与频率- 数据的收集与整理- 练和应用：- 计算事件的概率与频率- 收集和整理数据- 进行简单的统计分析和推断研究方法与建议- 积极参与课堂讲解和练，与同学合作研究；- 多做题和练，通过实践巩固和加深理解；- 提前预和复教材内容，保持研究的连贯性；- 请及时向老师提问和寻求帮助，解决研究中的困难。
结语初中数学九年级寒假尖子班专题讲义将为学生提供高质量的数学学习资源，帮助他们在寒假期间提升数学水平，为顺利完成初中数学学业奠定坚实基础。
希望学生们能够积极参与学习，取得优异的成绩！。
九年级数学尖子生寒假培优教程(4)
F九年级数学寒假尖子生培优教程(4)--圆、锐角三角函数综合1.⊙O 的内接等腰△ABC 中，AB=AC ，半径是5㎝，圆心O 到BC 的距离为3㎝，则腰长是________。
hw02-022.如图，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交A 于M 、N 两点，若点M 的坐标是(-4，-2)，则点N 的坐标是________. hw02-123.如图,在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=6,BC=8, ⊙O 为的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA=______.hw06-074.如图,在平面直角坐标系xOy 中，⊙P 与y 轴相切于点C ，⊙P 的半径为4，直线y=x 被截得的弦AB 长为4P 的坐标为. ________ hw07-145.如图，⊙P 在第一象限，半径为3,动点A 沿着⊙P 运动一周，在 点A 运动的同时，作点A 关于原点O 的对称点B ，再以AB 为底边作等腰三角形△ABC ，点C 在第二象限，且sinA=45,点C 随点A 运动所形成的图形的面积为 ．cn02-106.如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方圆弧上，半径AE 、CF 交于点G ，半径BE 、CD 交于点H ，且C 是 AB的中点，若扇形的半径为4，则图中四边形EGCH 的面积为__________平方单位。
cn02-087. 如图, 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝60°，AC=10,将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ’，折痕为BE ，则AE 的长度为 .8.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点G 是重心，过点G作矩形GECF ，当GF ：GE=1：2时，则∠B 的正切值是.9. 如图, 在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC于点D 、E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F 。
初三数学寒假辅导讲义第1讲三角形提高班教师版
考试内容考试要求层次A B C三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关冋题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关冋题会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（si nA，cos A，tan A）；知道30 ,45，60角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30 , 45，60角的三角函数式的值淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题博领先中考培优课程J比---- 7--厂工八_初三寒假•第1讲•提高班•教师版1一、等腰三角形①等腰三角形的两大特性.AAA图形7A2/_ _ACH=DE+DFCH=DE-DF V三角形特殊三甬形之等髅三角形与直角三甬形全等三角形相似三角形特性等腰三角形中的三线合一”底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系图形^45°^6°三边1 ：1： 1i：i： 72i：i：J3「丫1仆•如之比j 1 •21*1*2、直角三角形1直角三角形的边角关系.①.直角三角形的两锐角互余. ②.三边满足勾股定理. ③.边角间满足锐角三角函数.初三寒假•第1讲•提高班•教师版领先中考培优课程2 •特殊直角三角形3 •直角三角形中的特殊线.四•全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定：⑴ SSS;⑵SAS :⑶ASA :⑷AAS :⑸HL .初三寒假•第1讲•提高班•教师版45在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换(旋转、平移、轴对称等)相结合 五•相似三角形 相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比. ⑵相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 相似三角形的判定： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷(2)在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4, 0)，点B 的坐标为(4 ,10)，点C 在y 轴上，且厶ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ________________ .(2010顺义一模) 淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！领先中考培优课程护平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似; 两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 三边对应成比例，两三角形相似.r rB□ a □ rA□ □ t初三寒假•第1讲•提高班•教师版1~~-w —V - --------------------------------- —AEEEBCCBB CC CBB ⑷AAEEAEAEBCBBDCDB模块 特殊三角形夯实基础C.8D.9C (9)【例1】(1 )如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 △ABC 为等腰三角形 个数是( )A.6B.7C D(10)本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三 由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单， ，不对学生做太高要求 设计一种“系列探究” ，使得每一讲有 本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最 (1) ___ E ⑵【编写思路】由于三角形的知识点非常多 角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形， 所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花 值问题” •B C(8)AAA相似三角形的基本模型：A 、B 是 则点 C 的(3)已知：如图，在厶ABC中，B 连接DE交BC于F •求证：DF EF •(4)如图所示，在△ ABC中，BC=6, E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分/ CBP,1设BP=y , PE=X.当CQ=— CE时，y与x之间的函数关系式2是 _____________ .【解析】(1) C,两圆一垂”(2)( 0, 0),( 0, 10),( 0, 2),( 0, 8).两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得；(3 )证明：过D点作AC的平行线交BC于点G ,贝B= / ACB= / BGD ; ••• BD=DG = CE;易证ADFG ◎△ EFC ; • DF = EF.注：本题方法很多，还可以过D作BC平行线，或过E作AB的平行线，由平行线截等腰三角形”得新等腰三角形•(4) y= —+6;提示：延长BQ与射线EF相交，由平行线加角平分线"得到等腰三角形•【例2】(1)如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A B C D A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B C D A B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( ) (2010宣武一模)A. 2B. 4 —C.D. 1(2)如图，在△ ABC 中，/ C=90° AC=4, BC=2，点A、C 分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是( )A • 2.2 2B • 2.5 C. 2.6 D . 6(2010西城二模)ACB，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，且BD CE ,(2012海淀期中)以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，△ ABC为等边三角形，边长毛1領先中考培优课程A第8题图6轴上，当点A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中, 点B 到原点的最大距离是 __________________ .【探究2】如图，在厶ABC 中，/ C=90° AC=4, BC=3,点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最小距离是 _____________ .【探究 3】 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90° / B=30° CB=3^3 ,点D 是平面上一点且 CD=2，点P 为线段 AB 上一动点，当 △ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段 DP 长度的最大值为 _______ ，最小值为 ________ .A ，如右图1,取AC 中点D ，连结OD 、BD ,B 三点共线时，OB 的值最大； 探究1 : 2+2 3，方法同上，取 AC 中点D ，连结 BD ，当O 、D 、B 三点共线时，OB 的值最大；探究2:如右图2,取AC 中点D ，连结OD 、BD , D 、B三点共线时，OB 的值最小，最小值为 .13【解析】 半, （1） C ,由 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ”可知 :是M 的轨迹围成一个半径为 1的圆； BM 、CM 、 CM 、AM 均等于FQ 的一探究3: MBC 绕点C 旋转”等价于CD 绕点C 旋转”，如下图PD 最大，当PD = | PC-CD |时，PD 最小.如图2，当P 与B 重合，PD 取最大值为 3. 3 图3,当CP 丄AB 时，PD 取最小值为3,32 .21连结CP ,PD=PC+CD ）时，2，如图1B图3【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考） ：（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，内共线”值最小（已知AB 、BP 为定值，求动线段 AP 的最大或最小值） P 是线段BC 上的动点，求线段外共线”值 最大， （2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点 小值）•AP 的最大或最(2) D 、 2淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅补家教资料都有!图28初三寒假•第1讲•提高班•教师版- - -------- ―哎APBC夯实基础EPMMNBBD D能力提升7■ .kP 2 AP 2P l由全等三角形面积相 由八”字模型倒角证得APC EPC 120 PA+PC+PE=BE ， ⑥. 60)，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60。
九年级数学尖子生寒假培优教程(3)
九年级数学寒假培优教程（3）----建模思想在解题中的应用【模型一】一线三等角问题1：如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，当AP=4，BP=8时，求P 、Q 两点间的距离；（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上，若BP=2a ，CQ=9a ，求PE ：EQ 的值，并直接写出△EPQ 的面积 (用含a 的代数式表示)．图1 图2【变式】：如图，已知抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 交x 轴正半轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，－4）． （1）求b 、c 的值；（2）若M 为AB 中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ =45°，MP 交x 轴于点D ，MQ 交y 轴于点E ，设AD 的长为m （m >0），BE 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式；（3）当m ，n 为何值时，∠PMQ 的边经过抛物线与x 轴的另一个交点．【巩固】如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明【模型二】抛物线中的有关线段最值问题问题2：如图，已知抛物线y ＝12x 2-2x -4交x 轴正半轴于点A 点，交y 轴于点C ．若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点（点P 不与点A 、点C 重合），过点P 作y 轴的平行线l 与直线AC 交于点Q ， （1） 求当点P 在何位置时，线段PQ 有最大值，最大值是多少？ （2） 求△APC 面积的最大值（3） 求点P 到直线AC 的距离最大值。
初三寒假讲义1
三角形的概念和全等三角形【回顾与思考】三角形⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩三角形的概念及表示三角形的基本要素及基本性质三边的关系,三内角的关系三角形的高,中线,角平分线三角形全等的表示及特征三角形的全等探索三角形全等的条件三角形全等的应用知识点:三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定大纲要求1．了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念，理解三角形，三角形的顶点，边，内角，外角，角平分线，中线和高线，线段中垂线等概念。
2．理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质，掌握三角形的内角和定理，三角形的外角等于不相邻的两内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质；3．理解全等三角形的概念和性质。
掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。
4．学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。
考查重点与常见题型1.三角形三边关系，三角形内外角性质，多为选择题，填空题；2.论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题【例题经典】三角形内角和定理的证明例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，•同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．变式训练：将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（） A．仍是直角三角形 B．不可能是直角三角形C．是锐角三角形 D．是钝角三角形探索三角形全等的条件例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．依此类推得①、②、③点评：注意已知条件与隐含条件相结合．变式训练：（★)已知AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD全等三角形的应用例3．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．例4.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的．若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为．答案：80°提高训练：公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.等腰三角形【回顾与思考】等腰三角形60⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪︒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩等边对等角性质三线合一腰与底边不等的等腰三角形等角对等边判定定义三边相等性质三角都相等有一个角等于的等腰等边三角形三角形判定三边都相等(或三角都相等)的三角形 〖知识点〗等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质 和判定、轴对称、轴对称图形 〖大纲要求〗1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；2．理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；3．了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。
2019年初三数学寒假讲义
初三数学寒假讲义目录第一讲中考一轮复习之数与式 (2)第二讲中考一轮复习之不等式与方程 (8)第三讲中考一轮复习之分式方程与二次方程 (16)第四讲中考第一轮复习之一次函数与反比例题函数 (26)第五讲中考一轮复习之解三角形 (35)第六讲中考一轮复习之多边形与四边形 (46)第七讲中考一轮复习之二次函数 (59)第八讲中考一轮复习之圆 (68)第九讲中考一轮复习之相似三角形 (80)第一讲 中考一轮复习之数与式板块一 实数的计算1．相关概念：（1）有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系。
、2π-、…………，等都是无理数。
（2）相反数：若a 与b 是互为相反数，则 ，反之亦然。
（3）绝对值：（a ＞0） a ＝ （a ＝0） （a ＜0）（4）当a ≠0时，a 的倒数为 ，若ab 互为倒数，则 （5）科学记数法：科学记数法的一般形式是10(110)≤n a a ⨯< （6）平方根：若2x a =，则x ＝ ，x 叫做a 的平方根。
立方根：若3x a =，则x a 的立方根。
（7）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥⎩⎨⎧）（二次根式时，分式有意义，当分式多项式单项式整式代数式0a a 0____B B A（8）a a =2，a a =2)(，a a =33，a a =33)(b a b a ⋅=⋅，ba ba =，a a a =1，b a ba ba --=+1 （9）⎩⎨⎧<-≥=0,0,a a a a a ，⎩⎨⎧<-≥-=-ba ab ba b a b a ,,（10）)0(10≠=a a （11）)0(1≠=-a a a pp（11）特殊角的三角函数值：30°：sin 30°= ， cos 30°= ，tan 30°= ,45°：sin 45°= ， cos 45°= ，tan 45°= ，例题1：8的立方根为（ ）A.2B.±2C.4D.±4变式练习1：1.如图，数轴上点P 所表示的实数可能是（） AB.2.如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、，则下列结论正确的是（ ） A ．0a b +> B ．0a b -> C ．0ab >； D ．||||0a b ->．例题2：一生物老师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为0.000000195米，将该数据用科学计数法表示为_______________米。
初三寒假讲义
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧不等腰三角形角形只有两边相等的等腰三等边三角形等腰三角形三角形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形第一节 三角形基础复习第一关 三角形的概念、分类 ★☆☆☆☆☆【识记】1.三角形概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2.三角形分类：①按边分类：②按边分类：第二关 三角形三边关系、三角定理 ★★☆☆☆☆【初级理解】 过关指南：1.三角形三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2.三角形三角定理：三角形内角和为180度。
目标题目示例：【本节进步目标】★☆☆☆☆☆对三角形的概念、分类达到【识记】级别★★☆☆☆☆对三角形三边关系、三角定理达到【初级理解】级别 ★★★☆☆☆对等腰、直角、等边三角形达到【高级理解】级别 ★★★★☆☆对全等三角形达到【高级运用】级别1.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L 的取值范围是( ) A.6<L<15 B.6<L<16 C.11<L<13 D.10<L<162.三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为_______； 过关练习：1.如图，P 是△ABC 内一点,说明PA+PB+PC>21(AB+BC+AC).2.如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向。
从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？第三关 等腰、直角、等边三角形 ★★★☆☆☆【高级理解】 过关指南：PCBA1. 等腰三角形60⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪︒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩等边对等角性质三线合一腰与底边不等的等腰三角形等角对等边判定定义三边相等性质三角都相等有一个角等于的等腰等边三角形三角形判定三边都相等(或三角都相等)的三角形 2. 直角三角形⎧⎪⎫⎨⎬⎪⎭⎩三边关系--勾股定理--应用直角三角形的性质---应用直角三角形的判别3. 等边三角形三条边都相等，三个角都相等且都为60度。
九年级数学寒假辅导讲义第06讲 四边形(解析版)
第6讲四边形中考分析解读四边形包含平行四边形、特殊平行四边形的边角的计算或证明，解题过程中涉及到了四边形的性质和判定，四边形的考查通常综合性强，常与三角形及全等、相似结合，考查形式多样，中考中分值约为14~18分.模块一平行四边形一、知识导图二、知识清单1、平行四边形（1）概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2）性质①边：两组对边分别平行且相等；②角：两组对角分别相等；③对角线：对角线互相平分；④对称性：中心对称图形，对角线交点是对称中心；（3）判定①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形；基础演练一、选择题1．（2020•河南模拟）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．//AD BC ，AO CO =B ．AD BC =，AO OC =C ．AD BC =，CD AB =D ．AOD COD BOC S S S ∆∆∆==【分析】利用平行四边形的判定进行推理，即可求解． 【解答】解：若//AD BC ，ADO CBO ∴∠=∠，且AO CO =，AOD BOC ∠=∠，()AOD COB AAS ∴∆≅∆ AD BC ∴=，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 选项不合题意；若AD BC =，CD AB =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故C 选项不合题意；若AOD COD BOC S S S ∆∆∆==， AO CO ∴=，BO DO =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故D 选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，灵活运用平行四边形的判定是本题的关键． 2．（2020•河南模拟）如图所示，已知ABCD 为平行四边形，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB 、AD 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAD ∠内交于点G ；③作射线AG ，交边BC 于点P ，若6CD =，3BP CP =，则平行四边形ABCD 的周长为( )A ．20B ．32C ．28D ．24【分析】直接利用基本作图方法得出AG 平分BAD ∠，再利用平行四边形的性质得出AB DC =，AD BC =，求出BC 的长，即可得出答案．【解答】解：由作图方法可得，AG 平分BAD ∠， 则BAP DAP ∠=∠， ABCD 为平行四边形， 6AB DC ∴==，//AD BC =，DAP APB ∴∠=∠， BAP BPA ∴∠=∠，6AB BP ∴==， 3BP CP =， 2PC ∴=， 8BC AD ∴==，∴平行四边形ABCD 的周长为：686828+++=．故选：C ．【点睛】此题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，正确得出BP AB =是解题关键． 3．（2020•潍坊）如图，点E 是ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3DE =，4DF =，则ABCD 的周长为( )A ．21B ．28C ．34D ．42【分析】根据平行四边形的性质得//AB CD ，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB ，AE ，进而根据平行四边形的周长公式求得结果． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， //AB CF ∴，AB CD =，ABE DFE ∴∆∆∽，∴12DE FD AE AB ==， 3DE =，4DF =， 6AE ∴=，8AB =， 639AD AE DE ∴=+=+=，∴平行四边形ABCD 的周长为：(89)234+⨯=．故选：C ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答 二、填空题4．（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE ，BC 的延长线交于点F ．若ECF ∆的面积为1，则四边形ABCE 的面积为 ．【分析】根据ABCD 的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC 是ABF ∆的中位线；然后证明ABF ECF ∆∆∽，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及ECF ∆的面积为1求得ABF ∆的面积；最后根据图示求得3ABF CEF ABCE S S S ∆∆=-=四边形．【解答】解：在ABCD 中，//AB CD ，点E 是CD 中点， EC ∴是ABF ∆的中位线；B DCF ∠=∠，F F ∠=∠（公共角）， ABF ECF ∴∆∆∽， 12EC EF CF AB AF BF ===， :4:1ABF CEF S S ∆∆∴=；又ECF ∆的面积为1， 4ABF S ∆∴=，3ABF CEF ABCE S S S ∆∆∴=-=四边形． 故答案为：3．【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明EC 是ABF ∆的中位线，从而求得ABF ∆与CEF ∆的相似比．三、解答题5．（2020•黄冈）已知：如图，在ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD CE =．【分析】只要证明()AOD EOC ASA ∆≅∆即可解决问题； 【解答】证明：O 是CD 的中点， OD CO ∴=，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， D OCE ∴∠=∠，在ADO ∆和ECO ∆中， D OCE OD OCAOD EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOD EOC ASA ∴∆≅∆， AD CE ∴=．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．6．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别平分BAD ∠和DCB ∠，交对角线BD 于点E ，F ．（1）若60BCF ∠=︒，求ABC ∠的度数； （2）求证：BE DF =．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到//AB CD ，根据平行线的性质得到180ABC BCD ∠+∠=︒，根据角平分线的定义得到2BCD BCF ∠=∠，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到//AB CD ，AB CD =，BAD DCB ∠=∠，求得ABE CDF ∠=∠，根据角平分线的定义得到BAE DCE ∠=∠，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，180ABC BCD ∴∠+∠=︒， CF 平分DCB ∠， 2BCD BCF ∴∠=∠， 60BCF ∠=︒， 120BCD ∴∠=︒，18012060ABC ∴∠=︒-︒=︒；（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =，BAD DCB ∠=∠， ABE CDF ∴∠=∠，AE ，CF 分别平分BAD ∠和DCB ∠，12BAE BAD ∴∠=∠，12DCF BCD ∠=∠，BAE DCE ∴∠=∠，()ABE CDF ASA ∴∆≅∆，BE DF ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，//∠=∠．E是边BC上一点，且AD BC，B C=．=．求证：AD BEDE DC【分析】根据等边对等角的性质求出DEC C∠=∠，所以∠=∠得DEC B∠=∠，再由B CAB DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．//【解答】证明：DE DC=，∴∠=∠．DEC C∠=∠，B C∴∠=∠，B DEC∴，//AB DEAD BC，//∴四边形ABED是平行四边形．∴=．AD BE【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．8．（2020•广西）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB DE=，AC DF=．=，BE CF （1）求证：ABC DEF∆≅∆；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）证出BC EF=，由SSS即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出B DEF∠=∠，证出//=，即可得出结论．AB DE，由AB DE【解答】（1）证明：BE CF=，∴+=+，BE EC CF EC∴=，BC EF在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆；（2）证明：由（1）得：ABC DEF ∆≅∆，B DEF ∴∠=∠，//AB DE ∴，又AB DE =，∴四边形ABED 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．9．（2020•新疆模拟）如图，E 、F 是ABCD 对角线AC 上两点，AE CF =． （1）求证：ABE CDF ∆≅∆；（2）连结DE ，BF ，求证：四边形DEBF 是平行四边形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出BAE DCF ∠=∠，由SAS 证明ABE CDF ∆≅∆即可； （2）由全等三角形的性质得出BE DF =，同理：DE BF =，即可得出结论． 【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =， BAE DCF ∴∠=∠，在ABE ∆和CDF ∆中，AE CFBAE DCFAB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF SAS ∴∆≅∆；（2）证明：连接DE 、BF ，如图所示： 由（1）得：ABE CDF ∆≅∆，BE DF ∴=，同理：DE BF =，∴四边形DEBF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．能力提升一、选择题1．（2020•陕西）如图，在ABCD 中，5AB =，8BC =．E 是边BC 的中点，F 是ABCD 内一点，且90BFC ∠=︒．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若//EF AB ，则DG 的长为( )A ．52B ．32C ．3D ．2【分析】延长BF 交CD 的延长线于H ，可证EF 是BCH ∆的中位线，由中垂线的性质可得8BC CH ==，可求3DH =，由“AAS ”可证ABF GFH ∆≅∆，可得5AB GH ==，可求解． 【解答】解：如图，延长BF 交CD 的延长线于H ，四边形ABCD 是平行四边形， 5AB CD ∴==，//AB CD ，H ABF ∴∠=∠，//EF AB ， //EF CD ∴，E 是边BC 的中点，EF ∴是BCH ∆的中位线， BF FH ∴=，90BFC ∠=︒， CF BF ∴⊥，CF ∴是BH 的中垂线， 8BC CH ∴==， 3DH CH CD ∴=-=，在ABF ∆和GHF ∆中， ABF H AFB GFH BF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABF GFH AAS ∴∆≅∆， 5AB GH ∴==， 2DG GH DH ∴=-=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．2．（2020•泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高2AG cm =，底边6BC cm =，45B ∠=︒，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若30BEF ∠=︒，则AF 的长为( )A ．1cmBC．3)cm D．(2cm【分析】根据直角三角形的三角函数得出BG ，HE ，进而利用梯形的性质解答即可． 【解答】解：过F 作FH BC ⊥于H ，高2AG cm =，45B ∠=︒，2BG AG cm ∴==， FH BC ⊥，30BEF ∠=︒，EH ∴=沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形， AF CE ∴=，AG BC ⊥，FH BC ⊥， //AG FH ∴， AG FH =，∴四边形AGHF 是矩形，AF GH ∴=，226BC BG GH HE CE AF ∴=+++=++，2)AF cm ∴=-，故选：D ．【点睛】此题考查梯形的性质，关键是根据直角三角形的三角函数得出BG ，HE 解答． 3．（2020•临沂）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则( )A ．122SS S +> B ．122S S S +<C ．122S S S +=D ．12S S +的大小与P 点位置有关【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S 和1S 、2S 之间的关系，本题得以解决．【解答】解：过点P 作EF AD ⊥交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴=， S BC EF ∴=，12AD PE S =，22BC PFS =，EF PE PF =+，AD BC =，122S S S ∴+=， 故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2020•云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点．则DEO ∆与BCD ∆的面积的比等于( )A ．12B ．14C ．16 D ．18【分析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为DBC ∆的中位线，利用三角形中位线定理可得出//OE BC ，12OE BC =，进而可得出DOE DBC ∆∆∽，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出DEO ∆与BCD ∆的面积的比．【解答】解：平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴点O 为线段BD 的中点．又点E 是CD 的中点，∴线段OE 为DBC ∆的中位线，//OE BC ∴，12OE BC =， DOE DBC ∴∆∆∽，∴21()4DOE DBC S OE S BC ∆∆==． 故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质及三角形中位线定理，找出//OE BC 且12OE BC =是解题的关键． 5．（2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD 中，ABC ∠的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若2AF FD =，则BEEG的值为( )A ．12B ．13C ．23D ．34【分析】由2AF DF =，可以假设DF k =，则2AF k =，3AD k =，证明2AB AF k ==，DF DG k ==，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：由2AF DF =，可以假设DF k =，则2AF k =，3AD k =， 四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，//AB CD ，AB CD =， AFB FBC DFG ∴∠=∠=∠，ABF G ∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABF CBG ∴∠=∠，ABF AFB DFG G ∴∠=∠=∠=∠， 2AB CD k ∴==，DF DG k ==， 3CG CD DG k ∴=+=， //AB DG ， ABE CGE ∴∆∆∽，∴2233BE AB k EG CG k ===， 故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题6．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D ∠=︒，则BAC ∠的大小是 ．【分析】根据平行四边形的性质得到102ABC D ∠=∠=︒，AD BC =，根据等腰三角形的性质得到EAB EBA ∠=∠，BEC ECB ∠=∠，根据三角形外角的性质得到2ACB CAB ∠=∠，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， 102ABC D ∴∠=∠=︒，AD BC =，AD AE BE ==，BC AE BE ∴==，EAB EBA ∴∠=∠，BEC ECB ∠=∠，2BEC EAB EBA EAB ∠=∠+∠=∠， 2ACB CAB ∴∠=∠，3180180102CAB ACB CAB ABC ∴∠+∠=∠=︒-∠=︒-︒， 26BAC ∴∠=︒，故答案为：26︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2020•德阳）如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF BE ⊥，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若4AE =，则GF = ．【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解CBE BEC ∠=∠，即可得CB CE =，利用等腰三角形的性质可得BF EF =，进而可得GF 是ABE ∆的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，//AB CD ， ABE BEC ∴∠=∠．ABE CBE ∴∠=∠，CBE BEC ∴∠=∠， CB CE ∴=． CF BE ⊥，BF EF ∴=．G 是AB 的中点，GF ∴是ABE ∆的中位线， 12GF AE ∴=， 4AE =，2GF ∴=．故答案为2．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF 是ABE ∆的中位线是解题的关键． 三、解答题8．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．AC 平分DAE ∠．（1）若50AOE ∠=︒，求ACB ∠的度数； （2）求证：AE CF =．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出EAO ∠，利用角平分线的定义求出DAC ∠，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明()AEO CFO AAS ∆≅∆可得结论． 【解答】（1）解：AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒， 50AOE ∠=︒， 40EAO ∴∠=︒，40∴∠=∠=︒，DAC EAO四边形ABCD是平行四边形，∴，//AD BC∴∠=∠=︒；40ACB DAC（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，OA OC∴=，⊥，CF BDAE BD⊥，∴∠=∠=︒，90AEO CFO∠=∠，AOE COF∴∆≅∆，()AEO CFO AAS∴=．AE CF【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2020•乐山）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当30∠=︒时，试探究线段CF、AE、OEFOE之间的关系．【分析】（1）由“AAS”可证AEO CFO=；∆≅∆，可得OE OF（2）由题意补全图形，由“AAS”可证AOE COG=，由直角三角形的∆≅∆，可得OE OG性质可得OG OE OF==；（3）延长EO交FC的延长线于点H，由全等三角形的性质可得AE CH=，OE OH=，由直角三角形的性质可得12HF EH OE==，可得结论．【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AO CO∴=，又90AEO CFO∠=∠=︒，AOE COF∠=∠，()AEO CFO AAS∴∆≅∆，OE OF∴=，故答案为：OE OF=；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长EO交CF于点G，AE BP⊥，CF BP⊥，//AE CF∴，EAO GCO∴∠=∠，点O为AC的中点，AO CO∴=，又AOE COG∠=∠，()AOE COG AAS∴∆≅∆，OE OG∴=，90GFE∠=︒，OE OF∴=；（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE CF AE=+，证明如下：如图，延长EO 交FC 的延长线于点H ，由（2）可知AOE COH ∆≅∆， AE CH ∴=，OE OH =，又30OEF ∠=︒，90HFE ∠=︒， 12HF EH OE ∴==， OE CF CH CF AE ∴=+=+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．模块二特殊的平行四边形一、知识导图二、知识清单1、矩形（1）概念有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等且互相平分；③矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；④矩形具有平行四边形的所有性质.（3）判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2、菱形（1）概念有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；④菱形具有平行四边形的所有性质；⑤面积：面积等于对角线的乘积的一半.（3）判定①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形.（4）面积①菱形面积可以表示为：底×高；②面积还可以表示为：对角线乘积的一半.3、正方形（1）概念有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.（2）性质①边：两组对边分别平行，四条边相等，相邻两边互相垂直；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分；④正方形是轴对称图形，也是中心对称图形.（3）判定①一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；④四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形.基础演练一、选择题1．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB BC=；②AC BD⊥；=；③AC BD ④AC平分BAD∠，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是()A．①B．②C．③D．④【分析】根据矩形的判定进行分析即可．【解答】解：A．AB BC=，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC BD=，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；⊥，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；C．AC BDD．AC平分BAD∠，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．2．（2020•陕西模拟）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，//OE BC交CD于E，若3CE=，则矩形ABCD的周长()OE cm=，2A．10B．15C．20D．22【分析】由矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，//∆的中OE BC，可得OE是ACD位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD、CD的长．进而解答即可．【解答】解：四边形ABCD是矩形，OA OCAD BC，∴=，//OE BC，//∴，//OE AD∆的中位线，OE∴是ACD3=，OE cm∴==⨯=．2236()AD OE cmCE=，24∴=，CD=，∴矩形ABCD的周长20故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2020•枣庄）如图，在矩形纸片ABCD中，3∆沿直线AB=，点E在边BC上，将ABEAE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若EAC ECA∠=∠，则AC的长是()A．B．4C．5D．6【分析】根据折叠的性质得到AF AB=，90∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到AFE BAF CF=，于是得到结论．【解答】解：将ABE∆沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，AF AB∴=，90∠=∠=︒，AFE BEF AC∴⊥，∠=∠，EAC ECA∴=，AE CEAF CF∴=，∴==，26AC AB故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．（2020•河北区模拟）如图，在矩形ABCD中，4AB=，6BC=，过对角线交点O作EF AC⊥交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是()A ．1B ．125C ．2D ．53【分析】连接CE ，由矩形的性质得出90ADC ∠=︒，4CD AB ==，6AD BC ==，OA OC =，由线段垂直平分线的性质得出AE CE =，设DE x =，则6CE AE x ==-，在Rt CDE ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：连接CE ，如图所示： 四边形ABCD 是矩形，90ADC ∴∠=︒，4CD AB ==，6AD BC ==，OA OC =， EF AC ⊥， AE CE ∴=，设DE x =，则6CE AE x ==-，在Rt CDE ∆中，由勾股定理得：2224(6)x x +=-， 解得：53x =， 即53DE =； 故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．5．（2020•新疆模拟）已知菱形的边长为6，一个内角为60︒，则菱形较长的对角线长是( )A ．B ．C ．3D ．6【分析】根据一个内角为60︒可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解．【解答】解：如图，菱形的边长为6，一个内角为60︒， ABC ∴∆是等边三角形， 6AC ∴=， 132AO AC ∴==，在Rt AOB ∆中，BO =∴菱形较长的对角线长BD 是：2⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直且平分的性质，根据一个内角是60︒，判断出较短的对角线与两邻边够成等边三角形是解题的关键．6．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为( ) A ．4:1B ．5:1C ．6:1D ．7:1【分析】如图，AH 为菱形ABCD 的高，2AH =，利用菱形的性质得到4AB =，利用正弦的定义得到30B ∠=︒，则150C ∠=︒，从而得到:C B ∠∠的比值． 【解答】解：如图，AH 为菱形ABCD 的高，2AH =， 菱形的周长为16，4AB ∴=，在Rt ABH ∆中，21sin 42AH B AB ===， 30B ∴∠=︒， //AB CD ， 150C ∴∠=︒， :5:1C B ∴∠∠=．故选：B ．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．7．（2020•乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为( )A ．9+B ．9+C ．7+D ．8【分析】先利用菱形的性质得4AD AB ==，//AB CD ，30ADB CDB ∠=∠=︒，AO BD ⊥，利用含30度的直角三角形三边的关系得到2AO =，OD =然后计算出OE 、DE 的长，最后计算四边形AOED 的周长． 【解答】解：四边形ABCD 为菱形，4AD AB ∴==，//AB CD ，120BAD ∠=︒， 30ADB CDB ∴∠=∠=︒， O 是对角线BD 的中点，AO BD ∴⊥，在Rt AOD ∆中，122AO AD ==，OD =OE CD ⊥， 90DEO ∴∠=︒，在Rt DOE ∆中，12OE OD =3DE ==，∴四边形AOED 的周长4239=+=故选：B ．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．8．（2020•邯山区校级二模）如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )A ．23︒B ．28︒C ．62︒D ．67︒【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可． 【解答】解：菱形ABCD ，134A ∠=︒， 18013446ABC ∴∠=︒-︒=︒， 11462322DBC ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，CE BC ⊥，902367BEC ∴∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻角互补解答．9．（2020•新华区校级二模）如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 点是AC 的中点，连接EF ．如果4EF =，那么菱形ABCD 的周长为( )A ．9B ．12C ．24D ．32【分析】由点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，4EF =，利用三角形中位线的性质，即可求得BC 的长，然后由菱形的性质，求得菱形ABCD 的周长． 【解答】解：点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，4EF =， 28BC EF ∴==，四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的周长是：4832⨯=．故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题10．（2020•大连）如图，菱形ABCD中，40ACD∠=︒，则ABC∠=︒．【分析】由菱形的性质得出//AB CD，280BCD ACD∠=∠=︒，则180ABC BCD∠+∠=︒，即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD是菱形，//AB CD∴，280BCD ACD∠=∠=︒，180ABC BCD∴∠+∠=︒，18080100ABC∴∠=︒-︒=︒；故答案为：100．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．11．（2020•广东）如图，在菱形ABCD中，30A∠=︒，取大于12AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则EBD∠的度数为．【分析】根据EBD ABD ABE∠=∠-∠，求出ABD∠，ABE∠即可解决问题．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AD AB ∴=，1(180)752ABD ADB A ∴∠=∠=︒-∠=︒，由作图可知，EA EB =， 30ABE A ∴∠=∠=︒，753045EBD ABD ABE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为45︒．【点睛】本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段BO 上，连接AE ，若2CD BE =，DAE DEA ∠=∠，1EO =，则线段AE 的长为 ．【分析】设BE x =，则2CD x =，根据菱形的性质得2AB AD CD x ===，OB OD =，AC BD ⊥，再证明2DE DA x ==，所以312x x +=，解得2x =，然后利用勾股定理计算OA ，再计算AE 的长．【解答】解：设BE x =，则2CD x =， 四边形ABCD 为菱形，2AB AD CD x ∴===，OB OD =，AC BD ⊥，DAE DEA ∠=∠，2DE DA x ∴==， 3BD x ∴=， 32OB OD x ∴==， OE BE BO +=， 312x x ∴+=，解得2x =，即4AB =，3OB =，在Rt AOB ∆中，OA =，在Rt AOE ∆中，AE =故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．13．（2020•浦口区模拟）如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN ，若9AB =，6BE =，则MN 的长为 ．【分析】连接CF ，则MN 为DCF ∆的中位线，根据勾股定理求出CF 长即可求出MN 的长． 【解答】解：连接CF ，正方形ABCD 和正方形BEFG 中，9AB =，6BE =， 6GF GB ∴==，9BC =， 6915GC GB BC ∴=+=+=，CF ∴===M 、N 分别是DC 、DF 的中点，2CF MN ∴=．【点睛】本题考查了正方形的性质及中位线定理、勾股定理的运用．构造基本图形是解题的关键．三、解答题14．（2020•聊城）如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD AF=，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定ABE FCE∆≅∆，从而得到AB CF=，根据对角线相等的平=；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC AF行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，AB CD∴，//∠=∠，∴∠=∠，ABE FCEBAE CFEE为BC的中点，∴=，EB EC∴∆≅∆，ABE FCE AAS()∴=．AB CFAB CF，//∴四边形ABFC是平行四边形，=，=，AD AFAD BC∴=，BC AF∴四边形ABFC是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（2020•遂宁）如图，在ABC=，点D、E分别是线段BC、AD的中点，∆中，AB AC过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：BDE FAE∆≅∆；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【分析】（1）根据平行线的性质得到AFE DBE=，∠=∠，根据线段中点的定义得到AE DE根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF BD=，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到90∠=︒，于是得到结论．ADC【解答】证明：（1）//AF BC，∴∠=∠，AFE DBEE是线段AD的中点，AE DE∴=，∠=∠，AEF DEB∴∆≅∆；BDE FAE AAS()（2）BDE FAE∆≅∆，∴=，AF BDD是线段BC的中点，∴=，BD CD∴=，AF CDAF CD，//∴四边形ADCF是平行四边形，=，AB AC∴⊥，AD BCADC∴∠=︒，90∴四边形ADCF为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．16．（2020•福建）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE DF =．求证：BAE DAF ∠=∠．【分析】根据菱形的性质可得B D ∠=∠，AB AD =，再证明ABE ADF ∆≅∆，即可得BAE DAF ∠=∠．【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，B D ∴∠=∠，AB AD =，在ABE ∆和ADF ∆中， AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE ADF SAS ∴∆≅∆，BAE DAF ∴∠=∠．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．17．（2019•聊城）在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠． 求证：（1）ABF DAE ∆≅∆； （2）DE BF EF =+．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB AD =，//AD BC ，由平行线的性质得到BOA DAE ∠=∠，等量代换得到BAF ADE ∠=∠，求得ABF DAE ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE BF =，DE AF =，根据线段的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）四边形ABCD是菱形，∴=，//AB ADAD BC，∴∠=∠，BPA DAEABC AED∠=∠，∴∠=∠，BAF ADE∠=∠，ABF BPF∠=∠，BPA DAE∴∠=∠，ABF DAE=，AB DA∴∆≅∆；ABF DAE ASA()（2）ABF DAE∆≅∆，=，AE BF∴=，DE AF=+=+，AF AE EF BF EF∴=+．DE BF EF【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．18．（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，//DE BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE CF=；（2）若BE DE=，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD CBAD CB，从而可以得到=，//DE BF和等角的补角相等，从而可以得到AED CFB∠=∠，然后∠=∠，再根据//DAE BCF即可证明ADE∆和CBF=；∆全等，从而可以得到AE CF。
人教版九年级数学尖端班精品讲义
(2)已知 2m2
5m
1
0
，
1 n2
5 n
2
0 ，且
m≠n，求
1 m
1 n
的值．
题型二 利用艰系关系构造 例 5 (1)求一个一元二次方程，使它的两个根是 3 和 3．
2
(2)己知方程 x2－9x＋8＝0，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒 数，另一个根为原方程两根差的平方．
(3)设 x2－px＋q＝0 的两实数根为 、 ，求作以 3 、 3 为两根的一元二次方程．
练习 已知关于 x 的方程 4x2＋4bx＋7b＝0 有两个相等的实数根，y1、y2 是关于 y 的方程
y2＋(2－b)y＋4＝0 的两个根，求以 y1 、 y2 为根、二次项系数为 2 的一元二次方 程．
x1
+
x2
b a
，
x1 x2
b a
，由一元二次方程求根公式知：
x1,2
b
b2 4ac ． 2a
法国数学家弗朗索瓦·韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四 次方程的解法，还对 n＝2、3 的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定 理．
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定 理．韦达在 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理 却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性．
p、q，且
p2
q
pq2
6
，试求
这个二元二次方程．
九年级寒假综合.尖子班
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让学习更有效
相似—— 平行线分线段成比例
模块一
课前检测（5min）
1．一个不透明的袋子中装有 5 个红球和 3 个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出
4 个球出的 4 个球中至少有一个球是白球
B．摸出的 4 个球中至少有一个球是红球
A．（－3，7)
B．（－1，7)
C．(－4，10) D．(0，10)
4．如图，⊙O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点，过点 P 作 PM ⊥
AB 于 M，PN⊥CD 于 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆圈走过 45°弧长时，点 Q 走过的路径长为
AB AC BC
AC AB BC
图③双
A
字型，结论：
DF EF
BG GC
，图④内含正方形
A 字形，结论
AH a AH
a BC
（
a 为正方形边长）
图①
图②
图③
典型例题
【例 1】如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． ①求 EC 的值；②求证：AD•AG=AF•AB．
图④
【巩固】如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上，顶点 E、H 分别在 AB、AC 上，已知 BC=40cm，AD=30cm． ①求证：△AEH∽△ABC；②求这个正方形的边长与面积．
（）
A． 4
B． 2
C． 6
D． 3
5．已知，四边形 ABCD 顶点都在 4×4 正方形网格的格点上，如图，四边形 ABCD 的外接圆为⊙M， 这个圆中 BC 所对的圆心角的度数是___________．
初三数学寒假高分班讲义
第一课时 内容1 实数一、选择题1．2)6(-的平方根是 （ ） A －6 B 36 C ±6 D ±62．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②a a =33；③64的立方根是2；④4)8(32±=±，其中正确的个数有 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个3．下列说法正确的是 （ ） A 有理数只是有限小数 B 无理数是无限小数 C 无限小数是无理数 D3π是分数 4．下列运算中，错误的有 （ ） ①1251144251=，②4)4(2±=-，③22222-=-=-，④2095141251161=+=+ A 1个 B 2个 C 3个 D 4个5．在Rt △ABC 中，∠C = 90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简b a c c b a ---+-2)(2的结果为 （ ）A. c b a -+3B. c b a 33+--C. c b a 33-+D. a 26．当41<<x 时，化简221x x +-－1682+-x x 结果是 （ ） A 3- B. 3C. 2x －5D. 57．如图：点A ，B ，C ，D 表示数2-，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段 （ ） A AB 上 B BC 上 C CD 上 D O Ｂ上8．化简：)0,0(3><-b a b a 等于 （ ） A ab a - B ab a - C ab a -- D ab a 一、填空题：1.“五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售.小华购买一件标价为280元的运动服，打折后他比按标价购买节省 元.2. 某校认真落实长沙市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学有_________名.3.一组有规律排列的式子：―ab 2，25a b ,―38a b ,411a b …，（ab≠0），其中第7个式子是 , 第n 个式子是 ．（n 为正整数）4. 6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只 环保购物袋至少．．应付给超市元．5.将正整数按如图所示的规律排列下去， 若有序实数对（n ，m ）表示第n 排， 从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的 有序实数对是 .6.如图所示，①中多边形（边数为12）是由 正三角形“扩展”而来的， ②中多边形是由正方形“扩展” 而来的， ，依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 ．7.探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ）内容2 实数的运算一、选择题1..小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（ ） A ．15号 B ．16号 C ．17号 D ．18号第7题图① ② ③ ④ 第6题图2.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2， 3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为（ ） A.5049B. 99!C. 9900D. 2！二、填空题：3.已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：4. 2008(1)-+_______420=-．5.若()2240a c -+-=，则=+-c b a ． 三、计算：(1)0(1)π-⋅sin 60°+321(2)()4-⋅(2)0113(()3---(3)9212)1(13+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--(4)1301()(2)39-+-+--(5)101453(2007π)2-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭(6)122(4)3-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(7)112)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°1112sin 452o -⎛⎫-++ ⎪⎝⎭内容3 每天一道压轴题如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题第二课时内容1 整式与分解因式一、选择题1．若的值为则2y -x 2,54,32==y xA.53 B. -2 C. 553 D. 56 2.一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么（ ） A ．a=1，b=5 B ．a=5，b=1 C ．a=11，b=5 D ．a=5，b=11 3. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab ab a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+二.填空题.4．分解因式：328m m -= ．33416m n mn -＝3214x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． =++22363b ab a ． 2232ab a b a -+= ___．5．用正三角形和正六边形按如图所示的规律 拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比 上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）．三.解答题： 6.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．第一个图案 第二个图案 第三个图案 …第5题图 a图甲第3题14.已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值内容2 分式一、选择题1．要使22969m m m --+的值为0，则m 的值为（ ）A ．m=3B ．m=-3C ．m=±3D ．不存在 2．若解方程333-=-x mx x 出现增根，则m 的值为（ ） A ． 0 B ．-1 C ．3 D ．1 3．如果04422=+-y xy x ，那么yx y x +-的值等于（ ）A ．31- B ． y31- C ． 31 D ．y31 二、填空题.4．当x = 时，分式6422---x x x 的值为0．5．已知432z y x ==，求分式yx z y x 32534++-= 6．若分式方程12552=-+-x ax x 的解为x =0，则a 的值为 ． 7．已知分式方程k x k=++131无解，则k 的值是 ． 三、解答题 8．化简： （1）211()(1)11x x x ---+ （2）24142x x +-+9．当a=2时，求1121422-÷+--a a a a 的值．10．先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2310x x ++=的根．11、解分式方程. （1）01221=---x x （2） 123514-+=--+x x x x （3）163104245--+=--x x x x （4）4)25.01(11=++x x四、当m 为何值时，分式方程xxx m --=+-2142无解？内容3 每天一道压轴题如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C和点D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．第三课时内容1 一元一次方程及二元一次方程（组）一、选择题 1．几个同学在日历竖列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（ ）A. 28B. 33C. 45D. 572．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x的解，则k 的值为（ ）A.43-B.43C.34D.34- 3．已知 与 是同类项，则 与 的值分别是 ( ) A.4、1 B.1、4 C.0、8 D.8、0 二、填空题4．在方程组 中，m 与n 互为相反数，则5．如果 那么 6．一个三位数的数字和为11，十位数字是x ，个位数字是十位数字的3倍，百位数字比十位数字的2倍少1，则这个三位数是______________ ． 三、解方程（组）7．35122--=+x x 8．9． 10．四．解答题10．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲．乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？⎩⎨⎧=+=+032ny x my x .__________=x ()()x x x x --=--320379,53=-y x .________38=+-y x ⎩⎨⎧=+-=8372y x x y ⎩⎨⎧=-=-74143y x y x m n m y x 344-yx n 5m n11、“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为13 ；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为12 ．（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子）内容2 一元二次方程一、填空题1．若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2．某种品牌的手机经过四．五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ． 3．两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是 ．4．若方程022=+-cx x 有两个相等的实数根，则c = ．5．已知：m 是方程0322=--x x 的一个根，则代数式=-22m m ． 三、解方程：6．（1） （2） （3）2410x x +-=0132=--x x )1(332+=+x x7．试说明：不论m 为何值，关于x 的方程2)2)(3(m x x =--总有两个不相等的实数根．8．若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．9、已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．10、某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件． （1） 求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2）若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？内容3 每天一道压轴题已知：二次函数22y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．第四课时 内容1 方程的应用一、选择题 ：1．中国人民银行宣布，从2013年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息锐）．设到期后银行应向储户支付现金x 元，则所列方程正确的是（ ） A ．50005000 3.06%x -=⨯B ．500020%5000(1 3.06%)x +⨯=⨯+C ．5000 3.06%20%5000(1 3.06%)x +⨯⨯=⨯+D ．5000 3.06%20%5000 3.06%x +⨯⨯=⨯2.有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg •和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，•若设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，根据题意，可得方程（ ）900015000900015000..30003000900015000900015000..30003000A B x x x x C D x x x x==+-==+-3. 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则依题意列方程为（ ）A ．25（1+x ）2=82.75B ．25+50x=82.75C ．25+75x=82.75D ．25[1+（1+x ）+（1+x ）]=82.75 三、解答题 4. 某供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段14小时，为8：00~22：00，谷段为22：00~次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0．03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时， 谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．(1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?(2)如不使用分时电价结算， 5月份小明家将多支付电费多少元?5. “爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，•该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，•总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍和1.5倍，恰好按时完成了这项任务．（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？（2）现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A ，B 两地，•由于两市通往A ，B 两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同，已知运送帐篷每千顶所需的车辆数，两地所急需的帐篷数如下表所示：请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少，说明理由，并求出最少车辆总数．6．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．(1)求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；(2)从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？内容2 一元一次不等式（组）一、选择题1. 已知两圆的半径分别是5和6，圆心距x 满足522841314x x x x +⎧+⎪⎨⎪-+⎩，则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离2.直线y ＝k 1x ＋b 与直线y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）A.x ＞1B.x ＜1C.x ＞－2D.x ＜－2k 1x ＋b二、填空题：3. 若关于x的不等式组3(2)224x xa xx--<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a的取值范围是．4.如果不等式组2223xax b⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x<≤，那么a b+的值为．三、解答题：5. 中国移动某公司组织一场篮球对抗赛．为组织该活动此公司已经在此前花费了费用120万元．对抗赛的门票价格分别为80元、200元和400元．已知2000张80元的门票和1800张200元的门票已经全部卖出．那么，如果要不亏本，400元的门票最低要卖出多少张？6.把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个. 问有几个孩子?有多少苹果?7、小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表．为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请说明理由．8.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，右表是试验的相关数据；请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？内容3 每天一道压轴题使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。
人教版初中数学春季班讲义中考总复习(教师版)第10讲 统计与概率--尖子班
第10讲统计与概率知识点1 数据的收集、整理与描述1. 普查和抽样调查普查：为一特定目的而对所有考查对象所做的调查叫普查．好处：调查结果准确；缺点：花费多，工作量大，全面调查只在样本很少的情况下适合采用；抽样调查：为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查．好处：耗费的人力，物力，财力少，工作量小；缺点：调查结果不如普查精确，受样本容量大小及其代表性影响较大；2.总体、个体、样本、样本容量总体：所考察对象的全体；个体：组成总体的每一个考察对象；样本：从总体重所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；样本容量：样本中的个体数目；3.常见的统计图有：扇形统计图、条形统计图和折线统计图．扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比；条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据；折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势．扇形统计图中，扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°．4.在选择制作统计图时，需要根据了解的情况而定：若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图；若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图；若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图．5.频数：某个对象出现的次数称为该对象的频数，各频数之和为试验的总次数．6.频率：频数与总次数的比值称为频率．7.频数分布表（1）在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．（2）列频数分布表的步骤：①计算极差，即计算最大值与最小值的差．②决定组距与组数（一般100以内的数据分成5～12组）．③决定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一些．④列频数分布表．组数的决定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，分为5~8组；当50≤n≤100时，则分为8~12组．分点的决定方法：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是保留小数点后的一位数，则分点数据减去0.05．8.频数分布直方图画出频数分布表以后，构造一个坐标系，用横轴表示各组数据，纵轴表示频数，以该组内的频数为高，组距为宽，画一个长方形，每组两端的数据也可以用中位数来代替．各小组的频数之和等于数据总数．【典例】例1（2020秋•渝中区校级月考）要反映重庆市这5年来农民每年的年收入所占百分比，应选用（）A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．统计表【解答】解：反映各个部分占整体的百分比用扇形统计图比较合适，因此，要反映5年来农民每年的年收入所占百分比，用扇形统计图较好，故选：C．【方法总结】本题考查统计图的选择，明确各类统计图的特点是正确判断的前提．例2（2020春•高新区期中）今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．2000名学生是总体B．每位学生的数学成绩是个体C．这100名学生是总体的一个样本D．100名学生是样本容量【解答】解：A、2000名学生的数学成绩是总体，故选项不合题意；B、每位学生的数学成绩是个体，故选项符合题意；C、这100名学生的数学成绩是总体的一个样本，故选项不合题意；D、样本容量是100，故选项不合题意；故选：B．【方法总结】本题主要考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本的区别，关键是明确考查对象的范围．样本容量只是个数字，没有单位．例3（2020秋•铁西区期末）为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含左端点值，不含右端点值）． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为 74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题：（1）第二组的学生人数是 10 人；（2）第三组竞赛成绩的众数是 76 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 78 分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的有多少人？【解答】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人）， 故答案为：10；（2）第三组学生竞赛成绩出现次数最多的是76，因此众数是76， 将50名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为77+792=78，因此中位数是78， 故答案为：76，78；（3）1500×20+450=720（人），答：该校1500名参赛学生成绩不低于80分的大约有720人．【方法总结】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．【随堂练习】1．（2020春•花都区期末）要反映花都区六月上旬每天的最高气温的变化趋势，最宜采用（ ）A．折线图B．条形图C．扇形图D．直方图【解答】解：根据题意，要反映花都区六月上旬每天的最高气温的变化趋势，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．故选：A．2．（2020秋•沙坪坝区校级月考）为了解上河中学1500名学生的视力情况，随机抽查了500名学生的视力进行统计分析，下列说法正确的是（）A．500名学生的视力是总体的一个样本B．500名学生是总体C．500名学生是总体的一个个体D．样本容量是1500名【解答】解：A．500名学生的视力情况是总体的一个样本，故本选项正确；B．1500名学生的视力情况是总体，故本选项错误；C．每一名学生的视力情况是个体，故本选项错误；D．样本容量是500，故本选项错误．故选：A．3．（2020秋•锦州期末）争创全国文明城市，从我做起．某校在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，该校举办了八年级全体学生参加的《创文明城，做文明人》知识竞赛，从中随机抽取了30名学生的成绩（单位：分），整理数据后得到下列不完整的频数分布表和频数直方图：请根据图表提供的信息回答下列问题：（1）频数分布表中a＝5，b＝6；（2）补全频数直方图；（3）若成绩不低于90分为优秀，估计该校八年级600名学生中达到优秀等级的人数．【解答】解：（1）由频数分布直方图知b＝6，则a＝30﹣（5+12+6+2）＝5，故答案为：5，6；（2）补全频数分布直方图如下：（3）600×6+230=160（人），答：该校八年级600名学生中达到优秀等级的人数约为160人．4．（2020秋•南关区校级月考）为弘扬中华传统文化，某校组织七年级800名学生参加诗词大赛，为了解学生整体的诗词积累情况，随机抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：（1）本次抽样中，表中m＝70，n＝0.12，样本成绩的中位数落在第三组内；（2）补全频数分布直方图；（3）若规定成绩超过80分为优秀，请估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数．【解答】解：（1）∵被抽查的学生人数为16÷0.08＝200，∴m＝200×0.35＝70，n＝24÷200＝0.12，∵样本成绩的中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据均落在第三组，∴样本成绩的中位数落在第三组内，故答案为：70、0.12、三；（2）补全频数分布直方图如下：（3）估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数为800×（0.35+0.12）＝376（人）．知识点2 数据的分析1.数据的集中趋势（1）算术平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商.公式：x=x1+x2+⋯+x nn使用：当所给数据x1，x2，…，x n中各个数据的重要程度相同时，一般使用该公式计算平均数.（2）加权平均数：若n个数x1，x2，…，x n的权分别是w1，w2，…，w n，则x1w1+x2w2+⋯+x n w n叫做这n个w1+w2+⋯+w n数的加权平均数.使用：当所给数据x1，x2，…，x n中各个数据的重要程度（权）不同时，一般选用加权平均数计算平均数.权的意义：权就是权重，即数据的重要程度.常见的权：1）数值、2）百分数、3）比值、4）频数等。
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第一单元：数与式 (2)第一关：规律探究 (5)第二关：数与式求值 (7)第三关：解方程与不等式（组） (10)第四关：方程应用 (12)第二单元：函数 (15)第一关：利用图象求解相关题型 (16)1-1 利用图象求值 (16)1-2 利用图象判断式子的正误 (19)1-3 双图象问题 (20)第二关：函数解析式求法 (22)第三关：函数与实际问题 (25)第四关：函数综合 (28)第三单元：几何 (36)第一关：三角形 (38)1-1 三角形三线 (38)1-2 等腰及直角三角形相关计算与证明 (39)1-3 全等三角形 (42)1-5 解直角三角形 (56)第二关：四边形 (60)第三关：圆 (68)第四单元：专题复习 (77)专题一：新定义问题 (77)专题二：动点问题 (88)专题三：中考作图题 (103)专题四：阅读理解问题 (108)一、考点透视1. 能结合实例理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.2. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值.3. 能利用数轴解决与实数有关的问题.4. 能说出乘方的意义，能运用法则进行实数的混合运算，会用科学记数法表示一个大数.5. 会求一个数的算术平方根、立方根、会估计一个无理数的大小.6. 会分析简单问题中的数量关系(含探索规律),并能用代数式表示.7. 会求代数式的值,知道代数式的值随其中字母取值的变化而变化.8. 会进行整式的加,减运算,会进行整式乘法运算.9. 能运用提取公因式法,公式法进行因式分解,体会数学中等值变形的方法. 10. 能正确运用两个乘法公式进行整式运算,并能解释两个公式的几何背景. 11. 了解分式的概念,能求出分式值为零时字母的值,知道分式无意义的条件.12. 会利用分式的基本性质进行通分与约分,会进行分式加、减、乘、除运算;会进行分式的混合运算与分式的化简求值.13. 了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算.14. 理解合并同类项与合并同类二次根式之间的关系.15. 能举例说明一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）及其根的概念，会将一元二次方程化成一般形式.16. 能正确观察利用一次函数的图象得到相应一元一次方程的近似解, 了解二元一次方程组的图象解法感受它们的关系.17. 理解配方法,会用因式分解、配方法、公式法求简单系数的一元二次方程.第一章 数与式的解.19.熟练运用二元一次方程组的两种基本解法:代入法消元法和加减消元法.20.能将简单问题(数学问题和实际问题)中的数量关系,通过建立方程模型加以解决,并能检验结果是否合理,体会方程是刻画现实世界一个有效的数学模型.21.能说出不等式的基本性质,并能运用基本性质进行不等式的变形.22.熟练掌握一元一次不等式(组)的解法,并会在数轴上正确表示其解集.23.能根据具体问题问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组)解决有关的实际问题,并能根据问题的实际意义检验结果是否合理.24.通过具体实例理解一元一次不等式,一元一次程和一次函数的内在联系.25.能正确求出可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)的根,能结合实例解释分式方程产生增根的原因,能结合现实情境列分式方程解决简单的实际问题.二、方法突破1.实数是整个数学的基石，它涉及的核心概念较多，运算法则较多，因此代数运算是这部分内容的重点，考试一般以填空题、选择题和难度很小的解答出现，形式相对单一，变化较少.重点考查的是学生对实数有关概念、运算法则的掌握情况.复习中应不断提高自己的代数运算能力，做到准、快、巧，练好数学运算的基本功.解决与实数有关的计算问题时，首先要回忆相关概念和相应的运算法则，正确使用概念和法则进行计算.在完成混合运算问题时.要特别关注运算结果的符号,提高计算的准确性.在解决与数轴有关的问题时,一般采用数形结合的思想方法.2.这部分内容是代数式的全部，突出对字母的运算技能,一般情况下,试题难度中等偏易,多数以填空和选择题以及以化简求值的形式呈现,用字母表示数的能力、代数运算能力渗透在数学的其他领域之中,因此它是提高数学学习质量的关键.进行整式运算时必须遵循相应的运算法则,正确处理运算符号,求代数式的值一般情况要对所给代数式进行化简,然后再代入字母的值进行计算,对于特殊结构的代数式,应结合具体问题选择合理的方法进行化简与计算,探索数字规律时,常采用（1）类比分数四则运算进行分式的四则运算.（2）分式运算时一般行将分式的分子、分母进行因式分解,以简化运算过程.（3）二次根式被开方数的取值范围及简单的二次根式化简运算.3．方程的思想与方法贯穿于初中数学内容的始终,它与实数运算、代数式的变形、函数等内容紧密相关.以方程为解决问题的工具的试题有一定的综合性.解方程的基本思想是转化，而转化的依据是等式的基本性质.要正确解一元一次方程，二元一次方程组的一般步骤，并能根据题目的特点灵法运用.一般地,解一元二次方程时,应该根据方程的特点灵活地选择不同的解法.另外,利用函数图象,结合数形结合,也是我们对方程的解进行估算的好方法.将分式方程转化为整式方程的方法一般有两种:其一是去分母,其二是换元.基本思想是”转化”一元一次不等(组)是研究两个常量之间不等关系的重要数学模型,在近年的中考试题中,关于一元一次不等式(组)的常见题型有:填空题、选择题、解答题以及综合题等题型,其中容易题占较大比例,以函数为载体、分析解决简单的实际问题这两类有一定难.把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,比在数轴上表示数又前进了一步,可以形象、直观地看到不等式(组)有无数多个解,并易于确定不等式(组)的解集,这体现了数形结合的思想方法.解不等式(组)的应用题时,将应用题里关于”已知量”、”未知量”之间的关系用明确的不等关系表示出来,并关注应用题中字母所表示的实际意义.应加强一元一次不等式、一元一次方程、一次函数等内容之间的联系,形成自己的知识结构,使数学思维综合化,提高分析、解决问题的能力.第一关 规律探究例题1. 观察下列各式： 1²+1=1×2 2²+2=2×3 3²+3=3×4 …请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来 ．练习1.1.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．练习1.2. 观察下列等式： 9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 …这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示大于等于1的自然数，用关于n 的等式表示出来________________________．例题2. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图2图11694110631他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15 B．25 C．55 D．1225练习2. 在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有28个交点，则n=．例题3．按如图所示的程序计算：若开始输入的x值为﹣2，则最后输出的结果是（）A．352 B．160C．112D．198练习3.1．按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种练习3.2．已知f（x）=1+1x ，其中f（a）表示当x=a时代数式的值，如f（1）=1+11，f（2=1+12，f（a）=1+1a，则f（1）•f（2）•f（3）…•f（50）=（）A．50B．51C．251D．512例题4.按一定规律排列的一列数依次为：45，12，411，27，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．练习7．若分式22923x x x -+-的值为0，则（ ）A ．x =±3B ．x =3C ．x =-3D ．x 取任意值例题8. 当a 为何整数时，代数式421a a -+的值是整数，并求出这个整数值．练习8. 当整数x = 时，分式8921x x +-的值是整数.例题9. 已知：115x y +=，求2322x xy yx xy y-+++的值．练习9.1若2310a a -+=，则代数式221a a +的值为__________，441a a-的值为__________．练习9.2. 已知：234x y z==，求22223xy yz xz x y z +-++的值．练习9.3. 已知a 、b 、c 为实数，且111345ab bc ca a b b c c a ===+++，，，那么abcab bc ca++的值是多少？例题10. 先化简÷428m m -+·22m m -+，再选择一个你喜欢的数代入m 求值.2216168m m m -++练习2. 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？例题3.在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300平方米．求道路的宽度．练习3. 在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）例题4.某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．例题5.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？⑴若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？⑵该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？⑶在⑵的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？一、考点透视1. 能结合事例说明在一个变化过程中常量、变量的实际意义，感受两个变量之间相互依存的关系；能用文字，表格，图象和公式表示具体问题中的函数关系。