圆锥曲线的标准方程

圆锥曲线的标准方程

一、基础题

1．求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，

； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．

分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由122

22=+b

y a x 求出1482=a

，372=b ，

在得方程137

1482

2=+y x 后，不能依此写出另一方程1371482

2=+x y ．

解：（1）设椭圆的标准方程为122

22=+b

y a x 或12222=+b x a y ．

由已知b a 2=．①

又过点()62-，，因此有()16222

22=-+b a 或()12622

22

=+-b

a ．② 由①、②，得1482

=a

，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为

137

1482

2=+y x 或113

522

2=+x y ． （2）设方程为122

22=+b

y a x ．由已知，3=c ，3==c b

，所以182=a ．故所求方程为

19

182

2=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，

若不能确定，应设方程122

22=+b y a x 或12

222=+b x a y ．

2． 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫

⎝⎛4153，P ，⎪⎭

⎫

⎝⎛-

5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线

141622=-y x 有相同焦点，且经过点()

223，

解：（1）设双曲线方程为12

2=+n y m x ，∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

=+=+1

25

9256116225

9

n m

n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m ∴所求双曲线方程为19

16

2

2

=+

-y x

说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的

（2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：162

2

=--λ

λy x （其中60<<λ）

∵双曲线经过点（－5，2），∴

164

25

=--

λ

λ

，∴5=λ或30=λ（舍去）

，∴所求双曲线方程是15

22

=-y x

（3）设所求双曲线方程为：

()16014162

2<<=+--λλ

λy x ，∵双曲线过点()

223，，∴144

1618=++-λ

λ

∴4=λ或14-=λ（舍），∴所求双曲线方程为

18

122

2=-y x 说明：与双曲线

141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162

2=+--λ

λy x 后，便有了以上巧妙的设法．

3．求与双曲线19

16

2

2

=-y x 共渐近线且过()

332-，A 点的双曲线方程及离心率．

解法一：双曲线19

1622=-y x 的渐近线方程为：x y

4

3±

= （1）设所求双曲线方程为12222=-b y a x ， ∵43=a b ，∴a b 4

3

= ①

∵

()3

32-，A 在双曲线上∴

19

1222

=-b

a ② 由①－②，得方程组无解 （2）设双曲线方程为12222=-

b x a y ， ∵43=a b ，∴a b 3

4

= ③

∵()

332-，

A 在双曲线上，∴11292

2=-b a ④ 由③④得492

=a ，42=b ，

∴所求双曲线方程为：144

92

2=-x y 且离心率35=e

解法二：设与双曲线

191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()09

162

2≠=-λλy x ∵点

()

3

32-，A 在双曲线上，∴4

1

991612-=-=λ，∴所求双曲线方程为：4191622-=-

y x ，即144

92

2=-x y ． 说明：（1）不难证明与双曲线

191622=-y x 共渐近线的双曲线方程()09

162

2≠=-λλy x ． 一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程

()02

2

22≠=-λλb y a x ． 4．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x 2

＝8y (B) x 2

＝4y (C) x 2

＝2y (D) y x 2

12=

5．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为

二、解答题

6．求以曲线0104222

=--+x y x

和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为

12的双曲线的标准方程．

解：∵⎪⎩⎪⎨⎧-==--+2

2010422

22x y x y x ，∴⎩⎨⎧==23y x 或⎩⎨⎧-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±=

当焦点在x 轴上时，由

3

2

=a b 且6=a ，得4=b ． ∴所求双曲线方程为

116

362

2=-y x 当焦点在

y 轴上时，由3

2=b

a ，且6=a ，得9=

b ．

∴所求双曲线方程为

181

362

2=-x y 说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握． （2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．