确界习题课件
数学分析习题课1.1
第一章 实数集与函数习题课 实数集、确界原理与函数一、基本要求：1、掌握有关实数的性质与运算。
2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。
3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。
4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。
5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。
并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。
二、内容复习：1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。
有理数可用分数形式qp（q p ,为整数，0≠q ）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。
2、实数的性质：(1) 封闭性：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的.(2) 有序性：任意两实数b a ,必满足下述三个关系之一：b a <，b a =，b a >.(3) 传递性：若b a >，c b >，则c a >.(4) 阿基米德性：对任何R b a ∈,，若0>>a b ，则存在正整数n ，使得b na >.(5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.(6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.3、绝对值的定义：⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,||a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值||a 就是a 到原点的绝对值.4、绝对值的性质：(1) 0||||≥-=a a ;当且仅当时0=a 有0||=a .第一章 实数集与函数(2) ||||a a a ≤≤-.(3) )0(||;||>≤≤-⇔≤<<-⇔<h h a h h a h a h h a .(4)对任何R b a ∈,有如下的三角不等式：||||||||||b a b a b a +≤±≤-.(5) ||||||b a ab =. (6) )0(||||≠=b b a b a . 5、区间与邻域的概念：有限区间：设a 、R b ∈，且b a <开区间：}|{),(b x a x b a <<=.闭区间：}|{],[b x a x b a ≤≤=.半开半闭区间：}|{),[b x a x b a <≤=或}|{],(b x a x b a ≤<=.无限区间：}|{],(a x x a ≤=-∞，}|{),(a x x a <=-∞}|{],(a x x a ≥=+∞，}|{),(a x x a >=+∞R =+∞-∞),(邻域：设0,>∈δR a点a 的δ邻域：),(}|||{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U .点a 的空心δ邻域：}||0|{);(δδ<-<=a x x a U .点a 的左δ邻域：],();(a a a U δδ-=-.点a 的右δ邻域：),[);(δδ+=+a a a U .∞邻域：}|||{)(M x x U >=∞，其中为充分大的正数（下同）.∞+邻域：}|{)(M x x U >=+∞；∞-邻域：}|{)(M x x U -<=-∞.6、确界的定义：确界是上确界与下确界的统称。
江苏大数学分析-第七章实数完备性习题课
4．设 S 是有界数集，则 sup S ， inf S 是 S 的聚 的聚点，例如 S = 1 ，sup S = 1 ， n
但它不是聚点．
当 sup S
则称x 为 S 的一个聚点．
3)若存在各项互异的收敛数列{xn }Ì
S
，则其极限 lim n®¥
xn
=x
称为 S
的一个聚点．
3．叙述x 不是点集 S 聚点的定义：
设 S 是数集，h 不是 S 的聚点 Û 存在e 0 > 0 ，在U (h;e 0 ) 中至多包含 S 中有限多个点．
二 疑难问题注意事项 1．区间套定理如果把闭区间改成开区间，结果成立吗？
构成了开区间
(0,1)
的一个
开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住 (0,1) ．
1）分析
"x
Î
(0,1)
，要使
x
Î
æ çè
n
1 +
1
,1ö÷ø
，只要
x
>
n
1 +1
，即需要
n
>
1 x
- 1 ，当
n
充分
大时是成立．
证
"x
Î (0,1)
，当
n
充分大时（
n
>
1 x
- 1 时），就有
x
>
n
1 +1
，即
x
Î
æ çè
得在此领域上， f (x) £ M x ，其中 M x 是与 x 有关的常数，
H = {U (x;d x ) x Î [a,b]}
九年级语文上册第18课 怀疑与学问习题课件(共30张幻灯片)
第18课 怀疑与学问
课内精读
清代的一位大学问家——戴震，幼时读朱子的 《大学章句》，便问《大学》是何时的书，朱 子是何时的人。塾师告知他《大学》是周代的 书，朱子是宋代的大儒；他便问宋代的人如何 能知道一千多年前的著者的意思。法国的大哲 学家笛卡儿也说：“我怀疑，所以我存在。”他的 哲学就建立在对于万事万物的怀疑和明辨上。
A．历史上，有许多为民请命的清官，如海瑞、包拯等。 B．无数革命先烈前仆后继，英勇奋斗，用生命换来新中 国的产生。 C．当这一天的太阳正常升起，危言耸听的“世界末日论” 谎言不攻自破。 D．在曹操墓是真是假的猛烈争论中，一个网上逃犯靠着自 欺欺人的手段走红网络，这不能不说是社会与学术的悲剧。
第18课 怀疑与学问
课外赏读
惟有从学问中产生出来的智慧，才不是浮 光，而是探照灯，可以透过云层，照射到 青空的地步。惟有从学问中锻炼出来的智 慧，才不是瞬息幻灭的肥皂泡；他永远像 珍珠泉的泉水一般，一串串不断地从水底 上涌。也惟有这种有根底的智慧，才最靠 得住，最为精澈，最可宝贵。
第18课 怀疑与学问
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⑤若把学问譬做建筑材料，那智慧便是建筑师 的匠心。有木、有石，甚至有水泥钢骨，决不 能成为房子；就是懂得材料力学、结构原理， 也只可以造成普通的房子，而决不能造成庄重 壮丽的罗马圣彼得或巴黎圣母教堂。这种绝代 的美术作品，是要靠艺术家的匠心的。但是材 料愈能应手，匠心愈能发挥；构造的原理愈进 步，艺术家愈能推陈出新。
第18课 怀疑与学问
课外赏读
材料与技术对于作风的影响，整个美术史， 尤其建筑史，都以证明。所以学问与智慧 是相辅为用，缺一不可的。我们不但需要学 问，而且更需要智慧——需要以智慧去笼罩 学问、透视学问、运用学问。
数集·确界原理
设 2）不成立，则 0 0, 使得 x E ，均有 x M 0 ，与 M 是上确界矛盾.
充分性， 用反证法.设 M 不是 E 的上确界，即 M 是上界，但 M M .令 M M 0 ，
x E ， 由 2） ， 使得 x M M ， 与M 是E
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界,
A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
试证明:
x inf A
即
或
x inf B. x min inf A , inf B .
min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
(a, b) (a, b 为有限数） a, b 、 、 邻域等都是有界数集； 集合 E y y sin x, x ( , )也是有界数集.
( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) 等都是无界数集,
1 例1 证明集合 E y y , x ( 0 , 1 ) x 是无界数集. 1 (0, 1) , 证明： 对任意的M 0，x M 1 1
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数
supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得
sup A inf B.
例5
A 和 B 为非空数集, S A B.
1-8上确界和下确界
2007／10／09§1.8 上确界和下确界一、定义,,β有上界是一个非空集合设E —有没有最小上界？—⎩⎨⎧再小一点不再是上界；是上界； .2 .1：定义1满足合是一个非空有上界的集设β,E ;, 1β≤∈∀x E x o 有.,,0 2εβεεε->∈>∀x E x o 使存在是上界小一点不再是上界,的上确界为称E β.sup E =β记为同样满足合是一个非空有下界的集设α,E ;, 1α≥∈∀x E x o 有. , ,0 2εαεεε+<∈>∀y E y o 使存在,的下确界为称E α.inf E =α记为Supremum (上确界)，Infimum (下确界)最大下界例1.,1N inf *=,1)1,0sup( ,0)1,0inf(==,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧n {}{},1sup ,0inf ==n n x x①;,E E ∉∈也可以确界可以②上确界与最大元的关系：;sup ,a E a E =那么中有最大元,中无最大元E .也可以有上确界下确界与最小元有类似关系.二、确界的一些基本性质{}Y y X x y x Y X ∈∈+=+,：①YX Y X inf inf )inf(+=+YX Y X sup sup )sup(+=+Xa X a inf )inf(+=+Xa X a sup )sup(+=+②)sup(sup inf )inf(Y X Y X Y X +≤+≤+③{}{},, n n y x 数列若,n n y x ≤⎩⎨⎧≤≤nn n n y x y x inf inf sup sup 则Y X y x Y y Y y X x X x inf inf inf ,inf ,+≥+⇒⎭⎬⎫≥∈∀≥∈∀,0>∀εε++<+∃Y X y x inf inf ''YX Y X inf inf )inf(+=+∴证明：YX Y X inf inf )inf(+=+①2inf ,''ε+<∈∃X x X x 2inf ,''ε+<∈∃Y y Y y }⇒YY X X sup inf ,sup inf ≤≤显然有⎩⎨⎧++≤YX Y X inf sup sup inf YX sup sup +≤②YX Y X inf inf )inf(+=+∴)sup(Y X +=③nn y x sup sup ≤往证,sup ,N *n n n y y x n ≤≤∈∀{}.sup 上界是n n x y ∴,sup sup n n y x ≤∴{})(sup 最小上界是n n x x .inf inf 类似可证n n y x ≤三、确界原理定理1:非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界.证明：, 的一个上界是设E γ,E x ∈任取.],[],[11b a x 记为将γ,],[11二等分将b a ⎩⎨⎧].,[,],[,2222b a E b a E 取左区间为中点右边区间没有；取为中点右边区间有,N ],,[,*∈=n b a I n n n 得闭区间套重复进行,321 ⊃⊃⊃I I I .02||1→-=-n n xI γ此区间套特点：.,],[中点右边无中点中必含有每个E b E b a n n n 由区间套定理，.lim lim ,|1n n n n n n b a I ∞→∞→∞===∈∃ββ其中Ⅰ.,,n b x E x <∈∀必有.lim β=≤∴∞→n n b x 是上界Ⅱ.,N ,0*∈∃>∀N ε,εβ->N a 使,根据区间特点,],[N N N x E b a 中点中必有在使得.εβ->≥N N a x .sup E =β所以Esup =β下证.inf ,sup -∞=+∞=E E单调有界原理确界原理⇒证明：{}有上界，单调增设 ,n a ,,,0 εε->∃>∀a a a N N 使且,时N n >}.sup{lim n n n a a a ==∴∞→例2.{},,sup a a a a a n n n ≤=且有上确界则εε<-⇒⎩⎨⎧≤->≥a a aa a a a n n N n2007／10／11§1.9 有限覆盖定理一、覆盖{}，若有一族开区间给定集合Λλλ∈, ,I A , Λλλ∈⊂I A 使.A 称这一族开区间覆盖了{}.的一个开覆盖是或称开区间族A I λ)1()2({}的覆盖是A I λ⇔,A x ∈∀总有一个开{}.00λλλI x I I ∈∈，使区间），），（），），（如21,1(,5432,4321(,320:++-n n n n ]2141[),10(，覆盖了，覆盖了二、有限覆盖定理定理2)(定理—Borel Heine {}覆盖，被一族开区间若有限闭区间λI b a ],[则必可从中选出有限个开区间来覆盖].,[b a 证明：反证法{},],[中有限个开区间覆盖不能被设λI b a , ],[ 二等分将b a 不能必有一个区间],[11b a .被有限覆盖不能必有一个闭区间二等分],[,],[2211b a b a .被有限覆盖{},],[,n n b a 得到闭区间套如此下去且其中.限覆盖每一个区间都不能被有知由闭区间套定理 ,,],[|1 ∞=∈∃n n n b a η.lim lim η==∞→∞→n n n n b a 且],,[b a ∈η {},),(ηβαλ盖住中至少有一个在I ∴.βηα<<,由极限性质必有如,,N n N >∃,βηα<<<<n n b a ),(],[βα⊂n n b a 矛盾！可少！区间的有限性、闭性不 ,),1(,2,1)},,0{(的开覆盖是+∞= n n .无有限覆盖,(0,1),3,2)},1,1{(的开覆盖是 =n n.无有限覆盖注意：单调有界定理确界定理闭区间套定理有限覆盖定理列紧性定理Cauchy收敛定理三、实数系统六定理等价性作业(数学分析习题集)习题1.8 上确界和下确界A 1(3), (5);2；3；5.。
第八、十章习题课(1)
5. 证明：G 是由 a 生成的无限阶循环群，则 G 的生成 元只有 a 和 a-1。
证明：
b G=<a> ， 则
n Z ， 使 b=an 。 故
b=(a-n)-1=(a-1)-n，从而 a-1 也是 G 的生成元。 若 b 是 G 的生成元，则 k，m Z，分别满足 b=ak 和 a=bm。从而 b=(bm)k=bmk。若 km 1，则由消去 律可知 b 的阶是有限的， 这与|G|无限矛盾。 从而 km=1， 即 k=1，m=1 或 k=-1，m=-1。故 b=a 或 b=a-1。 从而 G 只有两个生成元 a 和 a-1。
h1，h2 C，对 g G，有 h1g=gh1，h2g=gh2。
故 (h1h2)g=h1(h2g)=h1(gh2)=(h1g)h2=(gh1)h2 =g(h1h2)，h1-1g=gh1-1。从而 h1h2，h1-1 C。故 C 是 G 的子群。 再证 C 是 G 的不变子群。 即证明对 g G， gC=Cg。 a gC， 则存在 h C 使得 a=gh。 则由 C 的定义且 h C 可知 a=gh=hg Cg， 从而 gC Cg。 同理可证， gC。 Cg 故 C 是 G 的不变子群。
a，b G，因为 G 是可交换群，故
f(a· b)=(a· -1=(b· -1=a-1· -1=f(a)· b) a) b f(b)。故 f 满 足同态方程。从而 f 是 G 上的自同构。
10. 若 群 <G,· 的 子 群 <H,· 满 足 |G|=2|H| ， 则 > > <H,· >一定是群<G,· >的正规子群。
重点和难点
清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)
得 x
a
, 2
y
b
2
，因此 x
y
a b , 即 inf( A
B)
ab
inf
A inf
B.
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明：
（1） inf AB inf Ainf B ； （2） sup AB sup Asup B
（3） 0 0 ，使得{an}中除有限项外，都满足| an A | 0 ；
（4） 0 0 ，使得{an}中有无穷多项满足| an A | 0 ；
解：（4）等价。
7．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．
证明：不妨设an 为一单调增加数列， ank
为
an
的一个子列，且
lim
作者：闫浩 2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的
基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中
数学较为简单，本次习题课也准备了一些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔
，对于
ab
x A, y B 使 得
x
a
a
b
,
y
b
”的技巧。 ab
二、数列极限的定义
4．用极限定义证明
(1) lim ( n 1 n ) 0
n
证明： 0 ，由于
| n 1 n |
1
1，
n1 n n
欲使 |
n 1
n | ，只需
1 ，即 n
n
1 2
数集确界原理典型例题
数集确界原理典型例题
典型例题：
1. 设有数集 A = {0, 1/2, 1/4, 1/8, ...}，求集合 A 的确界和下确界。
解答：根据数集A 的定义可以看出，A 是一个递减有界数列，最小的元素是 0，而且当 n 增大时，A 的每个元素都趋近于 0。
因此，数集 A 的确界为 0，下确界为 0。
2. 设有数集 B = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}，求集合 B 的确界和下确界。
解答：与上一题类似，数集 B 也是一个递减有界数列，最小
的元素是 0，而且当 n 增大时，B 的每个元素都趋近于 0。
因此，数集 B 的确界为 1，下确界为 0。
3. 设有数集 C = {x | x^2 < 2}，求集合 C 的确界和下确界。
解答：数集 C 是指所有满足 x^2 < 2 的实数 x 组成的集合。
由
于不存在一个实数的平方等于 2，因此数集 C 中不存在最大的元素，也就是说确界不存在。
但是，根据数学知识可以证明，存在最大的有理数 x，使得 x^2 < 2，所以下确界为这个最大
的有理数。
这些例题展示了数集确界原理的应用，通过对数集中元素的特
性进行分析，可以确定数集的确界和下确界，进一步深入理解数集确界原理的概念和应用。
确界习题课件
解法二 因为maxS=1, minS=0,
故 sup S 1, inf S 0.
P 9. 3.
解
S { y | y 2 x , x R}
2
显然， x 2 2, 2
y S , 有 y 2,
即S有上界2。 若S有下界L, 则L<2,
即2 x L,
2
即y S , 有y L,
2 0
取x0 2 L, 则 x 2 L,
y0 2 x 2 ( 2 L) L, 矛盾！
2 0
故S无下界。
P 9. 4（3）. S { x | x为(0, 1)内的无理数 } 解
（2）inf Sห้องสมุดไป่ตู้ 3. x S , x 3. 即 3是S的一个下界。
3a a 3. 取x0 2 （或取x0为 3和a之间的任何实数） ,
则x0 3且x0 a ,
即x 0 S , x 0 a .
故 inf S 3.
1 1） （ 2、 S { x | x ,n N } n
n
解
2 2 2 2 S {0, ,0, ,0, ,0, ,} 2 4 6 8
sup S 1, inf S 0. （1）sup S 1.
x S , x 1,
a 1, 取x0 1 S , 则x0 a .
故supS 1.
(2) inf S 0.
x S , x 0,
解 (1)
inf f ( x ) m , sup f ( x ) M ,
x , x I , 有m f ( x ) M , M f ( x ) m ,
第二节--数集--确界原理ppt课件
若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。
7
若 S有 上 ( 下 ) 界 ， 则 一 定 有 无 限 多 个 上 ( 下 ) 界 。
若对于任意的数M，都存在一个
∈S,使得 >M, 则称S是一个无上
界的数集。
请同学写出“S是无下界的数集”的定义。
8
有下界(可取1)，无上界。 下界可取1/2，上界可取1。
28
作业 p9. 2,
4 (1) (3).
29
18
证： 仅证上确界的结论。 不妨设S有非负数。由于S有上界，故可找
到非负整数n,使得： (1)对于任何x ∈S,有x<n+1；
对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9, 则存在0 ，1 ，2, … , 9中的一个数 ，使
19
则存在0 ，1 ，2, … , 9中的一个数 ，使
3
邻域:
4
右邻域： 左邻域：
5
二、有界集、确界原理 定义1 设S是实数集R中的一个数集，若存在
数M，使得对一切的x ∈S, 都有
则称S为有上界的数集，称M为S的一个上
界。
6
定义2 设S是实数集R中的一个数集，若
存在数L，使得对一切的x ∈S, 都有
x L,则称S为有下界的数集，称L为S的一个 下界。
继续下去，则对任意的k=1,2,3,…,存在 0,1,2,3,…,9中的一个数 ，使
20
现在证明 = supS. 为此要证：
21
从而于是(ⅠBiblioteka 得证 。矛盾！22
于是(Ⅱ)得证。
从而
23
例4：求A={x|x>0, <2, x 是有理数}的上下 确界，并证明上确界不属于有理数集.
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
I1 I2 I3 ,
|
In
|
x
2n1
0.
此区间套特点：
每个[an ,bn ]中必含有E中点,bn右边无E中点.
由区间套定理，
|
In,
n1
其中
lim
n
an
lim
n
bn
.
下证 sup E
Ⅰ.
x E,必有x
bn ,
x
lim
n
bn
.
上界
Ⅱ.
由于
lim
n
an
0,N N* ,
使aN , 根据区间特点,
称为E的下确界，记为sup E
扩充：如果Ｅ没有上界，则记 sup E
例1.
inf N * 1
inf(0,1) 0,sup(0,1) 1
xn
n1 ,
infxn 0,supxn 1
结论：1。集合的确界可以属于这个集合也 可以不属于该集合
2.上确界与最大元的关系：
E中有最大元—即为上确界
§6实数的连续性
——上确界下确界存在定理
一、确界的定义
定义6.1： 设Ｅ是非空有下界集合， 若 满足
（1） x E, x （2） 0,y E，使y
称为E的下确界，记为inf E
扩充：如果Ｅ没有下界，则记 inf E
定义6.1： 设Ｅ是非空有上界集合， 若 满足
（1） x E, x （2） 0,y E，使y
lim n
an
a
sup{an }.
思考问题１
假设集合E有上界，并存在一个子列xn E，
满足
lim
n
xn
，则为集合E有上确界；
高等数学第1章第2节数集确界原理.
1、能源计量网络图或统计分析表2、能源计量器具一览表（台帐）[包括进出用能单位、主要次级用能单位]3、用能单位能源计量组织机构图4、主要次级用能单位核定表5、主要用能设备核定表6、输入输出用能单位一览表7、能源计量器具配备率计算表三、企业提供软件资料8、能源计量管理制度[至少包含以下制度]●能源计量器具采购、验收、使用、维护保养制度●能源计量人员岗位职责●能源计量器具溯源和周期检定制度●能源计量数据采集制度●能源计量数据统计制度三、企业提供软件资料9、能源计量器具档案[仪器说明书、连续2个周期检定证书/校准报告、使用和维修记录、报废记录]10、量值传递/溯源图11、能源计量管理人员上岗证书12、能源计量器具周期检定计划表13、能源统计报表14、能源计量数据原始采集记录四、工作程序1、确定输入输出用能单位的能源种类2、核定主要次级用能单位3、核定主要用能设备4、画出能源计量网络图5、编制和整理软件资料6、配备能源计量器具7、能源计量器具周期检定表1 主要次级用能单位能源消耗量（或功率）限定值能源电力煤炭焦炭原油成品油重油、渣油煤气、蒸汽热水水其它种类石油液化气天然气单位kW t/a t/a t/a m3/a GJ/a t/a GJ /a限定值10 100 40 80 100005 000 5 000 2 926注1: 表中a是法定计量单位中“年”的符号。
注2: 表中m3指在标准状态下，表2同。
注3: 2 926 GJ相当于100 t标准煤。
其它能源应按等价热值折算，表2类推。
表2 主要用能设备能源消耗量（或功率）限定值能源电力煤炭、焦炭原油、成品油、重油、渣油煤气、蒸汽、热水水其它种类石油液化气天然气单位kW t/h t/h t/h m3/h MW t/h GJ/h限定值100 1 0.5 1 100 7 1 29.26注1: 对于可单独进行能源计量考核的用能单元（装置、系统、工序、工段等），如果用能单元已配备了能源计量器具，用能单元中的主要用能设备可以不再单独配备能源计量器具。
数学分析(上)_习题集(含答案)
《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（ ）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（ ）（A ）连续点 （B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点 （D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（ ） （A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（ ）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（ ）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（ ）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界 （D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（ ）（A ）)1ln(x +与x ； （B ）x cos 1-与2x ； （C ）x+11与x -1 ； （D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（ ）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（ ）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件 （D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（ ）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在 （D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（ ）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数 （B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数 （C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数 （D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（ ）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（ ）（A ）连续点 （B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点 （D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（ ）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （ ） （A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（ ）（A ）若n x 发散，则n y 必发散 （B ）若n x 无界，则n y 必有界； （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小 （D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（ ）（A ）无界函数 （B ）周期为1的周期函数 （C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（ ）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（ ） （A ）存在 （B ）存在但非零 （C ）不存在 （D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。
§2--数集-·-确界原理--数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<点的空心邻域； (;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域； (;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域； (;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域； (;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；. ； max :S S 数集的最大值min:S S 数集的最小值后退 前进 目录 退出定义1 有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即 即 即[]102[]1,M x M M +=>+>取证 取 L = 1, {2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1 例2 2+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证 2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故 S 有下界. 因此 S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中 最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上 同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2 注1 由定义,下确界是最大的下界.注4 (ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明 是 的一个上界, S η比 小的数都不是 的上界,从而是最小的上界 S ηη界, 条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证 先证 sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明.0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 不一定有最小值, 例如 (0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4 .inf sup B A ≤且证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意 证 由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤ y . 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A ≤inf B.一数 x 都是 B 的下界.因此由确界原理, A 有上确 这样, sup A 又是 B 的一个下界,例5 ,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证 ,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有 ,sup S x ≤于是 .sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使 ,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且 ,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中 ,S x ∈必有 ,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在 ,0S x ∈使 0sup ,x S ε'>-因此 0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界. .sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集 1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证 设 sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是 0001,.y B y x ε=∈<且因此 inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若 inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否 3. 在上确界的定义中， 00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为 00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为 00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。
关于确界性质的讨论2
关于确界性质的讨论岳俊瑞 黄小琳（安康学院数学系 陕西 安康 725000）摘 要：在集合内讨论确界与最值的关系,并用它解决有关问题,研究数集四则运算后集合的确界的性质,以及讨论在数列中确界与极值的关系. 关键字：确界；最大值；最小值 一.确界的概念上确界的定义:S 是集合,η是常数,η是S 的最小上界,称η是S 的上确界.记为{}x S Sx ∈==sup sup η⇔①对η≤∈∀x S x ,；②对ηεηε≤<∈∃>∀00-,0x S x 使得，.下确界的定义:S 是集合,ξ是常数,ξ是S 的最大下界,称ξ是S 的下确界.记为{}x S Sx ∈==inf inf ξ⇔①对ξ≥∈∀x S x ,；②对εξξε+<≤∈∃>∀00,,0x S x 使得.确界原理:设S 为非空数集,若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界. 二．确界的性质关于数集的确界，一般的数学分析教材主要讨论一个集合的确界情形，比如什么样的集合存在确界，确界在存在情况下有哪些性质等，在这里我们讨论了一下确界与最值之间的关系，有助于大家对确界的理解. 1.确界与最值的关系.1.1当集合S 存在上、下确界时,最大值、最小值不一定存.例如：对于(){}内的有理数为区间1,0|X X S =，有1s u p=S ,0inf =S ,但是该集合并不能取到最大值与最小值。
1.2当集合存在最大值(最小值)时,则上(下)确界一定存在且等于最大值(最小值).例如：对于[]1,0=S ，有1sup =S ,0inf =S ,该集合的最大值与最小值也分别是1,0。
1.3当集合存在上确界（下确界）且上确界（下确界）包含在这个集合中,则这个集合有最大值（最小值）,其值就为上确界..此性质也可转述为:minS.infS (2)maxS,S supS )1(=⇒==⇒∈=ξξηη 证明:()1设,sup S S ∈=η则对一切S x ∈有η≤x ,而S ∈η,故η是数集S 中最大的数,即S max =η.()2设,inf S S ∈=ξ则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ.例如:对于{}2|2≤=x x S ,因22≤x ,等价于22≤≤-x ,即有2m a x s u p ==S ,2min inf -==S .有界性是函数的一个重要特点,但并不是所有的函数都具有该性质,为了加强对有界性的理解,我们应该熟悉掌握一些关于有界性的性质.以下介绍了它的几个简单性质.2.函数在四则运算法则下确界的性质2.1.设f 、g 为定义在D 上的有界函数,满足()()x g x f ≤,D x ∈. 则)1(()()()()x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈≤≤inf inf )2(;sup sup证明:()1记()x g Dx ∈=sup η,则对任意D x ∈有,()η≤x g ,又因)()x g x f ≤,所以()()η≤≤x g x f .因此η是()x f 的上界,而()x f Dx ∈sup 是()x f 的最小上界,故()≤∈x f Dx sup )x g Dx ∈=sup η.()2同理可证.2.2.()()则上的有界函数为设,,D x g x f()()()(){}()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈∈∈∈+≤+≤+≤+sup sup sup infinfinf inf证明:[思路分析]下确界仍是下界且下界之和仍为和的下界.()()()()D x x g x f x g x f Dx Dx ∈+≤+∈∈,inf inf .即()()x g x f Dx Dx ∈∈+inf inf 是()()x g x f +在D 上的一个下界.由下确界的定义,另一方面，由下确界的定义,()(){}x g x f Dx +∈inf()()()()D x x g x f x g x f Dx ∈+≤+≤∈,sup()()()(){}x g x f x g x f Dx Dx Dx +≤+∈∈∈infinf inf 有∴()(){}x g x f Dx +∈inf()()()()x g x f x g x f D x Dx D x D x ∈∈∈∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤sup inf sup inf由上确界的定义,得()()x f x f Dx Dx ∈∈≤sup inf()()()()x g x f x g x Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈+≤+∴sup sup sup inf2.3.设f 为定义在D 上的有界函数,则:(){}()(){}()x f x f x f x f Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈-=--=-sup inf )2(;inf sup )1(证明:()()ξ=∈x f Dx inf 1记.由下确界的定义知,对任意的,(),,x ξ≥∈x f D 即()ξ-≤-x f ,可见-是()x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在Dx∈0,使()εξ+<x f,即()εξ-->-x f,可见ξ-是()x f -的上界中最小者. (){}()x f x f x Dx ∈∈-=-=-i nf sup ξ所以.)2(同理可证结论成立,也可直接用)1(的结论来证.事实上,在)1(中换()()()(){}(){}得两边同乘得为1,in f )(s u p s u p ,---=--=-∈∈∈x f x f x f x f x f Dx Dx Dx(){}()x f x f Dx Dx ∈∈-=-sup inf例如:设()()2cos ,sin +==x x g x x f 为定义在R 上的有界函数,且()()().1inf ,3sup ,1inf ,1sup ==-==∈∈∈∈x g x g x f Rx Rx Rx Rx()()x g x f ≤ )1(,()()()().inf inf )2(;sup sup 成立显然有x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈≤≤()()2cos sin )2(++=+x x x g x f()(){}()(){}22inf,22sup -=++=+∴∈∈x g x f x g x f Rx Rx .()()()(){}()()()().sup sup sup inf infinf inf 成立显然x g x f x g x f x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈∈∈∈+≤+≤+≤+(3) (){}()()x f x x f Rx Rx Rx ∈∈∈-==-=-inf 1sin sup sup .(){}()()x f x x f Rx Rx Rx ∈∈∈-=-=-=-sup 1sin inf inf .(){}()(){}().sup inf ;inf sup 成立x f x f x f x f Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈-=--=-∴2.4.设f 、g 为D 上的非负有界函数,()()()(){}x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤⋅inf inf inf 1）（；()(){}()().sup sup sup 2x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈⋅≤）（证明:()()(),0,0,1≥≥∈x g x f D x 对任意的()()()()x g x g x f x f Dx Dx ≤≤≤≤∈∈inf 0,inf 0有,()()()()x g x f x g x f Dx Dx ≤⋅∈∈inf inf 于是有,()()()(){}x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤⋅infinf inf 故()()(),0,0,2≥≥∈x g x f D x 对任意的()()()()x g x g x f x f Dx Dx ∈∈≤≤≤≤sup 0,sup 0有()()()()x g x f x g x f Dx Dx ∈∈⋅≤⋅sup sup 于是有,()(){}()()x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈⋅≤sup sup sup 故.()()[]且上的非负有界函数是定义在设例,1,01,11:+=+=x x g x x f []()[]()[]()[]()()()1.2sup ,1inf ,1sup ,21inf1,01,01,01,0=⋅====∈∈∈∈x g x f x g x g x f x f x x x x 而[]()(){}[]()(){}1supinf1,01,0==∴∈∈x g x f x g x f x x 有, ()()()(){}x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤⋅infinf inf 显然,()(){}()()x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈⋅≤sup sup sup 成立3.确界在收敛数列中有着广泛的应用.特别的当一个数列单调时,极限与确界有着紧密的联系,这就是以下所叙述的单调有界定理.（单调有界定理）在实数系中,有界的单调递增（递减）数列必有极限，且极限为其上确界(下确界).证明：{}a n不妨设为有上界的递增数列.由确界原理,{}a n数列有上确界,记{}a n a sup =为. {}a na 就是下面证明的极限.事实上,0>ε任给,按上确界的定义，存在{}a n 数列中的某一项a N ,aNa <-ε使得.又{}a n 由的递增性,当N n ≥时有 aanNa ≤<-ε,这就证a ann =∞→lim 得.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限记为它的下确界.证明：不妨{}a n 设为有上界的递增数列。
第七章实数完备性习题课
第七章 实数完备性习题课一 叙述概念和定理1叙述实数完备性定理 1）．确界原理：设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必 有下确界．推论 有界数集必有上下确界．2）．单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．注 递增有上界的数列极限是上确界；递减有下界的数列极限是下确界．3）．区间套定理：若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ4）．有限覆盖定理：设H 闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限 个开区间来覆盖[]b a ,．5）．聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点． 注 （致密性定理） 有界数列必有收敛子列．6）．柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在0>N ，使得 对N n m >,有ε<-n m a a ．注 1） 单调有界定理与柯西收敛准则通常用于判断数列的收敛性． 2） 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点．在什么情况下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（最大的下界或最小的上界），要使用确界定理，其作用类似闭区间套定理．3） 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点的局部性质．在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质P 的一个点，常常应用闭区间套定理将这个点“套”出来．怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P 的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P ，然后继续使用二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P 的闭区间列．根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P 的点．（注：此性质P 是所找点的本质属性）4） 有限覆盖定理主要用于把局部性质扩展为整体性质．在什么情况应用有限覆盖定理呢？一般来说，如果我们已知在闭区间[],a b 的每一点的某个邻域内都具有性质P ，任一点的邻域所成之集()[]{}b a x x x S x x ,,∈+-=δδ覆盖[],a b ，为了将性质P 扩充到整个闭区间[],a b ，这时用有限覆盖定理能将覆盖[],a b 的无限个邻域转化为有限个邻域．总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理．5） 聚点定理（致密性定理）一般是将数列过渡到子列．首先需要构造有界数列，然后由致密性定理，存在收敛的子列． 2．叙述ξ为点集S 聚点的定义：1）设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ）．若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．2) 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即∅≠S U);(εξ，则称ξ为S 的一个聚点．3)若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点．3．叙述ξ不是点集S 聚点的定义：设S 是数集，η不是S 的聚点⇔存在00>ε，在);(0εηU 中至多包含S 中有限多个点． 二 疑难问题注意事项1．区间套定理如果把闭区间改成开区间，结果成立吗？答： 不一定，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个110,0,1n n ⎛⎫⎛⎫⊂ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，且0)01(lim =-∞→nn ，但只有数01lim 0limn n n ξ→∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭可以作为ξ，但0不属于该区间10,n ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 注 对于开区间列有下列结果：设(){}n n b a ,是一个严格开区间套，即满足1221b b b a a a n n <<<<<< ，且0)(lim =-∞→n n n a b ．则存在唯一的一点ξ，使得.,2,1, =<<n b a n n ξ2．若11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃= ，但0)(lim ≠-∞→n n n a b ，此时应有什么结论呢？答： 由11[,][,]n n n n a b a b ++⊃知{}n a 递增有上界1b ，依单调有界定理知，{}n a 有极限1ξ，且有1n a ξ≤．同理，递减有下界的数列{}n b 也有极限2ξ，且2n b ξ≤，又因为n n a b ≤，由极限保不等式性与0)(lim ≠-∞→n n n a b 知12ξξ<，则对任意的ξ，只要12ξξξ≤≤，就有ξ属于所有的闭区间[,]n n a b ．3．点集S 的聚点一定属于S 吗？答： 不一定，点集S 的聚点可以属于S ，也可以不属于S ，例如若S 为开区间(),a b ，则(),a b 内每一点以及端点,a b 都是S 的聚点，但,a b 不属于S ．4．设S 是有界数集，则sup S ，inf S 是S 的聚点吗？答： 一般情况下，当sup S S ∈时，它可能不是数集S 的聚点，例如1S n=，sup 1S =，但它不是聚点．当sup S S ∉时，由36页的结论存在严格递增数列{}n x S ⊂，使得lim sup n n x S →∞=，依据聚点的等价定义，可知sup S 是S 的聚点．5．在有限覆盖定理中当[],a b 改为(),a b ，结论还成立吗？答：不一定成立，例如，开区间集合),2,1(1,11 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+n n 构成了开区间)1,0(的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住)1,0(． 1）分析 ()0,1x ∀∈，要使1,11x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，只要11x n >+，即需要11n x >-，当n 充分大时是成立．证 ()0,1x ∀∈，当n 充分大时（11n x >-时），就有11x n >+，即1,11x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭． 2）反证法，设),2,1(1,11 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+n n 中能选出有限个开区间（对应有限个n ）盖住)1,0(，在这有限个n 中选取最大的为N ，这些有限区间都含在1,11N ⎛⎫ ⎪+⎝⎭中，则1,11N ⎛⎫⎪+⎝⎭中能覆盖)1,0(，矛盾．6．若函数f 在(),a b 上连续，能保证f 在(),a b 上有界吗？ 答： 函数f 在(),a b 上连续f 在(),a b 上有界．反例：1()f x x =在()0,1连续，但1()f x x=在()0,1上无界． 注 函数f 在(),a b 上连续，lim ()x af x +→，lim ()x bf x -→存在⇒f 在(),a b 上有界．注 函数f 在(),a b 上连续f 在(),a b 上有最大值最小值．7．试总结确界定理的应用．答 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点． 在什么情况下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（最大的下界或最小的上界），要使用确界定理．构造合适的点集E ，使得E 的确界即为需证命题中的数．(1)证明根的存在定理：)(x f 在[]b a ,上连续， ()0f a <， ()0f b >，若定义[]{}()0,,E x f x x a b =>∈E inf =ξ，则有0)(=ξf ．(2)证明有界性定理：设[]]}{b a x x a t f x E ,(,,)(∈=上有界在，若证得,sup b E =即得)(x f 在[]b a ,上有界．8．试总结区间套定理的应用．答 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，恰当地构造区间套．一方面，闭区间列[]{}n n b a ,满足（i ）;,2,1],,[],[11 =⊃++n b a b a n n n n (ii)0)(lim =-∞→n n n a b ，另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中．前者是区间套定理本身条件的要求，保证诸区间[,](1,2,)n n a b n = 唯一存在公共点ξ；后者则把证明整个区间[,]a b 上所具有某性质的问题归结为ξ点邻域(,)U ξδ的性质，完满实现“整体”向“局部”的转化．在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质P 的一个点，常常应用闭区间套定理将这个点“套”出来．怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P 的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P ，然后继续使用二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P 的闭区间列．根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P 的点．（注：此性质P 是所找点的本质属性）(1)证明柯西准则：对于柯西列{}n a 构造区间套[]{}n n a β,使得在每个[]n n a β,外只有数列{}n a 中有限项，区间套的公共占ξ即为{}n a 的极限．(2)证明聚点定理：设S 为有界无限点集，[]b a S ,⊂，把区间[]b a ,二等分，其中必有一子区间包含数集中无限多个点，继续上述步骤，可得区间套[]{}b a ,，其公共点ξ即为S 的聚点．(3)证明有限覆盖定理：用反证法．若闭区间不能用有限个区间覆盖，把区间二等分，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，由此可构造区间套，其公共点ξ属于某个开区间，从而导致区间套中某区间可以用一个开区间覆盖的矛盾．(4)证明根的存在定理：设()0,()0,f a f b <>用二等分区间的方法构造区间套[]{}n n a β,，使得()0,()0,n n f a f b <>即)(x f 在区间[]n n b a ,的两个端点上异号，区间套的公共点ξ必满足.0)(=ξf9．试总结有限覆盖定理的应用．答 有限覆盖定理的妙处在于将“无限”化为“有限”，把局部性质推广成整体性质，它的好处在以后的应用中我们会看到．在什么情况应用有限覆盖定理呢？一般来说，如果我们已知在闭区间[],a b 的每一点的某个邻域内都具有性质P ，任一点的邻域所成之集()[]{}b a x x x S x x ,,∈+-=δδ覆盖[],a b ，为了将性质P 扩充到整个闭区间[],a b ，这时用有限覆盖定理能将覆盖[],a b 的无限个邻域转化为有限个邻域．总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理．根据证明要求构造无限开覆盖，由有限覆盖定理选出有限开覆盖以达到需证的要求．(1)证明有界性定理：应用连续函数的局部有界性，[]b a x ,∈∀存在领域);(x x U δ，使得在此领域上，()x f x M ≤，其中x M 是与x 有关的常数，[]{}b a x x U H x ,);(∈=δ为[]b a ,的无限开覆盖．由H 中可选出有限个邻域覆盖[]b a ,，然后易证f 的有界性．(2)证明一致连续性定理：应用连续性，0ε∀>，[],,x a b ∀∈''0,(;),()().x x x U x f x f x δδε∃>∀∈-<取[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=b a x x U H x ,)2;(δ为[]b a ,的无限覆盖，然后利用有限覆盖定理证明一致连续性．10．试总结致密性定理的应用．答 聚点定理（致密性定理）一般是将数列过渡到子列．首先需要构造有界数列，然后由致密性定理，存在收敛的子列．经常在反证法中对选出的有界子列应用致密性定理．(1)证明有界性定理：用反证法，若)(x f 在[]b a ,上无界，则存在{}[],,b a x n ⊂使得()n f x n >，利用致密性定理在{}n x 中选出{}k n x ，使得[]lim ,k n k x a b ξ→∞=∈，由连续性lim ()()k n k f x f ξ→∞=，与上面不等式矛盾．(2)证明一致连续性定理：用反证法，若函数f 在[]b a ,上不一致连续，00ε∃>，+∈∀N n ，,,'''n n x x ∃尽管'''1n n x x n-<，但 0''')()(ε≥-n n x f x f ．然后由致密性定理在{}'n x ，{}''n x 中分别选取于子列{}'k n x ，{}''k n x ，它们收敛于同一实数，于是与上面不等式矛盾．11. 点列（或数列）的聚点和点集（或数集）的聚点有什么区别？答：点列（或数列）的聚点是指：a 的任一邻域内含有数列{}n x 的无限多项，但各项值可以相等．点集（或数集）的聚点是指：a 的任一邻域内含有点集的无限多个点，但各项值不相等（集合互异性）．三 重要例题(一)应用有限覆盖的例题有限覆盖定理它实现了无限的飞跃，而有限集具有最大，最小及排序等一系列的性质．使用有限覆盖定理的关键是构造开覆盖，使得每个小区间上具有某种属性，如函数在每个区间上有界，或每个小区间上符号相同，或每个小区间上仅含有限个某种特性的点等．1．若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．分析 连续函数具有局部有界性，即在每个点的邻域上有界，即对[],i x a b ∀∈，在每个(),i i i x i x x x δδ-+上都有一个界i x M ，在[]b a ,上有无限个点，对应无限个界i x M ，为了找最大正数，需将无限转化为有限，这样将无限个i x M 转化为有限个i x M ，从而找到最大值就是我们所需找的界．证 ① 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ．② 考虑开区间集[]{}b a x x U H x ,);(∈''='δ，显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}*;,,1,2,,i i i H U x x a b i k δ=∈=覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有().,,2,1,k i M x f i =≤③令,max 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤⇒δ;．即证得f 在[]b a ,上有界．2．设函数)(x f 定义在[]b a ,上， []b a x ,0∈∀，极限0lim ()x x f x →都存在．证明)(x f 在[]b a ,上有界．分析 因为[],i x a b ∀∈，极限lim ()ix x f x →，则由极限的局部有界性，即在每个点的空心邻域上有界，即对[],i x a b ∀∈，在每个()0,i Ux δ上都有一个界ixM ，在[]b a ,上有无限个点，对应无限个界i x M ，为了找最大正数，需将无限转化为有限，这样将无限个i x M 转化为有限个i x M ，从而找到最大值就是我们所需找的界．证 ① 由极限的局部有界性，对每一点[],,b a x ∈'都存在空心邻域0(;)x U x δ''及正数x M '，使得[]0(),(;),.x x f x M x U x a b δ'''≤∈ ．② 考虑开区间集[]{}(;),x H U x x a b δ'''=∈，显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}*0;,,1,2,,i i i H U x x a b i k δ=∈=覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]0;,i i x Ux a b δ∈ 有().,,2,1,k i M x f i =≤③令,max 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()0;i i i U x f x M M δ⇒≤≤．即证得f 在[]b a ,上有界．3．若连续函数)(x f 在[]b a ,上无界，则必存在[]b a ,上某点，使得)(x f 在该点的任意邻域内无界．证 用反证法，若[]b a x ,∈∀，存在0x δ>，使得)(x f 在);(x x U δ中有界，则令[]{}b a x x U H x ,);(∈=δ，它成为[]b a ,的一个无限开覆盖由有限覆盖定理，存在{}H k i x U H i x i ⊂≤≤=1);(*δ为[]b a ,的有限开覆盖．由于)(x f 在每上);(i x i x U δ内有界，因此)(x f 在[]b a ,上 界，这与)(x f 在[]b a ,上的无界性相矛盾．4．设f 在[]b a ,上连续，对任何[],,()0x a b f x ∈>．试用有限覆盖定理证明：必存在0c >，使得对任何[]b a x ,∈，满足.)(c x f ≥证[]b a x ,∈∀，因为()0f x >，由连续函数的局部保号性，于是0,'(;)x x x U x δδ∃>∀∈，()(')2f x f x >．现令 []{}b a x x U H x ,);(∈=δ，它是[]b a ,的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在{}H k i x U H i x i ⊂≤≤=1);(*δ为[]b a ,的有限开覆盖，取1()min 0,2i i k f x c ≤≤⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭[]b a x ,∈∀，∃某个（k i ≤≤1），使);(i x i x U x δ∈，于是()()2i f x f x c >≥． 5．设函数f 对),(b a 内的任何x ，存在0x δ> ，使得f 在),(x x x x δδ+-内递增，试证f 在整个),(b a 内亦递增．证 1212,,a a a a a b ∀<<<，设法证明[]1212()().,,f a f a x a a <∀∈ 由所设条件0x δ∃>，使得f 在),(x x x x δδ+-内递增，因此[]{}21,);(a a x x U H x ∈=δ是[]21,a a 的一个无限开覆盖，由有限覆盖定理，存在{}H k i x U H i x i ⊂≤≤=1);(*δ为[]21,a a 的有限开覆盖，为叙述方便起见，不妨设设);(),;(2121x x x U x U δδ就能覆盖[]21,a a ，且设12x x <．若);(112x x U a δ∈，则因);(111x x U a δ∈，f 在);(11x x U δ中递增，故)()(21a f a f ≤；若);(112x x U a δ∉，则);(222x x U a δ∈，且因1212(;)(;)x x V U x U x δδφ=≠ ，故V a ∈∃*，使*12a a a <<．于是又有).()()(2*1a f a f a f ≤≤对2k >的有限情形可类似地证明．由此可见， )(x f 在),(b a 上递增．6．若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续．分析 f 在I 上连续⇔0x I ∀∈，f 在0x 连续⇔0x I ∀∈，0ε∀>，0δ∃>，使得当0x x δ-<有()()0f x f x ε-<，注意这里δ不仅与ε有关，而且与0x 有关系，记()0,x δδε=．f 在I 上一致连续⇔0ε∀>，()0δδε∃=>（δ仅与ε有关），使得对I 中任意两点,x x '''，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<．由函数f 在I 上连续，则对I 中某一点0x 都能找出相应的()0,x δε，但是要证f 在I 上一致连续，则需要找一个仅与ε有关的δ，在前面已经说明δ越小越成立，那么如果能取()0,x δε的最小值作为()δε，就可以使其与0x 无关，但是区间I 中有无限多个点，对应无限多个正数()0,x δε，无限多个正数()0,x δε未必有最小值．但如果I 是闭区间[]b a ,，应用闭区间上的无限开覆盖有有限开覆盖，则将无限转化为有限，就可以取最小值了．证 ① 由f 在[]b a ,上的连续性⇒[],i x a b ∀∈，f 在i x 连续（若i x a =，考虑右连续，若i x b =，考虑左连续）⇒[],i x a b ∀∈，0ε∀>，20i x δ∃>，使得当2i i x x x δ-<，即当22,i i i x i x x x x δδ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭有()()2i f x f x ε-<．--------------------------------------------（2）（[]b a ,中有无限多个点i x ，对应无限多个正数2i x δ，无限多个正数2i x δ未必有最小值，不能取公共的δ）②考虑开区间集[]{}b a x x U H x ,);(∈''='δ，显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}*;,,1,2,,i i i H U x x a b i k δ=∈=覆盖了[]b a ,．③记02min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i k i δδ，这个δ仅与ε有关与i x 无关，下证此δ就是一致连续定义中的δ．对任何x '，[]b a x ,∈''，δ<''-'x x ，x '必属于*H 中某开区间，设⎪⎭⎫⎝⎛∈'2;i i x U x δ即2ii x x δ<-'．此时有i iiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-'+'-''≤-''222故由(2)式同时有()()2ε<-'i x f x f 和()()2ε<-''i x f x f由此得()()ε<''-'x f x f ．所以f 在[]b a ,上一致连续． （二）应用致密性定理1．证明若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．证 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,⊂．（f 在[]b a ,上无上界⇒0M ∀>，[],x a b ∃∈，使()f x M >（这里x 与M 有关，有一个M 就有一个对应的x 存在．我们用M x 表示这种依赖关系．即0M ∀>，[],M x a b ∃∈，使()f x M >取1M =，[]1,x a b ∃∈，使1()1f x >； 取2M =，[]2,x a b ∃∈，使2()2f x >；取M n =，[],n x a b ∃∈，使()n f x n >．即任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >） 则{}n x 是有界数列．由致密性定理，它含有收敛子列{}k n x ，记ξ=∞→k n k x lim ．由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得()()+∞<=∞→ξf x f k n k lim另一方面，由n x 的选取方法又有()()+∞=⇒+∞→≥>∞→k k n k k n x f k n x f lim与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界．2．若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续．证 用反证法．倘若f 在[]b a ,上不一致连续，则存在某00>ε，对任何0>δ，都存在相应的两点x '，[]b a x ,∈''，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f ．（这里x '，x ''与δ有关，有一个δ，就有一个与之对应的x '，x ''，即对任何0>δ，都存在相应的两点δx '，[]b a x ,∈''δ，尽管x x δδδ'''-<，但有()()0f x f x δδε'''-≥， 取1δ=，存在相应的两点[]11,,x x a b '''∈，尽管111x x '''-<，但有()()110f x f x ε'''-≥； 取12δ=，存在相应的两点[]22,,x x a b '''∈，尽管2212x x '''-<，但有()()220f x f x ε'''-≥；令n1=δ，与它相应的两点记为[]b a x x n n,,∈'''，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f ．(3) 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}[]b a x n ,⊂''．由致密性定理，存在{}n x '的收敛子列{}kn x '，设[]()∞→∈→'k b a x x kn ,0．同时由()∞→→-'+'-''≤-''⇒<''-'k x x x x x x n x x k k k k k k n n n nkn n0100又得()∞→→''k x x k n0．最后，由(3)式有()()0ε≥''-'k k n nx f x f ，在上式中令+∞→k ，由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得到()()∞→=-=k x f x f lim 000()()0ε≥''-'k k n nx f x f ， 这与00>ε相矛盾．所以f 在[]b a ,上一致连续．3．设()f x 在[,]a b 上连续，{}[,]n x a b ⊂，且lim ()n n f x A →∞=，证明0[,]x a b ∃∈使0()f x A =．证： {}[,]n x a b ⊂故有界．根据致密性定理，知{}n x 必有收敛子列{}k n x ．不妨设0()k n x x k →→+∞．因{}[,]k n x a b ⊂，故0[,]x a b ∈．又lim ()n n f x A →∞=，知lim ()k n k f x A →∞=．而()f x 在[,]a b 上连续，从而在0x 点连续，0lim ()()k n k f x f x →∞∴=． 据极限的唯一性知0()f x A =．4． 设{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列趋向于不同的极限．分析 由致密性定理， {}{}1,lim k k n n n k x x x ξ→∞∃⊂=，为了得到另一个收敛子列，必须利用数列{}n x 本身不收敛于1ξ的条件．证 因为{}n x 是有界数列，由致密性定理，存在收敛子列{}{},n n x x k ⊂∃记1lim k n k x ξ→∞=由于{}n x 不收敛于1ξ，因此在1ξ的某一领域);(1δξU 之外必有{}n x 中的无穷多项，对这无穷多项再次应用致密性定理，在其中又存在另一收敛子列{}{},k nn x x '∃⊂记 1lim k nk x ξ→∞'=． 显然δξξ≥-21，即21ξξ≠．5．设)(x f 为定义在限区间I 上的函数，对I 内任何柯西列{}n x ，{}n x f (也是柯西列．试证f 是I 上的一致连续函数．证 用反证法．若f 在I 上不一致连续函数，于是{}{}010,,,nn n n x x I x x nε''''''∃>⊂-<但0()()nn f x f x ε'''-≥． 由致密性定理，对有界数列{}{}{},,lim ;k k nn n n k x x x x ξ→∞''''∃⊂=因为 0()k k nn x x k '''-→→∞，于是lim ;k n k x ξ→∞''=．这样，数列 1122,,,,,,k k nn n n n n x x x x x x ''''''''' 也收敛于ξ，因而是柯西列；但因为0()()k k nn f x f x ε'''-≥，使得 ()()()()()()1122,,,,,,k k nn n n n n f x f x f x f x f x f x ''''''''' 不是柯西列，这与假设相矛盾．6．若)(x f 在()b a ,上一致连续,则)(x f 在()b a ,上有界．证１设)(x f 在()b a ,上一致连续,则0>∀ε,0>∃δ,当()b a x x ,,21∈且δ<-21x x 时, 有()()21x f x f -ε<．取1=ε,令自然数n 满足δ<n1．将区间()b a ,进行n 等分,分点为()a b nia x i -+=(1,,2,1-=n i )．任取()b a x ,∈,则当],[1i i x x x -∈时,有()()1<-i x f x f ．从而()()1+<i x f x f (1,,2,1-=n i )．令(){}1m a x 11+=-≤≤i n i x f M 则()b a x ,∈∀有()M x f <,所以)(x f 在()b a ,上有界．证２若)(x f 在()b a ,上无界,则存在{}(),n x a b ⊂使得()()11+>+n n x f x f ( ,2,1=n )．由 致密性定理, {}n x 存在收敛子序列{}k n x ．由柯西收敛准则,知0>∀δ,0>∃N , 当N k >时,有δ<--1k k n n x x ．但是另一方面又有()()()()111>-≥-++kk k k n n n n x f x f x f x f ．由此可知)(x f 在()b a ,上非一致连续,矛盾． （三）区间套定理闭区间定理的使用时寻找具有一定的性质的点．一般需要寻找具有一定特征的点时可考虑使用闭区间套定理，其关键是构造区间套，常用的区间套的构造方法是使每个闭区间的端点具有不同的属性，或者是去想个小区间上具有某种性质．１．证明数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在0>N ，使得对N n m >,有ε<-n m a a ．分析 由数列收敛定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限．首先要找出{}n a 收敛的本质属性：{}n a 收敛于a ⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有n a aε-<⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有n a a a εε-<<+ ⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有();n a U a ε∈即从N 项向后的所有的();n a U a ε∈，也就是{}n a 中除了有限项（至多是的1a 到n a 这些项）外的所有项都含在();U a ε中，这就是本质属性．然后对柯西列{}n a 构造一个区间套[]{},n n αβ，套出公共点ξ，恰为{}n a 的极限，其中每个区间套[],n n αβ应包含{}n a 除有限项外的所有项．最后用推论：{}n a 除有限项外的所有项[],(,)n n U αβξε⊂⊂，即(,)U ξε包含{}n a 除有限项外的所有项，即ξ就是极限点．证： （必要性） 设.lim A a n n =∞→由数列极限定义， 对任给的0>ε，存在0>N ，当N n m >,时有,2,2εε<-<-A a A a n m因而εεε=+<-+-≤-22A a A a a a n m n m ．（充） 按假设，对任给的0>ε，存在()0N ε>，使得对一切N n ≥，（取m N =）有n N a a ε-<，即从N 项向后的所有的[],n N N a a a εε∈-+，也就是{}n a 中除了有限项（至多是的1a 到n a 这些项）外的所有项都含在[],N N a a εε-+中，即在区间[]εε+-N N a a ,内含有{}n a 中除有限项外的所有项．（构造区间套的方法：有一个ε，就存在一个与之相关的N 存在，这样取一个ε，就有一个对应区间）据此，令,21=ε则存在1N ，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21,2111N N a a 内含有{}n a 中除有限项外的所有项，记这个区间为[].,11βα 再令221=ε，则存在)(12N N >在区间内含有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2221,2122N N a a 内含有{}n a 除有限项外的所有项．记[][],,21,21,11222222βαβα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=N N a a它也含有{}n a 除有限项外的所有项，且满足[][].21,,222211≤-⊃αββαβα及继续依次令 ,21,,213n=ε，照以上方法得一闭区间列[]{},,n n βα其中每个区间都含有n a 中除有限项外的所有项，且满足[][],,2,1,,,11 =⊃++n n n n n βαβα(),0211∞→→≤--n n n n αβ即[]{}n n βα,是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数[]).,2,1(, =∈n n n βαξ．现在证明数ξ就是数列{}n a 的极限．事实上，由定理7．1的推论，对任给的0>ε，存在,0>N 使得当N n >时有[]).;(,εξβαU n n ⊂因此在);(εξU 内含有{}n a 中除有限项外的所有项，这就证得ξ=∞-n n a lim ．２．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点．分析 聚点的本质特点是ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点．所构造的区间套应该含这本质特点．S 为有界点集，],[b a S ⊂，把区间],[b a 二等分，其中必有一子区间内包含S 中无限多个点，继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为S 的聚点．证 因S 为有界点集，故存在,0>M 使得],[M M S -⊂，记],[],[11M M b a -=． 现将],[11b a 等分为两个子区间．因S 为无限点集，故两个区间中至少有一个含有S 中 无穷多个点，记此子区间为],[22b a ，则],[],[2211b a b a ⊃，且M a b a b =-=-)(211122再将],[22b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点，取出这样 的一个子区间，记为],[33b a ，则],[],[3322b a b a ⊃，且2)(212233M a b a b =-=-将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足),(022,,2,1],,[],[111∞→→=-=⊃-++n Ma b n b a b a n n n n n n n 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区都含有S 中无穷多个点．由区间套定理，存在唯一的一点[].,2,1,, =∈n b a n n ξ于是由定理7．1的推论，对任给的0>ε，存在0>N ，当N n >时有);(],[∈⊂ξU b a n n ．从而);(∈ξU 内含有S 中无穷多个点，按定义２，ξ为S 的一个聚点．３．设()f x 在[,]a b 上无界，证明()f x 在[,]a b 至少存在一点，使()f x 在该点的邻域无界．证：由于()f x 在[,]a b 上无界，将[,]a b 等分得两个区间[,],[,]22a b a ba b ++则()f x 至少在其中一个区间上无界，记其为11[,]a b ，再将11[,]a b 等分，则()f x 至少在其中一个闭区间上无界，记其为22[,]a b ，如此下去，则得一闭区间到{[,]}n n a b 满足：（1）[,]n n a b ⊇11[,]n n a b ++ n N ∀∈ （2）2n n nb ab a --=0()n →→∞ （3）()f x 在[,]n n a b 上无界则由（1），（2）及闭区间套定理，存在唯一的0x ∈[,]n n a b ，且()f x 在0x 的任一个邻域内无界．假设()f x 在0x 的某邻域0(,)U x δ内有界，则∃N ，当N n >时，有[,]n n a b ⊆0(,)U x δ．由[,]n n a b 的选取知，()f x 在[,]n n a b 上无界，所以，在0(,)U x δ内无界矛盾．（四）应用确界原理１．试用确界原理证明：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 分析 设{f x S =在[]x a ,上有界，]}b a x ,(∈．因为由f 在点a 的局部有界性，可知S 是非空数集，且以b 为上界，由确界原理，存在S sup ．关键在于证明S b sup =，并证S b ∈，以使[]b a S ,=，即f 在[]b a ,上有界．证： 设{f x S =在[]x a ,上有界，]}b a x ,(∈．由分析可知，S 为非空有上界数集，于是由确界原理，存在S sup =ξ．现用反证法证明b =ξ．若b ξ<，由连续函数的局部有界性00δ∃>，)(x f 在),(00δξδξ+-内有界，即0x ξ∃>，使S x ∈0，而这与S sup =ξ相矛盾，所以b =ξ．再证函数f 在[]b a ,上有界．因为f 在点b 连续，于是00δ∃>，f 在]b b ,(δ-上有界；再由S b sup =，可知f 在,2a b δ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中有界，于是f 在[]b a ,上有界． ２.证明：单调减少有下界的数列必有极限．证：设{}n x 单调减少且有下界，据确界存在原理必有下确界inf{}n x α=．于是对0ε∀>，存在N x ，使N x αεααε-<≤<+．而{}n x 单调减少且是α下确界，故当n N>时有n N x x αεααε-<≤<<+即n x αε-<，所以lim n n x α→∞=． （五）证明确界原理１. 试利用区间套定理证明确界原理．证 设S ⊆R 为一非空有上界的无穷点集，M 为S 的一个上界，取0x S ∈，若0x 为S 的最大数，则0x 即为S 的上确界，结论成立．否则记0[,]x M 为[,]a b ，则a 点不是S 的上界，b 是S 的一个上界，考察(),a b 的中点=c 2a b+,若c 不是S 的上界，则记11[,]a b =[,]c b ，若c 是S 的上界，则记11[,]a b =[,]a c ，对11[,]a b 仿上讨论，如此下去，则得一闭区间到{}[,]n n a b 满足：（1）[,]n n a b ⊇11[,]n n a b ++ ，n N ∀∈， （2）n n b a -=02nb a-→，（n →∞） （3）n ∀∈N ,n a 不是S 的上届，n b 为S 的上界.由（1）（2）及闭区间套定理，∃！η∈[,]n n a b .下证η即为S 的上确界，若∃1x ∈S ，使1x η>，则由n b η→（n →∞），知N ∃，当N n >时，有1n b x <，这与n b 为S 的上界矛盾，所以，η为S 的一个上界，0ε∀>，由于ηεη-<，及n a η→，故1N ∃,当>n 1N 时，有n a ηε>-，而n a 不是S 的上界，故n x S ∃∈，使n n x a >，故有n x ηε>-，ηε-即不是S 的上界，由确界的定义知，η为S 的上确界.２. 用有限覆盖定理证明确界原理.、证：设S 为一非空有上界数集，M 为S 的一个上界，取0x S ∈，若0x 为S 的上界，则0x 为S 的最大数，也为上确界，结论成立，否则记0[,][,]a b x M =，假设[,]a b 中的每个数x 均不是S 的上确界，若x 不是S 的上界，即1x S ∃∈，使1x x >，所以10x x δ∃=->，使(,)U x δ中的每个数均不是S 的上界，若x 是S 的上界，但不是上确界，故2x x ∃<，使2x 也是S 的上界，所以，可取2x x τ=-，使(,)U x τ中的每个数均是S 的上界．令O ={}(,)[,]U x x a b δ∈，则O 覆盖[,]a b ，由有限覆盖定理从中可选出有限个，设为()1,1U x δ，……(),n n U X δ，且123....n x x x x <<<,它们也能覆盖[,]a b ，设()11,a U x δ∈,由于a 不是S 的上界，(,)U x δ的选取知()1,1U x δ中的每个数均不是上界，又()111,1x U x δδ+∉，不妨设()1122,x U x δδ+∈，则()1,1U x δ⋂()22,U x δ≠∅.而()1,1U x δ中的每个点均不是上界，故()22,U x δ中的每个点也均不是上界，如此下去，n 次以后，设(),,1,2,,i i U x i n δ=⋅⋅⋅,中的每个点均不是S 的上界，这与b 为S 的上界，且b 属于某个(),i i U x δ矛盾.所以，在[,]a b 中有一个数为S 的上确界.（六） 实数完备性基本定理的等价性至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即 1．确界原理(定理1．1)；设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 推论 有界数集必有上下确界．2．单调有界定理(定理2．9)；在实数系中，有界的单调数列必有极限．注 递增有上界的数列极限是上确界；递减有下界的数列极限是下确界．3．区间套定理(定理7．1)；若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ4．有限覆盖定理(定理7．3)；设H 闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,． 5．聚点定理(定理7．2)；实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点．6．柯西收敛准则(定理2．10)．数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在0>N ，使得对N n m >,有ε<-n m a a ．在本书中，我们首先证明了确界原理，由它证明单调有界定理，再用单调有界定理导出区间套定理，最后用区间套定理分别证明余下的三个定理．事实上，在实数系中这六个命题是相互等价的，即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题．对此，我们可按下列顺序给予证明：1654321⇒⇒⇒⇒⇒⇒ 其中32,21⇒⇒与43⇒分别见定理2．9，7．1，与7．3；54⇒ 用有限覆盖定理证明聚点定理．反证法①设S 为实数轴上任一有界无限点集，则存在0M >使[],S M M ⊂-，假设[],M M -中任何一点都不是S 的聚点，则[],x M M ∀∈-，因为x 不是S 的聚点，所以存在x 的一个邻域(),(,)U x x x δδδ=-+，使(),U x δ中只含有S 的有限多个点．②()[]{}M M x x x H x x ,,-∈+-=δδ是[],M M -的一个无限开覆盖． ③根据有限覆盖定理，H 中存在有限个开区间(){}ni x x i ix i x i2,1,=+-δδ覆盖了[],M M -，由于在每一个邻域(),iii x i x x x δδ-+上只含有S 的有限多个点，故S 为有限点，矛盾．65⇒ 用聚点定理证柯西收敛准则（类似于用致密性定理证柯西收敛准则） 16⇒ 用数列的柯西收敛准则证明确界原理．证 设S 为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数a ，存在整数a K ，使得a k a a a )1(-=-λ不是S 的上界，即存在S a ∈'，使得a k a a )1(->' 分别取,,2,1,1==n na 则对每一个正整数n 存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S a ∈'，使得。
数学分析确界定理习题
数学分析确界定理习题1、用区间表示下列不等式的解：(1) |1-x|-x≥0；(2) |x+1/x |≤6；(3) (x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c为常数，且a<b<c)；(4) sinx≥根号2/2.解：(1) 1-x≥x或1-x≤ - x；即x≤1/2 ；∴原不等式的解为：x∈(-∞,1/2].(2) -6≤x+1/x≤6，且x≠0；当x>0时，-6x≤x^2+1≤6x；解得3-2根号2≤x≤3+2根号2；当x<0时，-6x≥x^2+1≥6x；解得-3-2根号2≤x≤ -3+2根号2；原不等式的解为：x∈[3-2根号2, 3+2根号2]∪[-3-2根号2, -3+2根号2] (3)当x>a时，x>c或x<b；即x>c或a<x<b；当x<a时，b<x<c，即x无解；∴原不等式的解为：x∈(a,b)∪(c,+∞).(4)当-π<x<π时，x∈[π/4,3π/4]；根据正弦函数的周期性，原不等式的解为：x∈[2k+π/4, 2k+3π/4]，k为整数。
2、设S为非空数集。
试对下列概念给出定义：(1)S无上界；(2)S无界.解：(1)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使x0>M，则称数集S 无上界；(2)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使|x0|>M，则称数集S无界.3、试证明数集S={y|y=2-x^2, x∈R}有上界而无下界.证：对任意x∈R, y=2-x^2≤2，∴数集S有上界2.而对任意的M>0，取x1=根号(M+3)，有y1=2-(M+3)= -M-1∈S，且y1<-M，∴数集S无下界。
4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：(1) S={x|x^2<2}；(2) S={x|x=n!, n∈N+}；(3) S={x|x为(0,1)内的无理数}；(4) S={x|x=1-1/2^n, n∈N}.解：(1) sup S=根号2；inf S=-根号2.验证：由x^2<2，得-根号2<x<根号2. 因此对于任意x∈S，有x<根号2，且x>-根号2，即根号2和-根号2分别是S的上下界.又对任意ε>0，不妨设ε<2根号2，于是存在x0=根号2-ε/2，x1=-根号2+ε/2，使x0,x1∈S，但x0>根号2-ε；x1<-根号2+ε，∴sup S=根号2；inf S=-根号2.(2) sup S=+∞，inf S=1.验证：对任意x∈S，1≤x<+∞. 所以1是S的下界。
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P 22. 13(1) 证明：
inf f ( x ) inf g( x ) inf( f ( x ) g( x )).
解
inf f ( x ) f ( x ), inf g( x ) g( x ),
inf f ( x ) inf g( x ) f ( x ) g( x ),
sup f ( x) sup g ( x) f ( x) g ( x),
即 sup f ( x) sup g ( x)是f ( x) g ( x)的一个上界 ,
sup f ( x) sup g ( x) sup{ f ( x) g ( x)}.
inf f ( x ) inf g( x ) inf( f ( x ) g( x )) inf f ( x ) sup g( x ) .
确界原理刻画了实数域的连续性。
三、函数及具有某些特性的函数
几个常用函数的图形及特性(有界性、单调 性、奇偶性、周期性）：
sgn(x), [x], D(x), R(x)。
练习题
一、求下列数集的确界,并给出证明。
1、 S { x | x 3, x 0}
2
1 1） （ 2、 S { x | x ,n N } n
（2）inf S 3. x S , x 3. 即 3是S的一个下界。
3a a 3. 取x0 2 （或取x0为 3和a之间的任何实数） ,
则x0 3且x0 a ,
即x 0 S , x 0 a .
故 inf S 3.
1 1） （ 2、 S { x | x ,n N } n
(2) 0, x0 , x0 I , 使
f ( x0 ) M 或 f ( x0 ) M , 2 2 f ( x0) m 或 f ( x0) m , 2 2 故f ( x0 ) f ( x0) M m .
( 2 ) a , x 0 S , 使 x 0 a . ( 2 ) 0, x0 S , 使x0 .
inf S :
(1) x S , 有x ,
( 2 ) b , x 0 S , 使 x 0 b . ( 2 ) 0, x0 S , 使x0 .
P 22. 12(1) 证明：
f ( x) sup g ( x),
inf( f ( x) g ( x)) sup g ( x) f ( x),
即inf( f ( x) g ( x)) sup g ( x)为f ( x)的一个下界 ,
从而 inf( f ( x) g ( x)) sup g ( x) inf f ( x), 即inf( f ( x) g ( x)) inf f ( x) sup g ( x) .
第一章习题课
一、实数的构造及其连续性
实数的无限位表示，不足近似，过剩近 似，两个实数如何用不足近似和过剩近似来 比较大小，实数的6条基本性质。
二、确界原理
有界集的概念，如何叙述一个数集有 上（下）界、无上（下）界、有界、无界？
S有上界：
S有下界：
M , x S , 有 x M . L, x S , 有x L.
S有界： M 0, x S , 有 | x | M . S无上界： M , x0 S , 使x0 M . S无下界：
L, x0 S , 使x0 L.
S无界： M 0, x0 S , 使 | x0 | M .
sup S :
(1) x S , 有x ,
（ P 9. 7(1) sup A B ) sup A sup B.
解 1） z A B , 有z x y , x A, y B . 而x sup A, y sup B , 故z sup A sup B . 2) 0, x0 A, 使x0 sup A ,
inf S 0, sup S 1.
显然x S , x 0. a 0, 分两种情况讨论：
(1)若a 1, 则 x S , 有x a; ( 2)若0 a 1, 则
取x0为(0, a )内的任一无理数，有x0 a . 同理： S 1. sup inf S 0.
a 0, 取 x 0 0 S , 则 x 0 a .
解法二 因为maxS=1, minS=0,
故 sup S 1, inf S 0.
P 9. 3.
解
S { y | y 2 x , x R}
2
显然， x 2 2, 2
y S , 有 y 2,
或f ( x0) f ( x0 ) m M M m ). （
即 | f ( x0 ) f ( x0) | M m .
综上 sup | f ( x0 ) f ( x0) | M m .
理解确界的概念及其唯一性，如何证明一个数 是某个数集的确界？上下确界是最大、最小值吗？
确界原理仅在实数域内成立，在有理数域不 一定成立，能举例说明吗？
反例 ：S { x | x 2 2, x Q },
sup S 2 ,
inf S 2 ,
即S在有理数集没有确界。 确界原理在有理数域不 成立。
n
二、P 9. 7 P 20. 7 P 22. 12, 13, 16.
1、 S { x | x 3, x 0}
2
解
sup S , inf S 3.
(1) S无上界
对任意的数M,
取x0 max{ M 1, 3 1}, 则x0 M且x0 S ,
即S无上界！ 故 sup S .
解 (1)
inf f ( x ) m , sup f ( x ) M ,
x , x I , 有m f ( x ) M , M f ( x ) m ,
m M f ( x ) f ( x ) M m .
即 | f ( x ) f ( x ) | M m .
n
解
2 2 2 2 S {0, ,0, ,0, ,0, ,} 2 4 6 8
sup S 1, inf S 0. （1）sup S , 则x0 a .
故supS 1.
(2) inf S 0.
x S , x 0,
从而z0 x0 y0 sup A sup B ,
即sup A B ) sup A sup B . （
y0 B, 使y0 sup B , 2
2
P 20. 7(1) 若f ( x ) g( x )，证明
sup f ( x ) sup g( x ).
例2 （上节课已证） f,g为D上的有界函数，证明 （1）inf f(x)+inf g(x) inf {f(x)+g(x)}, （2）sup f(x)+sup g(x) sup {f(x)+g(x)}.
证（2） sup f ( x) f ( x), sup g ( x) g ( x),
即 inf f ( x ) inf g ( x )是f ( x ) g ( x )的一个下界,
inf f ( x ) inf g( x ) inf( f ( x ) g( x )).
P 22. 16
inf f ( x ) m , sup f ( x ) M ,
证明 sup | f ( x0 ) f ( x0) | M m .
即S有上界2。 若S有下界L, 则L<2,
即2 x L,
2
即y S , 有y L,
2 0
取x0 2 L, 则 x 2 L,
y0 2 x 2 ( 2 L) L, 矛盾！
2 0
故S无下界。
P 9. 4（3）. S { x | x为(0, 1)内的无理数 } 解
解 f ( x) g ( x) sup g ( x),
sup g ( x)为f ( x)的一个上界 ,
sup f ( x) sup g ( x).
inf( f ( x ) g( x )) inf f ( x ) sup g( x ) . 解 inf( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)