计算方法第二章解读
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明 令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
3第二章有限差分方法基础解读
3第二章有限差分方法基础解读有限差分方法是数值计算中常用的一种方法，用于求解偏微分方程的数值解。
它的基本思想是将连续的空间或时间域离散化为有限的点，然后用差分近似代替导数，将偏微分方程转化为差分方程，从而得到问题的数值解。
有限差分方法的基础概念有三个：差分节点、差分近似和差分方程。
差分节点是指将连续的自变量区域划分为离散的点，这些点被称为节点。
差分近似是指用函数在差分节点上的函数值来近似代替它们的导数值。
差分方程是指在差分节点上建立的方程，用来表示问题的数值解。
在有限差分方法中，常用的几种差分格式有：向前差分、向后差分和中心差分。
其中，向前差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}$，向后差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}$，中心差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$。
这些差分格式的选择要根据问题的具体情况和求解的精度要求来确定。
有限差分方法中，差分方程的建立是非常重要的一步。
一般来说，差分方程的建立需要利用边界条件和初始条件。
对于初始条件，通常是指给定问题在初始时刻或初始位置上的条件；而边界条件是指给定问题在边界上的条件。
缺乏良好的边界条件和初始条件会导致差分方程无法建立或无法得到合理的数值解。
因此，在使用有限差分方法求解偏微分方程时，需要仔细考虑问题的边界条件和初始条件，并将其合理地纳入差分方程中。
有限差分方法还包括时间步长和空间步长的选择。
时间步长是指时间域上的离散间隔，空间步长是指空间域上的离散间隔。
时间步长和空间步长的选取要兼顾问题的稳定性和精度要求。
一般来说，时间步长和空间步长越小，计算的精度越高，但计算量也会增加。
因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和计算资源的限制来选择合适的步长。
计算方法(2)第二章 方程的近似解法
(1)描图法
例如，求方程3x-1-cosx=0的隔根区间。
将方程等价变形为3x-1=cosx ，易见y=3x-1与y=cosx
的图像只有一个交点位于[0.5，1]内。
(2)逐步搜索法 运用零点定理可以得到如下逐步搜索法：
先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间为 [a,b],从x0=a 出发,以步长
定理2.2（收敛定理） 设方程x=φ(x)，如果 (1)迭代函数φ(x)在区间[a,b]可导； (2)当x[a,b]时，φ(x)[a,b] ； (3)对于任意的x[a,b] ，有| ( x) | L 1 则有 ①方程x=φ(x)在区间[a,b]上有唯一的根α ； ②对于任意的初值 x0[a,b] ，由迭代公式
a o b x
图3
二分法计算过程简单,程序容易实现.可在大范 围内求根，但该方法收敛较慢,且不能求偶数重根和 复根,一般用于求根的初始近似值,而后再使用其它 的求根方法。 二分法收敛速度不快,其收敛速度仅与一个以 1/2为比值的等比级数相同 。
§2.2
迭代法
求解过程分以下二步： (1) 建立迭代公式。由公式f(x)=0出发将其分解为 等价形式x=φ(x),式中φ(x)叫做方程的迭代函数. (2) 进行迭代计算。由初值x0出发，按迭代函数进
3.若f(x1)· f(b)<0,则x*必在区间 [x1,b]内，此时令x1=a1, b =b1 。
………………
如此重复上述过程可以得到 一系列长度逐次减半的隔根 区间 [a,b]⊃[a1,b1]⊃…⊃[an,bn]⊃… 这些区间将收敛于方程的根α。 因而若k满足(ε为给定的精度)
xn bn an
基本思想
二分法就是将方程 的隔根区间对分，然后 再选择比原来区间缩小 一半的隔根区间，如此 继续下去，直到得到满 足精度要求的根为止的 一种简单的区间方法。
第二章建筑围护结构的传热原理及计算分析
d2
i q(
1
d1
2
d2
)
………… 多层壁内第j层与第j+1层之间接触面温度：
j 1 i q(
1
d1
2
d2
dj
j
)
第二章 建筑围护结构的传热原理及计算
1.2 对流换热
层流边界层：由于摩擦力作用，在紧贴固体壁面处有一平行于固体壁 面流动的流体薄层称为层流边界层。
第二章 建筑围护结构的传热原理及计算
q1
1
d1
( i 2 )
q2
2
d2
( 2 3 )
q3
3
d3
( 3 e )
对于多层复合壁体而言，由于每一层都是由单一材料组成的，在壁体两 侧稳定温度场的作用下，流经各层材料的热流强度都是相等的： q=q1=q2=q3 由上面四式可得：
第二章 建筑围护结构的传热原理及计 算
q
d
(i e )
i e
d
i e
R
我们将上式中的R=d/λ 称为热阻，单位m2*K/W。热阻是热流通过壁体 时受到的阻力，反映了壁体抵抗热流通过的能力。 说明： 1）在同样的温差条件下，热阻越大，通过壁体的热量就越少，如 果要增加热阻，可以加大平壁的厚度d，或者选用导热系数小的材料 2）导热系数λ 它反映了壁体材料的导热能力，当材料层单位厚度 内的温差为1摄氏度时，在单位时间内通过1m2表面积的热量 3）影响材料导热系数的因素：
第二章 建筑围护结构的传热原理及计算
1.3.4 辐射换热计算
以上仅是对单一物体热辐射能力的讨论，由于通常情况下自然
牵引计算-二运行阻力解读
(2)内燃机车
w0´ = 2.93+0.0070v+0.000271v2 DF8型： w0´ = 2.40+0.0022v+0.000391v2 ND5型： w0´ = 1.31+0.0167v+0.000391v2 ND2型： w0´ = 2.98+0.0202v+0.000033v2
Cx —空气阻力系数； Ω—列车最大截面积； ρ—空气密度； v —列车的相对速度。
Cx = 1
Cx = 1/4~1/5
Cx = 1/20
空气阻力系数与物体形状的关系图
总阻力的构成
总阻力的构成
10km/h 100km/h 30% 30% 240km/h 20% 25%
轴承阻力 滚动阻力
滑动阻力 冲击和振动阻力
90% 8%
空气阻力
2%
40%
55%
二、列车运行中基本阻力的计算
• 单位基本阻力的计算公式：为列车运行 速度的二次三项式。 • w0＝A+B· v+C· v2 (N/kN) • A、B、C为试验测定的常数。 • v — km/h
1) 机车单位基本阻力公式
(1)电力机车 SSl、SS3、SS4型 w0´ =2.25+0.0190v+0.000320v2 SS7型 w0´ =1.40+0.0038v+0.000348v2 SS8型 w0´ =1.02+0.0035v+0.000426v2 6K型 w0´ =3.25+0.0092v+0.000308v2 8G型 w0´ =2.55+0.0083v+0.000212v2
计算方法 02第二章 方程的近似解法
∈ (0.5, 0.75)
-1
3
二、代数方程实根的上下界
若f
( )
x
为 n 次多项式，则
f ( x) = 0
称为 n 次代数方程。
对于代数方程有如下定理： [定理] 设有 且 则 证明
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an (a0 ≠ 0)
f ( x) = 0
A = max { a1 、 2 、 、 n } a L a
若同号，则取 于是得到区间
an −1 + bn −1 an = an −1，bn = 2 an −1 + bn −1 an = , bn = bn −1 2
1 。区间长为 n ( b − a ) , α ∈ ( an , bn )。 2
[ an，bn ]
若取α 的近似值
则绝对误差限为
例.求解方程
an + bn α = 2 1 b − a) n +1 ( 2
xn +1 − xn ≤ m xn − xn −1
xn + p − xn + p −1 ≤ m p xn − xn −1
xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + xn + p −1 − xn + p − 2 + L + xn +1 − xn
其中p为任意正整数
……
≤ (m p + m p −1 + L + m) xn − xn −1
1 区间长为 ( b − a ) , α ∈ (a1 ,b1 ). 2
7
数值计算方法-复习-第二章
5
27
局部收敛性
例2.3.8：对方程x3-x2-1=0在初值x0=1.5附近建立 收敛的迭代格式，并求解，要求精确到小数点 后4位
解：构造迭代公式，写出方程的等价形式
x = 3 x2 +1
迭代格式为
xk+1 = 3 xk 2 +1
ϕ'(x) = 2x
33 (x2 +1)2
例2.3.6：求方程 x3-3x+1=0 在[0, 0.5]内的根， 精确到10-5
24
局部收敛性
定义2.2： 如果存在x* 的某个邻域△: |x-x*| ≤δ，
使迭代过程 xk+1 = ϕ (xk)对于任意初值 x0 ∈△均 收敛，则称迭代过程xk+1 = ϕ (xk)在根x* 附近具
有局部收敛性。
解：设f(x)=xex-1, 则
f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0
因此f(x)=0在（0，1）内有根 又 f '(x) = ex + xex = ex (1+ x) > 0
因此方程f(x)=0在(0, ∞)内仅有一根
令ϕ(x) = e−x
在[0,1]上，ϕ
(x)
∈[1 e
,1]
⊂
[0,1]
30
牛顿迭代公式的建立
已知方程f (x) = 0的一个近似根x0，把f (x)在x0
处作泰勒展开
f (x) =
f (x0 ) +
f '(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
(x
−
x0
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
计算方法 第二章插值法_20191105
下面两种办法常用来确定经验函数y=g(x)
（1）插值法
（2）拟合法
根据问题的不同，有时要用插值技术来解决， 有时则应该采用拟合的方法才合理。
（1）插值法的基本思想
已知数据表
xi x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
求一个经验函数y=g(x)，使g(xi)=f(xi), i=1,…n.
x)
b0
a0 a1 x a2 x2 b1 x b2 x2 b3 x3
n
一般地：F( x) cii( x) i=0
例：F(x) a bx csin x span1, x,sin x,
当插值函数是代数多项式时，插值问题称为代
代 数插值。
数 插
设 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn ,
y2
n 次插值多项式 :求次数≤n的多项式Ln(x), 使其满足
Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn
..(7)
令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件
容易求得
三角插值：取
spani(
n
x) i=0
a1x a0
=spansin x,cos x,sin 2x,cos 2x, ,sin nx,cos nx
例：取 spansin x,cos x,
F ( x) a sin x bcos x
有理插值：F( x)= Pm ( x) Qn ( x)
例：F (
二次插值 (n=2) 求次数≤2 的多项式L2(x), 使其满足条件 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2
第2章计算方法分解
§2.2 非线性方程数值方法
方程： f(x)= 0 如果 f(x) 是非线性函数，则称为非线性方程, 其 中f(x)是关于x的一元函数.
非线性方程的求解问题是科学与工程计算中常 见的问题之一. 但对高于4次的代数方程，不存在 通用的求根公式，而对超越方程一般很难直接求 出其准确解. 所以，数值方法就是非常实用和有效的方法. 其 中，迭代技术是一种常用技术. 其思想是对根的逐 次逼近.
二、绝对误差与相对误差 定义1 设实数 x* 为某一数据的准确值，它的 近似值为 x，称 e(x)= x – x* 为 x 的绝对误差， 简称误差.
当 x*≠0 时，称
e( x ) er ( x) 为 x 的相对误差. |x |
绝对误差仅考虑近似值与准确值的差异，而相对误差 还考虑数据本身的大小，相对误差常用百分数表示. 在实 际测量或计算时，可根据具体情况估计 e(x) 或 er(x) 的大 小范围.
（2.1.4）
5 n er ( x) 10 a1
(2.13)
定理1 揭示了数据的有效位数与该数据近似值的 相对误差之间关系. 根据式（2.1.3），由于a1≥1， 可知，一个具有 n 位有效数字的近似数 x，其相对 误差满足
er ( x) 5 10
n
这说明，有效数位数与相对误差的阶码相对应， x 的有效数字位数越多，相对误差越小.
一、 二分法
二分法本质上是一种区间迭代算法，在迭代过程中 不断对隔根区间进行压缩，以区间中点逼近方程的根. 它所涉及的理论是连续函数介值定理: 定理1 设函数 f(x) 在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)< 0， 则f(x)= 0 在区间(a，b)内至少有一个根. 方法 (设函数 f(x)满足定理1条件):
第二章 第三节 采矿技术经济指标计算方法
（一次贫）化，率放的矿计或算出范矿围（，二是次指）从过采程场中开的采矿至石回贫采化结，束副，产将矿矿石石应运参出加坑计口算或。台阶整个采矿 贫化率的计算，坑下开采矿山以采场为计算单位，一般采场应于矿房或矿柱采出矿
全部结束后计算，分层充填采矿可按每一分层计算。中段或坑口应在该中段或坑口采出 矿全根部结据束采后矿综方合法计的算不同。，矿石贫化率分别采用直接法和间接法计算。
可免贫化率（％）=
采下矿石量（吨）- 设计采下矿石量（吨） 采下矿石量（吨）
×100%
注释：a.可免贫化是指采矿设计不允许采下或混入的围岩、夹石及人为的废石混入 所下造矿成石的量贫包化括；连不带可崩免落贫下化来是的指废采石矿（设表计土允）许量采，下其的数围字岩应或与夹计石算而贫造化成率的的贫母化项相b.一式致中。采 c充.下填列采情矿况法采造场成超的过贫矿化体视顶为底不板可一免米贫采化下：的ⅰ废.留石矿；采ⅲ矿.通法过超围过岩采开场掘边联界络采道下、的通废道石等；工ⅱ程. 的超掘废石15。％以上部分的废石；ⅳ.采矿设计部门专业人员认定的采矿设计不允许采下或混入
×100%
- 31 -
有色金属工业生产技术经济指标计算方法及填报目录 第二章 第三节 采矿技术经济指标计算方法
在围岩（表土）含有金属时，其贫化率计算公式是：
矿石贫化率(%)=〔1-
平均出矿品位（％）平均地质品位（％）-
平均围岩(表土)品位（％） 平均围岩(表土)品位（％）
〕×100%
计①算平说均明地：质品位是指最后圈定的平均地质品位，而最后圈定的平均地质品位是指地 质测量部门根据矿体连接和矿块圈定规则圈定的提供给采矿技术部门作开采设计的平均 地质品位。
４、矿矿石石贫贫化化率率是指在矿体开采过程中，由于矿石中混入废石（包括岩石、表土或夹层 胶泥）和富矿粉的损失，使出矿品位降低的程度，它是用百分数表示的指标。该指标是 检查采出矿工作质量和分析采矿方法是否合理的重要指标。
第二章 钢结构的材料及计算方法
• 钢材的焊接性与钢材的含碳量、化学成分、钢材的 塑性和冲击韧性密切有关，焊接性可间接地用冲击 韧性AkV来检验。
7、抗蚀性和防腐措施
• （1）腐蚀的原因 • ① 化学锈蚀：钢材直接与周围介质发生化学反应
而产生的锈蚀。 • ② 电化学锈蚀：钢材与电解质溶液接触而产生电
破坏前应力较低，没有先兆现象，破坏速度极 快，断口呈平直状态。
塑 性 拉 伸 断 裂
颈缩
断裂
脆性破坏断口
二、钢材的主要性能
• 1、力学性能 • （1）抗拉性能 • （3）冲击韧性 • 2、工艺性能 • （1）冷弯性能
（2）硬度 （4）耐疲劳性
（2）焊接性能
满足要求的主要有碳素结构钢与低合金钢，最常用的如 Q235 和 Q345
• 构件及连接中存在一些局部缺陷（夹渣、微裂纹、 孔洞、焊缝气孔等），在重复荷载作用下，这些缺 陷处产生应力集中，出现微裂纹，当循环次数达到 一定程度，则扩展形成宏观裂缝，出现突然断裂。 此外，由钢材轧制及焊接时产生的残余应力会增加 压力集中程度，加剧疲劳破坏。
• （3）影响疲劳破坏的因素 • 钢材质量、构件几何尺寸和缺陷、应力循环特征
•（2）冲击韧性与钢材的厚度有关，大厚度钢 材的冲击韧性在负温下显著降低，因此在负温 条件下应尽量采用小厚度的钢材。
5、耐疲劳性
• （1）疲劳破坏 • 钢材在重复荷载的反复作用下，在应力远小于抗
拉强度时就发生破坏，破坏时断口较整齐，表面 有半椭圆状呈放射线的疲劳纹理，断裂前无预兆 ，是脆性断裂。
• （2）疲劳破坏产生的原因
• ② 钢材的疲劳破坏一般是由拉应力引起的，当 荷载变化不大或只承受压应力，而不承受拉应 力时，则不会发生疲劳破坏，可不进行疲劳计 算；
第二章 资金的时间价值和经济等值计算方法-2
第二章资金的时间价值和经济等值计算方法第二章资金的时间价值和经济等值计算方法一、船舶工程经济概述二、资金的时间价值和经济等值计算方法三、经济计算中的特殊因素1、船舶工程经济概述不论是建造新船、购买二手船，还是进行船队更新、航线分析，围绕着船助工程总会遇到技术问题，也会遇到经济问题。
工程的技术与经济实际上是不可分割的。
实现工程的经挤目标要依靠技术,而任何技术的实现都要付出劳动，从而便会涉及一系列经济问题，例如这些劳动消耗是否值得，其经济效果如何，等等。
1、船舶工程经济概述随着科学技术的飞速发展，为了用有限的资源来满足人们的需要，可能采用的工程技术方案越来越多，对于船舶工程方案的选用当然也要受到航运市场，服务对象、营运环境、作业条件等影响。
在同样的运输条件下，为完成某一运输任务。
可采用不同的船舶工程技术方案，当然各方案的经济效益是不相同的。
在相同的运距、运量、航道、港口等运输条件下，为了完成既定的任务，可以采用不同的船舶工程技术方案，包括采用不同的船舶吨位、尺度和系数、航速等。
而不同的方案，其运输的经济性是不同的。
怎样以经济效果为标准把许多技术上可能的方案互相比较，作出评价，从中选择最优方案的间题就越来越突出，越来越复杂。
船舶工程方案的可比性原理船舶工程为了实现某种经济目标，可以采用不同的技术方案。
船舶工程经济分析的基本任务就是对不同的技术方案进行比较、选优。
技术方案的比较，必须满足以下四个方面的可比性。
1）满足需要方面的可比性：满足相同的需要，即功能相同的方案才能互相替代，才能进行比较，否则方案就不具备可比条件，这是最重要的一个可比原则。
2）满足消获费用方面的可比性：在比较方案的消耗费用时，必须从整个社会和整个国民经济的观点出发，计算全部社会消耗费用而不能仅从个别部门和企业来考虑。
3）价格方面的可比性（1）价格的合理性：其价格除了考虑本身的成本等因素外，还应考虑对社会产生的影响，所以可以不采用现行价格，而采用修正后的价格。
数值计算方法第二章方程的近似解法
个根，则称该区间为方程隔根区间。
Remark：若能把隔根区间不断缩小，则可以得出根的 近似值。
三、根的隔离
基于函数f(x)的连续性质，常用的根的隔离的方
法有：描图法与逐步搜索法。
1、描图法：画出y=f(x)的简图，从曲线与x轴交点
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a;
（2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
公式(2)
1.5 2.375 12.3965 1904.01 6.90244 3.28857 3.55651 4.49856 inf
公式(3)
1.5 1.29099 1.33214 1.32313 1.32506 1.32464 1.32473 1.32471 1.32471
公式(4)
1.5 1.9375 4.10535 36.1482 23634.7 6.60124 1.43829 1.4877 inf
间。必要时可调整步长h，总可把隔根区间全部找出。
3、根据函数单调性判断
§2.1 二分法（对分法）
一、算法
设 f ( x ) 在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0且在[a,b]内 f(x)=0仅有一个实根 x*。二分法的基本思想是：
逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号， 进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小， 从而求出满足给定精度的根 x* 的近似值。 执行步骤：
精品课件-计算方法(蔺小林)-第2章
第二章 线性代数方程组求解方法
定理2.3 设A∈Rn×n为对称矩阵，若det(Ak)>0(k=1, 2, …，n)，或A的特征值λi>0(i=1, 2, …，n)，则A为对称 正定矩阵。
定理2.4(Jordan(若当)标准型) 设A为n 阶矩阵，若存 在一个非奇异矩阵P
第二章 线性代数方程组求解方法
第二章 线性代数方程组求解方法
所以当|xi-yi|→0(i=1，2，…，n)时，有‖x‖→‖y‖。
第二章 线性代数方程组求解方法
定理2.6(等价性定理) 设‖·‖p以及‖·‖q是Rn上两 种向量范数，则存在正常数c1，c2
c1‖x‖p≤‖x‖q≤c2‖x‖p 对任何x∈Rn成立。
证明 当x=0时结论显然成立。下证x≠0时结论也成立。
其中, λ1，λ2, …，λr为A的互不相同的特征值，
第二章 线性代数方程组求解方法
r
为若当块， ni≥1(i=1, 2, …，r)，且 ni n i 1
就是矩阵A的若当标准型。
，这
(1) 当A的若当标准型中所有若当块Ji均为一阶块时，此 标准型变为对角型矩阵；
(2) 若A的特征值各不相同，则若当标准型必为对角阵
第二章 线性代数方程组求解方法
进一步，若对给定的矩阵范数‖·‖M，它与某个向量范 数‖·‖V满足条件(5)，则称矩阵范数‖·‖M与向量范 数‖·‖V相容。
(5) 对任意A∈Rn×n， x∈Rn，有 ‖Ax‖V≤‖A‖M‖x‖V成立。
第二章 线性代数方程组求解方法
设A=(aij)n×n∈Rn×n
在矩阵范数中还有一种由向量范数导出的矩阵范数。
diag(λ1，λ2，…，λn)。
第二章 线性代数方程组求解方法
数值计算方法第二章
第二章 非线性方程数值解法在科学计算中常需要求解非线性方程()0f x = (2.1)即求函数()f x 的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列0{}k k x +∞=，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、Newton 迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．§2.1 二分法一、实根的隔离定义 2.1 设非线性方程(2.1)中的()f x 是连续函数．如果有*x 使*()0f x =，则称*x 为方程(2.1)的根，或称为函数()f x 的零点；如果有*()()()m f x x x g x =-，且()g x 在*x 邻域内连续，*()0g x ≠，m 为正整数，则称*x 为方程(2.1)的m 重根．当1m =时，称*x 为方程的单根．非线性方程根的数值求解过程包含以下两步(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数()f x ，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．当函数()f x 连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下设[,]a b 是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长()/h b a n =-，k x a kh =+，(0,1,,)k n =．由左向右逐个计算()k f x ，如果有1()()0k k f x f x +<，则区间1[,]k k x x +就是方程的一个较小的有根区间．一般情况下，只要步长h 足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程(2.1)的根的一个近似．例2.1 确定出方程32()3430f x x x x =-+-=的一个有根区间．解 由22()3643(1)10f x x x x '=-+=-+>知()f x 为(,)-∞∞上的单调递增函数，进而()f x 在(,)-∞∞内最多只有一个实根．经计算知(0)0f <，(2)0f >，所以()0f x =在区间[0,2]内有惟一实根．如果希望将有根区间再缩小，可以取步长0.5h =，在点0.5x =，1x =， 1.5x =计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根． 二、二分法二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b <，且方程(2.1)在区间(,)a b 内有惟一实根*x ．记1a a =，1b b =，中点111()/2x a b =+将区间11[,]a b 分为两个小区间11[,]a x 和11[,]x b ，计算函数值1()f x ，根据如下3种情况确定新的有根区间：(1) 如果1()0f x =，则1x 是所要求的根；(2) 如果11()()0f a f x <，取新的有根区间2211[,][,]a b a x =； (3) 如果11()()0f x f b <，取新的有根区间2211[,][,]a b x b =．新有根区间22[,]a b 的长度为原有根区间11[,]a b 长度的一半．对有根区间22[,]a b 施以同样的过程，即用中点222()/2x a b =+将区间22[,]a b 再分为两半，选取新的有根区间，并记为33[,]a b ，其长度为22[,]a b 的一半(如图2.1所示)．图2.1 二分法示意图重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列1122[,][,][,][,]k k a b a b a b a b =⊃⊃⊃⊃其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[,]k k a b 的长度为11()2k k k b a b a --=-由*[,]k k x a b ∈和()/2k k k x a b =+，得*11()()22k k k k x x b a b a -≤-=- 当k →∞时，显然，有*k x x →．总结得到如下收敛定理：定理2.1 设()f x 在隔根区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则由二分法产生的序列0{}k k x +∞=收敛于方程(2.1)在[,]a b 上的根*x ，并且有误差估计*1()(1,2,)2k kx x b a k -≤-= (2.2) 设预先给定根*x 的绝对误差限为ε，要求*k x x ε-≤，只要1()2k b a ε-≤成立，这样求得对分次数ln()ln ln 2b a k ε--≥． (2.3)取k 为大于(ln()ln )/ln 2b a ε--的最小整数．此时k x 是方程(2.1)的满足精度要求的根近似值．注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断()0k f x =几乎不可能满足，取而代之为判断条件0()k f x ε<，其中0ε为根近似值的函数值允许误差限．总结以上内容，给出如下算法 算法2.1 (二分法)输入 端点,a b 、根的绝对误差限ε、根近似值的函数值允许误差限0ε； 输出 近似解c 或失败信息；Step 1 用公式(2.3)计算最大迭代次数k ； Step 2 对1,,n k =循环执行Step 3～5； Step 3 ()/2c a b =+，计算()f c ；Step 4 若0()f c ε<，则输出c ，end ；Step 5 若()()0f c f b <，则a c =，否则b c =．例 2.2 用二分法求32()4100f x x x =+-=在[1,2]上的根*x 的近似值，要求*31102k x x --<⨯． 解 由于在区间[1,2]上，(1)5f =-，(2)14f =，2()38(38)0f x x x x x '=+=+>，故()0f x =在[1,2]上有惟一实根*x ．确定循环次数为11k =，利用二分法计算结果见表2.1．二分法具有如下特点(1) 优点：计算简单，对函数()f x 的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；(2) 缺点：只能求单实根和奇数重实根，收敛较慢，与1/2为公比的等比级数相同． 当函数()f x '连续时，方程(2.1)的实重根可转换为()0()f x f x ='的实单根． 一般在求方程根近似值时不单独使用二分法，而常用它为其它数值方法提供初值．§2.2 简单迭代法简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法．本节将介绍简单迭代法的基本思想、收敛条件、收敛速度以及相应的加速算法． 一、简单迭代法的基本思想简单迭代法采用逐步逼近的过程建立非线性方程根的近似值．首先给出方程根的初始近似值，然后用所构造出的迭代公式反复校正上一步的近似值，直到满足预先给出的精度要求为止．在给定的有根区间[,]a b 上，将方程(2.1)等价变形为()x x ϕ= (2.4)在[,]a b 上选取0x 作为初始近似值，用如下迭代公式1()k k x x ϕ+= (0,1,2,k =) (2.5)建立序列0{}k k x +∞=．如果有*lim k k x x →∞=，并且迭代函数()x ϕ在*x 的邻域内连续，对式(2.5)两边取极限，得**()x x ϕ=因而*x 是(2.4)的根，从而也是(2.1)的根．称()x ϕ为迭代函数，所得序列0{}k k x +∞=为迭代序列．将这种求方程根近似值的方法称为简单迭代法，简称迭代法．例2.3 试用方程3()10f x x x =--=的不同形式的变形建立迭代公式，并试求其在1.5附近根的近似值．解 利用方程的变形建立如下4种迭代公式(1) 1k x +=，(2) 311k k x x +=-(3) 1k x += (4) 3112k k k x x x ++-=取初值0 1.5x =，迭代计算，结果见表2.2．例 2.3表明非线性方程的不同等价形式对应不同的迭代过程，从某一初值出发，有的迭代收敛快，有的收敛慢，甚至不收敛．那么迭代函数()x ϕ满足什么条件时才能保证迭代序列收敛? 迭代序列0{}k k x +∞=的误差如何估计? 怎样才能建立收敛速度快的迭代公式?定理2.2 若函数()x ϕ在区间[,]a b 上具有一阶连续导数，且满足条件 ① 对任意[,]x a b ∈，有()[,]x a b ϕ∈；② 存在常数L ：01L <<，使得对任意[,]x a b ∈有()x L ϕ'≤成立．则(1) 方程()x x ϕ=在[,]a b 上有惟一实根*x(2) 对任意0[,]x a b ∈，迭代公式(2.5)收敛，且*lim k k x x →∞= (3) 迭代公式(2.5)有误差估计式*11k k k Lx x x x L--≤-- (2.6)*101kk L x x x x L-≤-- (2.7)(4) **1*lim ()k k kx x x x x ϕ+→∞-'=- (2.8) 证明 (1)构造函数()()g x x x ϕ=-，由条件①知()()0g a a a ϕ=-≤，()()0g b b b ϕ=-≥，因此()0g x =在[,]a b 上至少存在一个实根，又由条件②知当[,]x a b ∈时，()1()10g x x L ϕ''=-≥->，所以()0g x =在[,]a b 内存在惟一实根，即()x x ϕ=在[,]a b 内存在惟一实根，记为*x ．(2) 由0[,]x a b ∈及条件①知，[,]k x a b ∈(1,2,)k =，并且有1()k k x x ϕ+=，**()x x ϕ=，二者作差，并由微分中值定理得***1()()()()k k k k x x x x x x ϕϕϕξ+'-=-=- (1,2,)k = (2.9) 其中，k ξ介于k x 与*x 之间．结合条件②，得**1k k x x L x x +-≤- (1,2,)k = (2.10)反复递推，有**2*1*1100k k k k x x L x x L x x L x x ++-≤-≤-≤-≤≤-， (1,2,)k = 因01L <<，故*lim k k x x →∞=． (3) 由式(2.10)得***1111*1k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x L x x+++++-=-+-≤-+-≤-+-从而*111k k kx x x x L+-≤-- (2.11)又由于111()()()()k k k k k k k x x x x x x ϕϕϕη+--'-=-=-1k k L x x -≤- (1,2,)k =(2.12)其中k η介于k x 和1k x -之间．综合式(2.11)及式(2.12)得误差估计*11k k k Lx x x x L--≤--由式(2.12)反复递推，得111210k k k k k x x L x x L x x -----≤-≤≤-并代入式(2.6)得误差估计*11011kk k k L L x x x x x x L L--≤-≤--- (1,2,)k =(4) 由式(2.9)得*1*()k k k x x x x ϕξ+-'=-两端取极限，并注意到()x ϕ'的连续性和*lim k k x ξ→∞=(因为k ξ介于*x 与k x 之间)，得 **1*lim ()k k kx x x x x ϕ+→∞-'=-． 误差估计(2.6)称为后验误差估计，也称为误差渐进估计，误差估计(2.7)称为先验误差估计．定理 2.2条件成立时，对任意0[,]x a b ∈，迭代序列均收敛，故称定理2.2为全局收敛性定理．下面讨论*x 邻近的收敛性，即局部收敛性．定理 2.3 设存在方程()x x ϕ=根*x 的闭邻域***(,)[,](0)U x x x δδδδ=-+>以及小于1的正数L ，使得()x ϕ'连续且()1x L ϕ'≤<．则对任意*0(,)x U x δ∈，迭代1()k k x x ϕ+=收敛．证明 由()x ϕ'在*(,)U x δ内连续，且有()1x L ϕ'≤<，则对任意*(,)x U x δ∈，有****()()()()x x x x x x L ϕϕϕϕηδδ'-=-=-≤<由定理2.2知迭代过程1()k k x x ϕ+=对任意初值*0(,)x U x δ∈均收敛． 二、迭代法的收敛阶为刻画迭代法收敛速度的快慢，引进收敛序列的收敛阶概念．定义2.2 设迭代序列0{}k k x +∞=收敛到*x ，记*k k e x x =-，如果存在常数0c >和实数1p ≥，使得1limk pk ke c e +→∞= (2.13)则称序列0{}k k x +∞=是p 阶收敛的．当1p =时，称0{}k k x +∞=为线性收敛的，此时要求01c <<；1p >为超线性收敛．p 越大，序列0{}k k x +∞=收敛到*x 越快．c 称为渐进常数，c 越小，收敛越快．所以迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量． 显然，由定理 2.2(4)知，当*()0x ϕ'≠时简单迭代法线性收敛，渐进常数*()c x ϕ'=．算法2.2 (简单迭代法)输入 初始值0x 、容许误差ε； 输出 近似解1x 或失败信息；Step 1 对1,,n m =循环执行Step 2～3； Step 2 10()x x ϕ=；Step 3 若10x x ε-<，则输出1x ，end ；否则01x x =，转向Step2．例2.4 求方程()2lg 70f x x x =--=的最大实根的近似值，要求绝对误差不超过31102-⨯．解 (1)确定有根区间．方程等价形式为27lg x x -=作函数27y x =-和lg y x =的图形，如图 2.2所示，知方程的最大实根在区间[3,4]内．(2)建立迭代公式，判别收敛性．将方程等价变形为1(lg 7)2x x =+ 迭代函数1()(lg 7)2x x ϕ=+，迭代公式11(lg 7)2k k x x +=+． 由11()02ln10x x ϕ'=⋅>，[3,4]x ∈，知()x ϕ在区间[3,4]内仅有一根．又(3) 3.74ϕ≈，(4) 3.80ϕ≈，所以，当[3,4]x ∈时，()[3,4]x ϕ∈．图2.2 函数27y x =-和lg y x =的图形因为 3.54max ()(3)0.07x L x ϕϕ≤≤''==≈，所以对于一切[3,4]x ∈有 ()(3)0.071x ϕϕ''≤≈<由定理2.2知，迭代法收敛．(3) 迭代计算．取0 4.0x =，有1=3.801030x ，2=3.789951x ，3=3.789317x ，4=3.789280x 因为343110 2x x --≤⨯，所以方程的最大根*4 3.789280x x ≈=． 三、迭代法的加速对于收敛的迭代序列，理论上迭代次数足够多时，就可以使计算结果满足任意给定的精度要求．但在应用中，有的迭代过程收敛极为缓慢，计算量很大，因此研究迭代格式的加速方法是非常必要的． 1. 线性收敛序列的Aitken 加速法设0{}k k x +∞=是一个线性收敛的序列，极限为*x ．即有小于1的正数c 使得*1*limk k k x x c x x +→∞-=-由于它线性收敛，误差减少的速度较慢，值得采用加速技术．下面介绍Aitken 加速法．对充分大的k ，有*1*,k k x x c x x +-≈- *2*1k k x x c x x ++-≈- 由上面两式得**12**1k k k k x x x x x x x x +++--≈--解得22*2112121()22k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x +++++++--≈=--+-+利用上式右端的值可定义另一序列0{}k k y +∞=，即得Aitken 加速公式2121()2k k k k k k kx x y x x x x +++-=--+ (2.14)它仍然收敛到*x ，但收敛速度更快．证明请参考文献[19]．2. Steffensen 迭代法Aitken 加速方案是对任意线性收敛序列0{}k k x +∞=构建的，并不限定0{}k k x +∞=如何获得．将Aitken 加速方法用于简单迭代法产生迭代序列时，得到著名的Steffensen 迭代法，具体迭代公式如下21()()(0,1,2,)()2k k k kk s x t s k s x x x t s x ϕϕ+=⎧⎪==⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩(2.15)或者直接写成21(())(())2()k k k k k k kx x x x x x x ϕϕϕϕ+-=--+ (0,1,2,)k =可以证明Steffensen 迭代法在一定的条件下与原简单迭代法的迭代序列具有相同的极限，但Steffensen 迭代法收敛速度更快，可以达到二阶收敛．证明请参考文献[19]．例 2.5 对例 2.3用Steffensen 迭代法求方程根的近似值，要求811102k k x x -+-<⨯． 解 (1) 简单迭代法 将原方程化成12(10/(4))x x =+，建立迭代公式121104k k x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 易验证该迭代公式在区间[1,2]上满足定理2.2的条件，产生的迭代序列收敛．(2) Steffensen 迭代法 加速公式为12122110410(0,1,2,)4()2k k k k k s x t k s s x x x t s x +⎧⎛⎫⎪= ⎪+⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎨==⎪⎪+⎝⎭⎪-⎪=-⎪-+⎩(1) 取初值0 1.5x =，简单迭代法和Steffensen 迭代法计算结果见表2.3． 注意：Steffensen 迭代法每一迭代步的计算量大约是原简单迭代法计算量的两倍．§2.3 Newton 迭代法Newton 迭代法是求解非线性方程根的近似值的一种重要数值方法．其基本思想是将非线性函数()f x 逐步线性化，从而将非线性方程(2.1)近似地转化为一系列线性方程来求解．下面讨论其格式的构造、收敛性、收敛速度以及有关变形． 一、Newton 迭代法的构造设k x 是方程(2.1)的某根的一个近似值，将函数()f x 在点k x 处作Taylor 展开2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+- 取前两项近似代替()f x ，即用线性方程()()()0k k k f x f x x x '+-=近似非线性方程(2.1)．设()0k f x '≠，则用线性方程的根作为非线性方程根的新近似值，即定义1()()k k k k f x x x f x +=-' (2.16) 上式即是著名的Newton 迭代公式．它也是一种简单迭代法，其中迭代函数21()()()f x x x f x ϕ=-' Newton 迭代法具有明显的几何意义(如图2.3所示)．方程()0f x =的根*x 即为曲线()y f x =与x 轴的交点的横坐标．设k x 是*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上相应的点(,())k k x f x 作切线，其方程为()()()k k k x f x y f x x '+-=它与x 轴的交点横坐标就是1k x +．只要初值0x 取得充分靠近根*x ，序列0{}k k x ∞=就会很快收敛到*x ．所以Newton 迭代法也称为切线法．图2.3 Newton 迭代法的几何意义二、收敛性定理2.4 设*x 是方程(2.1)的单根，在*x 的邻域上()f x ''连续且*()0f x '≠．则存在0δ>，当***0(,)[,]x U x x x δδδ∈=-+时，Newton 法产生的序列0{}k k x ∞=至少二阶收敛．证明 (1) Newton 法迭代函数的导数为2()()()[()]f x f x x f x ϕ'''='显然，()x ϕ'在*x 邻域上连续．又*()0x ϕ'=，一定存在*x 的某个δ闭邻域*(,)U x δ，当*(,)x U x δ∈时，有()1x L ϕ'≤< 从而Newton 法产生的序列0{}k k x ∞=收敛．(2)将()f x 在k x 处作一阶Taylor 展开***210()()()()()()2!k k k k k f x f x f x x x f x x ξ'''==+-+- (2.17) 其中k ξ介于*x 与k x 之间．又由Newton 迭代公式有10()()()k k k k f x f x x x +'=+- (2.18)式(2.17)与式(2.18)相减22**21()()2()k k k k f x x x x f x ξ+''-=--' 从而**1*2*()lim 0()2()k k kx x f x x x f x +→∞''-=≠'- (2.19) 由迭代法收敛阶的定义知，Newton 迭代法至少具有二阶收敛速度．上述定理给出了Newton 法局部收敛性，它对初值要求较高，初值必须充分靠近方程根时才可能收敛，因此在实际应用Newton 法时，常常需要试着寻找合适的初值．下面的定理则给出Newton 法在有根区间上全局收敛的一个充分条件．定理2.5 设*x 是方程(2.1)在区间[,]a b 上的根且()f x ''在[,]a b 上存在，如果(1) 对于任意[,]x a b ∈有，()0f x '≠()0f x ''≠； (2) 选取初值0[,]x a b ∈，使00()()0f x f x ''>．则Newton 法产生的迭代序列0{}k k x ∞=单调收敛于*x ，并具有二阶收敛速度．(a)(b)(c) (d)23图2.4 定理2.5的几何解释证明 满足定理条件(1)共有4种情形，如图2.4所示．下面仅以图2.4(a )情况进行证明，此时满足对任意[,]x a b ∈有，()0f x '>，()0f x ''>，初值*0x x >．首先用数学归纳法证明0{}k k x ∞=有下界*x ． 当0k =时，*0x x >成立．假设k n =时，不等式*n x x >成立． 将*()f x 在n x 处作一阶Taylor 展开，得***2*()()()()()()0,(,)2!n n n n n n n f f x f x f x x x x x x x ξξ'''=+-+-=∈ 于是**2()()()()2()n n n n n n f x f x x x x f x f x ξ''=---'' 又由Newton 迭代公式，有**21()()2()n n n n f x x x x f x ξ+''=--' (2.20) 式(2.20)右端的第二项大于零，因此*1n x x +>．由数学归纳法知*k x x >，(0,1,2,)k =． 其次证明0{}k k x ∞=单调递减．由()0f x '>，*k x x >，*()0f x =知，()0k f x >，()0k f x '>，于是Newton 迭代公式(2.16)的第二项大于零，从而1k k x x +>故迭代序列0{}k k x ∞=单调减少．序列0{}k k x ∞=单调减少有下界*x ，它必有极限，记为ˆx ，它满足*0ˆx x x ≤<，进而有ˆ[,]xa b ∈．对1()()k k k k f x x x f x +=-'两端取极限，并利用()f x ，()f x '的连续性，得ˆ()f x=0．结合函数()f x 在[,]a b 上的单调性知*ˆx x =． 因此，Newton 法产生的迭代序列0{}k k x ∞=单调收敛于*x ，利用式(2.20)及式(2.19)知该Newton 迭代序列二阶收敛．算法2.3 (Newton 迭代法)输入 初始近似值0x 、 容许误差ε； 输出 近似解1x 或失败信息；Step 1 对1,,n m =循环执行Step 2～3； Step 2 1000()/()x x f x f x '=-；Step 3 若10x x ε-<，则输出1x ，end ；否则01x x =，转向step2．例 2.6 利用非线性方程230x -=的Newton的近似值，使得811102n n x x ---≤⨯，并证明对任意0(0,)x ∈+∞，该迭代法均收敛．24解 (1) 建立计算公式213213(0,1,2,)(2)k k k kk kk x x x x x x +-=-=+=其中00x >．(2) 判断收敛性在区间(0,)+∞内，()20f x x '=>，()20f x ''=>，当选取初值0)x ∈+∞时，存在足够大的M，使得0]x M ∈．由定理 2.5知，该迭代公式产生的迭代序列0{}k k x ∞=当选取初值0x ∈时，100013()2x x x x =+>> 这样，从1x 起，以后的(2)k x k ≥．故该迭代公式对任何初值00x >都收敛． (3) 取初值02x =，迭代计算，结果见表2.4．从表2.4可见，迭代4步后已经满足精度要求，精确解1.73205080756888=．三、Newton 迭代法的变形Newton 迭代格式构造容易，迭代收敛速度快，但对初值的选取比较敏感，要求初值充分接近真解，另外对重根收敛速度较慢（仅有线性收敛速度），而且当函数复杂时，导数计算工作量大．下面从不同的角度对Newton 法进行改进． 1 Newton 下山算法Newton 迭代法的收敛性依赖于初值0x 的选取，如果0x 偏离*x 较远，则Newton 迭代法有可能发散，从而在实际应用中选出较好的初值有一定难度，而Newton 下山法则是一种降低对初值要求的修正Newton 迭代法．方程(2.1)的根*x 也是()f x 的最小值点，若把()f x 看成()f x 在x 处的高度，则*x 是山谷的最低点．若序列0{}k k x ∞=满足单调性条件1()()k k f x f x +< (2.21) 则称0{}k k x ∞=为称为()f x 的下山序列．25在Newton 迭代法中引入下山因子(0,1]λ∈，将Newton 迭代公式(2.16)修正为1()(0,1,2,)()k k k k f x x x k f x λ+=-=' (2.22)适当选取下山因子λ，使得单调性条件(2.21)成立，即称为Newton 下山法．对下山因子的选取是逐步探索进行的．一般地，从1λ=开始反复将因子λ的值减半进行试算，一旦单调性条件(2.21)成立，则称“下山成功”；反之，如果在上述过程中找不到使条件(2.21)成立的下山因子λ，则称“下山失败”，这时可对k x 进行扰动或另选初值0x ，重新计算． 2 针对重根情形的加速算法假设*x 是方程的(2)m ≥重根，并且存在函数()g x ，使得有**()()(),()0m f x x x g x g x =-≠ (2.23)式中()g x 在*x 的某邻域内可导，则Newton 迭代函数***1**()()()()()()()()()()()()()()m m m f x x x g x x x g x x x x x f x m x x g x x x g x mg x x x g x ϕ---=-=-=-'''-+-+-，其导数在*x 处的值***********()()()()()()()()lim lim()1lim 11()()()x x x x x x x x g x x x x x mg x x x g x x x x x x g x m mg x x x g x ϕϕϕ→→→---'-+-'==--=-=-'+-所以*0()1x ϕ'<<，由定理2.2知Newton 迭代法此时只有线性收敛速度．为了加速收敛，可以采用如下两种方法方法一 令()()()f x x f x μ='，则*x 是方程()0x μ=的单根，将Newton 迭代函数修改为2()()()()()[()]()()x f x f x x x x x f x f x f x μψμ'=-=-''''- 因此有重根加速迭代公式12()()(0,1,2,)[()]()()k k k k k k k f x f x x x k f x f x f x +'=-='''- (2.24)它至少二阶收敛．方法二 将Newton 迭代函数改为()()()f x x x mf x ϕ=-' 这时*()0x ϕ'=，由此得到加速迭代公式1()(0,1,2,)()k k k k f x x x mk f x +=-=' (2.25)3 割线法26Newton 法每步需要计算导数值()k f x '．如果函数()f x 比较复杂时，导数的计算量比较大，此时使用Newton 法不方便．为了避免计算导数，可以改用平均变化率11()()k k k k f x f x x x ----替换Newton 迭代公式中的导数()k f x '，即使用如下公式111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=--- (2.26)上式即是割线法的迭代公式．割线法也具有明显的几何意义，如图2.5所示，依次用割线方程11()()()()k k k k k k f x f x y f x x x x x ---=+--的零点逐步近似曲线方程()0f x =的零点．割线法的收敛速度比Newton 法稍慢一点，可以证明其收敛阶约为1.618，证明请参考文献[4]．此外在每一步计算时需要前两步的信息1,k k x x -，即这种迭代法也是两步法．两步法在计算前需要提供两个初始值0x 与1x ．图2.5 割线法的几何意义例 2.7 已知方程42()440f x x x =-+=有一个二重根*x =Newton 法(2.16)和重根Newton 法(2.24)和(2.25)求其近似值，要求611102n n x x ---≤⨯解32()48,()128f x x x f x x '''=-=-，2()2()()4f x x x f x xμ-=='，2m =． 由Newton 法(2.16)得221232(0,1,2,)44k k k k k kx x x x k x x +-+=-==由Newton 法(2.24) 得272122(2)4(0,1,2,)22k k kk k k k x x x x x k x x +-=-==++由Newton 法(2.25) 得22122(0,1,2,)22k k k k k kx x x x k x x +-+=-==利用上述三种迭代格式，取初值0 1.4x =，分别计算，结果见表2.5．3 10知识结构图习 题1 用二分法求方程2sin 0x e x --=在区间[0,1]内根的近似值，精确到3位有效数字．2 方程340x x +-=在区间[1,2]内有一根，试用二分法求根的近似值，使其具有5位有效数字，至少应二分多少次．基本概念 （单根、重根、收敛阶）283 已知方程3210x x --=在0 1.5x =附近有根，试判断下列迭代格式的收敛性，并用收敛的迭代公式求方程根的近似值，比较迭代次数，要求311102n n x x ---≤⨯ (1) 1211n nx x +=+；(2) 1n x +=；(3) 1n x +=．4 设有方程(1) cos 0x x -=； (2) 230x x e -=确定区间[,]a b 及迭代函数()x ϕ，使1()k k x x ϕ+=对任意初值0[,]x a b ∈均收敛，并求各方程根的近似值，要求411102n n x x ---≤⨯．5 用迭代法求50.20x x --=的正根，要求准确到小数点后5位．6 用Steffensen 迭代法求方程31x x =-在区间[1,1.5]内的根，要求准确到小数点后4位．7 用Newton 法和割线法分别求方程3310x x --=在02x =附近根的近似值，并比较迭代次数(根的准确值为* 1.87938524x =，要求准确到小数点后4位)．8 Halley 法是加速Newton 法收敛的一个途径，Halley 法在()f x 的单根情况下可达到三阶收敛．Halley 迭代函数是12()()()()1()2(())f x f x f x g x x f x f x -''⎛⎫=-- ⎪''⎝⎭其中括号中的项是对Newton 迭代公式的改进．(1) 设函数2()f x x a =-，试给出Halley 迭代公式，取初值02x =求5的近似值，要求准确到小数点后10位．(2) 设函数3()32f x x x =-+，试给出Halley 迭代公式，取初值0 2.4x =计算其根的近似值．要求准确到小数点后10位．9试建立计算x Newton 迭代公式，并取初值01x =求611102n n x x ---≤⨯．10 （数值试验）用二分法和Newton 法求下列方程的惟一正根的近似值)0.50x x x =11 （数值试验）设投射体的运动方程为/15/15()9600(1)480()2400(1)t t y g t et x h t e --⎧==--⎪⎨==-⎪⎩１）求当撞击地面时的时间，精确到小数点后10位． ２）求水平飞行行程，精确到小数点后10位．12 （数值试验）试用Newton 法分别求解方程(1)0m x -=，(3,6,12m =)，观察迭代序列的收敛情形，分析所发生的现象．能否改造Newton 法使得它收敛更快．。