数值分析知识点总结

数值分析知识点总结

说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。

一、第1章 数值分析与科学计算引论

1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相

对误差有何关系？

相对误差限：**

r r e ε=的一个上界。

有效数字：如果近似值*

x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*

x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其

中a 1≠0，并且*

11

102

m n x x -+-≤

⨯。其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*2

11102

ε-=⨯。

2. 一个比较好用的公式：

f(x)的误差限：(

)

*

**

()'()()f x f x x εε≈ 例题：

二、第2章插值法

例题：

5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？

6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？

7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？

8. 三弯矩法：

为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：

对于第一种边界条件，可导出两个方程：

，那么写成

矩阵形式：

公式 1

对于第二种边界条件，直接得端点方程：

，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。对于第三种边界条件，可得：

也可以写成如下矩阵形式：

公式 2

求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章）

例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7

三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换

的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x

什么重要性质？

4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？

5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?

6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什

么不直接求解法方程？

例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。

四、第4章数值积分与数值微分

10. 什么叫高斯-勒让德求积公式？什么叫做高斯-切比雪夫求积公式？

在高斯求积公式中，若取权函数()1x ρ≡，区间为[-1,1]，则得公式：

公式 3

勒让德多项式的零点就是公式 3的高斯点。形如公式 3的高斯公式特别地称为高斯-勒让德求积公式。

11. 什么叫做中点方法？

中点公式：

12. 插值型的求导公式：（1）两点公式：

（2）三点公式：

相关例题在教材第4章作业题和课件中。

五、第5章解线性方程组的直接方法

1.LU矩阵的推导过程

由

六、第6章解线性方程组的迭代法

例题：

批注：判断迭代法是否收敛的条件如下：

2.

七、第7章非线性方程与方程组的数值解法

5.什么是求解()0f x =的牛顿法？它是否总是收敛的？若**

()0,f x x =是单根，f 光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。

对于m重根的情形，若取

注：由于埃特金加速方法和斯特芬森加速方法是否考察尚且未知，所以暂不列出。有需要复习的同学请到对应章节查看。

附：简化牛顿法与牛顿下山法

其中

1

'()

C

f x 。

这称作牛顿下山法。计算时下山因子λ逐次取一半来进行运算。非线性方程组的牛顿迭代法:

八、第8章矩阵特征值计算

（这里的瑞利商也叫瑞雷商）

幂法的解题步骤：

例题：

利用原点平移方法：

九、第9章常微分方程初值问题数值解法

附例题：