机械运动的守恒定律_

dA = F cos θdr
4、将各段作功求代数和 (积分 。 、 积分) 积分
B
F1
A = lim ∑ Fi ∆r cos θ i
∆r →0
b
n
F2
i =1
θ1
θ2
= ∫ F cos θdr
a
A ∆r
取极限， 取极限， 令 ∆r
n
→0
F cosθ
A = lim ∑ Fi ∆r cos θ i
∆r → 0
描写作功快慢的物理量，即单位时间内外力做的功。 描写作功快慢的物理量，即单位时间内外力做的功。
功率 P = lim 由 有
∆A dA = ∆t →0 ∆t dt
dA = Fdr cos θ
dr 和v= dt
dA Fdr cos θ P= = = Fv cosθ dt dt
单位：瓦特， 单位：瓦特，W 千瓦， 千瓦，KW
质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从M 质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从 点移动至零势能点的过程中保守力F所作的功 所作的功。 点移动至零势能点的过程中保守力 所作的功。
A= ∫
M0
M
F ⋅ dr = EpM − EpM 0 = E初 − E末 保
势能与零点选择有关， 势能与零点选择有关， 势能的变化与零点选择无关。 势能的变化与零点选择无关。
3.1
力 空间累积： 空间累积：功 时间累积： 时间累积：冲量
力的空间累积效应
研究力在空间的累积效应 ----功、 功 动能、势能、动能定理、 动能、势能、动能定理、机械能 守恒定律。 守恒定律。
一、功
1、恒力对沿直线运动质点所做的功 、
恒力作功等于恒力在位移方向的投影(分量 与位移的乘积 恒力作功等于恒力在位移方向的投影 分量)与位移的乘积。 分量 与位移的乘积。
m' m m' m ) − ( −G ) A = − ( −G rB rA
A = − ( mgz B − mgz A )
1 2 1 2 弹力功 A = − ( kx B − kx A ) 2 2
非保守力: 非保守力 力所作的功与路径有关 .（如摩擦力） （ 摩擦力
二、势能和保守力的功
2 弹性势能 由第一节的弹力 作功的结论， 作功的结论，
F弹
o
x0
x
1 2 1 2 A弹 = kx0 − kx 2 2
F弹
x
o
x 可知，弹力作功与路径无关， 可知，弹力作功与路径无关，只与始末两态的弹 簧伸长量有关，弹力为保守力。 簧伸长量有关，弹力为保守力。 定义弹性势能： 定义弹性势能：
1 2 E p = kx 2
Ai外 + ∑ Ai内 = ∑ E ki − ∑ E ki 0
i =1
i =1 i =1
n
n
令 Ek
为质点系的动能， = ∑ Eki 为质点系的动能，
i =1
n
n
∑
i =1
n
Ai外 + ∑ Ai内
i =1
= E k − E k 0 = ∆Ek
推广到有 i 个质点的质点系 个质点， 对第 i 个质点，有
动能定理表明力的空间积累作用的效果。 动能定理表明力的空间积累作用的效果。 效果
三、质点系的动能定理
如果研究的对象为质点系， 如果研究的对象为质点系，动 能定理又如何表示？ 能定理又如何表示？
v10 → v1
m1 f12 f21
F1
θ1 θ1 ' ∆r1
两个质点质量为 m1、 m2 ，受外力 1、 外力F F2，内力为f12、f21，初 内力为 速度为v 速度为 10、v20,末速度 末速度 为v1、v2,位移为∆r ,∆r 位移为 1 2
P = F ⋅v
1KW=103W
二、动能和动能定理
也可以将外力分解为切向分力和法向分力
Fn
F
b
由 而
A = ∫ F ⋅ d r = ∫ Fdr cos θ a
b
b a
θ
a
dv Fτ = maτ = m dt
A=∫
b a
F cos θ = Fτ
Fτ
dv = v mvdv Fτ dr = ∫ m dr ∫v dt
A
ex i
+A
in i
= E ki − E ki 0
m1 m2 Fiin mi
Fiex
外力功
内力功
对质点系，有 对质点系，
∑A
i
ex i
+ ∑ A = ∑ Eki − ∑ Eki 0 = Ek − Ek 0
in i i i
ex
i
质点系动能定理 质点系动能定理
A + A = Ek − Ek 0
in
合外力与合内力作功代数和， 合外力与合内力作功代数和，等于质点系动能的增量
B
m
m'
O
A
dr r (t)
r (t + dt)
B
m
m' m A = ∫ − G 2 dr rA r
rB
A
dr r (t)
r (t + dt)
m'
O
m' m m' m = −(−G ) − (−G ) rB rA
结论：万有引力做功与路径无关。 结论：万有引力做功与路径无关。
B
r (t )
D、功的图像 、
图中的曲线下面积为： 图中的曲线下面积为：
F cosθ
B
A
F cos θ
S = ∫ Fdr cos θ
b
o rA
dr
rB
r
=A
用图示法来计算功，比较直观， 用图示法来计算功，比较直观， 有时很方便。 有时很方便。
a
r
o a
dr b
功率是标量， 功率是标量，
3、 功率 、
一般只为正，不用负的描述。 一般只为正，不用负的描述。
∫
B
F = Fx i + Fy j + Fz k
A
F ⋅ dr
dr = dxi + dyj + dzk
A =
A = Ax + Ay + Az
∫F
x
dx +
∫F
y
dy +
∫F
z
dz
功的大小与参照系有关！ 功的大小与参照系有关！
为什么？ 为什么？
功的量纲和单位： 功的量纲和单位： 2T −2 1J = 1N ⋅ m ML 1尔格 = 10-7焦耳，1电子伏特 = 1.6 尔格 焦耳， 电子伏特
3.2 保守力的功 势能
一、保守力与非保守力
1 万有引力、重力、弹性力作功的特点 万有引力、重力、 1） 万有引力作功
m 为参考系， 以 m' 为参考系， 的位置矢量为 r . m' 对 m 的万有引力为
m' m F = −G 2 e r m 由 A点移动到 B点时 F 作功为
m' m A = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 dr A r
b a
0
1 2 1 2 ∴ A = mv − mv0 2 2
动能（状态函数） 动能（状态函数） 函数
1 p 2 Ek = mv = 2 2m
2
A = E k2 − E k1
动能定理： 动能定理：
作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等 作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功， 于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。 于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。
× 10-19焦耳
说明
功是标量，有大小正负之分。 功是标量，有大小正负之分。
dA = Ft dr = F cos θdr
0° < θ < 90° , dA > 0
力对物体做正功； 力对物体做正功； 力对物体做负功； 力对物体做负功；
90° < θ < 180° , dA < 0
也称物体对力做正功 力对物体不作功。 θ = 90° F ⊥ dr dA = 0 力对物体不作功。
Ep = ∫ F ⋅ dr dr
M
0
A保 = − E末 − E初） −∆Ep （ =
引入势能条件： 引入势能条件： ①质点系 ②保守力作功 保守力作功
三、几种常见的势能函数和势能曲线
1 重力势能 以地球和物体为系统， 的高度， 以地球和物体为系统，物体从距地面 h0的高度， 下落到h高度 重力作功为： 高度， 下落到 高度，重力作功为：
m' m m' m A = − ( −G ) − ( −G ) rB rA
Ep = ∫
∞
r
mM mM (−G 2 )dr = −G r r
重力功 重力功
A = −(mgzB − mgz A )
m2 v20 → v2
θ 2 ' ∆r 2 θ2
F2
应用质点动能定理， 对 m1 、m2 应用质点动能定理，
A 1 外 + A 1内 = E
A 2 外 + A 2内 = E
k1
k 2
− E
− E
n
k 10
k 20
由于 m1 、m2 为一个系统，将上两式相加： 为一个系统，将上两式相加：
∑
i =1
n
A = F cos θ∆r
A = F ⋅ ∆r
单位：焦耳， 单位：焦耳，J
位移， 位移，力作用的效果
ϕ
F
F ϕ
∆r
2、力对沿曲线运动质点所做的功 、 方法： 方法：
1、无限分割路径； 、无限分割路径；
取极限， 取极限，
∆r → 0
2、以直线段代替曲线段； 、以直线段代替曲线段； 3、对无限小位移，变力可看作恒力，以恒力的功代替变力的功； 、对无限小位移，变力可看作恒力，以恒力的功代替变力的功；
A弹 = E p 0 − E p = −( E p − E p0 ) = − ∆E p
弹力作功等于势能增量的负值； 弹力作功等于势能增量的负值；或弹力作功物体 的势能减少。 的势能减少。 注意几点： 注意几点： 弹性势能总是大于等于0。 弹性势能总是大于等于 。 弹性0势点一般选在弹簧的平衡位置。 弹性 势点一般选在弹簧的平衡位置。 势点一般选在弹簧的平衡位置 3 引力势能 引力的功
3 ） 弹性力作功
F
o
x
xA xB
F = − kx i
A=
∫来自百度文库
xB
xA
Fdx =
∫
xB
xA
− kxdx
1 2 1 2 A = −( kx B − kx A ) 2 2
A = ∫ − kxdx = 0
结论：万有引力、重力、弹性力做功都与路径无关。 结论：万有引力、重力、弹性力做功都与路径无关。
2 保守力和非保守力 保守力: 力所作的功与路径无关， 保守力 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 始末相对 互作用质点的始末相对位置 . 引力功 重力功
第三章 机械运动的守恒定律
§3.1 力的空间累积效应 §3.2 保守力的功 势能 §3.3 机械能守恒定律 §3.4 力的时间累积效应 §3.5 动量守恒定律 §3.6 质心 质心运动定律 §3.7 质点的角动量和角动量守恒定律 §3.8 对称性与守恒定律
教学基本要求
理解功的概念 保守力作功的特点以及势能的概念, 功的概念、 一 理解功的概念、保守力作功的特点以及势能的概念, 掌握计算变力作功和重力势能、弹性势能的方法。 掌握计算变力作功和重力势能、弹性势能的方法。 计算变力作功和重力势能 掌握质点和质点系的动能定理以及机械能守恒定律, 质点和质点系的动能定理以及机械能守恒定律 二 掌握质点和质点系的动能定理以及机械能守恒定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法。 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法。 理解冲量 动量、角动量等概念。 冲量、 三 理解冲量、动量、角动量等概念。 掌握、熟练应用动量定理 角动量定理。 动量定理、 四 掌握、熟练应用动量定理、角动量定理。 掌握、熟练应用动量守恒定律 角动量守恒定律。 动量守恒定律， 五 掌握、熟练应用动量守恒定律，角动量守恒定律。
dr
r (t + dt ) ϕ
2 ） 重力作功
P = − mg k
d r = d x i + d yj + d zk
A=
zA
z
A
∫
B
A
P ⋅ d r = ∫ − mg d z
zA
zB
zB
mg
B
= − ( mgz B − mgz A )
A=
o
∫ − mg d z = 0
x
y
结论：重力做功与路径无关。 结论：重力做功与路径无关。
i =1
= ∫ Fdr cos θ
a
b
A=
∫
B
A
F ⋅ dr =
∫
B
A
F cos θ d r
o rA
dr
rB
r
dA = F ⋅ dr
力对质点所作的功 = 力在质点位移方向的分量与位移大小的
乘积 .
A、单个力的功 、
A=
∫
B
A
F ⋅ dr =
∫
B
A
F cos θ d r
B、多个力的总功 、
B B A A
对同一个质点
B
A = ∫ F1 ⋅ dr + ∫ F2 ⋅ dr + ⋯ + ∫ FN ⋅ dr
A
= A1 AB + A2 AB + ⋯ + ANAB
多个力的功等于各力沿同一路径的功的代数和 多个力的功等于各力沿同一路径的功的代数和 沿同一路径
C、合力的功 = 分力的功的代数和 、
A=
∫
B
A
( F1 + F2 + ⋯ + FN ) ⋅ d r =
A重 = mgh0 − mgh
定义重力势能Ep： 定义重力势能 ：
mg
h0
h
A重 = E p 0 − E p
E p = mgh
A重 = mgh0 − mgh = Ep0 − Ep
= −( E p − E p 0 ) = − ∆E p
重力作功等于势能增量的负值； 重力作功等于势能增量的负值；或重力作功物体的 势能减少。 势能减少。