2019年惠州一模文科数学

惠州市2019届高三模拟考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1．集合{}0,2,A a =，{}
21,B a =，若{}0,1,2,4,16A
B =，则实数a 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 2．若复数2ai
z i
-=
(其中i 为虚数单位，a R ∈)为纯虚数，则z 等于（ ） A ．2i - B ．2- C ．0 D ．2
3．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日（春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节）中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是（ ） A ．
310 B ．25 C ．35 D ．710
4
．已知向量，向量，若与a b -垂直，则μ=（ ） A ．1- B ．1 C ．1
9 D ．12
-
5．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a 是2a 与7a 的等比中项，
12a =，则9S =（ ）
A ．22-
B ．90-
C ．3-
D ．198-
6．已知圆2
2
5x y +=与抛物线()2
20y px p =>交于A 、B 两点，与抛物线的准线交于
C 、
D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则p 等于（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．4
7．已知是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 ( )
)3,2(=a )2,1(-=b b a +μβα,βα,
A ． 是平面内两条直线，且．
B ．是两条异面直线，，且．
C ．面内不共线的三点到的距离相等．
D ．面都垂直于平面． 8．设函数()sin cos 22
f x x x x =-的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A ． 函数
()f x 的最小正周期是2π．
B ．图象
C 关于直线
512
x π
=
对称． ()sin 2g x x =的图象向右平移3
π个单位得到．
πA 10．已知直三棱柱的64AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的半径为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．3 顶点，直线FA 与双曲线的一条渐近线在若(
)
31FA AB =
-，则此双曲线的离心率是．2
B ．n m ,αββ//,//n m n m ,βα⊂⊂n m ,αβ//,//n m αββα,γ111O 217
3102
1310
12．已知定义在R 上的函数
()f x 满足：
①
()()20f x f x -+=， ②()()20f x f x ---=，
③在[]1,1-上表达式为()[](]cos
,1,02
1,0,1x
x f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩
． 则函数()f x 与函数()12x
g x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图象在区间[]3,3-上的交点个数为（ ）
A.
5 B. 6
C.
7 D. 4
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小
学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为_____________．
14．若变量,x y 满足约束条件62020
x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩
，则2y
x +的取值范围是_____________．
15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整
数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和。

现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，52S =，……，
则33S =_____________．
小学生 3500名
初中生 4500名 高中生 2000名
图1
年级
高中 初中
小学
O
10 30 50 近视率/%
图2
图②
图①
16．已知直线y b =分别与直线2y x =-、曲线2x
y e e =⋅交于点A 、B ，则线段AB 长
度的最小值为_____________．（其中常数 2.71828
e =，是自然对数的底数）
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考
题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题:共60分。

17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2
cos 2
a c
b C -=． （1）求B ∠的值； （2）若4a =，72
cos 10
C =，求ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）
如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA 平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，
F 是PA 的中点，
G 为AC 上一动点．
（1）求证：BD FG ⊥；
（2）若G 是AE 的中点，4PA AB ==，
求点P 到平面FGD 的距离。

19．（本小题满分12分）
《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表
⊥P
A
D
B
C
G
E
F
分段累计计算。

为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：
个人所得税税率表（调整前）
个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元
免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过1500元的部分 3% 1 不超过3000元的部分 3% 2 超过1500元至4500元的部分 10% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过4500元至9000元的部分
20% 3 超过12000元至25000元的部分
20% …
…
…
…
…
…
（1）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9
月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？ （2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前
收入，并制成下面的频率分布直方图。

(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数； (ⅰ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？
20．（本小题满分12分）
已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，其中直线1l 交椭圆于P 、Q
两点，直线2l 交直线4x =于M 点，求证：直线OM 平分线段PQ ．
21．（本小题满分12分）
已知函数()()
224ln f x x ax x =-，a R ∈．
3 5 7 9 11 13 15 x （千元）
0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02
频率 组距
（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）令()()2g
x f x x =+，若[)1,x ∀∈+∞，函数()g x 有两个零点，
求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的
第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（其中为参数）。

以
坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线l 经过点．曲线的极坐标方程为.
（1）求直线l 的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）过点作直线的垂线交曲线于D 、E 两点(D 在轴上方)，
求
的值．
23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数
()|22|5f x x =+-.
（1）解不等式：；
（2）当1m ≥-时，函数的图象与x 轴围成一个三角形，
求实数m 的取值范围．
4x at
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t O x A 2,6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
A C 2
sin 4cos ρθθ=C )
P
l C x 11
PD PE
-()1f x x ≥-()()g x f x x m =+-。