理论力学课件第一篇静力学第一章 基本概念及物体受力分析

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第一章 基本概念及物体受力分析
第二节 静力学基本原理
公理是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结， 公理 又经过实践反复检验，被公认为是符合客观实际的最普遍、 最一般的规律。它们是静力学的理论基础。
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第一章 基本概念及物体受力分析
公理1 二力平衡条件 公理 作用在刚体 刚体上的两个力，使 刚体 刚体保持平衡的必要和充分条件 是这两个力的大小相等、方向相 反、且作用在同一直线上。如图 所示。 F1= -F2 不计重力 ，确定B，C两点受力方位。
F = Fx i + Fy j + Fz k 其中 Fx = F ⋅ i
力在轴上的投影等于该力与该轴单位矢的点积。
1.2 力的投影、力矩与力偶 力的投影、
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第一章 基本概念及物体受力分析
第四节 力
（一）力对点之矩
矩
l
d
A
F
（1）用扳手拧螺母；
（2）开门，关门。
o
由上图知，力 F 使物体绕 o 点转动的效应，不仅与力的大小， 而且与 o 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 Fd 来 度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正 负号称为力 F 对点 o 之矩，简称力矩，以符号Mo (F) 表示。
F 1
F
F
F 1
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第一章 基本概念及物体受力分析
推论 力的可传性 作用于刚体 刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体内 刚体 任意一点，并不改变该力对刚体的作用。 证明：刚体上的点A处作用有力F，如图（a）所示。根 证明 据公理2，可在力F的作用线上任取一点B，加上一对平衡 力F1和F2，使其 F=F2 = - F1 ，如图 (b)所示。再根据公 理2，去掉一对平衡力系F和 F1 ，这样只剩下力 F2 = F,如 图 (c )所示,即将力 F沿其作用线移到了点B。
C
F
B
A
C
不改变B处外力，却改变AC段内力与变形。
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第一章 基本概念及物体受力分析
公理3 公理 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。合力 的作用点仍在该点，其大小和方向由这两个力为边构成的平行 四边形的对角线来确定。如图(a)所示。即 FR=F1+F2 也可以由力的三角形来确定合力的大小和方向，如图 (b)(c )。
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第一章 基本概念及物体受力分析
（一）力偶和力偶矩 1. 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力 叫做力偶。并记作（ F ， ' ）。可用图表示： 力偶。 力偶 F
例子：
F d F'
力偶臂 力偶作用面
（1）方向盘； （2）丝锥； （3）水龙头。
力偶矩 其转动效应——力对点之矩，即用力偶中 的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来 度量。 M ( F , F ' ) = ± Fd 或 M = ± Fd
F
α
= Fr(sinα cosθ − sinθ cosα) = F sinα ⋅ r cos − F cos ⋅ r sinθ ) θ α
而
F cos α = Fx , F sin α = Fy r cosθ = x, r sin θ = y
o
rθ
d
x
A
y
α −θ
Fy
x
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第一章 基本概念及物体受力分析
FB
α
Fy
图 a 平行光线照射 下物体的影子
a
Fx
图b 力在坐标轴上的投影
a
b
x
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第一章 基本概念及物体受力分析
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 α 、 ，则力在x、y轴上的投影为 β
F x = F cos α
F y = F cos β = F sin α
即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹 角的余弦。这样当 α 、 为锐角时, Fx、Fy 均为正值； β 当 α 、 为钝角时， Fx、Fy可能为负值。 β 故力在坐标轴上的投影是个代数量。 故力在坐标轴上的投影是个代数量。
D
F
A
B
C
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第一章 基本概念及物体受力分析
该公理指出了作用在刚体上最简单力系的平衡条件。但应 该注意对刚体而言，这条件既必要又充分，但对变形体而 言，这条件并不充分。以绳为例，如图所示。
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第一章 基本概念及物体受力分析
公理2 公理 加减平衡力系原理 在作用于刚体 刚体的力系中，加上或减去任意的平衡力系， 刚体 并不改变力系对刚体的作用。同样，该公理只适用于刚体而 不适用于变形体。
图(a)
图(b)
图Fra Baidu bibliotekc)
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第一章 基本概念及物体受力分析
推论
三力平衡汇交定理
作用于刚体 刚体上三个相互平衡的力，若其中任意两个力 刚体 的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点， 且三个力的作用线在同一平面内。 证明：如图 (a)所示,在刚体的A、B、C三点上，分别作用三 个力 F1、F2、F3 , 平衡但不平行。由力的可传性，先将 F1、 F2 移到O点，根据公理3得合力F12。由于三力是平衡的， 则有 F3与 F12平衡。根据二力平衡条件，力F3必定与力F1 和F2共面，且通过力F1与F2的交点O。证毕。
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第一章 基本概念及物体受力分析
1.力在平面上投影是矢量
Fxy = [F]xoy Fxy =| Fxy |= F⋅ cosϕ
z
α
O
F
ϕ
y
2.力在轴上投影是标量 (1)直接投影 (2)两次投影 (3)力的坐标表示
Fx
Fx = F⋅ cosα x Fx = Fcosϕ ⋅ cosθ
θ
F xy
比较（ b ）、（ c ）两式有
M o ( FR ) = ∑ M o ( F )
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1.2.2 力矩
第一章 基本概念及物体受力分析
力对轴之矩是标量
Mz (F) = Mz (F ) + Mz (F2 ) 1
0
M O (F )
z
M O ( F2 )
O
F
F1
F2
∴ Mz (F ) = Mz (F2 )
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第一章 基本概念及物体受力分析
力对点之矩是矢量(定位矢)
i MO ( F ) = r × F = x Fx
j y Fy
k z Fz
MO (F)
F
O
r
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第一章 基本概念及物体受力分析
（二）合力矩定理
表达式：
Mo (FR) = ∑Mo (F)
y
Fx
证明： 由图得
M0 (F ) = Fd = Fr sin( −θ ) α
由上图可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的 必要条件，而非充分条件。
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第一章 基本概念及物体受力分析
如图所示为简支梁AB的受力图。
A
α
C
2m
F
B
3m
D
A
α
F
B
FA
C
FB
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第一章 基本概念及物体受力分析
第三节 力的分解与力的投影
y y
A
o
B
b
x
b1 Fy a1 A
o
Fx
β
A
a
c
M C (F )
Fb
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1.2.3 力偶
第一章 基本概念及物体受力分析
第五节 力偶与力偶矩
1)实例:
F
F′
2)定义: 两个等值、反向的平行力，记为 (F, F′) 力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是一个基本力学量。
A
MA
1.2 力的投影、力矩与力偶 力的投影、
M
A 端受力如何?
图（a)
图（b)
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第一章 基本概念及物体受力分析
公理4 公理
作用和反作用力定律
作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、 方向相反，且沿同一直线分别作用在两个相互作用的物体 上。 与二力平衡区别，作用于两个物体上。
FT FT
P
P
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第一章 基本概念及物体受力分析
公理5 公理 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化 为刚体，其平衡状态保持不变。
几何静力学: 各类力系: 平衡力系: 平衡条件: 基本任务: 公理化体系
用矢量方法研究物体的平衡规律。 一群力：空间(一般、平行 、汇交)平面 作用在平衡物体上的全部外力 平衡力系满足的条件 力系的简化(理论基础)与力系的平衡
第一章 力系的简化
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第一章 基本概念及物体受力分析
第一节 力的概念
力，是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运 动状态发生变化（力的运动效应或外效应）和使物体产生 变形（力的变形效应或内效应）。因理论力学研究对象是 刚体，所以主要研究力的运动效应即外效应。
F
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第一章 基本概念及物体受力分析
•力对物体的作用效果决定于三个要素： •（1）力的大小； •（2）力的方向（方位和指向）； •（3）力的作用点。故力是一个矢量，用F表示。在国际 单位制中，力的单位是N（牛）或kN（千牛）。
M O ( F1 )
F2 －－ 力F在与轴垂直平面上的投影
力对轴之矩与力对该轴上一点之矩的关系
Mz (F) = [MO (F)]z
1.2 力的投影、力矩与力偶 力的投影、
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第一章 基本概念及物体受力分析
已知如图，求 MAC (F)
C
MAC (F)
= [ Mc (F)] AC
= Fab a2 + b2 + c2
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第一章 基本概念及物体受力分析
力矩的性质： 力矩的性质： （1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变； （2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个 力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通 过该点； （3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
图 (a)
图 (b)
图 (c)
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第一章 基本概念及物体受力分析
由此可见，对于刚体来说，作用其上力的三要素是：力的 力的 大小、方向和作用线。此时，力是一个滑动矢量。 大小、方向和作用线 图(a)和(b)受力等效吗? F F A
F1
C
(a)
A
F1
C
(b)
B
B
改了A、B、C处约束力
F
B A
则
M o ( F ) = xFy − yFx
(a )
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、F2、 则可将每个力对 o 点之矩相加，有 L Fn ），
∑M
o
( F ) = x ∑ Fy − y ∑ Fx
(b)
由式（ a ），该汇交力系的合力 F R = 它对矩心的矩
∑
F
，
M 0 ( FR ) = xFRy − yFRx = x ∑ Fy − y ∑ Fx ( c )
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第一章 基本概念及物体受力分析
2．同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相 等，则两力偶彼此等效。
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第一章 基本概念及物体受力分析
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零； （2）力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合 力，即它不能与一个力等效，因而也不能 被一个力平衡； （3）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动 效应，既它可以也只能改变物体的转动状 态。 4. 力偶的三要素 （1）力偶矩的大小； （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
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第一章 基本概念及物体受力分析
静力学是研究物体在力系作用下的平衡条件的科 静力学 学。 理论力学所研究的物体大都是刚体。所谓刚体 刚体是 刚体 指物体在力的作用下，其内部任意两点距离始终保持 不变。但这是一个理想化的力学模型。在静力学研究 的物体只限于刚体。
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第一章 基本概念及物体受力分析
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第一章 基本概念及物体受力分析
即
M o ( F ) = ± Fd
o 点称为力矩的中心，简称矩心 o 点到力 F 作用 矩心； 矩心 线的垂直距离 d ,称为力臂。 力臂。 力臂
力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之 力矩的正负号： 为负。 应注意：力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向 （力矩的正负），因此它是一个代数量。 力矩的单位：国际制 N⋅ m ， m 工程制 kg⋅ m 公斤力米 kN⋅
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第一章 基本概念及物体受力分析
应注意 （1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量； （2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在 原力的作用点。 若已知 F 在正交坐标轴上的投影为 Fx 和 Fy ， 则由几何关系可求出力 F 的大小和方向，即
F =
Fx + Fy
2
2
Fx Fy , cos α = cos β = 2 2 Fx + Fy Fx 2 + Fy 2 式中 cos α和 cos β 称为力 F 的方向余弦。
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第一章 基本概念及物体受力分析
两个重要推论： 两个重要推论： 推论1 推论1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改 变它对刚体的转动效应
如下图(a)、(b)所示。
M
M B A