数值分析知识点总结
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是计算数值解的方法和理论，它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。
数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现，以及误差分析和计算复杂性分析等方面。
下面是数值分析的一些重要知识点的总结。
1.数值算法：数值算法是解决数学问题的计算方法，它由一系列具体的计算步骤组成。
常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。
2.数值稳定性：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。
一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应，就称为不稳定算法；反之，如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应，就称为稳定算法。
3.四舍五入误差：在浮点数计算中，由于计算机表示的限制，涉及舍入运算的计算可能会引入误差。
四舍五入误差是指在进行舍入运算时，取最近的浮点数近似值所引入的误差。
4.条件数：条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。
它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。
条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性，通常越大表示问题越不稳定。
5.插值：插值是基于已知数据点，构造插值函数来近似未知数据点的方法。
常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。
6. 数值积分：数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。
7.数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。
常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。
8. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的近似解。
常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。
9.误差分析：误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。
可以通过理论分析或实验方法来估计误差，并找到减小误差的方法。
10.计算复杂性分析：计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算资源的需求进行评估的方法。
数值分析各章重点公式整理
数值分析各章重点公式整理数值分析是计算数学的一个分支，主要涉及计算和分析数值近似解的方法。
本文将从数值分析的基本概念、插值与逼近、数值微分和数值积分、非线性方程数值解、线性方程组直接解法、线性方程组迭代解法和特征值问题等几个方面，对数值分析中的重点内容进行整理。
一、数值分析的基本概念数值分析是用数值方法解决实际问题的方法和技术。
其主要研究目标是通过一定的计算机运算来获取数学问题的近似解。
数值分析涉及到误差分析、收敛性分析、稳定性分析等概念，对于数值方法的正确性和可行性提供了理论依据。
二、插值与逼近插值是通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数通过已知数据点。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
逼近是选择一种较为简单的函数来近似表示给定的复杂函数。
常用的逼近方法有最小二乘法和切比雪夫逼近。
三、数值微分和数值积分数值微分主要研究如何通过函数值的有限差分来估计导数值。
常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
数值积分主要研究如何通过数值方法求出函数在一定区间上的定积分值。
常用的数值积分方法有梯形法则和 Simpson 法则。
四、非线性方程数值解非线性方程通常难以用解析方法求解，而数值方法则可以通过迭代来逼近方程的根。
常用的数值解法有二分法、牛顿法和割线法。
同时，对于多维非线性方程，也可以使用牛顿法的变形，牛顿下山法。
五、线性方程组直接解法线性方程组是数值分析中的一个重要问题。
直接解法主要有高斯消元法、LU 分解法和 Cholesky 分解法。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为上三角方程组来求解。
LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解。
Cholesky 分解法则适用于对称正定矩阵的解法。
六、线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法通过选取适当的初始解，通过迭代来逼近精确解。
常用的迭代解法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法。
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
(完整版),数值分析笔记期末复习汇总,推荐文档
x
*n )
e(x *1)
f
(x *1,
x *2 ,, xn
x *n
)
e(x *n )
n i 1
f
(x *1, x *2 ,, x *n ) xi
e(x *i )
9、加减乘除运算的误差估计
加法
绝
对 误
e(x1 x2 ) e(x1) e(x2 )
差
绝
对
误 (x1 x2 ) (x1) (x2 )
x1
b
sign(b) 2a
b2 4ac 109
x1
x2
c a
x2
c a x1
109 109
1
求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，
结果的相对误差限较小
y 54321100 0.4100 0.3100 0.4100 54322
(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）
则称 r (x*) 为近似值 x*的相
对误差限。 （2）性质：
当|| er (x*) | 较小时，可用下
是有量纲的。 (2)绝对误差限是正的，有无穷
常取
er
( x*)
e( x*) x*
式计算
绝对误差是误差的绝对值？ 多个【则比 * 大的任意正数均
（错）
是绝对误差
限】
r
( x*)
(x*) | x |
取
x2* =3.14
作为 π 的近似值，则 | e2
| 0.00159
1 102 ：三个有效数字 2
取
x3* =3.1416 作为 π 的近似值，则 | e3
| 0.00000734
数值分析主要知识点
第三章
非线性方程的数值解法
二分法的思想以及其中对分次数的计算；
不动点迭代法、迭代格式的收敛性判定方法、
误差估计式；
Newton迭代法及其收敛性; 割线法迭代格式；
迭代加速方法。
第四章
线性方程组的直接解法
Gauss消去法与列主元素Gauss消去法； 三角分解（LU）法； 平方根方法（Cholesky分解）； 向量与矩阵范数； 条件数与病态方程组求解。
第五章
曲线拟合与最小二乘问题
拟合与插值的异同点、矛盾方程组的最小二乘解； 满秩分解、法方程组、可化为线性拟合的非线性拟合；
（极小）最小二乘解的存在唯一性、广义逆与极小
最小二乘解;
GS与MGS正交化与最小二乘解；
Householder正交化与最小二乘解。
第六章代法与Gauss-Seidel迭代法及其收敛性；
SOR迭代法及其收敛的必要条件、最佳松弛因子； 解非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton思想。
第七章
最优化方法与共轭梯度法
与方程组等价的变分问题、线性寻查（线搜索）法；
最速下降法； 解线性方程组的共轭梯度法。
写、不得打印、不得复印，纸上签有姓名和学号；
可以携带计算器（考试期间不允许互借）。
《数值分析》复习主要知识点 第一章
绪论 基本概念：误差的分类（截断误差、舍入误差）、 绝对误差和相对误差、有效数字;
数值稳定性; 误差分析的原则：1）尽量避免相近的数相减，2）
尽量避免绝对值小的数做除数，3）防止大数吃小数， 4）先化简再计算，5）选用数值稳定的算法;
浮点数系统特征（四个整数表征）。
第八章
数值微分与数值积分
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析例题和知识点总结
数值分析例题和知识点总结数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何用数值方法求解数学问题。
数值分析在科学计算、工程技术、经济金融等领域都有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面我们将通过一些例题来总结相关的知识点。
一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。
误差可以分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差是指精确值与近似值之差，即＄｜x x^｜＄，其中＄x$ 是精确值，＄x^＄是近似值。
相对误差是绝对误差与精确值之比，即＄＼frac{｜x x^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字是指从左边第一个非零数字到最后一位数字的所有数字。
例如，对于数＄x ＝ 314159$，如果近似值为＄x^ ＝ 314$，则绝对误差为＄｜314159 314| ＝ 000159$，相对误差为＄＼frac{000159}｛314159} ＼approx 0000503$，有效数字为 3 位。
二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的点来构造函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
（一）拉格朗日插值假设有＄n ＋ 1$ 个点＄（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，则拉格朗日插值多项式为：＼L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i ＼ell_i(x)＼其中，＼（＼ell_i(x) ＝＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n ＼frac{x x_j}｛x_i x_j}＼）。
例如，已知点＄（0, 1)，（1, 3)，（2, 5)＄，求插值多项式。
首先计算拉格朗日基函数：＼（＼ell_0(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（0 1)（0 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＼）＼（＼ell_1(x) ＝＼frac{（x 0)（x 2)｝｛（1 0)（1 2)｝＝ x(x 2)＼）＼（＼ell_2(x) ＝＼frac{（x 0)（x 1)｝｛（2 0)（2 1)｝＝＼frac{1}｛2}x(x 1)＼）则插值多项式为：＼L_2(x) ＝ 1 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2) ＋ 3 ＼times （x)（x 2) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}x(x 1)＼（二）牛顿插值牛顿插值多项式为：＼N_n(x) ＝ fx_0 ＋＼sum_{k ＝ 1}＾n fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＼prod_{i ＝ 0}＾｛k 1}（x x_i)＼其中，差商＼（fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, ＼cdots, x_k fx_0, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＼）。
数值分析期末知识点总结
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
数值分析总结
第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。
设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。
如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。
如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。
②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。
当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
数值分析考试知识点总结
数值分析考试知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它的研究对象是计算机数值计算和数值模拟方法的理论和技术。
一、误差分析数值计算是以实际问题为基础的分析过程，其目的是研究数值计算误差和误差的影响，以确保数值计算的准确性和可靠性。
数值计算误差主要包括截断误差和舍入误差两个部分。
1. 截断误差截断误差是由于在数值计算过程中，使用了近似代替精确值而引起的误差。
例如，在对连续函数的微分或积分进行数值计算时，所采用的近似公式都会引起截断误差。
截断误差可以通过增加计算步骤或者采用更加精确的计算方法来减小。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机对于无限小数进行截断或者舍入时引起的误差。
由于计算机是以有限的二进制数进行存储和运算，因此对于很小的数字或者非常大的数字，都会存在舍入误差。
舍入误差的大小与计算精度有关，可以通过提高计算精度来减小舍入误差。
二、插值和逼近插值和逼近是数值分析中常见的计算技术，用于利用已知的数据点来估计未知函数的值。
1. 插值插值是通过已知的数据点来估计未知函数在这些数据点之间的取值。
插值方法的目标是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与已知数据点的取值一致。
常见的插值方法包括拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
2. 逼近逼近是通过已知的数据点来估计未知函数的近似值，与插值不同的是，逼近方法不要求逼近函数必须在已知数据点上取特定的值。
常用的逼近方法包括最小二乘法逼近和样条逼近。
三、数值积分数值积分是通过数值计算来近似求解定积分的值，它是数值分析中的一个重要内容。
1. 复化数值积分复化数值积分是通过将积分区间划分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值积分来近似求解定积分的值。
复化数值积分方法包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及复化辛普森三分法等。
2. 数值积分的误差分析在数值积分中，由于使用了近似方法，所以会引入数值积分误差。
要保证数值积分的准确性，需要对数值积分误差进行分析和评价。
数值分析期末复习要点总结省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
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Lagrange插值
Lagrange插值基函数
设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足
1, j k lk ( x j ) 0, j k
则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上旳拉格朗日插值基函数
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线性与抛物线插值
两种特殊情形
x0 ƒ(x0)
x1 ƒ(x1) ƒ[x0, x1]
x2 ƒ(x2) ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2]
x3 ƒ(x3) ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3]
…
xn ƒ(xn) ƒ[xn-1, ƒ[xn-2, xn-1, ƒ[xn-3, xn-2, xn-1, … ƒ[x0, x1,2…7 ,
ln 0.54 旳精确值为：-0.616186···
可见，抛物线插值旳精度比线性插值要高
Lagrange插值多项式简朴以便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
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Lagrange插值
lk(x) 旳体现式 由构造法可得
lk (
x)
( x x0 ) ( xk x0 )
Rn(x)
n1
Nn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )( x x1 ) an ( x xi )
i 1
其中 a0 f ( x0 ), ai f [x0 ,, xi ], i 1,2,, n
Nn(x) 是 n 次多项式
Rn( x) f [x, x0 , ... , xn]( x x0 )...( x xn1)( x xn )
若
e(x*) x x*
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它旨在研究如何使用计算机算法来解决数学问题。
数值分析广泛应用于科学与工程领域，如物理学、化学、计算机科学、经济学等，有助于我们在计算机上进行精确、高效、可靠的数值计算。
以下是数值分析的一些重要知识点。
1.数值误差：数值计算中存在着各种误差，包括舍入误差、截断误差、传播误差等。
舍入误差是由于计算机对无限小数进行近似表示而产生的误差，截断误差是由于计算方法不完全而导致的误差，传播误差是由于误差在计算过程中的传播而产生的误差。
2.插值与外推：插值是一类问题，它的目标是通过已知数据点的近似值来估计未知点的值。
插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
外推是在已知数据点外估计函数值的方法，例如外推法、Richardson外推法等。
3.数值积分与微分：数值积分是计算函数在给定区间上的定积分的近似值的方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。
数值微分是通过计算函数在给定点的导数的近似值来估计函数的变化率。
4.线性方程组的求解：线性方程组是数值计算中的重要问题之一，其解决方法包括直接法和迭代法。
直接法是通过代数运算求解线性方程组的精确解，如高斯消元法、LU分解法等。
迭代法是通过迭代计算逼近线性方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
5.非线性方程的求解：非线性方程求解是指求解形式为f(x)=0的方程的根。
常用的非线性方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。
6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是指通过计算机算法来近似求解微分方程的解。
常用的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
7.特征值与特征向量的计算：特征值和特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念。
求解特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵或线性变换的性质。
常用的特征值计算方法有幂法、反幂法等。
8.曲线拟合与回归分析：曲线拟合是通过给定的散点数据来拟合出一个函数曲线的方法。
数值分析应用例题和知识点总结
数值分析应用例题和知识点总结数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何用数值方法求解数学问题，包括数值逼近、数值微分和积分、线性方程组的求解、非线性方程的求解、插值与拟合等。
以下将通过一些具体的例题来展示数值分析的应用，并对相关知识点进行总结。
一、数值逼近数值逼近是用简单的函数（如多项式、分段多项式等）来近似地表示复杂的函数。
例题：给定函数＄f(x) ＝＼sin(x)＄，在区间＄0, ＼pi$ 上，用一次多项式（直线）来逼近它。
解：设逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ ax ＋ b$。
在区间两端点，即＄x ＝ 0$ 时，＄p(0) ＝ b$，且＄f(0) ＝ 0$；＄x ＝＼pi$ 时，＄p(＼pi) ＝ a\pi ＋ b$，＄f(＼pi) ＝ 0$。
由此可得到方程组：＼＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼a\pi ＋ b ＝ 0＼end{cases}＼解得＄a ＝ 0$，＄b ＝ 0$，所以逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ 0$，显然这个结果不太理想。
知识点总结：1、数值逼近的方法有很多，如泰勒展开、拉格朗日插值、牛顿插值等。
2、误差是衡量逼近效果的重要指标，包括截断误差和舍入误差。
二、数值微分数值微分是通过已知的函数值来近似计算函数的导数。
例题：已知函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 附近的三个点＄x_0 ＝09$，＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝ 11$ 处的函数值分别为＄081$，＄1$，＄121$，用中心差分公式求＄f'（1)＄的近似值。
解：中心差分公式为＄f'（x) ＼approx ＼frac{f(x ＋ h) f(x h)｝｛2h}＄，取＄h ＝ 01$，则：＼f'（1) ＼approx ＼frac{f(11) f(09)｝｛02} ＝＼frac{121 081}｛02}＝ 2＼而＄f'（x) ＝ 2x$，＄f'（1) ＝ 2$，可见近似效果较好。
数值分析-全部-知识点
C （阶码）是整数，L ≤c ≤U ，L 和U 为固定整数；1230.t a a a a ⋅⋅⋅称为尾数；数x 称为t 位β进制浮点数。
计算机对数的运算处理 1.加减法先对阶，后运算，再舍入；2.乘除法先运算，再舍入。
定义1.1 设x是准确值，x*是x 的一个近似值，称差 x*－x 为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e*或e (x*) ，x 定义 1.2 称满足ε *为近似值x*的误差限。
****x x x εε-≤≤+该范围常用**x x ε=±表是x 的近似值，称，记为e*r 或r ε*为x*的相对误差限。
()()****()e x y e x e y ±=±()()******()e x y y e x x e y⋅≈+()()()*****2**()y e x x e y x e y y -≈*120.10mk x a a a =±⋅⋅⋅⨯{}10,0,1,2,,9l a a ≠∈⋅⋅⋅，x*有n5位有效数字，试求其相对误差限。
解 因为x*有5位有效数字，可以设*12510.10,1m x a a a a =±⋅⋅⋅⨯≥于是有n=5和*50.510m x x --≤⨯考虑x*的相对误差*5544*125110.5105101110100.1022m mx x a a a a a x-----⨯⨯≤≤≤⨯<⨯⨯故有x*相-4相对误差x*有n 位x*的相对误差小于0.1%，请确定x*至少要取几位有效数字才能达到要求。
解先将写成浮点数。
因为23<<123232.0.210a a a a ==⨯得到a 1=2。
假设x*至少要取n 位有效数字才能保证相对误差小于0.1%，由定理1.3的1.5式1111110100.1%222n na --⨯=⨯<⨯的最小整数n 即可。
由11100.1%22n-⨯<⨯得4104n -<，有4n ≥，故x*至少要取4位有效数字才能达到相对误差小于0.1%的要求。
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
(完整)数值分析知识点,推荐文档
第一章绪论（1-4）一、误差来源及分类二、误差的基本概念1.绝对误差及绝对误差限2.相对误差及相对误差限3.有效数字三、数值计算的误差估计1.函数值的误差估计2.四则运算的误差估计四、数值计算的误差分析原则第二章插值（1.2.4-8）一、插值问题的提法（定义）、插值条件、插值多项式的存在唯一性二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值基函数的定义、性质2.用拉格朗日基函数求拉格朗日多项式3.拉格朗日插值余项（误差估计）三、牛顿插值1.插商的定义、性质2.插商表的计算3.学会用插商求牛顿插值多项式四、等距节点的牛顿插值1.差分定义、性质及计算（向前、向后和中心）2.学会用差分求等距节点下的牛顿插值公式五、学会求低次的hermite插值多项式六、分段插值1.分段线性插值2.分段三次hermite插值3.样条插值第三章函数逼近与计算（1-6）一、函数逼近与计算的提法（定义）、常用两种度量标准（一范数、二范数\平方逼近）二、基本概念连续函数空间、最佳一次逼近、最佳平方逼近、内积、内积空间、偏差与最小偏差、偏差点、交错点值、平方误差三、学会用chebyshev定理求一次最佳一致逼近多项式，并估计误差（最大偏差）四、学会在给定子空间上通过解方程组求最佳平方逼近，并估计误差（平方误差）五、正交多项式（两种）定义、性质，并学会用chebyshev多项式性质求特殊函数的（降阶）最佳一次逼近多项式六、函数按正交多项式展开求最佳平方逼近多项式，并估计误差七、一般最小二乘法（多项式拟合）求线性拟合问题第四章数值分析（1-4）一、数值求积的基本思想及其机械求积公式二、代数精度的定义并学会判别求积公式的代数精度三、插值型求积公式、定义及其性质四、newton-cotes公式定义、余项及其代数精度五、学会用几种低阶newton-cotes公式及其逼近公式方程求积分近似值六、学会用龙贝格算法求积分近似值七、高斯公式定义及其代数精度，并学会用guass-chebyshev公式求积分近似值第五章常微分方程数值解法一、掌握显式的欧拉法，隐式欧拉法，梯形方法，中点欧拉法和改进欧拉法，包括这些方法，公式的推导，解题和局部截断误差（是几阶的方程）二、掌握runge-kutta方法的基本思想，以及二阶、三阶、四阶、五阶R-K方法的格式和局部截断误差第六章方程求跟（1-5）一、学会用二分法求解问题二、一般迭代法的基本思想三、局部收敛性定义、定理并学会用该定理判别迭代法的局部收敛性四、牛顿迭代法公式的推导，局部收敛性与收敛速度，牛顿法的应用与解题五、牛顿法的变形第七章解线性方程组的直接截法（1-6）一、学会用顺序高斯消去法，列主元素或完全主元素法，求解线性方程二、学会用矩阵三角分解法，平方根法（改进平方根法），追赶法求解问题三、掌握向量和矩阵的定义，性质，计算，应用四、矩阵的谱半径，条件数，定义，计算，应用五、线性方程组的误差分析第八章线性方程组的迭代法（1-4）一、一般方程组的一般迭代法思想，迭代格式，收敛性，一般误差分析二、学会用雅各比迭代法解题，学会判别其收敛性三、学会guass-seidel迭代法解题，学会判别其收敛性四、学会SOR迭代法解题，学会判别其收敛性。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结一、绪论数值分析是一门研究如何使用数值方法解决数学问题的学科。
它广泛应用于科学、工程、医学等领域。
在数值分析中，我们通常将实际问题转化为数学模型，然后使用计算机进行计算。
数值分析的主要内容包括：误差分析、插值与拟合、线性方程组求解、微分方程求解等。
二、误差分析误差分析是数值分析中的一个重要概念。
它包括绝对误差、相对误差和误差限等概念。
在计算过程中，误差会传递和累积，因此需要进行误差分析以评估计算结果的精度。
常用的误差分析方法有：泰勒级数展开、中点公式等。
三、插值与拟合插值与拟合是数值分析中的两个重要概念。
插值方法用于通过一组已知数据点生成一个函数，该函数能够近似地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法则是通过一组已知数据点生成一个最佳拟合线或曲面，使得这个线或曲面与已知数据点之间的误差尽可能小。
常用的插值与拟合方法有：线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法等。
四、线性方程组求解线性方程组是数值分析中经常遇到的一类方程组。
对于线性方程组，我们通常使用迭代法或直接法进行求解。
迭代法包括：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法等。
直接法包括：高斯消元法、逆矩阵法等。
在实际应用中，我们通常会选择适合问题的计算方法，并根据需要进行优化。
五、微分方程求解微分方程是描述变量之间的函数关系的一类方程。
在数值分析中，我们通常使用数值方法对方程进行离散化处理，然后使用计算机进行求解。
常用的微分方程求解方法有：欧拉方法、龙格-库塔方法等。
对于复杂的微分方程，我们还可以使用谱方法、有限元方法等进行求解。
六、总结数值分析是一门应用广泛的学科，它涉及到许多数学知识和计算机技术。
在实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的数值方法进行解决。
在进行计算时，需要注意误差分析、算法的稳定性和收敛性等问题。
随着计算机技术的发展，数值分析的应用领域也在不断扩大，例如、大数据分析等领域。
因此，数值分析的学习和应用具有重要意义。
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数值分析知识点总结
说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论
1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相
对误差有何关系？
相对误差限：**
r r e ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*
x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*
x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其
中a 1≠0，并且*
11
102
m n x x -+-≤
⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*2
11102
ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：
f(x)的误差限：(
)
*
**
()'()()f x f x x εε≈ 例题：
二、第2章插值法
例题：
5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？
6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？
7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？
8. 三弯矩法：
为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：
对于第一种边界条件，可导出两个方程：
，那么写成
矩阵形式：
公式 1
对于第二种边界条件，直接得端点方程：
，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：
也可以写成如下矩阵形式：
公式 2
求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）
例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7
三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换
的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x
什么重要性质？
4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?
6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什
么不直接求解法方程？
例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
四、第4章数值积分与数值微分
10. 什么叫高斯-勒让德求积公式？什么叫做高斯-切比雪夫求积公式？
在高斯求积公式中，若取权函数()1x ρ≡，区间为[-1,1]，则得公式：
公式 3
勒让德多项式的零点就是公式 3的高斯点。
形如公式 3的高斯公式特别地称为高斯-勒让德求积公式。
11. 什么叫做中点方法？
中点公式：
12. 插值型的求导公式：（1）两点公式：
（2）三点公式：
相关例题在教材第4章作业题和课件中。
五、第5章解线性方程组的直接方法
1.LU矩阵的推导过程
由
六、第6章解线性方程组的迭代法
例题：
批注：判断迭代法是否收敛的条件如下：
2.
七、第7章非线性方程与方程组的数值解法
5.什么是求解()0f x =的牛顿法？它是否总是收敛的？若**
()0,f x x =是单根，f 光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
对于m重根的情形，若取
注：由于埃特金加速方法和斯特芬森加速方法是否考察尚且未知，所以暂不列出。
有需要复习的同学请到对应章节查看。
附：简化牛顿法与牛顿下山法
其中
1
'()
C
f x 。
这称作牛顿下山法。
计算时下山因子λ逐次取一半来进行运算。
非线性方程组的牛顿迭代法:
八、第8章矩阵特征值计算
（这里的瑞利商也叫瑞雷商）
幂法的解题步骤：
例题：
利用原点平移方法：
九、第9章常微分方程初值问题数值解法
附例题：。