专题立体几何大题中有关体积的求法

A

P

B

C

D

H 专题：立体几何大题中有关体积的求法

角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法

1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ．43 B ．4 C ．23 D ．2

练习

3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________.

4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [

二、转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱

11111A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B =

，112A N ND =，113

4

A P A A =（如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积．

三、割补法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几

何体的体积之比时经常要用到分割法．

7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,

60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

8练习 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比

9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，

求几何体EFGH ABCD -的体积。

10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。

巩固练习

11 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒

∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。 (1) 求四棱锥ABCD P -的体积V ；（2）求截面ADMN 的面积。

S

C

D

H

E

B

G

F

B 1D

图3

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

P

12. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，

5=AB ，AA 1＝4，点D 是AB 的中点.

求多面体111C B A ADC -的体积.

13. 如图3，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，

60ABC ∠=，其侧面展开图是边长为8的正方形。E 、F 分别是侧棱1AA 、1CC 上的动点，8=+CF AE ．

问多面体1BCFB AE -的体积V 是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V 的取值范围．

14. 如图，已知BCD ∆中，︒=∠90BCD ，1==CD BC ，AB ⊥平

面BCD ，︒=∠60ADB ，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且

)10(<<==λλAD

AF

AC AE ．

(1)求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ； (2)若2

1

=λ，求三棱锥BEF A -的体积．

15. 如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=，14AD =，

点P 是1AD 上的动点．

试求四棱锥1111P A B C D -体积的最大值；

D

C

B

A

A 1

B 1

C 1

F

A

E

C

O

B

D

M

16. 如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面

和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD .

设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求

ABCD F V -CBE F V -:．

专题一：立体几何大题中有关体积的求法

1-4略 5解：

1113

1111111112313323223424

A MNP P A MN A MN V V S h A M A N A P a a a a --===⨯=⨯⨯=△·······．

6

7解：作BC 的中点D ，连接PD 、

AD ，

过P 作AD PH ⊥，垂足H

易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，

由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=

∆-3

1

即得 三棱锥ABC P -的体积4

23

P ABC V -=。

8设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V Sh =．