2014年全国高考数学卷(文)大纲版及答案解析
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=110．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE 与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r=C6r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）+1r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r=3可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—陕西卷
2014年陕西高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 3.已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5AB .3C4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=输出a 1,a 2,...,a N结束是否i >Ni =i +1S =a iS =1，i =1输入N开始a i =2*S5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7.下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()f x =x1/2（D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲 路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ） （A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-y二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为________. 12.已知42a=，lg x a =，则x =________. 13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.14. 已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的 表达式为________.15．（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最小值为______.16．（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.B17．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______.三、解答题.18. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. （1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值.19．（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.C20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.左视图（1）若23m n ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 21．（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.22．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y ab a b+=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F为直径的圆交于,C D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程.x23．（本小题满分13分）设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数；（3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.参考答案一、选择题1.D [解析] 由M ＝{x |x ≥0}，N ＝{x |x 2<1}＝{x |－1<x <1}，得M ∩N ＝[0，1)．2.B [解析] T ＝2π2＝π.3.A [解析] ∵z ＝2－i ，∴z －＝2＋i ，∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.4.C [解析] 阅读题中所给的程序框图可知输出的数列为2，2×2＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N －1＝2N ，故其通项公式为a n ＝2n .5.C [解析] 由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π×1×1＝2π.6.B [解析] 由古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况共有10种，其中选取的2个点的距离小于该正方形边长的情况共有4种，故所求概率为P ＝410＝25.7.B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D 8.A [解析] 由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．9.D [解析] 由题目中所给的数据可知x x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010，不妨设这10位员工下月工资的均值为y －，则y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋100010＝x －＋100，易知方差没发生变化．10.A [解析] 由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y ＝f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1.又y ＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(2，0)，∴4a ＋2b ＝1，∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴y ＝f (x )＝12x 3－12x 2－x .11.1x =- [解析] 易知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－p2＝－1[解析] 4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝1012＝1013.12[解析] 由a ·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tanθ＝12.14.12014x x+ [解析] 由题意，得f 1(x )＝f (x )＝x1＋x ，f 2(x )＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋3x ，…，由此归纳推理可得f 2014(x )＝x1＋2014x.15. 由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，即5(m 2＋n 2)≥25，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，所以m 2＋n 2 ≥ 5.16．由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽△ACB ，所以AEAC ＝EFBC.又AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3 17．易知点⎝⎛⎭⎫2，π6的直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0.由点到直线距离公式，得d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝118. （1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A CA C ∴+=+（2）由题设有b 2=ac ，c=2a ，∴，由余弦定理得2222222423cos 244a cb ac a B ac a +-+-=== 19. （1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD === AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）因为BC ∥平面EFGH ， 平面EFGH平面BDC FG =，平面EFGH平面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形又因为AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥AD EF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形20. （1）因为23m n ==，(1,2)AB =，(2,1)AC = 22(2,2)33OP ∴=+=（1，2）（2，1）2||=2OP ∴=（2）=(2,2)OP m n m n m n =+++（1，2）（2，1）即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.x21. （1）设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得： 150()0.151000P A ==，120()0.121000P B ==，由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：()()0.150.120.27P A P B +=+=（2）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000⨯100=，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.212024⨯=辆所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100= 由频率估计概率得()0.24P C =22. （1）由题意可得12222b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩—解得2,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y += （2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y += ∴圆心到直线l的距离为d =由1d <1<，可得||m <||CD ∴===设1122(,),(,)A x y B x y联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得2230x mx m -+-=由求根公式可得：12x x m +=，2123x x m =-||AB ∴=||||4AB CD =1=解方程得m=||m<∴直线l的方程为123y x=-+或123y x=--23.（1）由题设，当m e=时，()lnef x xx=+易得函数()f x的定义域为(0,)+∞221()e x ef xx x x-'∴=-=∴当(0,)x e∈时，()0f x'<，此时()f x在(0,)e上单调递减；当(,)x e∈+∞时，()0f x'>，此时()f x在(,)e+∞上单调递增；∴当x e=时，()f x取得极小值()ln2ef e ee=+=∴()f x的极小值为2(2)函数21()()(0)33x m xg x f x xx x'=-=-->令()0g x=，得31(0)3m x x x=-+>设31()(0)3x x x xϕ=-+≥2()1(1)(1)x x x xϕ'∴=-+=--+当(0,1)x∈时，()0xϕ'>，此时()xϕ在(0,1)上单调递增；当(1,)x∈+∞时，()0xϕ'<，此时()xϕ在(1,)+∞上单调递减；所以1x=是()xϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()xϕ的最大值点，∴()xϕ的最大值为12(1)133ϕ=-+=又(0)0ϕ=，结合y=()xϕ的图像（如图）可知① 当23m >时，函数()g x 无零点； ②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x'∴=--≤在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立 14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立）， m ∴的取值范围是1[,)4+∞。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—江苏卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 . 3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 .4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 .100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）（第3题）9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 .10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈，55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .（第16题）PDCEFBA（第12题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”； (2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.数学Ⅱ（附加题）21．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．22．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 23．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程1,2)(;x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．24．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 25. (本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )． 26. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n ∈*N，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．(第21—A 题)参考答案一、选择题 1．【答案】{1,3}- 解析：由题意得{1,3}AB =-【考点】交集、并集、补集 (B). 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—江苏卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 . 3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 .4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 .100 80 90 110 120 130 底部周长/cm（第6题）（第3题）9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 .10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r的值是 .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈，55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .（第16题）PDCEFBA（第12题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”；(2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.数学Ⅱ（附加题）21．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．22．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 23．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程21,2)(2;xt t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．24．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 25. (本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )． 26. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ2()()444n n nf f -+=都成立．(第21—A 题)参考答案一、选择题 1．【答案】{1,3}-解析：由题意得{1,3}A B =-I 【考点】交集、并集、补集 (B). 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
(完整word版)2014年全国高考数学卷文科卷1试题及答案解析,推荐文档
学校:2014年全国高考数学卷文科卷1姓名: 班级: 考号:、选择题(题型注释)1.已知集合M x|x| 2 xA. ( 2,1) B. 1,1) C.(1,3)D. 2,3)2 .若tanA. sin B. cos 0 C. sin 2 D.cos2 03.设z ，则|z|B . C. .32D. 24.已知双曲线2 2x ya2 31(a 0)的离心率为2,则aA. 2B. .62C. D. 15 .设函数f(x), g(x)的定义域为R ,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是A. f(x)g(x)是偶函数B.| f(x)| g(x)是奇函数C. f (x) | g(x) |是奇函数D. | f (x)g(x)|是奇函数6.设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，贝U EB FC A. ADB. !ADC.27 .在函数①y cos | 2x | ,丄 BC D.2BCy |cosx |，③ y cos(2x 6),④ y tan(2x；)中，最小正周期为的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是(9.执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M ()A. 20B. 7C. 16D. 153 2 5 810.已知抛物线c：y2 x的焦点为F, A xo,y o是C上一点，|AF |x o，则X。
（）A. 1B. 2C. 4D. 811 •已知函数f(x) ax3 3x2 1，若f(x)存在唯一的零点X0，且X0 0，则a的取值范围是(A) 2, (B) 1, (C) , 2 (D) , 1、填空题（题型注释）12.设x , y满足约束条件x y a，且z x ay的最小值为7,则ax y 1,(A) -5(B) 3(C) -5 或3(D) 5 或-313.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________ .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________ .e x 1,x 1,15 .设函数f x 1 则使得f x 2成立的x的取值范围是_______________________ .x3,x 1,16.如图，为测量山高MN ,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN 60 , C点的仰角CAB 45以及MAC 75 ；从C点测得MCA 60 .已知山高BC 100m，则山高MN三、解答题（题型注释）17•已知a n 是递增的等差数列，32 , 34是方程X 2 5X 6 0的根。
2014年全国高考数学卷文科卷1试题及答案解析-精选.pdf
（ II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表） ； （ III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？
20．已知点 P ( 2,2) ，圆 C : x2 y2 8y 0 ，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点 .
23．已知曲线
x2 C:
y2
x2t
1，直线 l :
（ t 为参数）
49
y 2 2t
写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求 PA 的最大
值与最小值 .
22．如图，四边形 ABCD 是 交于点 E ，且 CB CE .
(1) 求 M 的轨迹方程； (2) 当 OP OM 时，求 l 的方程及 POM 的面积
试卷第 3 页，总 4 页
21．设函数 f x a ln x
处的切线斜率为 0
1a2 x
2
bx a
1 ，曲线 y
f x 在点 1，f 1
求 b; 若存在 x0 1, 使得 f x0
a
，求 a 的取值范围。
a1
试卷第 4 页，总 4 页
1． B 【解析】
参考答案
试题分析：根据集合的运算法则可得： M N x | 1 x 1 ，即选 B．
[115 ，且12A5O)
8
平面 BB1C1C .
（ I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O ，
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—安徽卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，复数=++iii 123（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1 2．命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A ．0||,2<+∈∀x x R xB ．0||,2≤+∈∀x x R xC ．0||,2000<+∈∃x x R x D ．0||,2000≥+∈∃x x R x 3．抛物线241x y =的准线方程是（ ） A ．1-=y B ．2-=y C ．1-=x D ．2-=x 4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 5．设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===，则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<6．过点(1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．]60π，（ B ．]30π，（ C ．]60[π， D ．]30[π， 7．若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A ．8π B ．4πC ．83πD ．43π8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A ．21B ．18C ．21D ．18 9．若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或8 10．设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 二．选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
2014年高考新课标I卷数学(文)试题解析(精编版)(解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N =I （ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(-22112||()()222z =+-=.考点：复数的运算4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 16.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.AD B. 21 C. 21D. 【答案】A 【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，同理12FC FE EC FE AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ． 考点：向量的运算7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱考点：三视图的考查9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8考点：线性规划的应用12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23【解析】试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42P 63==． 考点：古典概率的计算14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：可以得出结论乙去过的城市为：A ． 考点：命题的逻辑分析15.设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由132x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞考点：1.分段函数;2.解不等式16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.【答案】150 【解析】试题分析：根据题意，在ABC ∆中，已知0045,90,100CAB ABC BC ∠=∠==，易得：1002AC =;在AMC ∆中，已知0075,60,1002MAC MCA AC ∠=∠==易得：045AMC ∠=，由正弦定理可解得：sin sin AC AM AMC ACM =∠∠，即：10023100322AM ==;在AMN ∆中，已知0060,90,1003MAN MNA AM ∠=∠==150MN m =.考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(含解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题1、已知集合A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{-2}2、=（）A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i3、函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x）=0：q：x=x是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4、设向量，满足|+|=，|-|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55、等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n-1）C．D．6、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B 1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8、执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79、设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110、设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711、若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．（-∞，-1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12、设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是（）A．[-1，1]B．[-，]C．[-，]D．[-，]二、填空题13、甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为__________．14、函数f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx的最大值为__________．15、偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=__________．16、数列{an }满足an+1=，a8=2，则a1=__________．三、解答题17、四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19、某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20、设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21、已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．22、如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．23、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．24、设函数f（x）=|x+|+|x-a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．试题解析：∵A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}={-1，2}，∴A∩B={2}．故选B2、答案：B试题分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．试题解析：化简可得====-1+2i故选：B3、答案：C试题分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．试题解析：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C4、答案：A试题分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．试题解析：∵|+|=，|-|=，∴分别平方得+2•+=10，-2•+=6，两式相减得4•=10-6=4，即•=1，故选：A．5、答案：A试题分析：由题意可得a42=（a4-4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．试题解析：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4-4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4-3×2=2，∴Sn =na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．6、答案：C试题分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．试题解析：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．7、答案：C试题分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．试题解析：∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A-B1DC1的体积为：=1．故选：C．8、答案：D试题分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．试题解析：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．9、答案：B试题分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．试题解析：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．10、答案：C试题分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．试题解析：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=-．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x-）=（x-）．代入抛物线方程，消去y，得16x2-168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故答案为：12．11、答案：D试题分析：f′（x）=k-，由于函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．试题解析：f′（x）=k-，∵函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是[1，+∞）．故选：D．12、答案：A试题分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．试题解析：由题意画出图形如图：点M（x，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，的取值范围是[-1，1]．∴x故选：A．二、填空题13、答案：试题分析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．试题解析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．14、答案：试题分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．试题解析：∵f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-sinφcosx=sin（x-φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．15、答案：试题分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．试题解析：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），则f（-1）=f（-1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（-1）=f（1）=3，故答案为：3．16、答案：试题分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．试题解析：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=-1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，-1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．三、解答题17、答案：试题分析：（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．试题解析：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=13-12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=5-4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=-，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．18、答案：试题分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．试题解析：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．19、答案：试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．20、答案：试题分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．试题解析：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2-c2，即c2+-a2=0，则，即2e2+3e-2=0解得e=或e=-2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（-c，-2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21、答案：试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2-6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为-2，∴f（-2）=-2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3-3x2+x+2，设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，由题设知1-k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2-6x+1-k＞0，g（x）单调递增，g（-1）=k-1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3-3x2+4，则g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2-6x=3x（x-2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（-1）=k-1，g（0）=4，则g（x）=0在（-∞，0]有唯一实根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．22、答案：试题分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．试题解析：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．23、答案：试题分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得 cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．试题解析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．24、答案：试题分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x-a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3-a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．试题解析：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x-a|≥|（x+）-（x-a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3-a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2-5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6-a+＜5，即 a2-a-1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5 分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 3．（5 分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5 分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F 分别为△ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π 的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k 分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5 分）已知抛物线C：y2=x 的焦点为F，A（x0，y0）是C 上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5 分）设x，y 满足约束条件且z=x+ay 的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5 或3 D．5 或﹣3 12．（5 分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13．（5 分）将2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则2 本数学书相邻的概率为．14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5 分）设函数f（x）= ，则使得f（x）≤2 成立的x 的取值范围是．16．（5 分）如图，为测量山高MN，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12 分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4 是方程x2﹣5x+6=0 的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{ }的前n 项和．18．（12 分）从某企业生产的产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85） [85，95） [95，105）[105，115）[115，125）频数 6 26 38 22 8 （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，侧面BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1 的高．20．（12 分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A，B 两点，线段AB 的中点为M，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积．21．（12 分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a 的取值范围．请考生在第22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014年全国统一高考数学试卷文科大纲版学生版
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014?大纲版）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）（2014?大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣＞的解集为（2014?大纲版）不等式组）3．（5分）（＜B．{x|﹣1＜2＜x＜﹣1}x＜0}C．{x|0＜x＜1}xA．{|﹣D．{x|x＞1}4．（5分）（2014?大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）．．D．B．CA）1）+（x＞﹣1）的反函数是（2014?5．（5分）（大纲版）函数y=ln（x3x3（x＞﹣1e）﹣1）﹣eB）（x＞﹣1）．y=（y=A．（1x33x（xy=C．（1﹣e∈）（x∈R）R﹣1））D．y=（e6．（5分）（2014?大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣））? =（2．1C．DA．﹣1B．07．（5分）（2014?大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）（2014?大纲版）设等比数列{a}的前n项和为S．若S=3，S=15，则42nn S=（）6A．31B．32C．63D．649．（5分）（2014?大纲版）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F、1F，离心率为，过F的直线l交C于A、B两点，若△AFB的周长为4，122则C的方程为（）2A．+=1B．+y=1C．+=1D．+=110．（5分）（2014?大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）．DC．．9πB．16πA11．（5分）（2014?大纲版）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）（2014?大纲版）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分36（用数字x．的系数是）分）13．（5（2014?大纲版）（x﹣2 的展开式中作答）．的最大值是y=cos2x14．（5分）（2014?大纲版）函数+2sinx的最大+满足约束条件y4y，则z=x大纲版）设15．（5分）（2014?x，．值为22的交l与+y=2的两条切线，若x和2014?（16．5分）（大纲版）直线ll是圆l2211．的夹角的正切值等于与3点为（1，），则ll21三、解答题．a=2a=1a}a大纲版）数列（10．17（分）2014?{满足，，﹣a+=2a2n2n2n1n1++（Ⅰ）设b=a﹣a，证明{b}是等差数列；nn1nn+（Ⅱ）求{a}的通项公式．n18．（12（2014?大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，分）tanA=，求B．19．（12分）（2014?大纲版）如图，三棱柱ABC﹣ABC中，点A在平面ABC1111内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC=2．1（Ⅰ）证明：AC⊥AB；11（Ⅱ）设直线AA与平面BCCB的距离为，求二面角A﹣AB﹣C的大小．1111人需使用某种设备42014?大纲版）设每个工作日甲，乙，丙，丁1220．（分）（，各人是否需使用设备相互独立．0.40.5，的概率分别为0.6，0.5，人需使用设备的概率；3（Ⅰ）求同一工作日至少同一工作日需“k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求（Ⅱ）实验室计划购买的最小值．k0.1，求使用设备的人数大于k”的概率小于23．0）（a）=ax+3x≠+3x2014?21．（12分）（大纲版）函数f（x）的单调性；（x（Ⅰ）讨论f的取值范围．a，2）是增函数，求（Ⅱ）若f（x）在区间（12，直线F0）的焦点为=2px（py（22．12分）（2014?大纲版）已知抛物线C：＞．|=|PQ|，与C的交点为Q，且|QFPy=4与y轴的交点为的方程；C（Ⅰ）求、MC相交于与若A相交于、B两点，AB的垂直平分线l′ClF（Ⅱ）过的直线与的方程．l四点在同一圆上，求、、、两点，且NAMBN。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)解析版
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{2A =-，0，2}，2{|20}B x x x =--=，则(A B = )A ．∅B ．{2}C ．{0}D ．{2}-【考点】1E ：交集及其运算 【专题】5J ：集合【分析】先解出集合B ，再求两集合的交集即可得出正确选项． 【解答】解：{2A =-，0，2}，2{|20}{1B x x x =--==-，2}，{2}AB ∴=．故选：B ．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键． 2．（5分）13(1ii+=- ) A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --【考点】5A ：复数的运算 【专题】5N ：数系的扩充和复数【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1i +化简即可． 【解答】解：化简可得213(13)(1)13424121(1)(1)12i i i i ii i i i i +++-+-+====-+--+- 故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数()f x 在0x x =处导数存在，若00:()0::p f x q x x '==是()f x 的极值点，则()A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】5L ：简易逻辑【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数3()f x x =的导数为2()3f x x '=，由0()0f x '=，得00x =，但此时函数()f x 单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若0x x =是()f x 的极值点，则0()0f x '=成立，即必要性成立， 故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件， 故选：C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则(a b = ) A ．1B ．2C ．3D ．5【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论． 【解答】解：||10a b +=，||6a b -=，∴分别平方得22210a a b b ++=，2226a a b b -+=，两式相减得41064a b =-=， 即1a b =， 故选：A ．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础． 5．（5分）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和(n S =)A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 【考点】83：等差数列的性质【专题】54：等差数列与等比数列【分析】由题意可得2444(4)(8)a a a =-+，解得4a 可得1a ，代入求和公式可得． 【解答】解：由题意可得2428a a a =， 即2444(4)(8)a a a =-+， 解得48a =， 14322a a ∴=-⨯=，1(1)2n n n S na d -∴=+， (1)22(1)2n n n n n -=+⨯=+， 故选：A ．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1)cm ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A ．1727B ．59C ．1027 D ．13【考点】!L ：由三视图求面积、体积 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：22322434πππ+=．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：23654ππ⨯= 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：5434105427πππ-=． 故选：C ．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )A ．3B ．32C ．1D 【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】由题意求出底面11B DC 的面积，求出A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，∴底面11B DC 的面积：122⨯A三棱锥11A B DC -的体积为：113．故选：C ．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键． 8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x ，t 均为2，则输出的(S = )A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】EF ：程序框图 【专题】5K ：算法和程序框图【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论． 【解答】解：若2x t ==，则第一次循环，12…成立，则1221M =⨯=，235S =+=，2k =，第二次循环，22…成立，则2222M =⨯=，257S =+=，3k =，此时32…不成立，输出7S =， 故选：D ．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1【考点】7C ：简单线性规划 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由2z x y =+，得122zy x =-+，平移直线122z y x =-+，由图象可知当直线122z y x =-+经过点A 时，直线122zy x =-+的截距最大，此时z 最大． 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，即(3,2)A ，此时z 的最大值为3227z =+⨯=， 故选：B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 10．（5分）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交于C 于A ，B 两点，则||(AB = )A B ．6 C ．12 D ．【考点】8K ：抛物线的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得||AB ．【解答】解：由23y x =得其焦点3(4F ，0)，准线方程为34x =-．则过抛物线23y x =的焦点F 且倾斜角为30︒的直线方程为33tan30())44y x x =︒--．代入抛物线方程，消去y ，得21616890x x -+=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则1216821162x x +==， 所以12333321||1244442AB x x =+++=++= 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数()f x kx ln =- x 在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]-B ．(-∞，1]-C ．[2，)+∞D ．[1，)+∞【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性【专题】38：对应思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用【分析】求出导函数()f x '，由于函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞单调递增，可得()0f x '…在区间(1,)+∞上恒成立．解出即可． 【解答】解：1()f x k x'=-， 函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞单调递增， ()0f x ∴'…在区间(1,)+∞上恒成立． 1k x∴…，而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减， 1k ∴…．k ∴的取值范围是：[1，)+∞．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 12．（5分）设点0(M x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是( )A ．[1-，1]B ．1[2-，1]2C ．[D ．[ 【考点】JE ：直线和圆的方程的应用 【专题】5B ：直线与圆【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点0(M x ，1)，要使圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则OMN ∠的最大值大于或等于45︒时一定存在点N ，使得45OMN ∠=︒， 而当MN 与圆相切时OMN ∠取得最大值， 此时1MN =，图中只有M '到M ''之间的区域满足1MN =， 0x ∴的取值范围是[1-，1]．故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为13． 【考点】8C ：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 【专题】5I ：概率与统计【分析】所有的选法共有339⨯=种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有339⨯=种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种， 故他们选择相同颜色运动服的概率为3193=，故答案为：13．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 14．（5分）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 1 ． 【考点】GP ：两角和与差的三角函数；HW ：三角函数的最值 【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值． 【解答】解：函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+- sin cos sin cos 2sin cos x x x ϕϕϕ=+- sin cos sin cos x x ϕϕ=- sin()1x ϕ=-…．所以函数的最大值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力． 15．（5分）偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，f （3）3=，则(1)f -= 3 ． 【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断 【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到(4)()f x f x +=，即可得到结论． 【解答】解：法1：因为偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称， 所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-=-， 即(4)()f x f x +=，则(1)(14)f f f -=-+=（3）3=，法2：因为函数()y f x =的图象关于直线2x =对称， 所以f （1）f =（3）3=， 因为()f x 是偶函数， 所以(1)f f -=（1）3=， 故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性(4)()f x f x +=是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{}n a 满足111n n a a +=-，82a =，则1a = 12．【考点】8H ：数列递推式 【专题】11：计算题【分析】根据82a =，令7n =代入递推公式111n na a +=-，求得7a ，再依次求出6a ，5a 的结果，发现规律，求出1a 的值． 【解答】解：由题意得，111n na a +=-，82a =， 令7n =代入上式得，8711a a =-，解得712a =； 令6n =代入得，7611a a =-，解得61a =-； 令5n =代入得，6511a a =-，解得52a =； ⋯根据以上结果发现，求得结果按2，12，1-循环， 8322÷=⋯，故112a =故答案为：12． 【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n 具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==． （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积．【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理 【专题】56：三角函数的求值【分析】（1）在三角形BCD 中，利用余弦定理列出关系式，将BC ，CD ，以及cos C 的值代入表示出2BD ，在三角形ABD 中，利用余弦定理列出关系式，将AB ，DA 以及cos A 的值代入表示出2BD ，两者相等求出cos C 的值，确定出C 的度数，进而求出BD 的长； （2）由C 的度数求出A 的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD 与三角形BCD 面积，之和即为四边形ABCD 面积．【解答】解：（1）在BCD ∆中，3BC =，2CD =，由余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-=-①，在ABD ∆中，1AB =，2DA =，A C π+=，由余弦定理得：2222cos 54cos 54cos BD AB AD AB AD A A C =+-=-=+②， 由①②得：1cos 2C =，则60C =︒，BD （2）1cos 2C =，1cos 2A =-，sin sin C A ∴==则1111sin sin 12322222S AB DA A BC CD C =+=⨯⨯+⨯⨯=【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）设1AP =，AD =，三棱锥P ABD -的体积V =，求A 到平面PBC 的距离．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS ：直线与平面平行；MK ：点、线、面间的距离计算【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明//PB 平面AEC ；（Ⅱ）通过1AP =，AD =三棱锥P ABD -的体积V =，求出AB ，作A H P B ⊥角PB于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ABCD 是矩形， O ∴为BD 的中点E 为PD 的中点，//EO PB ∴．EO ⊂平面AEC ，PB ⊂/平面AEC//PB ∴平面AEC ；（Ⅱ）1AP =，AD ，三棱锥P ABD -的体积V =，136V PA AB AD AB ∴===，32AB ∴=，PB =． 作AH PB ⊥交PB 于H ， 由题意可知BC ⊥平面PAB ， BC AH ∴⊥，故AH ⊥平面PBC ．又在三角形PAB 中，由射影定理可得：313PA AB AH PB ==A 到平面PBC ．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【考点】BA ：茎叶图；BB ：众数、中位数、平均数；CB ：古典概型及其概率计算公式 【专题】5I ：概率与统计【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是6668672+=，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67． （Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为580.1,0.165050==，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设1F ，2F 分别是2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求a ，b ． 【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为34，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率；（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及1||5||MN F N =，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当x c =时，2b y a=，即2(,)b M c a ，若直线MN 的斜率为34，即22123tan 224b b a MF Fc ac ∠===， 即22232b ac a c ==-，即22302c ac a +-=，则23102e e +-=，即22320e e +-= 解得12e =或2e =-（舍去）， 即12e =． （Ⅱ）由题意，原点O 是12F F 的中点，则直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点， 设(,)M c y ，(0)y >，则22221c y a b +=，即422b y a =，解得2b y a=， OD 是△12MF F 的中位线，∴24b a=，即24b a =， 由1||5||MN F N =， 则11||4||MF F N =， 解得11||2||DF F N =， 即112DF F N =设1(N x ，1)y ，由题意知10y <， 则(c -，12)2(x c -=+，1)y ． 即112()22x c c y +=-⎧⎨=-⎩，即11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入椭圆方程得2229114c a b+=，将24b a =代入得229(4)1144a a a a-+=，解得7a =，b =【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】53：导数的综合应用【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a ；（Ⅱ）构造函数()()2g x f x kx =-+，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）函数的导数2()36f x x x a '=-+；(0)f a '=； 则()y f x =在点(0,2)处的切线方程为2y ax =+， 切线与x 轴交点的横坐标为2-， (2)220f a ∴-=-+=，解得1a =．（Ⅱ）当1a =时，32()32f x x x x =-++， 设32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+， 由题设知10k ->，当0x …时，2()3610g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，(1)1g k -=-，(0)4g =， 当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1)()g x h x k x h x =+->． 则2()363(2)h x x x x x '=-=-在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞单调递增，∴在2x =时，()h x 取得极小值h （2）0=，(1)1g k -=-，(0)4g =，则()0g x =在(-∞，0]有唯一实根． ()()g x h x h >…（2）0=， ()0g x ∴=在(0,)+∞上没有实根．综上当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ，证明：（Ⅰ）BE EC =； （Ⅱ）22AD DE PB =．【考点】4N ：相似三角形的判定；NC ：与圆有关的比例线段 【专题】17：选作题；5Q ：立体几何【分析】（Ⅰ）连接OE ，OA ，证明OE BC ⊥，可得E 是BC 的中点，从而BE EC =； （Ⅱ）利用切割线定理证明2PD PB =，PB BD =，结合相交弦定理可得22AD DE PB =． 【解答】证明：（Ⅰ）连接OE ，OA ，则OAE OEA ∠=∠，90OAP ∠=︒， 2PC PA =，D 为PC 的中点，PA PD ∴=， PAD PDA ∴∠=∠，PDA CDE ∠=∠，90OEA CDE OAE PAD ∴∠+∠=∠+∠=︒， OE BC ∴⊥，E ∴是BC 的中点，BE EC ∴=；（Ⅱ）PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ， 2PA PB PC ∴=， 2PC PA =，2PA PB ∴=， 2PD PB ∴=， PB BD ∴=，2BD DC PB PB ∴=， AD DE BD DC =，22AD DE PB ∴=．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程 【专题】5S ：坐标系和参数方程【分析】（1）利用222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩即可得出直角坐标方程，利用22cos sin 1t t +=进而得出参数方程．（2）利用半圆C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，则直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，即可得出直线CD 的倾斜角及D 的坐标．【解答】解：（1）由半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π，即22cos ρρθ=，可得C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=剟． 可得C 的参数方程为1cos (sin x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数，0)t π剟．（2）设(1cos D + t ，sin )t ，由（1）知C 是以(1,0)C 为圆心，1为半径的上半圆，直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，tan t ∴=3t π=．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 五、选修4-5：不等式选讲 24．设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->． （Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （3）5<，求a 的取值范围． 【考点】5R ：绝对值不等式的解法 【专题】59：不等式的解法及应用 【分析】（Ⅰ）由0a >，1()||||f x x x a a=++-，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得()2f x …成立．（Ⅱ）由f （3）1|3||3|5a a=++-<，分当3a >时和当03a <…时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求． 【解答】解：（Ⅰ）证明：a >，1111()|||||()()|||2f x x x a x x a a a a a a a a a=++-+--=+=+=厖， 故不等式()2f x …成立． （Ⅱ）f （3）1|3||3|5a a=++-<，∴当3a >时，不等式即15a a+<，即2510a a -+<，解得3a <<当03a <…时，不等式即165a a-+<，即210a a -->3a <…．综上可得，a 的取值范围．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年高考全国卷新课标版2数学文试题及答案详解
6.函数 的图像向右平移 个单位后所得的图像关于点 中心对称．则 不可能是( )
A． B． C． D．
7.抛物线的中心在原点，焦点与双曲线 的有焦点重合，则抛物线的方程为（）
A. B. C. D.
8.有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有（ ）
二、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17.（本小题满分12分）在 中，角 的对边分别为 ， 是该三角形的面积，（1）若 ， ， ，
（1）求角 的度数；
（2）若 ， ， ，求 的值.
18.（本小题满分12分）某车站每天上午发出两班客车（每班客车只有一辆车），第一班客车在8∶00,8∶20,8∶40这三个时刻随机发出,且在8∶00发出的概率为 ,8∶20发出的概率为 ,8∶40发出的概率为 ;第二班客车在9∶00,9∶20,9∶40这三个时刻随机发出,且在9∶00发出的概率为 ,9∶20发出的概率为 ,9∶40发出的概率为 .两班客车发出时刻是相互独立的,一位旅客预计8∶10到站.求:
……………………12分
18．（12分）(1)第一班若在8∶20或8∶40发出,则旅客能乘到,其概率为
P= + = …………4分
(2)旅客候车时间不超过50分钟的概率
P= + + ⅹ =13∕16.
答:旅客候车时间不超过50分钟的概率为13∕16.…………12分
19．（12分）(1)作ME AC,连接NE,可证得AB 平面MNE,即得MN AB …………4分
即 ，在 上恒成立．所以 ．
因此满足条件的 的取值范围是 ………………14分
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—广西卷
2014年普通高等学校统一考试广西（大纲）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45- 3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x > 4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．16 B C ．13 D5.函数1)(1)y x =>-的反函数是（ ） A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)x y e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()x y e x R =-∈6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -∙=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D．12.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答） 14.函数cos22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式. 18. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知13cos 2cos ,tan 3a C c A A ==，求B. 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用某种设备相互独立。
2014年全国高考数学卷文科卷1试题及答案解析课件.doc
2014 年全国高考数学卷文科卷 17 ．在函数①y cos | 2x |，②y | cos x| ，③y cos( 2x ) , ④6一、选择题（题型注释）1．已知集合M x| 1 x 3 ,N x| 2 x 1 ，则M N （）y tan(2 x)中，最小正周期为的所有函数为4A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③A. ( 2 ,1)B. ( 1,1 )C. (1,3)D. ( 2,3 ) 2．若tan 0，则8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A. sin 0B. cos 0C. sin 2 0D. cos2 013．设z i1 i，则| z|A. 12B.22C.32D. 22 2x y4．已知双曲线1( 0)a2a 3 的离心率为2，则aA. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱9．执行右面的程序框图，若输入的a, b,k 分别为1,2,3 ，则输出的M ( )A. 2B.6 C.25 D. 125．设函数 f (x), g(x)的定义域为R ，且 f (x) 是奇函数，g (x) 是偶函数，则下列结论中正确的是A. f ( x)g( x) 是偶函数B. | f ( x) | g( x) 是奇函数C. f ( x) | g( x) | 是奇函数D. | f (x)g(x) |是奇函数6．设D, E,F 分别为ABC 的三边BC, CA, AB 的中点，则EB FC1 A. AD B. AD21C. BC2D. BC试卷第 1 页，总 4 页A. 203B.72C.165D.15816．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从A 点测得M 点的仰角MAN 60 ，C 点的仰角CAB 45 以及52 的焦点为 F ,A x y10．已知抛物线C：y x 0, 是C上一点，AF x0 4 ，MAC 75 ；从C 点测得MCA 60 . 已知山高BC 100m ，则山高MN ________ m.则x0 （）A. 1B. 2C. 4D. 811．已知函数 3 2f (x) ax 3x 1，若f (x) 存在唯一的零点x0 ，且x0 0，则a的取值范围是（A）2, （B）1, （C）, 2 （D）, 1二、填空题（题型注释）三、解答题（题型注释）12．设x，y 满足约束条件x y a,且z x ay 的最小值为7，则ax y 1,17．已知 a 是递增的等差数列，a2 ，a4 是方程n2 5 6 0x x 的根。
2014年全国高考数学真题 文科 及答案详解
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(-正确答案：A（2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 正确答案：A（3）设i iz ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2正确答案：B（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1正确答案：D（5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数正确答案：A（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. B.21 C. 21D. 正确答案：C（7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 正确答案：C8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱正确答案：B9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158正确答案：D10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，zxxk xF A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8正确答案：C（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 正确答案：B（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-（B ）正确答案：A第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 正确答案：2/3（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________. 正确答案：A（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.正确答案：(（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .本文来自正确答案：150三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
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2014年全国高考数学真题试卷（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合M={1，2，4，6，8}，N={2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．已知角α的终边经过点（-4，3），则cosα=（）A．4 5B．3 5C．-3 5D．-4 53．不等式组(2)0,||1x xx+>⎧⎨<⎩的解集为（）A．{x|-2<x<-1}B．{x|-1<x<0}C．{x|0<x<1}D．{x|x>1}4．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．1 6B．C．1 3D．5．函数y=ln 1）（x>-1）的反函数是（ ） A ．y=（1-e x ）3（x>-1） B ．y=（e x -1）3（x>-1） C ．y=（1-e x ）3（x ∈R ） D ．y=（e x -1）3（x ∈R ）6．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则（2a -b ）·b =（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．27．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种8．设等数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．649．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1，F 2F 2的直线l 交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y +=C．221 128x y+=D．221 124x y+=10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（）A．81π4B．16πC．9πD．27π411．双曲线C：2222-1(0)x ya ba b=>>的离心率为2则C的焦距等于（）A．2B．C．4D．12．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，则f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．-2B．-1C．0D．1二、填空题13．（x-2）6的展开式中的系数为_____。
（用数字作答）14．函数y=cos2x+2sinx的最大值为______。
15．设x，y满足约束条件0,23,21,x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则z=x+4y的最大值为______。
16．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的交角的正切值等于_______。
三、解答题17．数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2。
（1）设b=a n+1-a n，证明{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式。
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA，tanA=13，求B。
19．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2。
（1）证明：AC1⊥A1B；（2）设直线AA1与平面BCC1B1A1-AB-C的大小。
20．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值。
21．函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）。
（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围。
22．已知抛物线C:y 2=2px （p>0）的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且| QF|=5||4PQ 。
（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程。
参考答案 一、选择题1．B 【解析】由M={1，2，4，6，8}，N={2，3，5，6，7}，得M ∩N={1，2，6}，即M ∩N 中的元素个数为3。
2．D 【解析】角α的终边经过点P （-4，3），∴x=-4，y=3，∴r=5，∴cosα=45x r =-。
3．C 【解析】由不等式组(2)0,||1x x x +>⎧⎨<⎩可得20,11,x x x <->⎧⎨-<<⎩或解得0＜x ＜1。
4．B 【解析】如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF 。
∵E 为AB 的中点，∴EF ∥DB ，∴∠CEF 为异面直线BD 与CE 所成的角。
∵ABCD 为正四面体，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴CE=CF 。
设正四面体的棱长为2a ，则EF=a ，CE=CF=。
在△CEF 中，由余弦定理得cos ∠CEF ＝2222CE EF CF CE EF +-⋅2。
5．D 【解析】∵y=ln1+）1=e yy -1，∴x=（e y -1）3，∴所求反函数为y=（e x -1）3。
6．B 【解析】由题意可得，a •b =1×1×cos60°=12，b 2=1，∴（2a -b ）•b =2a •b -b 2=0。
7．C 【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有26C =15（种）选法，再从5名女医生中选出1人，有15C =5（种）选法，则不同的选法共有15×5=75（种）。
8．C 【解析】由等比数列的性质可得S 2，S 4-S 2，S 6-S 4成等比数列，即3，12，S 6-15成等比数列，可得122=3（S 6-15），解得S 6=63。
9．A 【解析】∵△AF 1B 的周长为为3，∴c=1，∴=C 的方程为22132x y +=。
10．A 【解析】设球的半径为R 。
∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R 2=（4-R ）2+2，∴R=94，∴球的表面积为4π•（94）2=81π4。
11．C 【解析】∵2222-1(0)x y a b a b=>>的离心率为2，∴e=c a ＝2，双曲线的渐近线方程为y=±b a x ，不妨取y=bax ，即bx-ay=0，则c=2a ，=。
∵焦点F （c ，0）到渐近线bx-ay=0的距离为，∴d==，即===c=2，则焦距为2c=4。
12．D 【解析】∵f （x+2）为偶函数，f （x ）是奇函数，∴f （-x+2）=f （x+2）=-f （x-2），即f （x+4）=-f （x ），f （x+8）=f （x ），则f （8）=f （0）=0，f （9）=f （1）=1，∴f （8）+f （9）=0+1=1。
二、填空题 13．-160【解析】根据题意，（x-2）6的展开式的通项为T r+1=6C r x 6-r （-2）r =（-1）r •2r •6C r x 6-r。
令6-r=3可得r=3，此时T4=（-1）3•23•36C x 3=-160x 3，即x 3的系数是-160。
14．32【解析】∵函数y=cos2x+2sinx=-2sin 2x+2sinx+1=-2（sinx-12）2+32，∴当sinx=12时，函数y 取得最大值为32。
15．5【解析】由约束条件0,23,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩作出可行域如图。
联立=0,2=3,x y x y -⎧⎨+⎩解得C （1，1）。
化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得y=-14x+4z 。
由图可知，当直线y=-14x+4z过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大，此时z max =1+4×1=5。
16．43【解析】设l 1与l 2的夹角为2θ。
由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部，且点A 与圆心O 之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ=r OA，tanθ=sin θcos θ=12，∴tan2θ=22tan θ1tan θ-=111-4=43。
三、解答题17．【解析】由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2-a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2。
又因为b 1=a 2-a 1=1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列。
（2）由（1）得b n =1+2（n-1）=2n-1。
由b=a n+1-a n 得a n+1-a n =2n-1,则a 2-a 1=1，a 3-a 2=3，a 4-a 3=5，…，a n -a n-1=2（n-1）-1，故a n -a 1=1+3+5+…+2（n-1）-1=2(1)(123)(1)2n n n -+-=-。
因为a 1=1,所以{a n }的通项公式a n =（n-1）2+1=n 2-2n+2。
18．【解析】因为3acosC=2ccosA 所以3sinAcosC=2sinCcosA ， 所以3tanAcosC=2sinC 。
因为tanA=13，所以tanC=12,所以tanB=tan[180°-（A+C ）]=-tan （A+C ）=tan tan -1tan tan A CA C+-=-1，所以B=135°。
19．【解析】（1）∵A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ， 所以平面AA 1C 1C ⊥平面ABC 。
又因为BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面AA 1C 1C 。
连接A 1C 。
因为侧面AA 1C 1C 是菱形， 所以AC 1⊥A 1C ， 所以AC 1⊥A 1B 。
（2）因为BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1。
作A 1E ⊥C 1C ，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1。
因为直线AA 1∥平面BCC 1B 1，所以A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1间的距离，A 1 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D=A 1作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F 。
由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1-AB-C 的平面角。