数值分析李庆扬第五版第六章微分方程数值解法
数值分析 李庆扬 王能超 易大义著华中科技大学出版社第5版 答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-===而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x =又1'()n f x nx-= , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02nr x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈ **24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C VRππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是描述自然界中众多现象和规律的重要数学工具。
然而，许多微分方程是很难或者无法直接求解的，因此需要使用数值解法来近似求解。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它将微分方程转化为差分方程，通过计算离散点上的导数来逼近原方程的解。
欧拉方法的基本思想是利用当前点的导数值来估计下一个点的函数值。
具体步骤如下：首先，将自变量区间等分为一系列的小区间。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据导数的定义，计算每个小区间上函数值的斜率。
最后，根据初始函数值和斜率，递推计算得到每个小区间上的函数值。
2. 龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种常用的高阶精度数值解法。
它通过进行多次逼近和修正来提高近似解的准确性。
相比于欧拉方法，龙格-库塔方法在同样的步长下可以获得更精确的解。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据当前点的导数值，使用权重系数计算多个中间点的函数值。
最后，根据所有中间点的函数值，计算出当前点的函数值。
3. 改进欧拉方法（改进的欧拉-克罗默法）改进欧拉方法是一种中阶精度数值解法，介于欧拉方法和龙格-库塔方法之间。
它通过使用两公式递推来提高精度，并减少计算量。
改进欧拉方法相对于欧拉方法而言，增加了一个估计项，从而减小了局部截断误差。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，利用欧拉方法计算出中间点的函数值。
最后，利用中间点的函数值和斜率，计算出当前点的函数值。
总结：微分方程的数值解法为我们研究和解决实际问题提供了有力的工具。
本文介绍了欧拉方法、龙格-库塔方法和改进欧拉方法这几种常见的数值解法。
选择合适的数值解法取决于微分方程的性质以及对解的精确性要求。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择最合适的数值解法，并注意控制步长以尽可能减小误差。
大学数值计算方法(第6章 常微分方程数值解法)
1 3 2 (3) 取1 , 可得2 , , 又有算式 4 4 3 1 （ yn 1 yn 4 k1 3k 2 ) k1 hf ( xn , yn ) 2 2 k 2 hf ( xn h, yn k1 ) 3 3 这也是二阶R - K方法。
初值问题的Euler方法
为实现这一目标，Euler方法首先将微分算子离 散化，并用xn 代替x0 , 于是该式可离散为： y ( xn h ) y ( xn ) f ( xn , y ( xn )) h 以yn 表示y ( xn )的近似值，则有 yn 1 yn hf ( xn , yn ) （n 0,1,2,...） 算出y1 , y2 , y3 ...。 (1)
~ ~
误差概述
定义6.1. 如果给果给定的算法的截断 2 误差为 Tn 1 O(h p 1 )
p 1
则称该算法具有p阶精度。如果 Tn 1 g ( xn ,y ( xn )) h O(h
p2
)
则非零项g ( xn , y ( xn )) h p 1称为为局部截断误差主。
1 yn 1 yn (k1 k 2 ) 2 2 xn 改进的Euler法： k1 0.1( yn ) yn 2( xn 0.1) k 2 0.1( yn k1 ) yn k1 计算结果如下表所示：
(n 0,1,2,...)
( yn0 )1 yn hf ( xn , yn ) （3） h ( k 1) (k ) yn 1 yn 2 [ f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )] （k 0,1,2,...） ( ( 当 | ynk 1) ynk ) | 1 ( 时, 取yn 1 ynk 1) 1
李庆扬-数值分析第五版第6章习题答案(20130819)
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。 雅可比迭代的收敛条件是
( J ) ( D 1 ( L U )) 1
高斯赛德尔迭代法收敛条件是
(G ) (( D L) 1U ) 1
因此只需要求响应的谱半径即可。 本题仅解 a)，b）的解法类似。 解：
3.设线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a11 , a12 0 a21 x1 a22 x2 b2
证明解此方程的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散， 并求两种方 法收敛速度之比。 解：
a A 11 a21
则
a12 a22
5. 何谓矩阵 A 严格对角占优？何谓 A 不可约？ P190， 如果 A 的元素满足
aij aij ，i=1,2,3….
j 1 j i
n
称 A 为严格对角占优。 P190 设 A (aij )nn (n 2) ，如果存在置换矩阵 P 使得
A PT AP 11 0
x ( k 1) x ( k )
10 4 时迭代终止。
2 1 5 （a）由系数矩阵 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯 2 3 10
赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为 x1 4, x 2 3, x3 2 ] （b）使用雅可比迭代法：
2．给出迭代法 x ( k 1) Bx (k ) f 收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。 迭代矩阵收敛的条件是谱半径 ( B0 ) 1 。其误差估计为
1 k
(k) Bk (0)
R ( B) ln B k 迭代法的平均收敛速度为 k
数值分析程序 李庆扬版
数值分析部分程序Lagrangefunction y=Lagrange(x,y,xstar) n=length(y);s=0;for i=1:nz1=1;z2=1;for j=1:nif j~=iz1=z1.*(xstar-x(j)); z2=z2.*(x(i)-x(j));endendz=z1./z2;s=s+z*y(i);endy=s;x=[0.5610,0.5628,0.56401,0.56521];y=[0.83741,0.82659,0.82577,0.82495]; xstar=[0.5625,0.5635,0.5645];y=Lagrange(x,y,xstar)Runget=-5:0.1:5;ft=1./(1+t.*t);t1=-5:1:5;ft1=1./(1+t1.*t1);y1=Lagrange(t1,ft1,t);plot(t,ft,t,y1);QJSfunction b=QJS(A,x)n=length(A);b(1)=A(1);c(1)=A(1);for k=1:1:n-1;b(1+k)=b(k)*x+A(k+1);ends=b(n)for i=1:1:n-2;c(i+1)=c(i)*x+b(i+1);ends1=c(n-1)A=[2,0,-3,3,-4];b=QJS(A,-2);s =10s1 =65面例5切比雪夫多项式的零点做插值，没有龙格现象的产生t=-5:0.1:5;ft=1./(1+t.*t);k=0:1:10;t1=5*cos((21-2.*k).*pi./22);ft1=1./(1+t1.*t1);y1=Lagrange(t1,ft1,t);t2=-5:1:5;ft2=1./(1+t2.*t2);y2=Lagrange(t2,ft2,t);plot(t,ft,t,y1,t,y2);希尔伯特矩阵的病态性function H=Hilbert(n)H=zeros(n,n);for i=1:1:n;for j=1:1:n;H(i,j)=1/(i+j-1);endenda=rand(n,1);d=H*a;d(1)=d(1)+0.0001;b=inv(H)*d;e=a-b;norm(e,2)norm(e,inf)function [c,s]=leastp(x)p1=1;p2=inline('x','x');p3=inline('(3*x.^2-1)/2','x');p4=inline('(5*x.^3-3.*x)/2','x');fp1=inline('exp(x)','x');fp2=inline('x.*exp(x)','x');fp3=inline('exp(x).*(3*x.^2-1)/2','x');fp4=inline('exp(x).*(5*x.^3-3.*x)/2','x');c(1)=quad(fp1,-1,1)/2c(2)=3.*quad(fp2,-1,1)/2c(3)=5.*quad(fp3,-1,1)/2c(4)=7.*quad(fp4,-1,1)/2s=c*例7M文件function p=leg(x,n)p(1:n+1)=x;p(1)=1;p(2)=x;for i=3:n+1p(i)=(2*i-3)*p(i-1)*x/(i-1)-(i-2)*p(i-2)/(i-1);p=simplify(p);M文件syms xT1=leg_p(x,3);for i=1:4disp(T1(i))end主程序>> clear>> d_main也可主程序（不要第二个M文件时) syms xT1=leg_p(x,3);for i=1:4disp(T1(i))endM文件function pf=pingfang(f,n) syms xf1=leg_p(x,n);for i=1:n+1g(i)=f1(i)*f;temp(i)=int(g(i),-1,1); a(i)=(2*i-1)*temp(i)/2; endpf=0;for i=1:n+1pf=pf+a(i)*f1(i);Endpf=simplify(pf);pf=vpa(pf,8);M文件f=inline('exp(x)','x');px=pingfang(f,3)主程序>>clear>> pingfang_main也可M文件function pf=pingfang(f,n) syms xf1=leg_p(x,n);for i=1:n+1g(i)=f1(i)*f;temp(i)=int(g(i),-1,1); a(i)=(2*i-1)*temp(i)/2; endpf=0;for i=1:n+1pf=pf+a(i)*f1(i);pf=vpa(pf,8);主程序px=pingfang('exp(x)',3)结果px =.99629405+.99795482*x+.53672140*x^2+.17614068*x^3勒让德逼近：function [P,E]=LRD(a,b)A0=[0,0,0,1];A1=[0,0,1,0];A2=[0,3/2,0,-1/2];A3=[5/2,0,-3/2,0];f=inline('exp(x)','x');fp1=inline('exp(x)','x');fp2=inline('x.*exp(x)','x');fp3=inline('exp(x).*(3*x.^2-1)/2','x');fp4=inline('exp(x).*(5*x.^3-3.*x)/2','x');q1=quad(fp1,a,b);q2=quad(fp2,a,b);q3=quad(fp3,a,b);q4=quad(fp4,a,b);a1=q1*1/2;a2=q2*3/2;a3=q3*5/2;a4=q4*7/2;A=a1.*A0+a2.*A1+a3.*A2+a4.*A3;P=poly2str(A,'x');E1=quad(@(x)exp(2*x),a,b);E2=2.*a1.^2+2/3.*a2.^2+2/5.*a3.^2+2/7.*a4.^2;E=sqrt(E1-E2);end切比雪夫逼近：function P=QBXF1(a,b)A0=[0,0,0,1];A1=[0,0,1,0];A2=[0,2,0,-1];A3=[4,0,-3,0];f1=inline('2.*exp(cos(x))./pi','x');f2=inline('2.*exp(cos(x)).*cos(x)./pi','x');f3=inline('2.*exp(cos(x)).*cos(2.*x)./pi','x'); f4=inline('2.*exp(cos(x)).*cos(3.*x)./pi','x'); q1=quad(f1,a,b);q2=quad(f2,a,b);q3=quad(f3,a,b);q4=quad(f4,a,b);A=q1/2.*A0+q2.*A1+q3.*A2+q4.*A3;P=poly2str(A,'x');end运行程序P=QBXF1(0,pi)。
数值分析第五版_李庆扬
数值分析第五版_李庆扬数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称：Numerical Analysis课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时：86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分：5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。
本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。
是应用数学的重要分支之一。
建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社2008年[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司20036、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。
二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。
三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。
第二章：解线性方程组的直接法（8学时）本章教学内容：1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；3、方程组的数；病态方程组的判断。
研究生数值分析微分方程数值解法.pptx
y y解( x的) 稳定性 解的混沌性
……
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所谓数值解法：
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
yi y(xi ) (i 1, ... , n)
的方法称为微分方程的数值解法。
y1, , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 hi xi1 xi (i 0, ... , n 1)为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
y2 y1 x2 x1
f ( x1, y1)
·····
Euler格式
yn1 yn xn1 xn
f ( xn , yn )
yn1 yn hf ( xn , yn )
x0 x1 xk xn xn1
第12页/共48页
18世纪最杰出的数学家之一，13岁 时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业， 16岁获得硕士学位。 1727年-1741年（20岁-34岁）在 彼得堡科学院从事研究工作，在分析 学、数论、力学方面均有出色成就， 并应俄国政府要求，解决了不少地图 学、造船业等实际问题。 24岁晋升物理学教授。 1735年（28岁）右眼失明。
如果找不到解函数
（1）将连续变量 x [a离,b散] 为 数学界还关注：
a x0 x1 xk xn解 的b 存在性
（2）用代数的方法求出解函数 y 解y(在的x)唯点一的x性k近似值
yk y( xk )工k程师1,关2,注, n
解yk的光滑性
解*的振动y( x性k )
解的周期性
数学界关注
例2: 用改进Euler公式求解例1中的初值问题，
取步yy长0h21xy0。2.1 （0 x 1.2）
微分方程的数值解法
微分方程是数学中的一种重要的方程类型，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解微分方程有各种方法，其中数值解法是一种重要而实用的方法。
微分方程的数值解法是通过数值计算来求解微分方程的近似解。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，并用计算机进行迭代计算，从而求得微分方程的数值解。
数值解法的关键在于如何将微分方程转化为差分方程。
常见的方法有欧拉方法、改进欧拉方法、龙格－库塔方法等。
这些方法都是基于泰勒级数展开的原理进行推导的。
以欧拉方法为例，其基本思路是将微分方程中的导数用差商的方式近似表示，然后通过迭代计算，逐步逼近微分方程的解。
欧拉方法的具体步骤如下：首先确定微分方程的初始条件，即给定t0时刻的函数值y0，然后选取一定的步长ℎ，利用微分方程的导数计算差商y′=dy，进而根据差商dt得到下一个时刻的函数值y n+1=y n+ℎy′。
通过不断迭代计算，即可得到微分方程在一定时间区间内的数值解。
数值解法的另一个重要问题是误差控制。
由于数值计算本身的误差以及近似方法的误差，数值解法所得到的结果通常与真实解存在误差。
为了控制误差，常用的方法有缩小步长ℎ、提高近似方法的阶数等。
此外，还可以通过与解析解进行比较，评估数值解的准确性。
微分方程的数值解法具有以下几点优势。
首先，微分方程的解析解通常较难求得，而数值解法可以给出一个近似解，提供了一种有效的解决方案。
其次，数值解法可以利用计算机的高速运算能力，进行大规模复杂微分方程的求解。
此外，数值解法还可以在实际问题中进行仿真和优化，即通过调整参数来求解微分方程，从而得到最优解。
尽管微分方程的数值解法具有广泛的应用前景，但也存在一些问题和挑战。
首先，数值解法的稳定性和收敛性需要深入研究和分析。
其次，数值解法的计算量通常较大，对计算机运算能力和存储空间的要求较高。
此外，数值解法还需要对问题进行适当的离散化处理，从而可能引入一定的误差。
综上所述，“微分方程的数值解法”是一种重要而实用的方法，可以有效地求解微分方程的近似解。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)
根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；
第五版李庆扬数值分析习题答案
1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 0.1 秒的误差，证明当 t 增 2 加时 S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 1 解： S gt 2 , t 0 2
10．设 S
( S * ) g 2t (t * )
当 t * 增加时， S * 的绝对误差增加
解：
1
1 2 1 * ( x2 ) 10 3 2 1 * ( x3 ) 10 1 2 1 * ( x4 ) 10 3 2 1 * ( x5 ) 10 1 2
( x1* ) 104
* * * (1) ( x1 x2 x4 ) * * * ( x1 ) ( x2 ) ( x4 )
1 1 1 104 103 103 2 2 2 3 1.05 10
* * * (2) ( x1 x2 x3 ) * * * * * * * * * x1 x2 ( x3 ) x2 x3 ( x1 ) x1 x3 ( x2 )
1 1 1 1.1021 0.031 101 0.031 385.6 104 1.1021 385.6 103 2 2 2 0.215
第一章 绪论 1．设 x 0 , x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差。 e * x * x * 解：近似值 x* 的相对误差为 = er x* x* 1 而 ln x 的误差为 e ln x * ln x * ln x e* x* 进而有 (ln x*) 2．设 x 的相对误差为 2%，求 x n 的相对误差。 解：设 f ( x) x n ，则函数的条件数为 C p |
则 f (30) ln(30 899) 此时，
数值分析李庆杨版习题及答案
第四版数值分析习题答案第一章 绪论习题参考答案1． ε（lnx ）≈***()()r x x xεεδ==。
2．1******()()()()0.02n nnr nn n x x x n x x n xxxεεεε-=≈==。
3． *1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字，*5x 有2位有效数字。
4．******4333124124()()()()0.5100.5100.510 1.0510x x x x x x εεεε----++≈++=⨯+⨯+⨯=⨯************123231132123()()()()0.214790825x x x x x x x x x x x x εεεε≈++=****62224***24441()()()8.85566810x x x x x x x εεε-≈-=⨯。
5．1()1()()()0.00333333r r r V R V V V εεεε=≈===。
6．33100111()100101010022Y ε--=⨯⨯⨯=⨯。
7．12855.982x =≈，21280.0178655.982x ==≈≈。
8． 21arc 12N dx tgN x π+∞=-+⎰9．121()()0.0052x S S εεε-=≈=。
10． ()()0.1S g t t g t εε≈=，2()2()0.2()12r g t t t S t t gt εεε≈==，故t 增加时S 的绝对误差增加，相对误差减小。
11． 1081001()10()102y y εε==⨯，计算过程不稳定。
12．61)0.005051f =≈，1.4=，则611)0.004096f ==，20.005233f ==，33(30.008f =-=，40.005125f ==，5991f =-=，4f 的结果最好。
13．(30) 4.094622f =-，开平方时用六位函数表计算所得的误差为41102ε-=⨯，分别代入等价公式)1x x (ln )x (f ),1x x (ln )x (f 2221++-=--=中计算可得411()ln(1(60103102f x εε--=+≈=+=⨯⨯=⨯，47211()ln(1108.3310602f ε--=+≈=⨯⨯=⨯。
数值分析 第五版 李庆扬 第6章 解线性方程组的迭代法
( 2.6)
由(2.6)式可知，雅可比迭代法计算公式简单， 每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算 过程中原始矩阵A始终不变.
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6.2.2 高斯－赛德尔迭代法
在 Jacobi 迭代中，计算 xi(k+1)(2 i n)时，使用 xj(k+1)代替xj(k) (1 j i-1)，即有 建 立 迭 代 格 式
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于是，求解Ax=b转化为求解Mx=Nx+b ，即求解
Ax b 求解 x M 1 Nx M 1b.
可构造一阶定常迭代法
x ( 0 ) (初始向量)， ( k 1) (k ) x Bx f ( k 0,1, , ),
( 2.3)
其中 B=M-1N=M-1(M-A)=I-M-1A ， f=M-1b. 称 B=I-M-1A为迭代法的迭代矩阵，选取M矩阵，就得 到解Ax=b的各种迭代法. 设aii0 (i=1,2,,n)，并将A写成三部分
x ( k 1) ( D L) 1Ux ( k ) ( D L) 1 b
上页 下页
下面给出雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式, 记
x
(k )
( x ,, x ,, x ) ,
(k ) 1 (k ) i (k ) T n
由雅可比迭代法(2.5)有
Dx( k 1) ( L U ) x ( k ) b,
每一个分量写出来为
aii xi( k 1) aij x (jk )
代入(1.3)式右边(若(1.3)式为等式即求得方程组的解， 但一般不满足)，得到新的值 x(1)=(x1(1), x2(1), x3(1))T =(3.5, 3, 3)T ，再将x(1)分量代入(1.3)式右边得到 x(2)， 反复利用这个计算程序，得到一向量序列和一般的计
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。