确界习题课件

即 inf f ( x ) inf g ( x )是f ( x ) g ( x )的一个下界,
inf f ( x ) inf g( x ) inf( f ( x ) g( x )).
P 22. 16
inf f ( x ) m , sup f ( x ) M ,
证明 sup | f ( x0 ) f ( x0) | M m .
(2) 0, x0 , x0 I , 使
f ( x0 ) M 或 f ( x0 ) M , 2 2 f ( x0) m 或 f ( x0) m , 2 2 故f ( x0 ) f ( x0) M m .
（2）inf S 3. x S , x 3. 即 3是S的一个下界。
3a a 3. 取x0 2 （或取x0为 3和a之间的任何实数） ,
则x0 3且x0 a ,
即x 0 S , x 0 a .
故 inf S 3.
1 1） （ 2、 S { x | x ,n N } n
P 22. 13(1) 证明：
inf f ( x ) inf g( x ) inf( f ( x ) g( x )).
解
inf f ( x ) f ( x ), inf g( x ) g( x ),
inf f ( x ) inf g( x ) f ( x ) g( x ),
理解确界的概念及其唯一性，如何证明一个数 是某个数集的确界？上下确界是最大、最小值吗？
确界原理仅在实数域内成立，在有理数域不 一定成立，能举例说明吗？
反例 ：S { x | x 2 2, x Q },
sup S 2 ,
inf S 2 ,
即S在有理数集没有确界。 确界原理在有理数域不 成立。
第一章习题课
一、实数的构造及其连续性
实数的无限位表示，不足近似，过剩近 似，两个实数如何用不足近似和过剩近似来 比较大小，实数的6条基本性质。
二、确界原理
有界集的概念，如何叙述一个数集有 上（下）界、无上（下）界、有界、无界？
S有上界：
S有下界：
M , x S , 有 x M . L, x S , 有x L.
sup f ( x) sup g ( x) f ( x) g ( x),
即 sup f ( x) sup g ( x)是f ( x) g ( x)的一个上界 ,
sup f ( x) sup g ( x) sup{ f ( x) g ( x)}.
inf f ( x ) inf g( x ) inf( f ( x ) g( x )) inf f ( x ) sup g( x ) .
inf S 0, sup S 1.
显然x S , x 0. a 0, 分两种情况源自文库论：
(1)若a 1, 则 x S , 有x a; ( 2)若0 a 1, 则
取x0为(0, a )内的任一无理数，有x0 a . 同理： S 1. sup inf S 0.
解 f ( x) g ( x) sup g ( x),
sup g ( x)为f ( x)的一个上界 ,
sup f ( x) sup g ( x).
inf( f ( x ) g( x )) inf f ( x ) sup g( x ) . 解 inf( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
从而z0 x0 y0 sup A sup B ,
即sup A B ) sup A sup B . （
y0 B, 使y0 sup B , 2

2
P 20. 7(1) 若f ( x ) g( x )，证明
sup f ( x ) sup g( x ).
( 2 ) a , x 0 S , 使 x 0 a . ( 2 ) 0, x0 S , 使x0 .
inf S :
(1) x S , 有x ,
( 2 ) b , x 0 S , 使 x 0 b . ( 2 ) 0, x0 S , 使x0 .
S有界： M 0, x S , 有 | x | M . S无上界： M , x0 S , 使x0 M . S无下界：
L, x0 S , 使x0 L.
S无界： M 0, x0 S , 使 | x0 | M .
sup S :
(1) x S , 有x ,
a 0, 取 x 0 0 S , 则 x 0 a .
解法二 因为maxS=1, minS=0,
故 sup S 1, inf S 0.
P 9. 3.
解
S { y | y 2 x , x R}
2
显然， x 2 2, 2
y S , 有 y 2,
P 22. 12(1) 证明：
f ( x) sup g ( x),
inf( f ( x) g ( x)) sup g ( x) f ( x),
即inf( f ( x) g ( x)) sup g ( x)为f ( x)的一个下界 ,
从而 inf( f ( x) g ( x)) sup g ( x) inf f ( x), 即inf( f ( x) g ( x)) inf f ( x) sup g ( x) .



或f ( x0) f ( x0 ) m M M m ). （
即 | f ( x0 ) f ( x0) | M m .
综上 sup | f ( x0 ) f ( x0) | M m .
（ P 9. 7(1) sup A B ) sup A sup B.
解 1） z A B , 有z x y , x A, y B . 而x sup A, y sup B , 故z sup A sup B . 2) 0, x0 A, 使x0 sup A ,
n
解
2 2 2 2 S {0, ,0, ,0, ,0, ,} 2 4 6 8
sup S 1, inf S 0. （1）sup S 1.
x S , x 1,
a 1, 取x0 1 S , 则x0 a .
故supS 1.
(2) inf S 0.
x S , x 0,
确界原理刻画了实数域的连续性。
三、函数及具有某些特性的函数
几个常用函数的图形及特性(有界性、单调 性、奇偶性、周期性）：
sgn(x), [x], D(x), R(x)。
练习题
一、求下列数集的确界,并给出证明。
1、 S { x | x 3, x 0}
2
1 1） （ 2、 S { x | x ,n N } n
即S有上界2。 若S有下界L, 则L<2,
即2 x L,
2
即y S , 有y L,
2 0
取x0 2 L, 则 x 2 L,
y0 2 x 2 ( 2 L) L, 矛盾！
2 0
故S无下界。
P 9. 4（3）. S { x | x为(0, 1)内的无理数 } 解
解 (1)
inf f ( x ) m , sup f ( x ) M ,
x , x I , 有m f ( x ) M , M f ( x ) m ,
m M f ( x ) f ( x ) M m .
即 | f ( x ) f ( x ) | M m .
n
二、P 9. 7 P 20. 7 P 22. 12, 13, 16.
1、 S { x | x 3, x 0}
2
解
sup S , inf S 3.
(1) S无上界
对任意的数M,
取x0 max{ M 1, 3 1}, 则x0 M且x0 S ,
即S无上界！ 故 sup S .
例2 （上节课已证） f,g为D上的有界函数，证明 （1）inf f(x)+inf g(x) inf {f(x)+g(x)}, （2）sup f(x)+sup g(x) sup {f(x)+g(x)}.
证（2） sup f ( x) f ( x), sup g ( x) g ( x),