线性代数答案赵树嫄主编

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线性代数(赵树嫄)第4章矩阵的特征值资料

线性代数(赵树嫄)第4章矩阵的特征值资料

3
3
所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 :
k1 1(k1 0, k1 R)
3
对于2= 3=3时,解方程(3I-A)X=0,由
1 3 2 1 0 1 3I A 1 1 2 0 1 1
1 3 2 0 0 0
1
得基础解系:2 1
1
所以属于特征值2= 3=3
例5 设是方阵A的特征值,证明: (1) 2是A2的特征值,一般地, m是Am的特征值。 (2)对任意数k,k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆,则一定不等于零,且 1是A1的特征
值,| A | 是A*的特征值.
证 明 :(1) 是 方 阵A的 特 征 值 , 非 零 向 量 , 使 得A ,
所 以 ,1是A1的 特 征 值 。
其次在A 两边同乘A*,A* A A*可得 A* | A |
4 1 1 0 0 0
0 1
得 基 础 解 系 :2 1 ,3 0
1
4
所以k22 k33(k2 , k3不全为零)是对应于
特征值2 3 2的全部特征向量。
4 6 0

设矩阵
A
3
5
0 ,可作为A的特征向量的是
3 6 1
A (2, 2, 0)T B (1, 2,1)T C (2,1, 0)T D (0, 0, 2)T E (3, 0,1)T
二、特征值与特征向量的计算
设 i为方阵A的一个特征值,则由方程 (i I A)x 0
可求得非零解x i , 那么i就是A的对应于 特征值i的特征向量。 (若i为实数,则 i可取为实向量;若i为 复数,则 i为复向量.)
注 : 若i是A的对应于特征值i的特征向量, 则ki (k 0)也是A的特征向量.

赵树源线性代数线性代数第1讲

赵树源线性代数线性代数第1讲
a a a 1 j1 2 j2 3 j3 j1j2j3为三级排列, 当j1j2j3取遍了3级排列时, 即得到三阶行列式的所有项(不包含符号), 共为3!=6项.
24
(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号.
13
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即
N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
14
表1-1
排列 123 132 213 231 312 321
22
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为
a a 1 j1 2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
23
三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为
6
画线法记忆
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
+ +
+
7
例1. 1 23 4 0 5 1 0 6 + 2 5 (1) + 3 4 0 1 0 6 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58

人民大2024赵树嫄《线性代数(第六版)》PPT第四章 特征值问题和矩阵的对角化

人民大2024赵树嫄《线性代数(第六版)》PPT第四章 特征值问题和矩阵的对角化
第四章
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵,如果存在一个数 , 以及一个非零 n 维列向量 ,使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值,而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明: 1、特征值问题是针对方阵而言的; 2、特征向量必须是非零向量; 3、特征向量既依赖于矩阵A,又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ,
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值, 是相应的特征向量,则
(1) k0 是kA 的特征值(k 是任意常数);
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值, 是相应的特征向量,则
(1) k0 是kA 的特征值(k 是任意常数);
(2) m0 是 Am 的特征值(m 是正整数);
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4

1
2 ,2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法:

线性代数B(赵树嫄)+期末复习

线性代数B(赵树嫄)+期末复习

10、理解向量组的线性相关、线性无关的定义,会构造矩阵 判断向量组的线性相关、线性无关。 11、会构造矩阵,用初等行变换,求向量组的秩、极大无关组, 用极大无关组表示其他向量。 12、理解向量组的秩与线性无关的联系,并会用线性无关的 定义来证明向量组的线性无关性。 13、会用消元法解线性方程组(含字母系数),判断线性方程 组解的情况,并用基础解系表示线性方程组的一般解。
补3 设方阵A与B满足A-B=AB,证明A+I可逆, 且求出它的逆阵.
2 1 1 例 求矩阵A 0 2 0 的特征值和特征向量。 4 1 3
例5 设 是方阵A的特征值,证明 : (1) 2是A2的特征值,一般地, m 是Am的特征值。 (2)对任意数k,k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆,则 一定不等于零,且 1是A1的特征 | A| 值, 是A*的特征值.
r ( 1 , 2 , , s ) s 向量组 1 , 2 , , s 线性相关 r ( 1 , 2 , , s ) s
1 , 2 , , t
线性, , s 可以由向量组
r ( 1 , 2 , , s ) r ( 1 , 2 , , t )
A
(6 )若 A 可 逆 , 则 ( A B )* B * A * , ( A k )* ( A * ) k . (其 实 这 两 式 对 任 意 矩 阵 都 成 立 ) (7 ) ( A 1 )* ( A * ) 1, ( A * )T ( A T )* (用 定 义 证 明 ).
1 A
T T

A;
2 A B T AT BT ; 3 A AT ;
T
4 AB BT AT .

线性代数3-3(第四版)赵树嫄

线性代数3-3(第四版)赵树嫄

设1(1 2) 2(1/2 2) 有122 由此可得 1220 即1 2线性相关
《线性代数》 (第四版)教学课件
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(二)关于线性组合与线性相关的定理
定理37 向量组1 2 s(s2)线性相关的充分必要条件是 其 中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合 定理38 如果向量组1 2 s 线性相关 而1 2 s线性无 关 则向量可由向量组1 2 s线性表示且表示法唯一 举例 任何一个向量 (a1 a2 an) 都可由初始单位向量组 1(1 0 0) 2(0 1 0) n(0 0 1)唯一地线性表 示 即 a11a22 ann
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例5 证明 如果向量组 线性无关 则向量组 亦线性无关 证 设有一组数k1 k2 k3使 k1()k2()k3()0 成立 整理得 (k1k3)(k1k2)(k2k3)0 因为向量组 线性无关 故
k k3 0 1 0 k1 k2 k2 k3 0 该方程组的系数行列式D20
提示
1 0 1 D 1 1 0 20 0 1 1
所以该方程组只有零解k1k2k30 从而 线性无关
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定理39 设有两个向量组 1 2 s (A) 及 1 2 t (B) 向量组(B)可由向量组(A)线性表示 如果st 则向量组(B)线性 相关
举例 定理又可以叙述为 如果向量组(B)可由向量组(A)线性表 示 且向量组(B)线性无关 则ts
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赵树源线性代数复习题四(B)题目和答案

赵树源线性代数复习题四(B)题目和答案

1.三阶矩阵A 的特征值为-2,1,3,则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。

()2A I A - ()2B I A + ()C I A - ()3D A I -【解】应选择答案()A 。

因为:由已知及特征值定义,A 的特征方程0I A λ-=的根为-2,1,3,应有2I A --=I A -=30I A -=,即有32(1)20I A I A +=---=,知2I A +为奇异矩阵;由0I A -=知I A -为奇异矩阵;33(1)30A I I A -=--=,知3A I -为奇异矩阵;而三阶矩阵只能有三个特征值,故2不可能是A 的特征值,从而20I A -≠,即2I A -为非奇异矩阵。

2.设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵211()3A -必有一个特征值为[ ]。

()43A ()34B ()34C - ()43D - 【解】应选择答案()B 。

因为:02λ=是矩阵A 的一个特征值,即有2A αα=,于是211()33A A A αα=1(2)3A α=23A α=2(2)3α=,亦即21433A αα=,对上式两端左乘211()3A -,得212211114()()()()3333A A A αα--=,亦即 2141()33I A αα-=,整理得2113()34A αα-=,这说明34是矩阵211()3A -的一个特征值。

3.设1λ,2λ都是n 阶矩阵A 的特征值,12λλ≠,且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的特征向量,则[ ]。

()10A c =且20c =时,1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时,1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()120C c c =时,1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10D c ≠而20c =时,1122c c ααα=+必是A 的特征向量【解】应选择答案()D 。

因为:()A 当10c =且20c =时,1122c c ααα=+1200o αα=⨯+⨯=为零向量,不可成为任一n 阶矩阵A 的特征向量;()B 反设1122c c αα+是A 的特征向量,对应的特征值为λ,于是有 11221122()()A c c c c ααλαα+=+, 亦即为 111222()()c c o λλαλλα-+-=,由定理4.3,不同特征值对应的特征向量线性无关,由上式应有1122()()0c c λλλλ-=-=,而题设10c ≠且20c ≠,于是只能有120λλλλ-=-=,亦即为 12λλλ==,但这与题设12λλ≠相矛盾,从而10c ≠且20c ≠时,1122c c ααα=+不可能是A 的特征向量;()C 当120c c =时,有可能1c 与2c 同时为0,因为此时1122c c ααα=+为零向量,所以1122c c ααα=+“必”是A 的特征向量的说法是错误的;综上知,()D 正确。

3-2_向量与向量组的线性组合(赵树嫄)

3-2_向量与向量组的线性组合(赵树嫄)
例1 零向量是任何一组同维向量的线性组合. 0 0 1 0 2 0 s
例2 向量组 1 , 2 , n中的任一向量 j (1 j n)
都是此向量组 1 , 2 , n的线性组合 . j 0 1 0 2 1 j 0n
a1 a2 (a1 , a2 ,, an ) a n
T
定义2 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组. 例如 矩阵A (a ij )mn 有n个m维列向量 aj an a1 a 2 a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a a a mj mn m1 m 2 向量组
= (a1, a2, , an)
− = (− a1, − a2, , − an)
向量的运算
注1: 不同维数的零 向量是不相等的.
设 = ( a1, a2, , an), = ( b1, b2, , bn),
(1) 向量的相等 = ai = b i (2) 向量的加法 (i =1, 2, , n)
向量与的和:
+ = ( a1+ b1 , a2+ b2, , an +bn) − = ( a1 − b1 , a2 − b2, , an −bn)
(3) 数乘向量
数与向量 的乘积:
= (a1, a2, , an)
n维向量空间 定义2 所有n维实向量的集合记为Rn, 称Rn为实n 维向量空间,它是指在Rn中定义了加法及数乘这两 种运算,并且这两种运算满足以下8条规律: (1) + = + (5) (k+l) = k +l (2) +( + ) = ( + )+ (6) k( + ) = k +k (3) +0 = (7) (kl) =k (l) (4) +( ) = 0 (8) 1 =

赵树嫄-《线性代数(第五版)》第一章 行列式

赵树嫄-《线性代数(第五版)》第一章 行列式

(二) n 阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1) 三阶行列式共有 3! = 6 项. (2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积. (3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个
a12a31b2 a11a22b3 a12a21b3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
10
x3

b1a21a32 a11a22a33
a22a31b1 a11a32b2 a12a23a31 a13a21a32

a12a31b2 a11a22b3 a11a23a32 a12a21a33

(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
x3

b1a21a32 a22a31b1 a11a32b2 a11a22a33 a12a23a31 a13a a21 32
1 1 1
0 1 1
1 2 1
1 2 2
D2 2 1 3 10, D3 2 1 1 5,
1 0 1
1 1 0
故方程组的解为
x1

D1 D

1,
x2

D2 D

2,
x3

赵树源线性代数习题三(B)题目和答案

赵树源线性代数习题三(B)题目和答案

1.如果线性方程组12323331 223(1)(3)(1)x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有惟一解,则λ=[ ]。

()A 1或2 ()B 1-或3 ()C 1或3 ()D 1-或3-【解】应选()C ,因为:线性方程组有惟一解,应有()()r A r A b n ==,由于11110212()00131(3)(1)Ab λλλλλλ-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥----⎣⎦ ()()4(1)3λ--−−−−−→1111021200132(3)(1)λλλλλ-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦可见,当1λ=或3λ=时,有()()r A r A b n ==,线性方程组有惟一解。

2.如果线性方程组123232321 32 (3)(1)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解,则λ=[ ]。

()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 0【解】应选()A ,因为:线性方程组有无穷多解,应有()()r A r A b n =<,由于1211()031201(3)(4)(2)A b λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦()()323λ-−−−−→12113122001(3)(5)33λλλλλ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦可见,当3λ=时,()()23r A r Ab n ==<=,线性方程组有无穷多解。

3.如果线性方程组1232332 4 22(1)(2)(3)(4)x x x x x x λλλλ+-=⎧⎪+=⎨⎪--=--⎩无解,则λ=[ ]。

()A 3或4 ()B 1或2 ()C 1或3 ()D 2或4【解】应选()B ,因为:线性方程组无解,应有()()r A r A b ≠,由于1214=01220(1)(2)(3)(4)A b λλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦()显见当1λ=或2λ=时,()2()3r A r Ab =≠=,线性方程组无解。

赵树源线性代数习题四(B)题目和答案

赵树源线性代数习题四(B)题目和答案

1.三阶矩阵A 的特征值为-2,1,3,则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。

()2A I A - ()2B I A + ()C I A- ()3D A I - 【解】应选择答案()A 。

因为:由已知及特征值定义,A 的特征方程0I A λ-=的根为-2,1,3, 应有2I A --=I A -=30I A -=,即有32(1)20I A I A +=---=,知2I A +为奇异矩阵;由0I A -=知I A -为奇异矩阵;33(1)30A I I A -=--=,知3A I -为奇异矩阵;而三阶矩阵只能有三个特征值,故2不可能是A 的特征值,从而20I A -≠,即2I A -为非奇异矩阵。

2.设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵211()3A -必有一个特征值为[ ]。

()43A ()34B ()34C -()43D -【解】应选择答案()B 。

因为:02λ=是矩阵A 的一个特征值,即有2A αα=,于是211()33A A A αα=1(2)3A α=23A α=2(2)3α=,亦即21433A αα=,对上式两端左乘211()3A -,得212211114()()()()3333A A A αα--=,亦即 2141()33I A αα-=, 整理得2113()34A αα-=,这说明34是矩阵211()3A -的一个特征值。

3.设1λ,2λ都是n 阶矩阵A 的特征值,12λλ≠,且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的特征向量,则[ ]。

()10A c =且20c =时,1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时,1122c c ααα=+必是A 的特征向量()120C c c =时,1122c c ααα=+必是A 的特征向量()10D c ≠而20c =时,1122c c ααα=+必是A 的特征向量【解】应选择答案()D 。

因为:()A 当10c =且20c =时,1122c c ααα=+1200o αα=⨯+⨯=为零向量,不可成为任一n 阶矩阵A 的特征向量;()B 反设1122c c αα+是A 的特征向量,对应的特征值为λ,于是有 11221122()()A c c c c ααλαα+=+, 亦即为 111222()()c c o λλαλλα-+-=,由定理4.3,不同特征值对应的特征向量线性无关,由上式应有1122()()0c c λλλλ-=-=,而题设10c ≠且20c ≠,于是只能有120λλλλ-=-=,亦即为 12λλλ==,但这与题设12λλ≠相矛盾,从而10c ≠且20c ≠时, 1122c c ααα=+不可能是A 的特征向量;()C 当120c c =时,有可能1c 与2c 同时为0,因为此时1122c c ααα=+为零向量,所以1122c c ααα=+“必”是A 的特征向量的说法是错误的;综上知,()D 正确。

线性代数(赵树嫄)第1章行列式

线性代数(赵树嫄)第1章行列式

1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2 n阶行列式 引例 n元线性方程组(方程个数=未知量个数)
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .......... ......... an1 x1 an2 x2 ann xn bn
N (n(n 1)L 21) (n 1) (n 2) 1
定理1.2. n个数码共有n!个排列,其中奇偶排列各占 n! 一半, 各为 . 2 (二) n阶行列式的定义

定义1.2 用n2个元素aij (i , j 1,2, , n)排成的数表
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
aij中i称为行标, j称为列标, aij
竖排称为列 , 其中横排称为行,
(i , j )元
表示该元素处在第 i行第j列, 处在行列的交叉处 , 有时也记为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a 33
6 2 8
主对角线及其主对角线方向上的三个元素的乘 副对角线及其副对角线方向上的三个元 积 带正号, 素的乘积 带负号, 所得六项的代数和就是三阶行列 式的展开式.
例5
a, b R, a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1

a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1

线性代数人大(赵树

线性代数人大(赵树

例4 证明上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11a22 ann 0
证: 由定义
和式中,只有当
D ( 1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
ann
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时,
x1 3 x2 5 例1 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
D
1 3 4 3
3 ( 3) 4 15 0
1 5 4 5
方程组有惟一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
分析:
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
( 1)
( j1 j2 j3 )
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11,x2 4, x3 3. D 5 D 线性代数 5 D 5 9
思考与练习(三阶行列式) 1 1 1
1.解方程 1 2 1 x
x 1 6 2 x1 x 2 3 x 3 5 2.解线性方程组 3 x1 x 2 5 x 3 5 4x x x 9 2 3 1
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2,x2 1. D 15 D 15 线性代数
6
(2)三阶行列式
主对角线法

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

第一章 行列式4.计算下列各行列式:(1)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4; (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412; (3)⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立,即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转,依次得n nn n a a a a D 11111 =, 11112n nn n a a a a D = ,11113a a a a D n nnn =,证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式(阶行列式为k D k ):(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示:利用范德蒙德行列式的结果. (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行,得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上,得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始,第1+n 行经过n 次相邻对换,换到第1行,第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…,经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换,得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式:222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开(由下往上)按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x . 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?解 μλμμμλ-==12111113D , 齐次线性方程组有非零解,则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证,当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解?解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解,则0=D得 32,0===λλλ或不难验证,当32,0===λλλ或时,该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立,则k +1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵,证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾,故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ,求A 。

线性代数答案赵树嫄主编

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线性代数习题习题一(A )1,(6)2222222222212(1)4111(1)2111t tt tt t t t tt t --+++==+--++ (7)1log 0log 1b a ab =2,(3)-7(4)04,23410001k k k k k -=-=,0k =或者1k =.5,23140240,0210xx x x x x x=-≠≠≠且.8,(1)4 (2)7 (3)13(4) N( n(n-1)…21 )=(n-1)+(n-2)+…+2+1=(1)2n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5;若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号;故k=1,l=5.12,(1)不等于零的项为132234411a a a a =(2)(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-! 13,(3)211234215352153421510006123061230002809229092280921000280921000c c r r --=(4)将各列加到第一列,2()2()2()x y yx y D x y x yx x y xy++=+++12()11y x y x y xy x yx+=+---12()00y x yx y x y x yx+=+---332()x y =-+ 17,(1)从第二行开始每行加上第一行,得到1111111111110222 (811)11002211110002-===-----. (2)433221,,r r r r r r ---…431111111112340123 (113)610013614102001410r r -== (3)各列之和相等,各行加到第一行…18,(3)2134312441224011201120112042413541350355016423223123312304830010522051205102110211r r r r r r r r r r --------+-----=+---------+4334433424241120112*********164016401641010100021002100027202110013700114r r r r r r r r r r r r ------+---------------341120016410011400027r r ----↔--270=-20,第一行加到各行得到上三角形行列式,1230262!0032000nn n n n=L L L L L L L L L21,各行之和相等,将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -110(1)1010x x x x x x xn x x x x x xx -L L LL L L L L L L从第二行开始各行减去第一行得到 1111000(1)(1)(1)(1)(1)0000000n n n n x x x x x n x n x x n x x x-----=--=----L L LL L L L L L L22,最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1,2,…n-1列得到上三角形行列式11223122313112101001()()...()000101n n n n n nn n x a a a a a a a x a a a a a x a a a x a x a x a x a ------------=----L L L L L L L L L L L23,按第一列展开1221103110001111111100000000000000000000000000n n n n n na a a a D a a a a a a a +--=-+LL L L L L LL L L L L L L L L L L L L L LLL112224311111111111000000000000000...(1)0000000000n nn a a a a a a a a +--++-L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L LL012234134123112011..................()nn n n n n i ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -==----=-∑24,将第二列加第一列,然后第三列加第二列,….第n 列加第n-1列,最后按第一行展开。

线性代数第二章2-1, 2-2

线性代数第二章2-1, 2-2

称为mn线性方程组,m=n 时,称为n元方程组
... a11 a 12 系 ... 数 a a 21 22 矩A ............ 阵 ... a a m2 m1
增 广 矩 阵
2n a mn
a a
1n
x1 未 x 知 2 量 X 阵 xn
矩阵A与B的差记作 :A - B
a11 b11 a12 b12 a b a b 21 21 22 22 A B a b a b m1 m1 m 2 m 2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
矩阵加法满足下列运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律 (设A、B为mn矩阵,、为常数)
(i). ()A = (A)
(ii). (+)A = A + A (iii). (A + B)=A + B
3.矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A = (aij ) ms , B = (bij ) sn, 则矩阵A与B的乘积矩阵C =(cij)mn,其中
第1节 矩阵的概念
引:线性方程组的一些性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵上,解线性方程组的过 程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方 程组外,还有大量的各种各样问题也都提出
矩阵的概念,且这些问题的研究常常表现为
对矩阵的某些方面的研究。甚至于某些性质
完全不同的,表面上无联系的问题,归结成
矩阵后却是相同的。这使矩阵有着广泛的应用
0 a 0
0 0 a
3)单位矩阵 主对角线元素都是 1, 其他元素都是零 的矩阵称为单位矩阵,记为
I
1 0 0 1 I 0 0

线性代数(赵树嫄)第一章 行列式

线性代数(赵树嫄)第一章 行列式

2a12 10a13 a22 a32 5a23 5a33
a11 a12 a1 a2 a n1 a n 2
a1n an bn ann
a1n bn ann
a1n a11 a12 an b1 b2 ann an1 an 2
推论:如果行列式的某一行(列)的每个元素都可 以写成 m 个数的和,则此行列式可以写成 m 个行 列式的和。 性质5: 行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数 k 加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即 a11 a12 a1n a11 a12 a1n r kr i j a i 1 a i 2 ain a i 1 ka j 1 a i 2 ka j 2 a in ka jn a n1 a n 2 a nn a n1 an 2 a nn 推理: 行列式的某一行(列) 的元素直接加到另一行 (列)的相应元素上,行列式的值不变。
对于二、三阶行列式,或者 0 元素很多 的高阶行列式,可以直接利用行列式定 义来计算。
例1
a11 a21 a n1 0 a22 an 2
下三角形行列式
0 0 a11a22 ann ann
上三角形行列式
a11 0 0 a12 a22 0 a1n a2 n a11a22 ann ann
为三阶行列式, 记为:
a21 a22 a23 a31 a32 a33
即:
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33 +a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33
-a11a23a32 -a12a21a33 -a13a22a31

第五版 线性代数(赵树嫄)第一章 行列式

第五版 线性代数(赵树嫄)第一章 行列式
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
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三阶行列式
(二)三阶行列式
a11 a12 a13
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变
定理12 n个数码(n1)共有n!个n级排列 其中奇偶排列各占一半
举例 对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 N(21354)2 而N(24351)5 可见对换后奇偶性改变
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(一)排列与逆序 (二)n阶行列式的定义
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(一)排列与逆序
n级排列
由n个不同数码1 2 n组成的有序数组i1 i2 in 称为一 个n级排列
定义11(逆序数)
在一个n级排列i1 i2 in中 如果有较大的数it排在较小的 数is前面(isit) 则称it与is构成一个逆序 一个n级排列中逆序的 总数 称为它的逆序数 记为N(i1 i2 in)
a10 例 5 D 1 a 0 0 的充分必要条件是什么?
411
a10 解 D 1 a 0 a2 1
411
当且仅当a210 即|a|1时 D0 因此可得D0的充分必 要条件是|a|1
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§12 n阶行列式
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
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线性代数习题习题一(A )1,(6)2222222222212(1)4111(1)2111t tt tt t t t tt t --+++==+--++ (7)1log 0log 1b a ab =2,(3)-7(4)04,23410001k k k k k -=-=,0k =或者1k =.5,23140240,0210xx x x x x x=-≠≠≠且.8,(1)4 (2)7 (3)13(4) N( n(n-1)…21 )=(n-1)+(n-2)+…+2+1=(1)2n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5;若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号;故k=1,l=5.12,(1)不等于零的项为132234411a a a a =(2)(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-! 13,(3)211234215352153421510006123061230002809229092280921000280921000c c r r --=(4)将各列加到第一列,2()2()2()x y yx y D x y x yx x y xy++=+++12()11y x y x y xy x yx+=+---12()00y x yx y x y x yx+=+---332()x y =-+ 17,(1)从第二行开始每行加上第一行,得到1111111111110222 (811)11002211110002-===-----. (2)433221,,r r r r r r ---…431111111112340123 (113)610013614102001410r r -== (3)各列之和相等,各行加到第一行…18,(3)2134312441224011201120112042413541350355016423223123312304830010522051205102110211r r r r r r r r r r --------+-----=+---------+4334433424241120112*********164016401641010100021002100027202110013700114r r r r r r r r r r r r ------+---------------341120016410011400027r r ----↔--270=-20,第一行加到各行得到上三角形行列式,1230262!0032000nn n n n=L L L L L L L L L21,各行之和相等,将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -110(1)1010x x x x x x xn x x x x x xx -L L LL L L L L L L从第二行开始各行减去第一行得到 1111000(1)(1)(1)(1)(1)0000000n n n n x x x x x n x n x x n x x x-----=--=----L L LL L L L L L L22,最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1,2,…n-1列得到上三角形行列式11223122313112101001()()...()000101n n n n n nn n x a a a a a a a x a a a a a x a a a x a x a x a x a ------------=----L L L L L L L L L L L23,按第一列展开1221103110001111111100000000000000000000000000n n n n n na a a a D a a a a a a a +--=-+LL L L L L LL L L L L L L L L L L L L L LLL112224311111111111000000000000000...(1)0000000000n nn a a a a a a a a +--++-L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L LL012234134123112011..................()nn n n n n i ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -==----=-∑24,将第二列加第一列,然后第三列加第二列,….第n 列加第n-1列,最后按第一行展开。

D =12200 (000)...00....................................000 (1)21...11n n a a a a a ---1200...0000...00....................................000 (01)23...1na a a nn --=-+12(1)(1)...n n n a a a =-+.25,(1)21432222221123112312220100(1)(4)0231523152319004r r r r x x x x x x ----=--=--垐垐?噲垐?12x x =±=± (2)各行之和相等… (3)与22题类似…(4)当0,1,2,3,...2x n =-时,代入行列式都会使行列式有两行相同,所以它们都是方程的根。

28,414243441414142112(6)212(6)0301806001111111111A A A A --+++==--=--=-29,111213141111d c b bA A A A b b bbcda d+++=其中1,3两行对应成比例,所以为零. 32,从第二行开始每一行乘以(-1)加到上一行然后按第一列展开12340111111231011111122001111130001112000011111n n x x n x D x x n x x x x xxx xxx----==--L L L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L LL1111111*********(1)0001100011n xx x +--=--L L L L L L L L L L L11121,2 (1)000000100000010000(1)(1)001000000000011i i r r n n n i n xx x x x x x x x x+-++-=---−−−−→-=--←−−−−-LL L L L L L 33,按第一列展开10000000000000000000000000000n a b a b a b a b a a D a a b a b baba-−−−−→=←−−−−L L L L L L L L L L L L L L L L L L 按第一列展开阶10000000000000000n b ab a b b b ab+L L L L L L L L L +(-1)1n n na b +=+(-1)34,原方程化为21211123122(2)(4)00212002x x x x x x x x ==--….35,1234111101111111111110011111111r r r r x xxx x y y yyy--+--−−−→←−−−+--221100110011110000110011111100x x xyxyx y y y--===--=0 解得0x =或者0y =36,11111213(21)(11)(12)(31)(32)(31)48141918127-=++-+--=--(范德蒙行列式) 37,解122322222222211()()11a b x b x a a xb ax a x a c c x a b x aa b b a x b a b c cx a b x a a b b x a a b b +++--++---=----------- 2121111()()00()()()x ar r a x b a x a b a x b a x a b x a a bx a a b b ++--++=---++-------- ()()()()x a b a x b x b a =++---40,(3)D=63,D 1=63,D 2=126, D 3=189123123x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ (6)D=20,D 1=60,D 2=-80, D 3=--20,D 4=2012343411x x x x =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ 42,∵22106912412458201822---=---23233330182205--=-=-=--∴原方程仅有零解。

43,令112211310211211kk k k --=---(2)(1)6k k =---2340k k =--=, 得 1k =-或4k =;故当1k =-或4k =时原齐次方程组有非零解。

44,原齐次方程组的系数行列式1120011310(2)(1)0211211k k k k k k -+-=-=+-≠--即当1k ≠且2k ≠-时原齐次方程组仅有零解。

习题二(A)2,(1)1315 3828237913 A B⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-(2)141387 2325252165 A B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦+--(3)311140401335 x B A-⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦(4)由(2A—Y)+2(B—Y)=0得3Y=2(A+B)∴2()3Y A B=+55332020231133⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10102233440033222233⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3,因为232420274x u vA B Cx y y v+-+⎡⎤+-==⎢⎥-++-+⎣⎦得方程组2302724040x ux yvy v+-=⎧⎪-++⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩解得x=-5,y=-6,u=4,v=-25,(2)1041 431⎡⎤⎢⎥⎣⎦---(3)123246369⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦14(7)1051176291516153202⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦---=11,(1)设a cXb d⎡⎤⎢⎥⎣⎦=,则25461321a cb d-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2525463321a b c d a b c d ++-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦,得到方程组 25432a b a b +=⎧⎨+=⎩解得20a b =⎧⎨=⎩, 与25631c d c d +=⎧⎨+=⎩-解得238c d =⎧⎨=⎩-.22308X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=. (2)54245974X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--=--2-- (3)设x X y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=,111221131116x y z -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 2236x y z x y z x y z +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩,解得132x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩于是132X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=. 13.设所有可交换的矩阵为a b X c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则11110101a b a b c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, a c b d a a b c d c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦解得0abc d a⎧⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩从而0a b X a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 16,(3)因为111111000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以11110000n⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (4)因为21111111201010101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦用数学归纳法可以推得 1110101nn ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (5)因为2111111221121111112211⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故可以推出111111111...211111111nn -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 20,334()mA m A m m m -=-=-=- 21,122(2)2T T n T n n A A mA m A m +===.28,因为()()T T T T T T A A A A A A ==,所以T AA 为对称矩阵.因为()()T T T T T T AA A A AA ==,所以T AA 为对称矩阵.31, (1),原矩阵为12111224123431324442112032A A A B A B A B B B A A A B A B A B B -⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦,其中 1112021111A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]1224121010111101112A B A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+-=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦; [][]3100331A B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦;[][][][][][]3244103210220A B A B ⎡⎤+=+-=+-=-⎢⎥⎣⎦;(3),记原矩阵为00aII cI I bI dI ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则有 00aI I cI I bI dI ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2222aI acI IcI bdI ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦ ()aIacIIc bd I ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦0010001a aca ac c bd c bd ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦.33,312313234242A A A A A A A A --=--- 1231234288A A A A A A =-=-=-34,(2)因为0a bad bc c d =-≠,所以11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. (4)因为1A =-,故可逆.*143153164A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,1143153164A ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (6)因为12...0n A a a a =≠,故可逆. 1211...(12...)ii i i n A a a a a a i n -+==,23*121 (00)nn a a a A a a a -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭O,111100n a A a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O . 40, (1)1254635462231321122108X -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (211101131111135422243221043211145212511112531974122X -⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎣⎦) (3)11103311122111121133323611166211022X -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 42, 由2AX I A X +=+得到2AX X A I -=-,()()()A I X A I A I -=-+,1()()()()I A I A I X A I A I ----=--()A I +201140022X A I -⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 44, 两边同乘以121()()()(...)k k I A I A I A I A A A I A I ----=-++++=-=. 45, 由2240A A I --=得到()(3)A I A I I +-=,于是A I +可逆并且1()3A I A I -+=-. 51, 因为12A -=, 1*1113112216(3)22()33327A A A A A A A ------=-=-=-=-. 52, 1113112()2()(2)(8)3122T T A B B A B A -----=-=-=-⋅⋅=-.53, (3),初等行变换得到21321123123313513112112112101100321055011011010120012003001001r r r r r r r r r r r r --+-+----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→-−−→-−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(6),131310101300000121050100⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 54, (1)23122112312223100110010101021110010043120011011121001011011043120r r r r r r r r r r ↔↔-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦23421334101021100143011011010153001164001164r r r r r r r +-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦, 所以 1223143110153121164---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. (4), 135710001002013110012301000123010000120010001200100001000100010001--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1000131120010001210010001200010001--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,11357131120012301210012001200010001----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 55, (1),41544154200410026158200401540154⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 10254X A B -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦. (2), 111111111013025202520016101301220122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 10091009001601014010140016⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 19146X A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 56,101301101301100522110110011211010432012014001223001223--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→----→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 1522(2)432223B A I A ---⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 57, (1) 1234123412450411110120000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,秩为2. (3)11210112101121011210224200000000000030013061103041000400004003001030010300100000----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 秩为3.(4)秩为3.58, 初等行变换得到111111121010231001λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦,因为秩为2必有 10λ-=, 1λ=.59,111111110112001100123100001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦当1,()2;a r A ==当1,()3a r A ≠=.60, 1121112112101423110464A a a b b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦, 因为()2r A =,所以第二第三两行成比例从而得到464142b a --==-解得1a =-, 2b =-习题三(A )1,用消元法解下列线性方程组 (1)123123123123233350433136x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩解2133131361313613136315031500834180153(,)4113411301353270135327131362133072915072915A b -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1313613136131360153015301530012120011001100660*******------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,回代, 131361231001015301530102001100110011000000000000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,方程组有唯一解:123121x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ (2)1234123412342121255x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=⎩解:1211112111(,)12111000221215500064A b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦1211100022000010-⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,系数矩阵的秩为2,而增广矩阵的秩为3;方程组无解.(3)123412341234101222x x x x x x x x x x x x ⎧⎪-+-=⎪--+=⎨⎪⎪--+=-⎩解: (A ,b)=111111111111111111110002210011213000001122003322⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11100210011200000⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,得到同解方程组1212343411221122x x x x x x x x ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪→⎨⎨⎪⎪-==+⎪⎪⎩⎩ 设21x c =,42x c =,则得到一般解为112132421212x c x c x c x c ⎧=+⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩ (6)1245123412345123453020426340242470x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩解:A =1103111031113111210022210222142634066150000932424702210500000------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦7113111061501110110261100010001330000000000⎡⎤---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,得到同解的方程组13523545706506103x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪-=⎪⎩, 13523545765613x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩令31x c =,52x c =, 得到112212314252765613x c c x c c x c x c x c ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩2, 确定a,b 的值使下列线性方程组有解,并求其解(2)12312321231ax x x x ax x a x x ax a⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩解: 方程的系数行列式D=21111(1)(2)11a a a a a =-+当2a ≠-且a ≠1时,0D ≠,方程有唯一解,2121111(1)(1)1D aa a a a a==--+,2221111(1)1aD aa a a==-, 2232111(1)(1)11a D a a a a a ==-+,于是得1223121212a x a x a a a x a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩+2+当1a =时,方程组为1231x x x ++=,1231x x x =--+,方程组有无穷多解,1122132+1x c c x c x c=--⎧⎪=⎨⎪=⎩;当2a =时,方程组为123123123212224x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩,其增广矩阵为(A , b )=211121111212121211240003--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,r(A)=2,r(A ,b)=3,方程组无 解.补充,1232312321(1)0(1)32ax bx x b x x ax bx b x b++=⎧⎪-+=⎨⎪++-=-⎩解:2121(,)0110011013200122ab a b A b b b a b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦①0,1a b ≠≠±当时有唯一解,此时,增广矩阵为5302201122001b a b b b b b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1+b-0+-+1+500201122001b a b b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1+b-0+-+1+,解为123521221b x a x b b x b -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(1+b)-+-++; ②当a ≠0,且b=1时,有无穷多解,1230c x a x c x -⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩1③当a =0,且b=1有无穷多解,12310x c x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩④a =0,且b=-1有无穷多解,123130x c x x =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩3, (1) 12343254(23,18,17)αααα+-+= (2) 123452(12,12,11)αααα+--=4,(1)(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)ξβα=--=---=-,(2)13511275)(3,5,7,9)(1,5,2,0)(7,5,,)22222ηαβ-=--=-=(36,(1)(a )设112233k k k αααβ++=,得123(1,0,1)(1,1,1)(0,1,1)(3,5,6)k k k ++--=-化为方程组123110301151116k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 112311030113110115111514111610169k k k ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴ 12311149βααα=-++(b )对矩阵123TT TT αααβ⎡⎤⎣⎦进行初等行变换:1103100110115010141116019-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦可得 12311149βααα=-++(2) 123425βεεεε=-++. 9,由题设得到112233*********αβαβαβ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,∴1112233*********αβαβαβ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=123110221102211022βββ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦即1121122αββ=+,2231122αββ=+,3131122αββ=+. 10,(1)矩阵为1021231235025025012102025000-⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦,可知312522ααα=-- ;线性相关.(2)矩阵为1321321321120012013327002000114101300⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,线性无关. 11,由对应向量构成的矩阵的行列式等于 11220nn a a a ≠L ,线性无关.12,由对应向量构成的矩阵112233*********βαβαβα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ∵ 211113000--=,∴1β,2β3β 线性相关.13, 证明:令11212312312()()...(...)0s s k k k k ααααααααα++++++++++=, 整理得到1122(...)(...)...0s s s s k k k k k ααα+++++++++=.因为12,,...,s ααα线性无关, 所以有12...0...0. 0s ss k k k k k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪=⎩, 解得1200.........0s k k k =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩, 从而向量组11212,,...,...s αααααα++++线性无关.14,令212060111kk k k =--=-2,k=3,-2当≠≠k 3且k -2时,线性无关;当k=3或-2时,线性相关.16,(1)对矩阵1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换,得到10021002010101010013001311100000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, ∴123,,ααα是极大线性无关组,412αα=-233αα+(2)对矩阵1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换,得到101310131013011201120112110301160000000000000014111101020000---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1013100101120102001400140000000000000000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦123,,ααα是极大线性无关组, 41234αααα=+-17,对1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换,得到(1)11511151115171123027401223181027400001397041480000--⎡⎤----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,∴ 12,αα是极大线性无关组;并且3123722ααα=-,4122ααα=+(2)1114311143113210226221355011313156702262--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦10212011310000000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦12,αα是极大线性无关组;并且3122ααα=-,4123ααα=+,5122ααα=-- 20,(1)对系数矩阵进行变换得12471247100021210510150120312400020001A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组 112323440020200x x x x x x x x ==⎧⎧⎪⎪-=→=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 令31x =, 得12340210x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.0210V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即为基础解系. (2) 121111211121123054()32112044251220100Ab ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-------3-5----4-5---1- 17100281211115011000102800415001000002800000⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-----8-5-得方程组454551342172815281528x x x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=++⎨⎪-⎪=⎪⎩--.令4510x x =⎧⎨=⎩得到123121212x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩--:再令4501x x =⎧⎨=⎩得到123785858x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩-⎪于是基础解系为121212,781210015858ξξ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(3) 1211112111211110533()17550966321105522Ab --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦----3-5-6-1 101111000011110100000111001000021100011--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得到方程组12345000x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩令51x =得41x =,得到基础解系为00011ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 23,对系数或增广矩阵进行变换得(1)21112047200152103001201012013601360012222500000000----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组 141424243434215021512012202x x x x x x x x x x x x -==⎧⎧⎪⎪-=→=⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩ ,令42x c =得到1234152442x cx c x cx c=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩.基础解系为152442v c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,其中c 为任意常数.(2)111117110117321132000000012262301026235433112001000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 10015160000000102623001000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦得方程组 145145245245335165162623262300x x x x x x x x x x x x x x --=-=+-⎧⎧⎪⎪++=→=--+⎨⎨⎪⎪==⎩⎩, 对应的齐次线性方程组为14524535260x x x x x x x =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩令4500x x =⎧⎨=⎩,得特解123451623000x x x x x =-⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩,再令4510x x =⎧⎨=⎩得1234512010x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩,4501x x =⎧⎨=⎩,得1234556001x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩,基础解系为1526,001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦原方程组的通解为1216152326000010001U c c -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,其中1c ,2c 为任意常数.(3),21314151,,1354011354011322110032111113043121411130451212111101431r r r r r r r r Ab ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥←−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦------2()=-2---5-----7-------235454517,8107535003210016126120032201431r r r r r ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦--2-1---22425412107535013100860032000000r r r r r +↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--4--2-6-3-2-1341323233,74,3100535010310010000002000000r r r r r r r r --++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦---2-2-13142445132110000100535201031101001200100000100010001112000112000000000000r r r r r r --+-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦---2 得到方程组1525345121120112x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎩--=--,特解01010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=,基础解系12120121υ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-, 于是全部解是120112()0011021c c R ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-+-. 24, 2113112112(,)112112011011211301133A b λλλλλλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦---- 21121120110011000310031λλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----2--()-(-1)(+2)()讨论如下:(1) 当2λ=-时,方程组无解; (2) 当21λλ≠≠-且-时有唯一解; (3) 当时有无穷多解:此时方程组为1232x x x =++-.基础解系为111001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--,,特解为00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2,全部解为121211010(,)001c c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-2--+为任意实数.25,将增广矩阵化为T 阵,得11223344551110001100001100011000011000110000110001111i i i a a a a a a a a a a ==-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑,可知 当且仅当51i i i a ==∑=0时方程组有解;一般解为112345223453345445x a a a a x x a a a x x a a x x a x =++++⎧⎪=+++⎪⎨=++⎪⎪=+⎩即112342234334445x a a a a cx a a a c x a a c x a c x c=++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎪=⎩(c 为任意实数)习题四(A )1,(1)由221(2)1012I A λλλλ---==--=--得到特征值为121,3λλ==.11λ=以代入,得方程组121210112x I A X x λ--⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦,12120x x x x -=⎧⎨-=⎩--, 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦1它的基础解系是,-111λ⎡⎤≠=⎢⎥⎣⎦111c(c0)是对应于特征值的全部特征向量.- 121212332101320x I A X x x x x x λλ=--⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦-=⎧⎨+=⎩2以代入,得方程组- 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦1它的基础解系是, 231λ⎡⎤≠=⎢⎥⎣⎦221c(c 0)是对应于特征值的全部特征向量. (2)由5635631111121022I A λλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦2593(2)111(2)(2)001λλλλλ--⎡⎤⎢⎥→-+-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0,1,2,32,λ=12312323631210121x I A X x x λλ=--⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦以代入,得方程组即12320x x x +-=,211001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦它的基础解系是,, 2110,01-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1212c+c(cc不全为零) 1λ=,2,3是对应于特征值2的全部特征向量.(3)11122122I A λλλλλλλλλλλ---==-+--+--1-1-1-1-1-1-1-1-111-111-1110-0-1110-0231(2)(2)(2)11λλλλλ+=-=-+-1-3-1-1-1110000=0特征值为1,2,342,2λλ==-.以1,2,32λ=代入得1100010001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11基础解系是,, 12311100(,,)010001c c c c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2311不全为零. 12λ=,2,3是对应于特征值的全部特征向量2λ=4以-代入,得1111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦基础解系,42λ=-对应于特征值的全部特征向量是11(0)11-⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦44c c .(4), 201001010010110I A λλλλλλλ---=-=--- 22(1)(1)(1)(1)0λλλλ=--=-+=, 得到 1,231,1λλ==-,当1,21,λ=13x x =,得到基础解系011,001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,对应的全部特征向量为12011001c c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(12,c c 不全为零), 当31λ=-时, 解方程组1320x x x =-⎧⎨=⎩得到基础解系101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 全部特征向量为3310(0)1c c -⎡⎤⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3,由题设,0AX X λ=(1)0()()()kA X k AX k X λ==,即kA 的特征值为0k λ. (2)由A 可逆,00λ≠1110010110()()()A AX A X A X A X XA X Xλλλλ------====1A -的特征值为10λ-.(3)00() 1.I A X IX AX X X X X λλ+=+=+=+0(1)X λ=+ I A +的特征值为01λ+.4,设0AX X λ=,2220002002000()()()A AA X A AX A X AX X X Xλλλλλλλλ=====∵ ∴ ==∴ =0或15, 以0λ=代入0220003030022002xx I A λλλλ---+-=-=-=---,得到2x =. 代入222203032222I A λλλλλλλ-----=-=-----22(3)(3)(4)022λλλλλλ--=-=--=--,解得1230,3,4λλλ===. 所以其他特征值为233,4λλ==.8,如果A 可逆,则1A -存在,并且11()()A AB A A A BA BA --== ∴ AB BA :.。

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