盈亏问题——差量比较法
小升初数学：盈亏问题三种类型,找准数量差,用比较法化难为简!
小升初数学：盈亏问题三种类型，找准数量差，用比较法化难为简！我国有本古老的世界数学名著，叫《九章算术），此书是因书中共有九章有关实际应用问题及解法的内容而得名，这本书的第六章是“盈不足章，也就是专门讨论盈亏问题的。
盈，就是多余；，就是不足、不够的意思。
解有关盈亏问题，常常通过比较进行。
一、基本知识点1、含义按一定人数等分一定物品，每人分得少一些则有剩余，就叫盈；每人分得多一些则不足，就叫亏。
在两次分配中，一次有余（盈）一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求分配的份数或被分配的总量的应用题，叫做盈亏问题，也叫做余不足问题。
2、特点对象总量和总的组数是不变的。
3、类型（1）一盈一亏；（2）全盈；（3）全亏。
4、数量关系（1）（盈+亏）÷两次分配的每份数量差=份数；（2）（大盈-小盈）÷两次分配的每份数量差=份数；（3）（大亏-小亏）÷两次分配的每份数量差=份数。
（4）总数=每份数量×份数+盈数总数=每份数量×份数-亏数5、口诀一盈一亏，盈亏加在一起；全盈全亏，大的减去小的；除以分配差，结果就是分配的物或人。
6、解题思路先将两种分配方案进行比较，分析由于分配标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
注意数量差与每份之间的对应关系。
☞二、一张思维导图归纳总结☞三、经典应用（1）一盈一亏例1、幼儿园老师给小朋友们发皮球，如果每入发5个，还剩3个；如果每人发7少9个.问：有多少个小朋友，多少个皮球？【分析】比较两种分球法中各个量之间的关系：每人发5个，还剩3个；每人发7个，则少9个。
这两种分法，每人相差7-5=2（个），第一种余3个，第二种少9个，那么两次总共相差9+3=12（个），每人相差2个，结果总数就相差12个，所以有（12÷2）个小朋友，6×5+3=33（个）皮球。
课用-盈亏问题及比较法
盈亏问题及比较法盈亏问题与比较法○人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1、小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2、小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。
例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。
仿照例1的解法即可。
解：（6＋2）÷（4—2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
★由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
第5讲_盈亏问题与比较法
第5讲盈亏问题与比较法（二）有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。
例1 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。
问：学生有多少人？分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。
假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船……”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船……”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。
这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为6＋9=15（人），两次分配的差为9－6＝3（人）。
解：（6＋9）÷（9－6）＝5（条），6×5＋6=36（人）。
答：有36名学生。
例2 少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。
问：一共要挖几个坑？分析：我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑”转化为“每人都挖6个坑，就多挖了4个坑”。
这样就变成了“典型”的盈亏问题。
盈亏总额为4＋3＝7（个）坑，两次分配数之差为6－5＝1（个）坑。
解：[3＋（6－4）×2]÷（6-5）＝7（人）5×7＋3＝38（个）。
答：一共要挖38个坑。
小练习：市二实验小学组织学生参加科技展。
如果每车坐75人，则有5人不能乘车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车。
这次参观一共有几辆汽车？有多少位学生？例3在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。
问：桥有多高？绳子有多长？分析与解：因为把绳子对折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）。
两种方案都是“盈”，故盈亏总额为16——6=10（米），两次分配数之差为3-2＝1（折），所以：桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36（米）。
盈亏问题
盈亏问题盈亏问题的基本解法是：份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差。
1、幼儿园的小朋友分饼干，如果每个人分6块饼干，那么还多出12块，如果每个人分8块饼干，那还差24块。
问幼儿园一共用多少小朋友？一共有多少块饼干？2.某校安排学生宿舍，如固果每间5人，则有14人没有床位，如果每间7人，则多4个空床位，问宿舍几间？学生几人？3. 用一根绳子绕树三圈，余3米.如果绕树四圈，则差4米。
树周长有几米？绳长有几米？4.小聪用一根绳来测量一口井的深度，他把绳子的一端放入井底，井口外绳子长9米，小葱把这根绳子对折后，将一端放入井底，这时在井口外的绳子还有3米，求这口井的深度？5.人民路小学三四五年级的同学乘汽车去春游。
如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。
一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？6. 三年级1班和2班两个班级的学生到东湖春游，他们租了一些船。
如果每个船坐3人，则多出了25人，如果每只船坐5人，则还空出3只船。
问：他们一共租借了多少只船？两个班的一共有多少人？7.学校安排学生听报告，如果每3人坐一条长椅，则剩下48人没有座位；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出2条长椅，参加会议的学生有多少人？8.学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人，每个房间住5人，恰恰安排好，问房间和学生各有多少？9、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。
请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？10、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。
问小明带了多少钱？11、某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？12、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。
如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。
解盈亏问题常常用到比较法
解盈亏问题常常用到比较法。
思路是比较两种不同的做事方法，把盈余数与不足数之和看作总差数，用每个单位的差去除，就可得到单位的数目，对本题就是栽树的人数。
我们有如下的公式：(盈+亏)÷(每个单位的差)=单位数(盈一盈)÷(每个单位的差)=单位数(亏一亏)÷(每个单位的差)=单位数【真题讲解】例1、若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生( )(2002年国家公务员考试行测第32题)A.30人B.34人C.40人D.44人解析：每间住4人，剩余20人没地方住;每间住8人，有一间缺4人没住满。
我们可以假设这些学生先4人一间，然后再每间加4人，那么第一次剩余的20人可以分配到20÷4=5间，还有一间只有4人，可以很容易得到房间为5+1=6间，那么总人数为6×4+20=44人。
通过做这道题目，我们可以进一步总结，第一次分配人到房间是盈，第二次分配人到房间是亏，(盈+亏)÷(分配方法之差)=房间数。
例2、单位安排职工到会议室听报告。
如果每3人坐一条长椅，那么剩下48个人没有坐;如果每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。
听报告的职工有多少人?(2009年河北省公务员考试行测第119题)A.128B.135C.146D.152解析：每3人坐一条长椅，剩余48人;每5人坐一条长椅，缺10人没地方坐。
48+10=58人，58÷(5-3)=29条长椅，则人数=(29-2)×5=135人。
当然本题还可以直接用人数能被5整除来进行判断，选择B。
例3、某单位以箱为单位向困难职工分发救济品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人分5箱，则余下148箱;如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，则余下20箱。
由此推知该单位共有困难职工( )(2008年山西省公务员考试行测第43题)A.61人B.54人C.56人D.48人解析：本题和别的盈亏问题的区别在于，每次的救济品分发的过程中，有一部分人的分配方法和其他人不同。
盈亏问题
盈亏问题盈亏问题又叫做盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，会有剩余（盈）；如果按另一种标准分，分配后后会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈+亏）÷两次所分之差=人数基本口诀：有余加不足，大减小来除还有一些非标准的盈亏问题，他们被分为四类：1、两盈：两次分配都有余2、两亏：两次分配都不够3、盈，适足：一次分配有余，另一次分配正好；4、亏，适足：一次分配不够，另一次分配正好；解答这些非标准的盈亏问题的数量关系式分别是：1、两盈：两次盈数的差÷两次分的差=参与分配对象总数2、两亏：两次亏数的差÷两次分的差=参与分配对象总数3、一盈一亏：盈与亏的和÷两次分的差=参与分配对象总数一、盈盈：【例1】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？（盈盈）1.学校分配宿舍，每间房住3人，则多出20人；每个房间住5人，刚好安排好。
共有宿舍多少间，学生多少人？（盈盈）2.猴子分桃子。
每只小猴分5个还多23个；如果每只小猴分9个还多3个，这堆桃子有多少个？小猴有多少个？（盈盈）3.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。
问有多少辆车？多少人？（盈盈）4.给敬老院里的老人分苹果，如果每人分11个，则要剩下39个；如果每人分14个，则剩下12个。
问共有多少个老人？共有多少个苹果？（盈盈）5.（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃.下午收工后，猴王开始分配.若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个。
若大、小猴都分4个，猴王能留下20个。
在这群猴子中，大猴(不包括猴王）比小猴多多少只.（盈盈）6.老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？（盈盈）7.—条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。
盈亏问题
盈亏问题“盈”就是剩余，“亏”就是不够的意思。
这类题目的共同特点就是：已知两个分配方案，一次分配不足，一次分配有余，求参加分配的人数及被分配的数量。
这种一盈一亏得情况就是人们所说的盈亏问题。
1.解答盈亏问题，常常通过比较法，根据除法的含义列式计算。
一般会出现三种情况：（1）两次分配，一次盈，一次亏：（盈+亏）÷两次分配的相差数=分配的份数（2）两次分配都有盈：（大盈-小盈）÷两次分配的相差数=分配的份数（3）两次分配都有亏：（大亏-小亏）÷两次分配的相差数=分配的份数2.由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品的总个数不变，所以也可以根据：（1）第一种分法的人数=第二种分法的人数（2）第一种分法的物品数=第二种分法的物品数列出方程来解答。
[例1.] 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？[例2.]猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多多少只？[例3.]学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？[例4.]王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？[例5.]阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？1.有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？2.幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？3.智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？4.一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？5.幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？6.老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。
四年级数学盈亏问题与比较法复习1
第14讲盈亏问题与比较法（一）人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。
例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。
仿照例1的解法即可。
解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
小学数学题，奥数盈亏问题比较法解题，小学常考典型题
小学数学题，奥数盈亏问题比较法解题，小学常考典型题小学数学盈亏问题，常常用到比较法，也就是常说的画图比较法。
当方法熟练以后就可以学习公式法，可以快速算出答案。
例1 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？比较法比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。
第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。
共有砖：4×9＋7＝43（块）。
解：（7+2）÷（5-4）=9（人）4×9+7=43（块）或5×9-2=43（块）答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。
如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.例2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？分析题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。
解：（48+8）÷（6-4）=56÷2=28（天）6×28-8=160（个）或4×28＋48=160（个）答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。
专题十六盈亏问题
盈亏问题把一定数量的物品分给若干对象，如果每个对象少分，则物品有余（盈）；如果每个对象多分，则物品不足（亏）。
据此求被分物品数和分配对象数的一类问题，称为盈亏问题，也叫“盈不足问题”。
盈亏问题的解题规律是，先求两次分配中每个分配对象所分物品的数量差，再求两次分配中每次共分物品的数量差（也称总差额），用后一个差除以前一个差就得到分配对象数，进而再求物品数。
可以用公式表示为：总差额÷每个对象两次分数量差=分配对象数由于分物时可以出现盈（有余）、亏（不足）或尽（正好分完）几种情况，因而“总差额”的求法也就可以分为五种不同的情况：（1） 一盈一亏类：即第一次有余，第二次不足，那么总差额等于多余数加上不足数。
公式成为：（盈数＋亏数）÷每个对象两次分物数量差=分配对象数（2） 一盈一尽类：即第一次有余，第二次正好，那么总差额等于多余数。
公式成为：盈数÷每个对象两次分物数量差=分配对象数（3） 一亏一尽类：即第一次不足，第二次正好，那么总差额数等于不足数。
公式成为：亏数÷每个对象两次分物数量差=分配对象数（4） 两盈类：即两次都有余，那么总差额等于大多余数减去小多余数。
公式成为：（大盈数－小盈数）÷每个对象两次分物数量差=分配对象数（5） 两亏类：即两次都不足，那么总差额数等于大亏数减去小亏数。
公式成为：（大亏数－小亏数）÷每个对象两次分物数量差=分配对象数例一：学校买了若干个排球，平分给各班。
如果每班分4个，则多余14个；如果每班分五个，则正好分完。
学校买了多少个排球？有多少个班级？例二：某班安排学生宿舍，如果每间5人，则有14人没有床位，如果每间7人，则多4个空床位。
问这班宿舍有几间？学生有多少人？例三：某车间拟定生产计划，预定生产机件若干。
如果每组完成16件，可以超额6件；如果每组完成15件，尚能超额2件。
这个车间预定生产机件多少件？工人有多少组？例四：将一些糖果分给幼儿班小朋友，如果每人分3粒，还余17粒；如果每人分5粒，又少13粒。
盈亏问题-2016.11.18-莱布尼茨
盈亏问题知识点：把若干物品平均分给一定数量的对象，若有剩余则称为盈，若不够则称为亏。
研究这一类算法的应用题就成为盈亏问题。
基本的盈亏问题有三种类型：盈亏型：（盈+亏）÷两次分配差=份数盈盈型：（大盈—小盈）÷两次分配差=份数亏亏型：（大亏—小亏）÷两次分配差=份数有盈有亏相加，单盈单亏相减。
【例1】★（学而思网校）精灵王子把一箱水果分给同学们，如果每人分4个，就多15个；如果每人分7个，就少12个。
有多少名同学呢？这批水果有多少个？【答案】9名;51个【解析】差量分析：每人4个，盈15个每人7个，亏12个（盈+亏）÷两次分配差=份数（15+12）÷（7-4）=9（名） 4×9+15=51（个）【例2】★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）把一些糖果分给小朋友们，如果每个人分到4颗，则多16颗；如果每位小朋友分6颗，则剩下4颗。
问小朋友有几名？这些糖果有几颗？【答案】6名;40颗【解析】差量分析：每人4个，盈16颗每人6个，盈4颗（盈-盈）÷两次分配差=份数（16-4）÷（6-4）=6（名） 4×6+16=40（颗）【例2】★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）将月季花插入花瓶中。
如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶插6朵，则缺少1朵。
求月季花的朵数和花瓶的只数。
【答案】41朵;7只【解析】差量分析：每瓶8朵，少15朵每瓶6朵，少1朵（亏-亏）÷两次分配差=份数（15-1）÷（8-6）=7（只） 7×6-1=41（朵）【例4】★（学而思网校）老师把一堆苹果分给小朋友，每人分的同样多。
如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，就只剩下12个苹果。
请问：这一堆苹果一共有多少个？【答案】48个【解析】前面例题分的份数相同，份数的量不同。
这道题是量相同份数不同。
四年级数学盈亏问题与比较法例题讲解(一)
第14讲盈亏问题与比较法（一）人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。
例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。
仿照例1的解法即可。
解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
盈 亏 问 题
什么是盈亏 问题？
预备知识
分东 西 盈亏问题的核心（基本型）
1.两种分配方案
2.总量和单位量一般是不变的
乐乐老师给同学们分卡片，如果每人5张，还 剩18张；如果每人7张，就缺2张。请问：有多 少名同学？一共有多少张卡片？
列表比较法
乐乐老师给同学们分卡片，如果每人5张，还 剩18张；如果每人7张，就缺2张。请问：有多 少名同学？一共有多少张卡片？
解题过程 第一步：找单位量 总量
单位量：同学们（每） 总量：卡片
(盈亏型)
乐乐老师给同学们分卡片，如果每人5张，还剩18张； 如果每人7张，就缺2张。请问：有多少名同学？一共 有多少张卡片？
解题过程
第二步：分配方案
分配方案
方案一 方案二
每人分得
5 7
盈/亏
+18 –2
乐乐老师给同学们分卡片，如果每人5张，还剩18张； 如果每人7张，就缺2张。请问：有多少名同学？一共 有多少张卡片？
学而思学校新进一批书，将它们粉给几个 老师，如果每人发10本，还差9本；每人 发9本，还差2本，请问有多少老师？多少 本书？
人数：（9-2）÷（10-9）=7（个） 书： 10×7-9=61（本）
或 9×7-2=61（本） 答：有7老师，61本书。
公式总结
单位量=总的盈亏差距÷单位分得的差距
盈盈型：单位量=（盈–盈） ÷两次分得只差 亏亏型：单位量=（亏–亏）÷两次分得只差 盈亏型：单位量=（盈+亏）÷两次分得只差
答：可以空出5个房间。
本讲总结
分东 西 盈亏问题的核心（基本型）
1.两种分配方案 2.总量和单位量一般是不变的
解题思路
比较法
第九讲 盈亏问题与比较法
4D10盈亏问题与比较法人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。
例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。
仿照例1的解法即可。
解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
盈亏问题的理解
盈亏问题的理解解题思路：1、通过假设，变成可比的变量；2、找出两种不同的分配方式导致的结果差异；3、通过将一种情况假设成另外一种情况，发现差异的原因。
4、利用除法的原理：总差/每组的差=组数的方法求解。
两个容易出错的地方：1）盈亏问题中有两个地方需要比较，第一个：结果差异比较。
两者之间一定是可比的。
2）第二个比较是分配方式的比较。
不同的分配方式下，分配的东西不仅仅要有可比性，而且数量也必须是一样的，只有这样才能用除法。
例题1、学生春游，每船坐15人，有10人没船坐；每船坐20人，还可以坐30人。
问多少个同学，几条船？解：首先，这道题里，在两种不同的分配方式下，隐含的条件是：1）人数不变；2）船数不变。
（在数学的学习过程中，要善于发现题目中没有明说，但是隐含的条件，这往往是解题的关键）其次，假设第一种情况下，每条船正好坐了15人，全部坐满，人不多不少（注意：假设的时候要不多不少正好），那么就要减少10人；假设第二种情况下，每条船正好坐了20人，全部坐满，人不多不少，那么还需要增加30人。
（解释给孩子听，为什么要假设两种情况下都坐满呢，不多不少呢？因为只有这种，才能变成可比，才可以用除法）第三，我们现在就要通过比较，发现两种不同情况下出现的结果差异。
现在命令第二种情况下，每船坐20个人的，每条船都下来5个人，变成每条船15人。
需要下来几个人呢？30+10=40第一种情况第二种情况A B C D（画图的要点：线段的单位是人数呢，还是船数好呢？如果结果差异里是人数，那么线段的单位也要用人数）。
看上图，我们发现：线段AB表示的第一种情况正好全部都是每船15人，把多余的人扔掉了。
线段AD表示，每船正好都是20人，把不够的人补齐了。
线段AC表示原来的人数。
通过比较之后，我们发现，每船从20人变成每船15人，减少的总数人就是线段BC+线段CD=10+30=40人。
这40人是怎么来的，是所有的船，每船减少5人汇总加起来的。
盈亏问题总结
盈亏问题总结盈亏问题姓名：有一类应用题，是己知两个分配方案，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的人数及被分配的总量。
这类解答分配过程中出现的剩余（盈）或不足（亏）问题的应用题就叫做盈亏问题。
这里，有余简称盈，不足简称亏。
解盈亏问题的关键是比较两种方案下的差别，具体步骤如下：1、根据方案求出参与分配者每次分得物品数量之差（每人差额）。
2、根据结果求出两次分配的物品所余（盈或不足）之差，也称总差额。
但在题目里，有时两种方案一盈一亏，这时“总差”用加法求得；有时两种方案可能都盈或都亏，此时总差要用减法求得。
3、根据总差中包含个体差的个数，兢可以用总差额除以每人差额而得出参加分配的人数，即总差额÷每人差额=人数解盈亏问题，常常通过比较法，根据除法含义列式计算。
一般有如下几种情况：一盈一亏：（盈+亏）÷每份数的差=份数两盈：（大盈一小盈）÷每份数的差=份数两亏：（大亏一小亏）÷每份教的差=份数例题1、一个植树小组植树。
如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。
这个植树小组多少人？一共有多少棵树？练习：1.幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。
幼儿园有多少个朋友？一共有多少积木?2.幼儿园某班小朋友分水果糖，如果每人分4颗，则剩下20颗；如果每人分5颗，则差5颗。
求小朋友的人数和水果糖的颗数。
3.幼儿园的小朋友分饼干，如果每个人分6块饼干，那么还多出12块，如果每个人分8块饼干，那还差24块。
间幼儿园一共用多少小朋友？一共有多少块饼干？例题2、学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。
三好学生有多少人？铅笔有多少支？练习：1.寓新小学要来—批铅笔，奖给三好学生。
如果每人奖5枝，则差2枝；如果每人奖7枝，则差98枝。
三好学生有多少人？铅笔有多少枝？2.将月季花插入一些花瓶中。
盈亏问题
【知识引导】把一定数量的物品平均分，每份少一些，则物品就有剩余（即盈）；每份多一些，则物品就不够（即亏）．这一类算法的应用题称之为盈亏问题，基本解法：（盈+亏）÷两次分配差=份数每次分的数量×份数＋盈=总数量每次分的数量×份数－亏=总数量解盈亏问题，常常通过比较法。
例如：学校春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，有16人没船划，如果每条船坐5人，则有一条船上差4人，问共有学生多少人？共租了多少条船？在题目中，不论如何分配，学生的人数与船的条数是不变的。
比较两种分配方法，第一种和第二种分配方法中人数一多一少相差4+16= 20（人）。
相差的原因在于两种方法的分配数不同，两次分配每条船相差5-3=2（人）。
每条船相差2人，那么多少条船会相差20人？由此可求出船的条数：20÷2 =10（条），所以学生总人数可列式计算：3×10 +16=46（人）或列式5×10 -4= 46（人）算出。
列综合算式：(4+16)÷(5-3)=10（条）3×10 + 16= 46（人）答：共有学生46人，共租了10条船。
通过分析，我们知道解盈亏问题的关键在于确定两次分配数的差与盈亏的总额（盈数+亏数）。
解题时要注意：(1)要认真审题，仔细分析，确认用盈亏总额÷两次分配数之差得到的是题目中的哪个量，不能“张冠李戴”(2)两种分配方法不一定总是一“盈”一“亏”，还可能是两个都“盈”，两个都“亏”，或是一个“不盈不亏”，另一个“盈”或“亏”等情况。
【目标范例】例1．学校春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，则有20人没船划，如果每条船坐5人，恰恰安排好，问共有学生多少人？共租了多少条船？分析与解:第一种分配“盈”20人，第二种分配“不盈不亏”，盈亏总额为20 +0= 20，又可知每条船相差5-3=2（人），所以：有船：20÷(5-3)= 10（条）有学生：5×10 =50(人)答：共有学生50人，共租了10条船。
盈亏问题
盈亏问题【盈亏问题公式】（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
一、基本型盈亏问题基本概念：一定量的物体，按照某种标准进行分组，最后会产生一种结果；按照另一种标准进行分组，又会产生另一种结果。
基本特点：两个未知：总份数，总数。
两个一定：总份数不变，总数不变。
基本思路：比较法：（1）总份数=总差÷每份差（2）再代到任一条件求总数。
基本题型：盈盈型：总份数= （较大余数‐较小余数）÷每份差；亏亏型：总份数= （较大不足数‐较小不足数）÷每份差；盈亏型：总份数= （余数+不足数）÷每份差。
如：小朋友分苹果，每人4 本多10 个；每人6 本少8 个，问多少人多少苹果？两个未知：人为份数，苹果为总数；两个一定：人数不变，苹果数不变。
（1）人数= （10+8）÷（6‐4 ）=9（2）苹果数=4 ×9+10=46 （或6 ×9‐8=46）我们遇到的题目一定首先分清什么是份数，什么是总数，可以套一下人分苹果模型，人为份数，苹果为总数。
有变化的盈亏问题先把它转化成基本型盈亏。
例1：（2008 春蕾杯小学数学邀请赛决赛）A、B 买了相同张数的信纸。
A 在每个信封里装1 张信纸，最后用完所有信封还剩40 张信纸；B 在每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40 个信封。
他们都买了多少张信纸？分析与答：信封为份数，信纸为总数。
每个信封里装3 张信纸，最后用完所有的信纸还剩40 个信封，相当于如果把所有的信封用完还差3 ×40=120 张信纸。
盈亏问题-差量比较法
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3.巩固练习
1)老师给同学们分苹果，每人分10个，就 多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共 有多少个学生？多少个苹果？
【分析】第二次每人多分了1个，所以 有8÷1=8（名）学生，8×10+8=88 （个）苹果
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2） 老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就 多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那 么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃 子？
*公式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数
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2). “盈盈” 型
例如：明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果 每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4 元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱 是多少？
【分析】由题目条件知道，同学的人数与蛋糕的价格不变， 比较两种方案，两次分配的数量是不一样的，第二次分配 时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每一个 人退了1元钱，总共退回8-4=4 （元），因此就知道，共 有4÷1=4 （人），蛋糕价钱是 8×4-8=24（元）．
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*公式：(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数
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3) “亏亏” 型
例如：学而思学校新买来一批书，将它们分给几 位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本， 还差2本，请问有多少老师？多少本书？
【分析】两次分配的数量不一样，第二次分配时每人少发 了1本，也就是在第一次分配的基础上从每一个人那里拿 回了一本书，总共拿回了9-2=7（本)书，所以共有老师 7÷1=7（人）
盈亏问题
------ 差量比较法
****** ***
一、教学目标： 1.熟练掌握盈亏问题的本质. 2.运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．
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2). “盈盈” 型
例如：明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果 每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4 元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱 是多少？
【分析】由题目条件知道，同学的人数与蛋糕的价格不变， 比较两种方案，两次分配的数量是不一样的，第二次分配 时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每一个 人退了1元钱，总共退回8-4=4 （元），因此就知道，共 有4÷1=4 （人），蛋糕价钱是 8×4-8=24（元）．
*公式：(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数
Page 5一批书，将它们分给几 位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本， 还差2本，请问有多少老师？多少本书？
【分析】两次分配的数量不一样，第二次分配时每人少发 了1本，也就是在第一次分配的基础上从每一个人那里拿 回了一本书，总共拿回了9-2=7（本)书，所以共有老师 7÷1=7（人）
盈亏问题
------ 差量比较法
****** ***
一、教学目标： 1.熟练掌握盈亏问题的本质. 2.运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．
二、教学重难点： 1.重点：基本盈亏问题的类型 2.难点:利用差量比较法解决生活实际问题
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三、教学过程：
1.盈亏问题
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出 现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”， 分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把 一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果 每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多 分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法 的应用题叫做“盈亏问题”．
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【分析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案 盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差 是11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子： 7÷1=7（只），老猴子有7×10+9=79（个）桃子。
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小总结
(盈 + 亏)÷两次分得之差=人数或单位数 (盈 - 盈)÷ 两次分得之差 =人数或单位数 (亏 - 亏)÷ 两次分得之差 =人数或单位数
*公式：(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数
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3.巩固练习
1)老师给同学们分苹果，每人分10个，就 多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共 有多少个学生？多少个苹果？
【分析】第二次每人多分了1个，所以 有8÷1=8（名）学生，8×10+8=88 （个）苹果
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2） 老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就 多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那 么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃 子？
解题关键：抓住两次分配时盈亏总量的变化。
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2.盈亏问题的三种关系类型
1) “盈亏”型
例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果， 如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒， 问：有多少位同学分多少粒糖果？
【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变， 比较两种分配方案，第一种没人分4粒就多9粒，第二种每 人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15 （粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数 之差为15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69 （粒）。