常用的概率分布类型及其特征-Read
《概率分布》课件
06
概率分布的参数估计与假 设检验
参数估计方法
极大似然估计法
通过最大化样本数据的似然函数来估计参数，具有无偏性和一致 性。
最小二乘法
通过最小化误差的平方和来估计参数，适用于线性回归模型。
贝叶斯估计法
基于贝叶斯定理，通过先验信息和样本数据来估计参数，考虑了 参数的不确定性。
假设检验原理
零假设与对立假设
二项分布在统计学、可靠性工程、遗传学等领域有广泛应 用。
泊松分布
01
泊松分布描述了在单位时间内随机事件发生的次数 的概率分布情况。
02
泊松分布的概率函数为P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k! ，其中λ是随机事件发生的平均速率。
03
泊松分布在物理学、工程学、保险学等领域有广泛 应用。
相关系数
相关系数是协方差的归一化形式，用于衡量两个随机变量的线性相关程度，取值范围为 -1到1。
大数定律与中心极限定理
大数定律
大数定律是指在大量重复实验中，某一 事件发生的频率趋于稳定，并收敛于理 论概率。
VS
中心极限定理
中心极限定理表明，无论独立随机变量的 分布是什么，它们的和的分布趋近于正态 分布。
自然现象模拟
自然现象模拟是概率分布应用的另一个领域。在自然科学中，许多自然现象都可 以通过概率分布进行描述和模拟，例如天气变化、地震和疾病传播等。
概率分布在自然现象模拟中主要用于描述自然现象的概率规律，进行模拟和预测 。例如，通过概率分布可以模拟地震发生的概率和强度，预测流行病的传播趋势 等。
人工智能算法
数学期望值是概率分布的中心 位置，表示随机变量的平均值
。
方差
方差是用来描述概率分布的离 散程度的数值。
常见概率分布
常见概率分布概率分布是概率论的一个重要概念，用于描述一个随机变量可能取得的所有值及其对应的概率分布情况。
常见的概率分布包括均匀分布、二项分布、泊松分布、正态分布等。
本文将对这些常见的概率分布进行介绍和讨论。
一、均匀分布均匀分布是最简单且最常见的概率分布之一。
在一个有限区间内，每个取值的概率都是相等的。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b其中 a 和 b 分别表示区间的起始值和终止值。
均匀分布通常用于在一个确定的范围内随机选择一个值的情况，例如随机抽奖或随机选取一个数。
二、二项分布二项分布是描述多次独立重复试验中成功次数的分布。
每次试验只有两个可能结果，通常分别表示为成功（记为 S）和失败（记为 F）两种情况。
二项分布的概率函数可以表示为：P(x) = C(n, x) * p^x * (1-p)^(n-x)其中 n 表示试验次数，x 表示成功的次数，p 表示每次试验成功的概率。
三、泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或单位面积内某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率函数可以表示为：P(x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!其中λ 表示单位时间或单位面积内事件的平均发生率，x 表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内交通事故的发生次数、单位面积内电子元件的故障数等。
四、正态分布正态分布，又称高斯分布，是自然界中最常见的分布之一。
正态分布具有钟形曲线，均值和标准差决定了分布的位置和形态。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2σ^2)))其中μ 表示分布的均值，σ 表示分布的标准差。
正态分布广泛应用于统计学和自然科学中，通常用于描述一群数值型数据的分布情况，例如身高、体重、考试分数等。
除了上述四种常见的概率分布外，还存在许多其他常见的概率分布，如指数分布、伽玛分布、贝塔分布等。
常见概率分布类型解析
常见概率分布类型解析概率分布是描述随机变量可能取值的概率的函数。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布类型，它们在不同的情境下具有不同的特点和应用。
本文将对几种常见的概率分布类型进行解析，包括二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布。
一、二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的同一试验中成功的次数的概率分布。
在每次试验中，事件只有两种可能的结果，通常用“成功”和“失败”来表示。
二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布常用于描述二元随机变量的分布，例如抛硬币、赌博游戏等。
在实际应用中，二项分布可以用来估计二元事件发生的概率，进行假设检验等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的次数是独立的且平均发生率是恒定的情况。
泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，P(X=k)表示事件发生次数为k的概率，λ表示单位时间（或单位空间）内事件平均发生率。
泊松分布常用于描述稀有事件的发生情况，例如电话交换机接到的电话数、一天内发生的交通事故数等。
在实际应用中，泊松分布可以用来预测未来一段时间内事件发生的概率。
三、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，也称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线的特点，均值、方差完全决定了正态分布的形状。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，例如身高、体重、考试成绩等。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作,或者失效。
描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率:0≤P≤1。
X的期望 E(X）=PX的方差 D（X）=P(1—P）2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f（x)在有限的区间［a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为:X的期望 E（X)=（a+b）/2X的方差 D(X)=（b-a）2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品,总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布.X的分布概率为：X=0，1，……X的期望 E（X）=nd/NX的方差 D(X）=（（nd/N)（（N-d）/N）(（N—n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐.二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品,不合格品率为P,从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。
X的概率分布为：0<p<1x=0,1，……,nX的期望 E（X）=npX的方差 D(X）=np（1—p）3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后,产品才失效,又设这些冲击满足三个条件：（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；(2)、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计;(3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt 的起点无关.则在[0，t］时间内发生冲击的次数X服从泊松分布，其分布概率为：X的期望 E（X）=λtX的方差 D（X）=λt假设仪表受到n次冲击即发生故障，则仪表在［0,t］时间内的可靠度为：其中：x =0，1，2，……,λ＞0,t＞0。
03_概率分布的特征
03_概率分布的特征概率分布（Probability Distribution）是用于描述随机变量可能取值及其相应的概率的数学函数。
在概率论和统计学中，概率分布有许多不同的特征，其中一些特征包括均值、方差、偏度和峰度。
本文将详细介绍这些特征以及它们在概率分布中的作用。
一、均值（Mean）均值是概率分布的一个重要特征，表示随机变量的平均值。
在离散型概率分布中，均值可以通过对每个可能取值乘以其相应的概率进行加权平均来计算。
对于连续型概率分布，均值可以通过对随机变量的取值乘以其相应的概率密度函数进行积分来计算。
均值可以帮助我们了解概率分布的中心位置。
二、方差（Variance）方差是概率分布的另一个重要特征，它衡量了随机变量分布的离散程度。
方差可以通过对每个取值与均值之差的平方乘以其相应的概率进行加权平均来计算。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差可以帮助我们了解概率分布的分散程度。
三、偏度（Skewness）偏度是概率分布的一个重要性质，它衡量了分布的不对称性。
正偏度表示分布的尾部向右偏离，负偏度表示分布的尾部向左偏离。
偏度可以通过对每个取值与均值之差的立方乘以其相应的概率进行加权平均来计算。
偏度可以帮助我们了解概率分布的形态。
四、峰度（Kurtosis）峰度是概率分布的另一个重要特征，它衡量了分布的尖峰程度。
正峰度表示分布的尾部相对较重，负峰度表示分布的尾部相对较轻。
峰度可以通过对每个取值与均值之差的四次方乘以其相应的概率进行加权平均来计算。
峰度可以帮助我们了解概率分布的尾部厚度。
除了均值、方差、偏度和峰度，概率分布还有很多其他特征，如众数、中位数和分位数等。
众数是概率分布中出现频率最高的值，中位数是概率分布中所有值按照大小排序后的中间值，分位数是将概率分布分为几个部分的值。
这些特征在概率论和统计学中起着重要的作用。
它们可以帮助我们描述概率分布的性质，从而更好地理解随机变量的行为和分布。
常用概率分布.ppt
表4—1 抛掷一枚硬币发生正面朝上的 试验记录
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从表4-1可看出，随着实验次数的增多， 正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接 近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。
在一般情况下，随机事件的概率p是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
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二、概 率
（一）概率的统计定义 研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机
事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的 可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规 律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻 划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应 该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志 而改变，人们称之为概率（probability）。 事件A的概率记为P（A）。
P(x=xi)=pi i=1,2,… (4—3) 则称 （4—3）式为离散型随机变量x的概 率分布或分布。常用 分 布 列 (distribution series)来表示离散型随机变量：
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x1 x2 … xn …. p1 p2 … pn … 显然离散型随机变量的概率分布具有pi≥0 和Σpi=1这两个基本性质。 三、连续型随机变量的概率分布
第一节 事件与概率
一、事 件 （一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人 们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起 来，大体上分为两大类：
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一类是可预言其结果的，即在保持条件不 变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称 为必然ite phenomena）。
这样定义的概率称为 统计概率 （statistics probability），或者称后验概 率（posterior probability）。
常用概率分布
常用概率分布常用概率分布是数学中一个非常重要的概念，它描述了每种特定事件发生的可能性，并帮助我们更好地理解随机事件的性质。
在统计学、工程学、物理学、生物学和金融学等领域，常用概率分布被广泛应用于数据分析和模拟等方面。
接下来，我将介绍一些最常见的概率分布。
1. 二项分布二项分布是一种离散的概率分布，它描述了两种可能结果中每一种结果的概率。
比如说，抛硬币的结果只有正面和反面两种可能性。
当每次实验仅有两种可能结果，并且这两种结果的概率相等时，可以使用二项分布来计算任意试验中某个结果被观察到的概率。
一般地，二项分布可以用来计算n次独立实验中恰好有k次成功的概率。
2. 正态分布正态分布是一种连续概率分布，也称为高斯分布。
它是自然界中最常见的概率分布之一，用于描述一些连续型变量（例如长度、质量和时间等）的分布情况。
具有正态分布的数据通常呈现出钟形曲线的形状，且均值、中位数和众数相等。
正态分布是许多模型和算法的基础，例如线性回归和神经网络等。
3. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，它描述了在一定时间内某个事件发生的次数。
该分布适用于低概率事件的发生频率较高的情况，例如在一定时间内接收到的电子邮件数量以及某种疾病的发病率等。
此外，泊松分布还可以用于描述自然生态系统中的物种数量变化、军事战斗中的伤亡人数等。
4. 指数分布指数分布是一种连续概率分布，用于描述一些事件所需的时间间隔。
比如说，等车的时间、电话呼叫之间的间隔时间等都可以用指数分布来描述。
该分布的特点是概率随着时间间隔的增加而逐渐减小，且具有单峰趋势。
5. Gamma分布Gamma分布是一种连续概率分布，广泛应用于工程和自然科学领域。
它可以用来描述诸如距离、强度、能量和粒子次数等连续型随机变量之和的概率分布。
由于Gamma 分布具有特定的形状和参数，因此它可以与其他分布结合使用，用于模拟各种实际场景的数据。
6. 卡方分布卡方分布是一种连续概率分布，用于描述统计独立性检验的结果。
概率分布及其特征
概率分布及其特征概率论是数学中一门极为重要的学科，它与统计学紧密相关，是科学研究中经常用到的一种方法。
在概率论中，概率分布是一个非常重要的概念。
概率分布是指随机变量可能取到的各个取值及其发生的概率。
在本文中，我将深入探讨概率分布及其特征。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量只会取到一系列离散值，比如整数值或字符值。
对于离散型概率分布，我们通常使用概率质量函数来表示。
概率质量函数的作用是描述一个离散型随机变量的所有取值及其对应的概率。
通常用P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
对于离散型概率分布，概率质量函数具有以下两个特征：1.0<=P(X=x)<=1。
每个特定值的概率不会大于1或小于0。
2.所有P(X=x)之和等于1。
所有可能的离散值的概率之和为1。
即∑P(X=x)=1。
常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量可能取到的所有值都在某个区间内，而不是离散的特定值。
对于连续型概率分布，我们通常使用概率密度函数来表示。
概率密度函数的作用是描述连续型随机变量在一个区间内可能取到的所有值的分布情况。
通常用f(x)表示在x处的密度函数值。
对于连续型概率分布，概率密度函数具有以下两个特征：1.密度函数值大于等于0。
任何给定的x值的概率密度函数值必须大于等于0。
因为概率密度函数表示概率在某个范围内的值的概率大小。
2.区间内所有密度函数值的积分等于1。
概率密度函数描述的是区间中所有可能的值的密度，因此在该区间内所有密度函数值的积分必须等于1。
常见的连续型概率分布包括正态分布、指数分布、均匀分布等。
三、期望期望是概率分布的一个重要特征，它表示随机变量在一组样本中所期望的平均值。
期望可以是一个数值，也可以是一个随机变量。
以离散型概率分布为例，期望可以表示为：E(X)=∑x P(X=x)×x其中，P(X=x)代表随机变量X等于x的概率。
常见概率分布特征总结
常见概率分布特征总结
1、正态分布：正态分布是最常用的概率分布之一，它出现在许多形
式的研究中，主要是属于连续性概率分布。
正态分布的形状是一个钟形曲线，由一个均值(μ)和标准差(σ)决定。
它两侧各有一个“长”尖，就像
一个钟形。
正态分布的总体平均值μ=样本的均值，正态分布的总体方差
σ2=样本的方差。
正态分布有着特殊的性质：（1）中位数等于均值。
（2）标准差越大，尖峰越低，右腹越宽，左腹越窄。
（3）曲线两侧对称，均值、中位数、众数均相同。
2、贝叶斯分布：贝叶斯分布是一种连续性概率分布，其函数形式为
x^(α-1)*exp(-x^2/2b^2)。
贝叶斯分布具有有限的可变性，因此可以用
来描述连续现象的概率分布，如测量误差、估计参数等现象。
贝叶斯分布
亦称为Α-分布，其中α是分布的形状参数，β则表示尺度参数，可以
衡量其方差的大小。
当α=1和β=1时，贝叶斯分布可以用高斯分布来描述，此时又称为双变量高斯分布。
3、对数正态分布：对数正态分布是一种同密度连续概率分布，它是
一种特殊的正态分布，分布的概率密度函数与正态分布不同之处在于，其
取值范围限制在非负值，而且在正值上变化更为迅速，由均值μ和方差
σ2决定。
机器学习笔记之常见的11种概率分布
机器学习笔记之常见的11种概率分布0x01 均匀分布1) 离散随机变量的均匀分布：假设 X 有 k 个取值：x1, x2, ..., xk 则均匀分布的概率密度函数为：2) 连续随机变量的均匀分布：假设 X 在 [a, b] 上均匀分布，则其概率密度函数为：0x02伯努利分布伯努利分布：参数为θ∈[0,1]，设随机变量 X ∈ {0,1}，则概率分布函数为期望：⽅差：0x03 ⼆项分布假设试验只有两种结果：成功的概率为θ，失败的概率为 1-θ. 则⼆项分布描述了：独⽴重复地进⾏ n 次试验中，成功 x 次的概率。
概率密度函数：期望：⽅差：0x04 ⾼斯分布正态分布是很多应⽤中的合理选择。
如果某个随机变量取值范围是实数，且对它的概率分布⼀⽆所知，通常会假设它服从正态分布。
有两个原因⽀持这⼀选择：'''建模的任务的真实分布通常都确实接近正态分布。
中⼼极限定理表明，多个独⽴随机变量的和近似正态分布。
在具有相同⽅差的所有可能的概率分布中，正态分布的熵最⼤（即不确定性最⼤）。
'''典型的⼀维正态分布的概率密度函数为 :0x05 拉普拉斯分布概率密度函数：期望：⽅差：0x06 泊松分布假设已知事件在单位时间（或者单位⾯积）内发⽣的平均次数为λ，则泊松分布描述了：事件在单位时间（或者单位⾯积）内发⽣的具体次数为 k 的概率。
概率密度函数：期望：⽅差：0x07 指数分布若事件服从泊松分布，则该事件前后两次发⽣的时间间隔服从指数分布。
由于时间间隔是个浮点数，因此指数分布是连续分布。
概率密度函数：（ t 为时间间隔）期望：⽅差：0x08 伽马分布若事件服从泊松分布，则事件第 i 次发⽣和第 i+k 次发⽣的时间间隔为伽玛分布。
由于时间间隔是个浮点数，因此伽马分布是连续分布。
概率密度函数：其中， t 为时间间隔，k 称为形状参数，λ称为尺度参数期望和⽅差分别为：0x09 贝塔分布贝塔分布是定义在 (0,1) 之间的连续概率分布。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的概率论分布有：均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指在一段区间内，各个取值的概率是相等的。
比如在一个骰子的例子中，每个面出现的概率是相等的，为1/6。
均匀分布在实际应用中常用于随机数生成、样本抽取等场景。
2. 正态分布正态分布又被称为高斯分布，是最常见的概率分布之一。
正态分布的特点是呈钟形曲线，数据集中在均值周围，并且具有对称性。
正态分布在自然界中广泛存在，比如人的身高、体重等都近似服从正态分布。
在统计学和数据分析中，正态分布的应用非常广泛，例如在建模、假设检验和置信区间估计等方面。
3. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一段时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的平均速率是恒定的。
泊松分布在实际应用中常用于描述稀有事件的发生概率，比如电话呼叫中心的接听次数、交通事故的发生次数等。
4. 指数分布指数分布是描述连续随机变量的概率分布，用于描述时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的速率是恒定的。
指数分布在实际应用中常用于描述如等待时间、寿命等连续性事件的概率分布。
这四种分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。
它们分别适用于不同的场景和问题，能够帮助人们理解和分析数据。
在实际应用中，我们常常需要通过对数据进行建模和分析来确定数据的分布类型，从而更好地理解数据的特征和规律。
除了这四种常见的分布外，还有其他许多概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种分布都有其独特的特点和应用领域。
在实际应用中，选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据，做出准确的推断和预测。
概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
每种分布都有其特点和应用场景，在实际问题中选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的。
通过对数据的分布进行研究，我们能够更好地理解数据的规律和特征，为决策提供科学依据。
第四章 常见的几种概率分布
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
σ =0.5
σ =1 σ =2
2．正态分布特征
⑴ 曲线呈钟型，以 为对称轴左右对称。 ⑵ 在 处， 取最大值，即曲线最高。 ⑶ 正态分布有两个参数，即位置参数 和形态 参数 。 ⑷ 正态分布的标准化变换
u2 125 122.6 0.5 4.8
相当于
119 122.6 125 -0.75 0 0.5
该地当年7岁男孩身高界于119cm 到125cm范围所占的比例为46.49%。
第三节 2分布、t 分布、F分布
t分布
X ~ N( m ，2) ～
• 英国统计学家W. S. Gosset(1908)给出了统计 量t的分布规律，并称统计量
• t分布与正态分布的关系: 自由度v 较小时，t 分布 与标准正态分布相差较大，随着自由度v的增大，t 分 布曲线越来越接近于标准正态分布曲线。
• 当 时，t分布的极限分布就是标准正态分布。
单侧 双侧
• t分布的界值:
t界值示意图:
-t/2,v
t/2,
2分布
设 为相互独立的服从标准正态总体 的随机变量，统计量 为 一随机变量，且其密度函数为
的分布规律为t分布，自由度为v，记为t (v)分 布。 由于每个自由度v对应一个分布，因此t分布是一 簇分布。
自由度不同的三条t分布密度曲线
v =∞ v=5
v =1
v=1
t分布的图形特征和t界值
• 分布特征: t分布曲线是单峰的，且以t = 0左右对称。 • t分布是随自由度v而变化的一簇分布。
常用概率分布的特征及应用
常用概率分布的特征及应用概率分布是概率论中的重要概念之一，用于描述随机变量的可能取值及其对应的概率。
在实际应用中，常用的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
本文将介绍常用概率分布的特征及其应用。
一、离散型分布1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，用于描述只有两个可能结果的随机试验。
伯努利分布的特征是每次试验只有成功和失败两种结果，成功的概率记为p，失败的概率记为1-p。
伯努利分布的应用场景包括投硬币正反面、赌博游戏的胜负等。
2. 二项分布二项分布是由n次独立的伯努利试验组成，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
二项分布的特征是试验成功的次数服从参数为n 和p的二项分布。
二项分布的应用场景包括统计调查、质量抽样检验等。
3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间（或单位面积、单位长度等）内某事件发生次数的概率分布。
泊松分布的特征是事件发生的平均次数λ，该分布的概率可以通过泊松定理计算得出。
泊松分布的应用场景包括电话呼线、交通事故发生、网站访问量等。
二、连续型分布1. 均匀分布均匀分布是最简单的连续型分布，用于描述随机变量在一个区间内取值的概率分布。
均匀分布的特征是在给定区间内每个取值的概率相等。
均匀分布的应用场景包括随机数生成、题库出题等。
2. 正态分布正态分布也被称为高斯分布，其特征是呈钟形曲线分布，对称轴是均值。
正态分布的应用非常广泛，包括量化投资、质量控制、IQ测试等。
3. 指数分布指数分布描述了连续时间之间的等候时间。
其特征是呈右偏态分布，逐渐递减至零。
指数分布的应用场景包括网络传输延迟、设备寿命等。
4. 法雷分布法雷分布用于描述极端事件的概率分布。
其特征是呈右偏态分布，尾部的概率密度函数迅速递减。
法雷分布的应用场景包括金融风险评估、天灾风险预测等。
总结：以上介绍了常用的概率分布以及它们的特征和应用。
离散型分布主要用于描述随机试验的结果，如伯努利分布、二项分布和泊松分布；而连续型分布则用于描述随机变量值的分布，如均匀分布、正态分布、指数分布和法雷分布。
深度学习必懂的13种概率分布
深度学习必懂的 13 种概率分布本文为你介绍基本概率分布教程，大多数和使用 python 库进行深度学习有关。
概率分布概述•共轭意味着它有共轭分布的关系。
•多分类表示随机方差大于 2。
•n 次意味着我们也考虑了先验概率 p（x）。
•为了进一步了解概率，我建议阅读 (pattern recognition and machine learning，Bishop 2006)。
分布概率与特征1.均匀分布（连续）代码：均匀分布在 [a，b] 上具有相同的概率值，是简单概率分布。
2.伯努利分布（离散）代码：•先验概率 p（x）不考虑伯努利分布。
因此，如果我们对最大似然进行优化，那么我们很容易被过度拟合。
•利用二元交叉熵对二项分类进行分类。
它的形式与伯努利分布的负对数相同。
3.二项分布（离散）代码：•参数为 n 和 p 的二项分布是一系列 n 个独立实验中成功次数的离散概率分布。
•二项式分布是指通过指定要提前挑选的数量而考虑先验概率的分布。
4.多伯努利分布，分类分布（离散）代码：•多伯努利称为分类分布。
•交叉熵和采取负对数的多伯努利分布具有相同的形式。
5.多项式分布（离散）代码：多项式分布与分类分布的关系与伯努尔分布与二项分布的关系相同。
6.β分布（连续）代码：•β分布与二项分布和伯努利分布共轭。
•利用共轭，利用已知的先验分布可以更容易地得到后验分布。
•当β分布满足特殊情况（α=1，β=1）时，均匀分布是相同的。
7.Dirichlet分布（连续）代码：•dirichlet 分布与多项式分布是共轭的。
•如果 k=2，则为β分布。
8.伽马分布（连续）代码：•如果 gamma（a，1）/gamma（a，1）+gamma（b，1）与 beta（a，b）相同，则gamma 分布为β分布。
•指数分布和卡方分布是伽马分布的特例。
9.指数分布（连续）代码：指数分布是α为 1 时γ分布的特例。
10.高斯分布（连续）代码：高斯分布是一种非常常见的连续概率分布。
概率分布的种类与性质
概率分布的种类与性质概率分布是描述随机变量可能取值的概率的函数。
在概率论与数理统计中，概率分布是研究随机变量的重要工具，它可以帮助我们理解随机现象的规律性。
不同类型的随机变量具有不同的概率分布，每种概率分布都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的概率分布的种类与性质，帮助读者更好地理解概率分布的基本概念。
一、离散概率分布离散概率分布是描述离散型随机变量可能取值的概率分布。
离散型随机变量的取值是有限个或可数个的，例如掷硬币的结果（正面或反面）、掷骰子的点数（1到6）、抛硬币的次数等。
常见的离散概率分布包括：1. 二项分布（Binomial Distribution）：描述n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布的性质包括：固定的试验次数n、每次试验成功的概率p、成功次数的概率分布等。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）：描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的性质包括：事件在时间或空间上是独立的、事件发生的概率很小、事件发生的次数是非负整数等。
3. 几何分布（Geometric Distribution）：描述在一系列独立伯努利试验中，首次成功所需的试验次数的概率分布。
几何分布的性质包括：每次试验成功的概率p、试验次数的概率分布等。
二、连续概率分布连续概率分布是描述连续型随机变量可能取值的概率分布。
连续型随机变量的取值是在一个区间内的任意实数值，例如测量身高、体重、温度等。
常见的连续概率分布包括：1. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是自然界中最常见的概率分布之一。
正态分布的性质包括：均值μ决定分布的位置、标准差σ决定分布的形状、对称的钟形曲线等。
2. 均匀分布（Uniform Distribution）：描述在一个区间内所有点的概率密度相等的概率分布。
均匀分布的性质包括：区间的起点a 和终点b、概率密度函数f(x)等。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。
不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。
以下是常用的概率分布类型及其特征。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。
伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。
它描述了在n次独立试验中成功的次数。
例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。
二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。
泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。
正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。
正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。
5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。
它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。
卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。
6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。
t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。
7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。
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常用的概率分布类型及其特征
3．1 二点分布和均匀分布
1、两点分布
许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。
描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：
其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率：
0≤P≤1。
X的期望 E（X）=P
X的方差 D（X）=P（1—P）
2、均匀分布
如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：
X的期望 E（X）=（a+b）/2
X的方差 D（X）=（b-a）2/12
3．2 抽样检验中应用的分布
3．2．1 超几何分布
假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：
X=0，1，……
X的期望 E（X）=nd/N
X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布
超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。
X的概率分布为：
0<p<1
x=0，1，……，n
X的期望 E（X）=np
X的方差 D（X）=np（1-p）
3．2．3 泊松分布
泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：
（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；
（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；
（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt 的起点无关。
则在[0，t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布，其分布概率为：
X的期望 E（X）=λt
X的方差 D（X）=λt
假设仪表受到n次冲击即发生故障，则仪表在[0，t]时间内的可靠度为：
其中：x =0，1，2，……，λ＞0，t＞0。
3．2．4 x2分布
本分布是可靠性工程中最常用的分布之一，虽然其概率密度形式较复杂，但可由标准正态分布推出。
设有v个相互独立的随机变量X1，X2，…… Xv，它们服从于标准正态分布N（0，1）。
记x2 =X12 + X22 +…Xv2 ，x2读作“卡方”则x2服从的分布称为x2分布。
它的概率密度函数为：
该式称为随机变量x2服从自由度为V的x分布。
式中：V—为自由度，是个自然数
x2分布最重要的性质是：
当m为整数时：
3．3 产品的寿命分布
3．3．1 指数分布
指数分布是电子产品在可靠性工程学中最重要的分布。
通常情况下，电子产品在剔除了早期故障后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段其寿命服从指数分布规律。
指数分布是唯一的失效率不随时间变化而变化的连续随机变量的概率分布。
容易推出：
指数分布有如下三个特点：
1．平均寿命和失效率互为倒数；
MTBF=1/λ
2．特征寿命就是平均寿命；
3．指数分布具有无记忆性。
（即产品以前的工作时间对以后的可能工作时间没有影响）
3．3．2 威布尔分布
从上面的描述可知，指数分布只适用于浴盆曲线的底部，但任何产品都有早期故障，也总有耗损失效期。
在可靠性工程学中用威布尔分布来描述产品在整个寿命期的分布情况。
将指数分布中的（-λt）替换为（-（t/η）m），就得到威布尔分布。
容易得到：
3．3．3 正态分布与对数正态分布
正态分布又称为常态分布或高斯分布。
它的概率密度函数为：
式中：-∞＜x＜∞
分布函数记为：
对数正态分布是指：若寿命T的对数lnT服从正态分布N（u，σ），则T 服从对数正态分布。
它的概率密度函数为：
式中：t，σ为正数，μ和σ分别称为对数正态分布的“对数均值”和“对数标准差”。
3．4 为进行统计推断所构造的分布
3．4．1 t分布（学生氏分布）
t—分布常用于区间估计、正态总体的假设检验以及机械概率设计之中。
服从t—分布的随机变量记住t。
它是服从标准正态分布N（0，1）的随机变量U 和服从自由度为v的x2分布的随机变量x2（v）的函数。
它的概率密度函数f（t）为：
3．4．2 F—分布
F分布主要用于两个总体的假设检验与方差分析。
服从F分布的随机变量F是两个相互独立的x2分布随机变量x2（v1）和x2（v2）的函数：
式中：F只能取正值。
F分布的概率密度函数为：
另外还有β—分布等。
中位秩是β—分布的中位数，一般用下式求出：
中位秩值≈（i-0.3）/(n+0.4)
式中：n为样本总数。