浅谈算术平方根的非负性在解题中的运用

河南省信阳市息县城郊中学
作者：敖勇
手机：####
邮编：464300
浅谈算术平方根的“非负性”在解题中的运用
河南省信阳市息县城郊中学 敖勇 从所周知，算术平方根a 具有双重非负性：1、被开方数具有非负性，即a ≥0；2、a 本身具有非负性，即a ≥0。

这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的性质。

在解决与此相关的问题时，如果能仔细观察、认真地分析题目中的已条件，挖掘出题目中隐含的算术平方根的这两个非负性，并在解题过程中做到有机地配合，则可避免用常规方法造成的复杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果。

例1、已知y=2
11331+-+-x x ,求9x 2-y 的值。

分析：挖掘算术平方根隐含的非负性条件是解决本题的关键所在。

解：由⎩⎨⎧≥-≥-,013,031x x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤,3
1,31x x 得x=31。

所以y=211331+-+-x x =2
1。

则9x 2-y=9(31)221-=2
1,
例2、已知()z y x z x y x ,,,02212
求=+-+++-的值。

分析：一个数的绝对值、平方根、和算术平方根是三种非负数“若几个非负数的和为零，那么每个非负数均为零”即可求解。

解：由01≥-x ，()022≥+y ，02≥+-z x ，且
()
02212=+-+++-z x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=-,02,02,
01z x y x 解得x=1,y=2-,z=3.
例3、已知03962=-++-x x x ，x 的取值范围是
分析：此题是填空题，按常规思维去思考，做题是比较麻烦的，需要对x 的取值范围进行讨论。

这样做不仅费时，而且会出现误解，如果我们能利用二次根式的非负性来解决本题，问题很快就能解决。

解：∵03962=-++-x x x 即3962-=+-x x x 又∵0962≥+-x x
∴≥-3x 0
∴3≥x
所以x 的取值范围为3≥x
例 4、求2011)2012(2-+--a a 值 解：∵2)2012(--a 存在，
∴ a − 2012 = 0 即 a = 2012 ，且2)2012(--a = 0 ，
∴2011
-a
a=2012-2011 =1
-
(2-
)
2012
+。