集合中的新定义题完美版

培优专题1新定义集合与抽象集合归类

所谓“新定义集合”，就是在现有的运算法则和运算规律的基础上，定义一种新的运算。“抽象集合”只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力。由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现，甚至将大学集合论中的有关概念移植到考题中，例如2008年福建：数域的判断，2006年四川：融洽集判断。下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性。

【题型1】新运算问题

【例1】定义集合A 与B 的运算：{|A B x x A =∈或,}x B x A B ∈∉⋂，已知集合

{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,7A B ==,则()A B B =( )

{}.1,2,3,4,5,6,7A {}.1,2,3,4B {}.1,2C {}.3,4,5,6,7D

【例2】设,M P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈∉，则()M M P --等于（ ）

.A P .B M P ⋂ .C M P ⋃ .D M

【题型2】元素或集合的个数问题

【例3】设{}{}3,4,5,4,5,6,7P Q ==，定义P ※{}(,)|,Q a b a P b Q =∈∈，则P ※Q 中元素的个数为

( )

.3A .4B .7C .12D

【例4】设,M P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{}|,M P x x M x P -=∈∉。已知{}{}1,3,5,7,2,3,5A B ==，则集合A B -的子集个数为( )

.1A .2B .3C .4D

【题型3】元素的和问题

【例5】定义集合,A B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==+∈∈，若{}{}1,2,3,1,2A B ==，则A B *中的所有元素之和为( )

.9A .14B .18C .21D

【例6】对集合{}1,2,3,,2001A =及每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。例如，集合{}1,2,4,7,10的“交替和”为1074216-+-+=，集合{}7,10的“交替和”为{}1073,5-=的“交替和”为5，等等，试求A 的所有子集的“交替和”的总和。

【题型4】集合的分拆问题

【例7】若集合12,A A 满足12A A A ⋃=，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合{}123,,A a a a =的不同分拆种数是 （ ）

.27A .26B .9C .8D

【题型5】集合长度问题

【例8】设数集31{|},{|}43

M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，且,M N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集M N ⋂的长度的最小值是 。

【题型6】理想配集问题

【例9】设{}1,2,3,4,I A =与B 是I 的子集，若{}1,3A B ⋂=，则称(,)A B 为一个“理想配集”。那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”）( ) .4A .8B .9C .16D

1.(2010福建)对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

其中为凸集的是

2.（2013福建）设,S T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:①{()|}T f x x S =∈；②对任意12,x x S ∈，当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”。以下集合对不是“保序同构”的是( )

.,A A N B N +== .{|13},{|8010}B A x x B x x x =-≤≤==-<≤或

.{|01},C A x x B R =<<= .,D A Z B Q ==

3.（2013广东）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立},若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中,则下列选项正确的是

( )

.(,,),(,,)A y z w S x y w S ∈∉ .(,,),(,,)B y z w S x y w S ∈∈

.(,,),(,,)C y z w S x y w S ∉∈ .(,,),(,,)D y z w S x y w S ∉∉

4.设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量a M ∈,都有a M λ∈，则称M 为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是

2.{(,)|}A x y y x ≥ 0.(,)|0x y B x y x y ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎩⎩⎭

22.{(,)|20}C x y x y y +-≥ 22.{(,)|32120}D x y x y +-<

5.非空集合G 关于运算⊕满足：⑴对任意,a b G ∈，都有a b G +∈；⑵存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合和运算：①G ={非负整数}，⊕为整数的加法；②G ={偶数}，⊕为整数的乘法； ③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法；

⑤G ={虚数}，⊕为复数的乘法。其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是

6.设全集{}1,2,3,,9I =，,A B 是I 的子集，若{}1,2,3A B ⋂=，就称集合对(,)A B 为好集，那么所有的好集个数为（ ）

.720A .36B .64C .729D