任意角的三角函数与求值计算资料
任意角的三角函数⑵
1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义 设 为任意角, p ( x , y )是 终边与单位圆的交点。
y
P (x, y) 正弦： sin
1 余割： csc y
o
x
1 余弦： cos x 正割： sec x 正切： tan y 余切： cot x
y o x
α在第二象限如何？其它象限如何？
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
cos x OM
MP AT tan AT OM OA
1.设的终边与单位圆交于点P(x,y),
2.过点P作x轴的垂线，垂足为M
0
k Z
转化为求00 到3600 角的三角函数值。 可把求任意角的三角函数值，
练习：1.求值 9 1) cos 4
2) sin1470
19 4) sin( 1050 ) 5) tan 3
11 3) tan( ) 6 31 6) tan( ) 4
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y x y tan cos sin x r r
2.若角
3.角
求
的终边上一点P的坐标为 4a, 3a a 0
2sin cos 的值；
3 8 的终边过点P a， cos 则 a ______ 5
，
4.角的终边在直线3 x 4 y 0上, 求2sin cos
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
任意角三角函数1
(k z)
0
0 把角化到0
~ 360
小结
(+ ) ( )
(2)三角函数在象限内的符号
（+ ） ( ) ( )
-
(+ )
( )
-
(+ )
-
-
( )
-
(+ )
(+ )
( )
-
cos a a a sin tan
作业: P20 习题1.2 第2大题, 第3大题的（3）和（4）, 第5大题
例题1 5 求 的正弦,余弦,正切的值 3
例题1 5 y 求 3 的正弦,余弦,正切的值
1 x 2
3 y 2
r 1
5 3
O
1 2
5 3 sin y 3 2
1
3 2
x
5 1 cos x 3 2
5 y tan 3 3 x
1 3 P , 2 2
sin x cos x tan x 4.函数y + + 的值域是( ) sin x cos x tan x A.1,3 B.1, 3 C.1,1,3 D.3, 1,3 5.若 sin cos 0, 则 在 ( A.第一, 二象限角 C.第一,四象限角 ) B.第一, 三象限角 D.第二,四象限角
若OP r 1 ，则
Y
MP sin OP
P(x,y)
y
O M X
OM cos OP
x y MP tan OM x
在直角坐标系中,以原点O为 圆心,以单位长度为半径的圆 叫单位圆
高中数学第7章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4第1课时诱导公式①②③④课件新人教B版必修第三
南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称
问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角 α 的终 边与 π±α，－α 有什么样的对称关系？
提示 π＋α 的终边与 α 的终边关于原点对称；π－α 的终边与 α 的终边关于 y 轴对称；－α 的终边与 α 的终边关于 x 轴对称．
1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝ sin α (k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝ cos α (k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝ tan α (k∈Z)．
[解] (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos
30°＝－
3 2.
(2)sin 114π＝sin2π＋34π
＝sin 34π＝sinπ－π4
＝sin
π4＝
2 2.
(3)sin－436π＝－sin6π＋76π ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60° ＝－12.
3 .
解决给值求值问题的策略 1解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的 角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形 向已知式转化.
[跟进训练]
2．已知 sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β)的值为( )
＝cosπ＋π6＝－cos π6＝－ 23.
法二：cos－316π＝cos－6π＋56π ＝cosπ－π6＝－cos π6＝－ 23. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
任意角的 三角函数
OP OM cos a, OP MP b tan OM a
α x O M A(1,0)
任意角的三角函数定义：
如图，设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交 于点P(x,y)，那么：
3.三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点 的坐标(比值)为函数值的函数.
作业:<<自主学习资源>>P73~74
第1,3,5,9,10,12题
谢谢大家!
y
sin
M0 M
α
O
A(1,0) x
P(x,y)
P0(-3,-4)
4 , 5 3 cos , 5 4 tan 3
P0(-3,-4)
| OM | | OM 0 | 3 cos x | OM | | OP | | OP0 | 5 tan y | MP | | M 0 P0 | 4 4 x | OM | | OM 0 | 3 3
实际上
练习2.已知角α 的终边经过点P(2,-3)，求 角α 的正弦、余弦和正切值。
§1.2.1任意角
的三角函数
第一课时
复习引入
锐角三角函数的定义：
斜边 对边
对边 斜边
邻边
sin _____; cos _____; tan _____
邻边 斜边
对边 邻边
锐角三角函数坐标化
O重 设锐角 的顶点与原点 y P(a,b) 合,始边与 x 轴的非负半轴重合. P(a,b) 在 的终边上任取一点 P(a, b) ,它 r 与原点的距离 r a2 b2 α
如何计算任意角的三角函数值
ｔｎ ３ ￣ ａ ３ ０
一
（） （号 ｛２ 一 ） ＋
√
第 三 或 第 四 象 限 ， 它 是 十ａ或 ２ － ｎ⑤ 若 要 求 适 合 条 件 的一 切 则 ｒ ； ｔ
角 ． 利 用 终 沩 相 同 的 角 的 表 式 写 出 一 切 角 再
三角函 ｌ（ ｎ ｌ 数 Ｉ ＋ｒ 数 一） ： 角萌 （ ２ ｏ ）
・ ． ‘
匿
悃
．
ｓ ＋ 一 号 一 ｉ 号—ｓ —譬 ｎ ｃ ｍ ．
ｓ ｚ 号 — ｓ号— ｉ 一 ｎ一 ｃ ｎ ｉ 一
＿
特 举 几 种 类 型 的例 子 ：
例 １ 求 下 列 各 三 角 函 数 的值 ．
一
从例２ 可见， 知ａ 弓 的一个 角函 数值求角ａ实质上是要解 ，
个 最 简 单 的 ｉ 角 方 程 ， 的 一 般解 法 步 骤 是 ： 决 定 角 ｎ 在 的 它 ① 所
象 限 ； 如 函数 值 为 正 ， 求 出对 应 锐 角 一③ 如 函 数值 为 负 ， ② 先 ； 先求
④ａ一５） 一锄 ５一 ｔ（ 一 一 （ｔ 号一 ｔ（了 一 ｔ了 一ａ２ 号） 一 一ａ ｎ ｎｎ ｎ
３ 解①ｃｓ － １１ 一ｃｓｌ ｏ（ １ ） ｏ ｌｌ 一ｃｓ３０ ×３ ） ｏ３Ｏ ｆ ｏ（６￣ ＋３ 一ｃｓＯ ￣
．
ａ｛ 一订 鲁ｋｕＩ ２＋ ｋ 或 一 Ｉ ２＋ ，｝ａ一 丌 ｚ ａ ｜ ｒ ｚ ｛ ｋ ，｝ ａ ａ
ｎ ｛ａｋ （ １号， ｝ 一ａ—ｎ 一） ｋ ． 『 ｚ
① ｔｌ一√ （８￣ ａ ２０） ａａ ｊ １０＜ ＜ ７￣． Ｉ
一
．
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。
任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。
1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。
正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。
其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。
其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。
其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。
其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。
同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。
任意角的三角函数ppt
sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
c os OMa
OP r
y
﹒Pa,b
tan MPb
OM a
o
﹒
Mx
如果改变点Ｐ在终边上的位置， 这三个比值会改变吗？
M
﹒
P
O
x
P(a,b)
M
∽ OMP
y 探究
3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OPr1，则
以原点O为圆心，以单位
长度为半径的圆，称为单位圆.
r
tan yx0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与P点 在
角的终边上的位置无关.
练习 1、已知角 的终边过P12,5
点
，
求
的三个三角函数值.
解：由已知可得：
rx2y212 25213
于是，sin y 5
r 13
tan y 5
x 12
c os x 12
r 13
2 、 已 知 角 的 终 边 上 一 点 P 1 5 a , 8 a a R 且 a 0 ，
的正弦、余弦和正切值 .
，求角
解:由已知可得 O0P (3)2(4)25
设角
的终边与单位圆交于 P(x, y)
y
，
分别过点
、P P0作 x 轴的垂线MPM 0 P、0
M0 M O
x
M0P0 4
OMx
Px, y
OM0 3
MPy
OMP∽ OM0P0
P03,4
于是， s in yy|M| P M 0P 04;
（2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 y轴上时，点P 的
横坐标等于0， tan y 无意义，此时 k(kz).
期末复习一——任意角的三角函数
期末复习一——（任意角的三角函数）一、知识点归纳（1）正角、负角、零角、象限角、终边相同的角、角度制、弧度制； （2）1弧度角的规定、弧长公式、扇形面积公式；（3）任意圆中圆心角弧度的算法； （4）三角函数值的定义； （5）三角函数线：正弦线、余弦线、正切线； （6）三角函数值的符号判定； （7）同角三角函数间的关系公式 ①平方关系：22sin cos 1αα+= 注意： ②商数关系sin tan cos ααα= 公式的逆向使用（8）特殊角的三角函数值。
（必须熟记）；（9）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
二、例题解析例1（1）若弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2cm,则这个圆心角所对的弧长是 它们所构成的扇形面积是 。
（2）若角θ满足sin θcos θ<0,cos θ-sin θ<0,则θ为第 象限角例2．（1）角θ的顶点与坐标原点O 重合，其始边与x 轴的正半轴重合，角θ的终边上有一点P(2t, -4t)(其中t ≠0)，求sin θ、cos θ、tan θ的值.（2）已知sin 2cos ,θθ=-求sin θ,cos θ,tan θ.例3．求值:(1)sin(-1740°)²cos1470°+cos(-660°)²sin750°+tan405°(2)22251172sin tan ()tan()434πππ+-∙-例4.已知3sin 2cos 0αα-=,求下列各式的值22cos sin cos sin (1);(2)2sin 2sin cos 4cos .cos sin cos sin αααααααααααα-++-++-例5化简44661cos sin ;;(3)1cos sin αααα----任意角的三角函数一、选择题：1．sin600°的值是（ ）A.21 B.－21 C.23 D.－232.下列转化结果错误的是 ( )A.0367' 化成弧度是π83radB.π310-化成度是-600度C. 150-化成弧度是π67rad D.12π化成度是15度3．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ）A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 4、如果sin θ= m,m<0,180°<θ<270°,那么tan θ等于（ ）A ．21m m- B ．－21m m- C ．±21mm- D ．－m m 21-5、若sin θ=53+-m m ，cos θ=524+-m m ,其中θ为第二象限角,则m 的取值范围是 （ ）A ．m = 8B ．3<m<9C ．m=0或m=8D ．－5<m < 9 6、使0cos sin <⋅αα成立的角α是（ ）A ．第三、四象限角 B.第一、三象限角 C.第二、四象限角 D.第一、四象限角 7、已知θ的终边过点P （4a ，－3a ），且53sin =θ，则=θtan （ ）（A ）43-（B ）34-（C ）43（D ）34 8、若βα,的终边关于y 轴对称，则必有 （ ） A Z k k ∈+=+,)12(πβα B 2πβα=+C Z k k ∈=+,2πβαD Z k k ∈+=+,22ππβα9、y =xx x x x x tan |tan ||cos |cos sin |sin |++的值域是 （ ）A ．{1,－1}B ． {－1,1,3}C ． {－1,3}D ．{1,3}二、填空题：10、已知扇形的圆心角是72︒，半径为20cm,则扇形的弧长为面积为11、比较下列大小： sin1、 cos1、 tan1 ； > >12、（1）已知600,sin cos,sin cos169απαααα<<∙=--=则。
必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)
任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一 三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是 ．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案 －43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解 因为x ＝2，y ＝－3， 所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案 一或二解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题11．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5， 得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。
5.3 任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
c
a
A 邻边 C
b
cos
A
b c
邻边 斜边
tan
A
a b
对边 邻边
思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角 的三角函数呢？
任意角三角函数的定义
已知 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角 的
终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
三 角 函 数
归纳小结会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
本节课所学知识点： 1．任意角三角函数的定义（代数表示）． 2．任意角三角函数值的求法（方法）． 3．任意角三角函数值的符号（口诀）． 4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．
三 角 函 数
布置作业 继续探究
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
计算器
补充练习
计算
(1)3cos90 5sin 0 tan 0 cos180 sin180 tan180
(2)5cos270 9sin 0 sin 270
单位圆与三角函数线
1. 以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆.
2. 如图，角 的终边与单位圆交于点P，
则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标 x， y 分别为
cos 和 sin ，即 P( cos , sin ).
y1
由于 cos ＝ x ＝ OM；
P (cos , sin )
π
3A OM x
_任意角的三角函数
(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终 点字母在后面．
应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法．
形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余 弦”．
练习2：已知角α的终边过点P0(－3，－4)，求角α的正 弦、余弦和正切值， 4 3 4 ∴sin α＝－ ，cos α＝－ ，tan α＝ . 5 5 3
思考应用 2．你知道形象的识记口诀的意思吗？ 解析： 口诀：“一全二正弦，三正切四余弦”，意为： 第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，
2 >0. x2＋y
x x (2) 比值叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ； r r
y (3) 比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ x
单位圆上是一种特殊情形．
y 比值叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ r
；
y r
y .点P在 x
二、三角函数值在各个象限内的符号
1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符 号，可以确定三角函数在各象限的符号．
即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________ 象限角时，sin α<0； x cos α＝ r ，其中r>0，于是cos α的符号与x的符号相同， 即：当α是第________象限角时，cos α>0；当α是第________ 象限角时，cos α<0； 同、异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限 角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.
7.2.1 任意角的三角函数(第一课时)(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(苏教版
y＝ 23. 于是 sin α＝y＝ 23，cos α＝x＝12，tan α＝yx＝ 3.
谢 谢观看
中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝ 23，|OB|＝12，则 P－12， 23.所以 sin 23π＝ 23，
cos 23π＝－12， 3
tan 23π＝－212＝－ 3.
规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标.然后利用定义，即 可得到特殊角的三角函数值.
【训练2】 对于表中的角α，计算sin α、cos α、tan α的值，并填写下表.
一、课堂小结 1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养. 2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的
函数. 3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函
数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、课堂检测
规律方法 三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义可知 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(r>0)可知三角函数值的符 号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置 是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定 α 角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三 角函数值的符号来确定角 α 的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上.
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不存
4.1任意角的三角函数、诱导公式、二倍角公式
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组第 课时4.1任意角的三角函数、诱导公式、二倍角公式考纲定位 能进行角度与弧度之间的转化；理解任意角的三角函数的定义；掌握诱导公式、同角三角函数之间的基本公式及二倍角公式，并能灵活运用. 【考点整合】1、弧度与角度的关系，及特殊角的三角函数值α的角度 0 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° α的弧度 sin α cos α tan α同角的三角函数关系； .2、诱导公式 角β的值 2k απ+απ+α-πα-2πα-2πα+sin β cos β tan β口诀； 一全正，二正弦，三正切，四余弦 .3、两角和与差及二倍角公式（1）sin()αβ±= ；cos()αβ±= ；tan()αβ±= ；（2）sin 2α= ；cos 2α= = = ；tan 2α= ；（3）辅助角公式：sin cos a x b x +=4、判断下列语句的真假：（1）若α的终边在第一象限，则α是正角； （ ） （2）若α在第二象限，则sin 20α>； （ ） （3）cos()cos()παα-=- （ ）（4）若3sin 5α=，则由22sin cos 1αα+=得4cos 5α=； （ ） （5）已知角α的终边过点(4,3)-，则34sin ,cos 55αα==-； （ ）（6）呃若角α的终边过点(4,3),0a a a -≠，则34sin ,cos 55αα==-；（ ）【典型例题】 一、化简求值1、（2012 辽宁）已知sin cos 2αα-=，(0,)απ∈，则tan α=（ ）A.-1B.22-C.22D.1 2、（2012 全国）已知α为第二象限角，3sin cos 3αα+=，则cos 2α=（ ） A.53-B.59-C.59D.533、（2009 湖南）若(0,)2x π∈，则2tan tan()2x x π+-的最小值为 ；二、辅助角公式的应用4、（2010 浙江）函数2()sin(2)22sin 4f x x x π=--的最小正周期是 ；5、（2011 湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （I ）求角C 的大小； （II ）求3sin cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．【上本作业】《胜券在握》P47页 第3题：已知函数(sin ,cos ),(1,2),0m A A n m n ==-∙=且. （1）求tan A 的值；（2）求函数()cos 2tan sin ,()f x x A x x R =+∈的值域.【课后反思】4.1任意角的三角函数、诱导公式、二倍角公式 参考答案判断题：（1）× （2）× （3）× （4）× （5）√ （6）× 1、A 2、A 3、22 4、π5、解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是 3sin cos()3sin cos()43sin cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．综上所述，3sin cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==【上本作业】解：（1）由于sin 2cos 0m n A A ∙=-= 故tan 2A =. （2）由于tan 2A =，故()cos 22sin f x x x =+2132(sin )22x =--+又x R ∈，则sin [1,1]x ∈-故当1sin 2x =时，()f x 有最大值为32；当sin 1x =-时，()f x 有最小值为-3.所以()f x 的值域为3[3,]2-.。
任意角三角函数(实用)
周期性
正切函数是周期函数，其最 小正周期为 $pi$。
奇偶性
正切函数是奇函数，即 $tan(-x) = -tan(x)$。
值域
间断点
正切函数的值域为全体实数， 即 $R$。
正切函数在 $x = (k + frac{1}{2})pi$（$k$ 为整数） 处有间断点，即在这些点上 函数值不存在。
03
任意角三角函数运算规则
可以得出最终结果。
乘除运算规则及示例
乘除运算规则
对于任意角度α，其三角函数的乘除运算主 要涉及到倍角公式、半角公式等。例如， sin2α、cos2α等可以通过倍角公式进行计 算，而sinα/2、cosα/2等则可以通过半角 公式求解。
VS
示例
计算sin60°cos60°时，可以使用倍角公式 sin2α=2sinαcosα，将原式转化为 1/2sin120°，从而得出结果。同样地，对 于cos^2(45°)，可以使用半角公式进行求 解。
余弦函数图像与性质
周期性
振幅与相位
余弦函数也是周期函数，其最小正周期为 $2pi$。
余弦函数的振幅为 1，相位为 $pi/2$。与正 弦函数相比，余弦函数在相位上滞后了 $pi/2$。
奇偶性
值域
余弦函数是偶函数，即 $cos(-x) = cos(x)$ 。
余弦函数的值域为 $[-1, 1]$。
正切函数图像与性质
测量与定位
01
在工程测量中，三角函数常用于计算两点之间的距离、角度等
参数，以及进行定位和定向。
建筑设计
02
在建筑设计中，三角函数可以帮助设计师计算建筑物的角度、
高度、宽度等参数，以及进行日照和阴影分析等。
任意角的三角函数诱导公式、同角求值
(三) 任意角的三角函数及诱导公式一、知识整理：（一）角的概念的推广1．正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（不旋转）2．终边相同的角：设βα,是始边相同的角，则βα,的终边相同απβ+=⇔k 2,Z k ∈.3．坐标系中的角：（规定：角的顶点与原点重合，始边在x 轴的正半轴上）（二）角的度量换算关系10= 弧度；π= 0（三）角函数的概念：1．定义1：设α的终边与单位圆交于点),(y x P ，则sin α= , cos α= ,tan α= . 定义2：若α的终边上一点),(y x P 呢？2．象限角的三角函数值的符号表:（四）同角三角函数的基本关系：（五）诱导公式：απ±k 2，π+α,π-α,-α： 函数名不变，符号看象限；2π+α,2π-α简记： 函数名要变，符号看象限。
二、典型例题例1．已知角的顶点与直角坐标系原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，指出它们是哪个象限的角？（1）4200； （2）-750； （3）-5100例2．已知角α的终边过点P （3,4）,求角α的各三角函数值。
已知角α的终边过点P （3r ,4r ）(r ≠0),求角α的各三角函数值。
例3．已知4sin =5α ，α为第二象限角，求cos ,tan αα。
若cos130a =o ，则tan 50=o ___________.(用a 的代数式表示)例4．求值：1．sin(1560)cos 210cos(300)sin(1410)______.-︒︒+-︒-︒=2=___________________3．已知1sin cos 2x x -=，且x 在第三象限，则sin cos _______,sin cos ________.x x x x =+= 三、作业：一、选择题1．半径为π，中心角为120o 的弧长为 ( )A ．cm 3πB ．cm 32πC ．cm 32π D ．cm 322π 2．下列哪个三角函数值与sin 220︒相等 （ ）A ．sin50︒B ．cos50-︒C ．cos50︒D ．sin50-︒3．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是 ( ) A ．{1} B ．{1,3} C ．{1}- D ．{1,3}-4．若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角二、填空题5．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是_ ______．6．化简：sin()sin()sin()sin()22πππαπααα-+--+=_____________ 7．已知tan 3α=，则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-=________________ 三、解答题8.求下列三角函数值：（1）11sin6π； （2）17sin()3π- ．9．已知31cos =α，且02<<-απ，求)2cos()23sin()2tan()2sin()cos(απαπαπαππα+--+--的值.。
1.2.1.1任意角三角函数
第1课时 任意角的三角函数(一)任意角的三角函数的定义sin α，即sin α＝y cos α，即cos α＝x ，即tan α＝yx(x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数到一个比值的集合的函数．三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．Z }三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦状元随笔 对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y 的符号；．sin 750°＝________.类型一三角函数的定义及应用1(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________ 2x”其他条件不变，结果又如何？的值为；（1）将本例中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？（2）将本例中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？（3）将本例中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.方法归纳判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上. 跟踪训练1 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.2．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ． 3．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角．(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.7．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．8．已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知角α的终边为射线y ＝－34x (x ≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．10．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.11．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 12．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 13．计算：(1)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3.14．已知角α的终边过点(a,2a )(a ≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．第2课时 任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线状元随笔 (1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的，为正值，与x 轴或y 轴反向的，为负值． (1)角的三角函数线是直线．( )(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )(3)第二象限的角没有正切线．( )2．有下列四个说法：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同． 不正确说法的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT 4．已知sin α>0，tan α<0，则α的( )A ．余弦线方向向右，正切线方向向下B ．余弦线方向向右，正切线方向向上C ．余弦线方向向左，正切线方向向下D ．余弦线方向向上，正切线方向向左类型一 三角函数线的作法【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.类型二 利用三角函数线比较大小【例2】 (1)已知A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β (2)利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．跟踪训练1．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c2 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？类型三 利用三角函数线解不等式(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围 2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求α的取值范围3．利用本例的方法，求函数y ＝2sin x －1的定义域．方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1) sin α≥32；(2)cos α≤－12.一、选择题(每小题5分，共25分)1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM3．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D.[]0，π5．如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．7．不等式tan α＋33>0的解集是________________________．8．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．三、解答题(每小题10分，共20分)9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3.10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22.11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三象限的角平分线上12．若cos θ>sin 7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试利用三角函数线证明sin α＋cos α>1.。
1.2 任意角的三角函数-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.三角函数的定义数学抽象水平1 水平11.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义。
2.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件及公式的变形。
3.理解并记忆求值、化简及证明的模型，领会解题常用的方法技巧。
【考查内容】根据三角函数的定义求值，三角函数平方关系的应用。
【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.终边相同的角的同一三角函数值的关系数学运算水平1 水平23.单位圆数学直观水平1 水平24.同角三角函数的两个基本关系式数学运算水平1 水平2第二讲任意角的三角函数知识通关①y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一知识点四 三角函数的定义域思考 正切函数y ＝tan x 为什么规定x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z?答案 当x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，角x 的终边在y 轴上，此时任取终边上一点P (0，y P )，因为y P0无意义，因而x 的正切值不存在．所以对正切函数y ＝tan x ，必须要求x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .梳理 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .知识点五 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴，过点A (1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T ，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP ，OM ，AT 的关系吗？答案 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM 垂直于x 轴，有向线知识点六 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x . ∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案 ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式＝sin αtan α.此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值规律方法例1-2已知角α的终边在直线y＝3x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．解析：因为角α的终边在直线y＝3x上，所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝a2＋(3a)2＝2|a|(a≠0)．若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sin α＝3a2a＝32，cos α＝a2a＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝3a－2a＝－32，cos α＝－a2a＝－12，tan α＝3aa＝ 3.答案32，12，3或－32，－12， 3变式训练1-2在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．解析：当角α的终边在射线y＝－34x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sin α＝yr＝－35＝－35，cos α＝xr＝45，tan α＝yx＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y＝－34x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sin α＝yr＝35，cos α＝xr＝－45，tan α＝yx＝3－4＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝⎛⎭⎫－45－34＝35＋125－34＝94.综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.题型二 三角函数值符号的判断 规律方法例2、 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 解析： (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.变式训练2 sin1cos3tan5的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在解析： π3π013π52π22<<<<<<，， ∴sin10cos30tan50><<，，．答案 B题型三 诱导公式一的应用 规律方法(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；变式训练3tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析： tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案32题型四 三角函数线 规律方法sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ，cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 变式训练4、 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．解析： 已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .题型五 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值则tan α的值为( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 解析： ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.答案 D(2) 已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则tan α的值为( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.43解析： ∵sin α＋cos α＝15，等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225，∴sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，又∵－π2<α<0，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－34.答案 B变式训练5-1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解析： 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 规律方法：例5-2已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.变式训练5-2 已知cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝1213>0且cos α≠1，∴α是第一或第四象限角． (1)当α是第一象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.(2)当α是第四象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－513，tan α＝－512.题型六 齐次式求值问题 规律方法：例6 已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.解析： (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.变式训练6 已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解析： 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tan θ＋31＋tan2θ＝－15.例8-1 ∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2α>的角α的范围．∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2≤α的角α的范围．解析：∴如图所示，π5π2π2π66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ∴如图所示，5π132ππ2π66k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤，．（1）（2）变式训练8-1 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．解析： 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 规律方法例8-2 求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫sin x －22＋1－2cos x 的定义域．解析： 由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.12(1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．一、选择题1．已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为()A.55 B.255C．－55D．－255答案 D2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于()A.12B．－12C．－32D．－33解析：由题意得P(1，－3)，它与原点的距离r＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 答案 C3.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM，正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案 C4．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x－π3的定义域为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π3，x∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋π6，k∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋5π6，k∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ－5π6，k∈Z解析：∵x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ＋5π6，k∈Z.答案 CA组基础演练5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析： 角α的取值范围为图中阴影部分， 即⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π.答案 D7．已知tan θ＝2，则1sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45答案 B 8.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°解析： 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.答案 B9．若α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α等于（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解析：因为5tan 12α=-，所以sin 5cos 12αα=-，即12cos sin 5αα=-，因为22sin cos 1αα+=， 所以22144sin sin 125αα+=，即225sin 169α=，因为α是第四象限角，所以5sin 13α=-。
任意角三角函数计算公式
任意角三角函数计算公式
三角函数是数学中非常重要的一类函数，任意角三角函数是其中的一种。
任意角三角函数指的是在单位圆上，以圆心为起点，将角度绕一周后所得的点与$x$轴正半轴之间的夹角。
任意角三角函数的计算可以使用以下公式：
1. 正弦函数：$sintheta = y$
2. 余弦函数：$costheta = x$
3. 正切函数：$tantheta = dfrac{y}{x}$
4. 余切函数：$cottheta = dfrac{x}{y}$
5. 正割函数：$sectheta = dfrac{1}{costheta} = dfrac{x}{1}$
6. 余割函数：$csctheta = dfrac{1}{sintheta} = dfrac{y}{1}$
任意角三角函数的计算公式可以帮助我们快速准确地计算任意
角下的三角函数值。
在实际中，这种计算方式经常被运用到物理、工程等领域的计算中。
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解： Q x 3, y 4,
r (3)2 （-4)2 5.
sin 4 ,
5
cos 3 ,
5
tan 4 .
3
y o
x
r
P(3, 4)
讨论 讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、
值域？
三角函数
定义域
y sin x y cos x y tan x
r
cos x ;
r
tan y .
x
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边 P(x, y)
y 的终边
P(x, y)
r
o
x
ox
sin y r
cos x
r
tan y
x
P(x, y)
y o
x
r
的终边
y o
x
r
P(x, y) 的终边
范例1 已知角α的终边上一点P(-3,-4),
第4章 任意角的三角函数
与求值计算
4.1 角的概念的推广与弧度制
引言
1.初中所学角是如何定义的？
具有公共顶点的两条射线组成的图形。
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0o 360o
引言
时钟慢了10分钟，应如何校？ 分针应转多少度？
一、任意角
(2)5cos 3sin 4sin 3 4 tan 0 3cot
2
2
2
4
范例4 判断下列三角函数值的符号.
(1) sin 2500
(3) cos8500
(2) tan( )
4
(4) sin(6720 )
范例5 根据下列条件，确定角 α 所在的象限.
(1)sin 0且cos 0
30o, 390o, 750o, 330o分别是第几象限角？
它们有何关系？ (终边相同) 你能写出与30o角终边相同的角的集合吗？
y
O
x
一、任意角
一般地，所有与 α 角终边相同的角有无数个，
它们可以表示为 360o k (k Z )
用集合可表示为 | 360o k , k Z
范例1 在00~3600范围内，找出与下列角终边相
同的角，并判断它们是第几象限角.
(1) 950o25
(2) 500o
范例2 写出终边在 y 轴上的角的集合.
作业布度制
衡量角度大小以前我们用的是度 (o) ，亦即角度制,
我们现在引入另一种衡量单位：弧度 (rad).
角度和弧度的换算为： rad 180o
所以有
1
rad
180 o
57o18
1o rad 0.01745 rad
180
范例3 把角度、弧度相互转化.
(1)180o (
)rad
(2)67o30 (
)rad
(3) 7 (
)o
8
熟记特殊角弧度制表示，P74.
范例4 把下列角转换成弧度制. (1)135o (2)240o (3)330o (3)765o
(2)sin tan 0
试一试 说出下列角分别是第几象限角
60o,135o, 240o, 300o,127o,195o, 40o, 315o.
I II III IV II III IV I y
(90o,180o)
(0o, 90o)
O
x
(180o, 270o) (270o, 360o)
范围在 0o,360o内
想一想
范例5 把下列角转换成角度制.
(1) 5
4
(2) 5
3
(3) 17
6
范例6 求公路弯道部分的弧MN的长(精确到1m).
80o 45m
l r
3.2 任意角的三角函数
一、任意角的三角函数定义
y
的终边
P(x, y)
r
o
x
r= x2 y2
正弦 余弦 正切
sin y ;
R
R
{x | x k , k Z}
2
值域
[1,1] [1,1]
R
一、任意角的三角函数定义
y
的终边
P(x, y)
r
o
x
r= x2 y2
正割 余割 余切
sec r ;
x
csc r ;
y
tan x .
y
范例2 求下列各角的正弦、余弦和正切值.
(1) 0
(2)
2
讨论 讨论特殊角的三角函数值.
角 函数值
sin a
cos a
tan a
0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
1 0
2 31
0 1 0
2 22
1 3 2 1 0 1 0 1 2 22
0
3
1
3
3
0
0
范例3 计算
(1)3sin 900 2 cos 00 5sin 2700 2 tan 450 tan1800
B
终边
O
始边
A
顶点
角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图 形.
一、任意角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不旋转时形成的角
120o 240o
60o 420o
一、任意角
I
y
II
O
x
III
IV
象限角：以角的顶点为原点，角的始边为 x 轴，终边 落在第几象限，就说这个角是第几象限角.