数理逻辑补充例题

数理逻辑补充例题

一、用推理规则证明

1、⌝（P∧⌝Q），⌝Q∨R，⌝ R⇒⌝P

证（1）⌝Q∨R P

（2）⌝ R P

（3）⌝Q（1）（2）析取三段论

（4）⌝（P∧⌝Q）P

（5）⌝P ∨ Q （4）等价转换

（6）⌝P （3）（5）析取三段论

2、Q，⌝P → R，P → S，⌝ S⇒Q∧R

证（1）P → S P

（2）⌝ S P

（3）⌝P（1）（2）拒取式

（4）⌝P → R P

（5）R （3）（4）假言推理

（6）Q P

（7）Q∧R（5）（6）合取

3、P→ Q，(⌝Q∨R）∧⌝R，⌝（⌝P∧S）⇒⌝ S

证（1）(⌝Q∨R）∧⌝R前提引入

（2）⌝Q∧⌝R （1）等价转换

（3）⌝Q（2）化简

（4）P→ Q P

（5）⌝P（3）（4）拒取式

（6）⌝（⌝P∧S）P

（7）P∨⌝ S（6）等价转换

（8）⌝S（5）（7）析取三段论

4、P⇒（⌝P→ Q）

证（1）P 前提引入

（2）P∨ Q（1）附加规则

（3）⌝P→ Q （2）等价转换

5、Q → P，Q↔S，S↔t，t∧ R⇒P∧ Q ∧ S∧ R

证（1）S↔t 前提引入

（2）（S→t）∧（t→S )（1）等价转换

（3）t→S （2）化简

（4）t∧ R P

（5）t （4）化简

（6）S （3）（5）假言推理

（7）Q↔S P

（8）（Q →S）∧（S→ Q)（7）等价转换

（9）S→ Q （8）化简

（10）Q （6）（9）假言推理

（11）Q → P P

（12）P （10）（11）假言推理（13）R （4）化简

（14）P∧ Q ∧ S∧ R （6）（10）（12）（13）合取

6、P→ Q，R → S⇒（P∧ R）→（Q∧ S）

证（1）P∧ R附加前提引入

（2）R （1）化简

（3）P（1）化简

（4）P→ Q P

（5）Q（3）（4）假言推理

（6）R → S P

（7）S（2）（6）假言推理

（8）Q∧S（5）（7）合取

7、⌝A∨B，C→⌝B⇒A→⌝C

证（1）A附加前提引入

（2）⌝A∨B P

（3）B （1）（2）析取三段论

（4）C→⌝B P

（5）⌝C（3）（4）析取三段论

8、⌝A∨B，⌝ B∨ C，C→D⇒ A →D

证（1）A附加前提引入

（2）⌝A∨B P

（3）B （1）（2）析取三段论

（4）⌝B∨C P

（5）C（3）（4）析取三段论

（6）C→D P

（7）D（5）（6）假言推理

9、P→ Q⇒P →（P∧ Q）

证（1）P 附加前提引入

（2）P→ Q P

（3）Q（1）（2）假言推理

（4）P∧ Q （1）（3）合取

10、R→⌝ Q，R ∧ S，S→⌝Q，P→ Q⇒⌝P（用归谬法证明）

证（1）P 结论的否定引入

（2）P→ Q P

（3）Q（1）（2）假言推理

（4）R→⌝ Q P

（5）⌝R（3）（4）拒取式

（6）R ∨S P

（7）S （5）（6）析取三段论

（8）S→⌝Q P

（9）⌝ Q （7）（8）假言推理

（10）Q∧⌝ Q （3）（9）合取，归缪成立

11、（A→B）∧（A→C），⌝（B∧ C），D∨ A⇒D（用反证法证明）证（1）⌝D结论的否定引入

（2）D∨ A P

（3）A （1）（2）析取三段论I5

（4）（A→B）∧（A→C）P

（5）A→B T（4）I2

（6）B T（3,5）I3

（7）A→C T（4）I2

（8）B T（3,7）I3

（9）B∧C T（6,8）合取式

（10）⌝（B∧ C）P

（11）⌝（B∧ C））∧（B∧C）T（9,10）合取式，矛盾

二、用推理规则证明

1、∀x（⌝A（x）→B（x）），∀x ⌝B（x）⇒∃x A（x）

证（1）∀x ⌝B（x）前提引入

（2）⌝B（c）（1）US

（3）∀x（⌝A（x）→B（x））前提引入

（4）⌝A（c）→B（c）（3）US

（5）A（c）（2）（4）I

（6）∃x A（x）（5）EG

2、∀x（A（x）→B（x）），∀x（C（x）→⌝B（x））⇒∀x（C（x）→⌝ A（x））证（1）∀x（A（x）→B（x））前提引入

（2）A（Y）→B（Y）（1）US

（3）∀x（C（x）→⌝B（x））前提引入

（4）C（Y）→⌝B（Y））（3）US

（5）⌝B（Y）→⌝A（Y）（2）E

（6）C（Y）→⌝A（Y）（4）（5）I

（7）∀x（C（x）→⌝ A（x））（6）UG

3、∀x（A（x）∨B（x）），∀x（B（x）→⌝ C（x））,∀x C（x）⇒∀x A（x）

证（1）∀x C（x）前提引入

（2）C（Y）（1）US

（3）∀x（B（x）→⌝ C（x））前提引入

（4）B（Y）→⌝ C（Y））（3）US

（5）⌝B（Y）（2）（4）I

（6）∀x（A（x）∨B（x））前提引入

（7）A（Y）∨B（Y）（6）US

（8）A（Y）（5）（7）I

（9）∀x A（x）（8）UG

4、∀x（P（x）→Q（x））⇒∀x P（x）→∀x Q（x）

证（1）∀x（P（x）→Q（x））前提引入

（2）P（Y）→Q（Y）（1）US

（3）∀x P（x）附加前提引入

（4）P（Y）（3）US

（5）Q（Y）（2）（4）假言推理

（6）∀x Q（x）（5）UG