理论力学复习要点整理

第一章静力学公理和物体的受力分析
1.静力学是研究物体在力系作用下的平衡条件的科学。

2.静力学公理
公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。

F=-F’
工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。

公理2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。

推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。

公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。

推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

公理4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。

公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。

对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。

3.约束和约束力限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束。

约束对非自由体施加的力称为约束力。

约束力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反。

１．柔性体约束
２．光滑接触面约束
３．光滑铰链约束
4.物体的受力分析和受力图
画物体受力图时，首先要明确研究对象（即取分离体）。

物体受的力分为主动力和约束力。

要注意分清内力与外力，在受力图上一般只画研究对象所受的外力；还要注意作用力和反作用力之间的相互关系。

常见问题
问题一画受力图时，严格按约束性质画，不要凭主观想象与臆测。

第二章平面力系
本章总结
1. 平面汇交力系的合力
（ 1 ）几何法：根据力多边形法则，合力矢为
合力作用线通过汇交点。

（ 2 ）解析法：合力的解析表达式为
2. 平面汇交力系的平衡条件
（ 1 ）平衡的必要和充分条件：
（ 2 ）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。

（ 3 ）平衡的解析条件（平衡方程）：
3. 平面内的力对点O 之矩是代数量，记为
一般以逆时针转向为正，反之为负。

或
4. 力偶和力偶矩
力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。

力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。

平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向，即
式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。

力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。

5. 同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶相等，则彼此等效。

力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。

6. 平面力偶系的合成与平衡
合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
平面力偶系的平衡条件为
7、平面任意力系
平面任意力系是力的作用线可杂乱无章分布但在同一平面内的力系。

当物体（含物体系）有一几何对称平面，且力的分别关于此平面对称时，可简化为平面力系计算。

还有其他情况也可按平面任意力系计算。

本章用力的平移定理对平面任意力系进行简化，得到主矢主矩的概念，并进一步对力系简化结果进行讨论；然后得出平面任意力系的平衡条件，得出平衡方程的三种形式，并用平衡方程求解一些平衡问题；介绍静定超静定问题的概念，对物体系的平衡问题进行比较多的训练；最后介绍平面简单桁架的概念和内力计算。

常见问题
问题一不要因为这一章的内容简单，就认为理论力学容易学，而造成轻视理论力学的印象，这将给后面的学习带来影响。

问题二本章一开始要掌握好单个物体的平衡问题与解题技巧，这样才能熟练掌握物体系平衡问题的解法与解题技巧。

问题三在平时做题时，要注意解题技巧的训练，能用一个方程求解的就不用两个方程，但考试时则不一定如此。

第三章空间力系
本章总结
1. 力在空间直角坐标轴上的投影
（ 1 ）直接投影法
（ 2 ）间接投影法（图形见课本）
2. 力矩的计算
（ 1 ）力对点的矩是一个定位矢量，
（ 2 ）力对轴的矩是一个代数量，可按下列两种方法求得：
（ a ）
（ b ）
（ 3 ）力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
3. 空间力偶及其等效定理
（ 1 ）力偶矩矢
空间力偶对刚体的作用效果决定于三个因素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢表示,
力偶矩矢与矩心无关，是自由矢量。

（ 2 ）力偶的等效定理：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

4. 空间力系的合成
（ 1 ）空间汇交力系合成为一个通过其汇交点的合力，其合力矢为
（ 2 ）空间力偶系合成结果为一合力偶，其合力偶矩矢为
（ 3 ）空间任意力系向点O简化得一个作用在简化中心O 的力和一个力偶，力偶矩矢为，而
（ 4 ）空间任意力系简化的最终结果，列表如下：
主矢
主矩最后结果说明
平衡
合力偶此时主矩与简化中心的位置无关合力合力作用线通过简化中心
合力
合力作用线离简化中心O 的距
离为
力螺旋力螺旋的中心轴通过简化中心
成θ角力螺旋
力螺旋的中心轴离简化中心O
的距离为
5. 空间任意力系平衡方程的基本形式
6. 几种特殊力系的平衡方程
（ 1 ）空间汇交力系
（ 2 ）空间力偶系
（ 3 ）空间平行力系若力系中各力与 z 轴平行，其平衡方程的基本形式为
（ 4 ）平面任意力系若力系在Oxy平面内，其平衡方程的基本形式为
上述各式，为便于书写，下标i 略去。

7. 物体重心的坐标公式
常见问题
问题一从平面汇交力系、力对点的矩和力偶系、任意力系到空间汇交力系、力对点（轴）的矩和力偶系、任意力系，好像有重复之感，但不要轻视，还要认真对待。

第三章摩擦
本章总结
1. 摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩阻两种。

2. 滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向约束力。

前者称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。

（ 1 ）静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，其值满足
静摩擦定律为
其中为静摩擦因数，为法向约束力。

（ 2 ）动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，其大小为
其中 f 为动摩擦因数，一般情况下略小于静摩擦因数。

3. 摩擦角为全约束力与法线间夹角的最大值，且有
全约束力与法线间夹角φ的变化范围为
当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生自锁现象。

‘
常见问题
问题一在能够确定运动趋势的时候，要正确画出摩擦力的方向，在不能够确定运动趋势的时候，摩擦力的方向可以假定。

要注意库仑摩擦定律的使用条件，不要一说到摩擦力，就可以等于。

第2章平面汇交力系与平面力偶系
1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和
方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即F R=F1+F2+…..+Fn=∑F
2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。

3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。

力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的
转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。

（Mo（F）=±Fh）
4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称
为力偶，记为（F,F’）。

第3章平面任意力系
1．合力矩定理：若平面任意力系可合成为一合力。

则其合力对于作用面内任意一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。

2．平面任意力系平衡的充分和必要条件为：力系的主失和对于面内任意一点Q的主矩同时为零，即F R`=0,Mo=0.
3．平面任意力系的平衡方程:∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Mo(F)=0.平面任意力系平衡的解析条件
是,力系中所有力在作用面内任意两个直角坐标轴上投影的代数和分别等于零,各力对于作用面内任一点之矩的代数和也是等于零.
第4章考虑摩擦的平衡问题
1.摩擦角：物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角。

tanψm=fs
2.自锁现象：当主动力即合力Fa的方向、大小改变时，只要Fa的作用线在摩擦角内，C
点总是在B点右侧，物体总是保持平衡，这种平衡现象称为摩擦自锁。

第5章空间力系
1.空间汇交力系平衡的必要与充分条件是:该力系的合力等于零,即F R=∑Fi=0
2.空间汇交力系平衡的解析条件是:力系中各力在三条坐标轴上投影的代数和分别等于
零.
3.要使刚体平衡,则主失和主矩均要为零,即空间任意力系平衡的必要和充分条件是:该力
系的主失和对于任一点的主矩都等于零,即F R`=∑Fi=0,Mo=∑Mo(Fi)=0
4.均质物体的重力位置完全取决于物体的几何形状,而与物体的重量无关.若物体是均质
薄板,略去Zc,坐标为xc=∑Ai*xi/A,yc=∑Ai*yi/A
5.确定物体重心的方法
(1)查表法
(2)组合法:①分割法;②负面积(体积)法
(3)实验法
第二篇运动学
第6章点的运动学
6.2直角坐标法
运动方程x=f(t) y=g(t) z=h(t) 消去t可得到轨迹方程f（x,y,z）=0 其中
例题6 -1 椭圆规机构如图6-4（a）所示，曲柄oc以等角速度w绕O转动，通过连杆AB 带动滑块A、B在水平和竖直槽内运动，OC=BC=AC=L 。

求：（1）连杆上M点（AM=r）的运动方程；（2）M点的速度与加速度。

解：（1）列写点的运动方程
由于M点在平面内运动轨迹未知，故建立坐标系。

点M是BA杆上的一点，该杆两端分别被限制在水平和竖直方向运动。

曲柄做等角速转动，Φ=wt 。

由这些约束条件写出M 点运动方程x=(2L-r)coswt y=rsinwt 消去t 得轨迹方程：（x／2L-r）²+（y/x）²=1 （2）求速度和加速度
对运动方程求导，得dx/dt=-(2L-r)wsinwt dy/dt=rsinwt 再求导a1=-(2L-r)w²coswt a2=-rw²sinwt 由式子可知a=a1i+a2j=-w²r
6.3自然法
2.自然坐标系：b=t×n其中b为副法线n为主法线t
3.点的速度v=ds/dt 切向加速度at=dv/dt 法向加速度an=v²/p
习题6-10 滑道连杆机构如图所示，曲柄OA长r，按规律θ=θ’+wt 转动（θ以rad计，
t以s计），w为一常量。

求滑道上C点运动、速度及加速度方程。

解：
第七章刚体的基本运动
7.1刚体的平行运动：刚体平移时，其内所有各点的轨迹的形状相同。

在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。

刚体的平移问题可归结为点的运动问题。

7.2刚体的定轴转动：瞬时角速度w=lim△θ∕△t=dθ/dt
瞬时角加速度a=lim△w∕△t=dw/dt=d²θ/dt²
转动刚体内任一点速度的代数值等于该点至转轴的距离与刚体角速度的乘积
a=√(a²+b²)=R√(α²+w²) θ=arctan|a|/b =arctan|α|/w²
转动刚体内任一点速度和加速度的大小都与该点至转轴的距离成正比。

例题7-1如图所示平行四连杆机构中，O1A=O2B=0.2m ,O1O2=AB=0.6m ,AM=0.2m ,如O1A 按φ=15πt的规律转动，其中φ以rad计，t以s计。

试求t=0.8s时，M点的速度与加速度。

解：在运动过程中，杆AB始终与O1O2平行。

因此，杆AB为平移，O1A为定轴转动。

根据平移的特点，在同一瞬时M、A两点具有相同的速度和加速度。

A点做圆周运动，它的运动规律为s=O1A·φ=3πt m
所以V A=ds/dt=3πm/s a tA=dv/dt=0 a nA= (V A) ²/O1A=45 m/s
为了表示V m 、a m 的2，需确定t=0.8s时，AB杆的瞬时位置。

当t=0.8s时，s=2.4πm
O1A=0.2m , φ=2.4π/0.2=12π,AB杆正好第6次回到起始位置O点处，V m 、a m的方向如图所示。

第8章点的合成运动
8.1合成运动的概念：相对于某一参考系的运动可由相对于其他参考系的几个运动组合而成，这种运动称为合成运动。

当研究的问题涉及两个参考系时，通常把固定在地球上的参考系称为定参考系，简称定系。

吧相对于定系运动的参考系称为动参考系，简称动系。

研究的对象是动点。

动点相对于定参考系的运动称为绝对运动；动点相对于动参考系的运动称为相对运动；动参考系相对于定参考系的运动称为牵连运动。

动系作为一个整体运动着，因此，牵连运动具体有刚体运动的特点，常见的牵连运动形式即为平移或定轴转动。

动点的绝对运动是相对运动和牵连运动合成的结果。

绝对运动也可分解为相对运动和牵连运动。

在研究比较复杂的运动时，如果适当地选取动参考系，往往能把比较复杂的运动分解为两个比较简单的运动。

这种研究方法无论在理论上或实践中都具有重要意义。

动点在相对运动中的速度、加速度称为动点的相对速度、相对加速度，分别用v r和a r 表示。

动点在绝对运动中的速度、加速度称为动点的绝对速度和绝对加速度，分别用v a和a a表示。

换句话说，观察者在定系中观察到的动点的速度和加速度分别为绝对速度和绝对加速度；在动系中观察到动点的速度和加速度分别为相对速度和相对加速度。

在某一瞬时，动参考系上与动点M相重合的一点称为此瞬时动点M的牵连点。

如在某瞬时动点没有相对运动，则动点将沿着牵连点的轨迹而运动。

牵连点是动系上的点，动点运动到动系上的哪一点，该点就是动点的牵连点。

定义某瞬时牵连点相对于定参考系的速度、加速度称为动点的牵连速度、牵连加速度，分别用v e和a e表示。

动系O’x’y’与定系Oxy之间的坐标系变换关系为
x=x0+x’cosθ-y’sinθy=y0+x’sinθ+y’cosθ
在点的绝对运动方程中消去时间t，即得点的绝对运动轨迹；在点的相对运动方程中消去时间t，即得点的相对运动轨迹。

例题8-4 矿砂从传送带A落到另一传送带B上，如图所示。

站在地面上观察矿砂下落的速度为v1=4 m/s ，方向与竖直线成30角。

已知传送带B水平传动速度v2=3 m/s.求矿砂相对于传送带B的速度。

解：以矿砂M为动点，动系固定在传送带B上。

矿砂相对地面的速度v1为绝对速度；牵连速度应为动参考系上与动点相重合的哪一点的速度。

可设想动参考系为无限大，由于它做平移，各点速度都等于v2。

于是v2等于动点M的牵连速度。

由速度合成定理知，三种速度形成平行四边形，绝对速度必须是对角线，因此作出的速度平行四边形如图所示。

根据几何关系求得
V r=√（v e²+v a²-2v e v a cos60º）=3.6 m/s
V e与v a间的夹角β=arcsin（v e/v r*sin60º）=46º12’
总结以上，在分析三种运动时，首先要选取动点和动参考系。

动点相对于动系是运动的，因此它们不能处于同一物体；为便于确定相对速度，动点的相对轨迹应简单清楚。

8.3当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。

第9章刚体的平面运动
9.1刚体平面运动的分析：其运动方程x=f1(t) y=f2(t) θ=f3(t)完全确定平面运动刚体的运动规律
在刚体上，可以选取平面图形上的任意点为基点而将平面运动分解为平移和转动，其中平面图形平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。

9.2刚体平面运动的速度分析：
平面图形在某一瞬时，其上任意两点的速度在这两点的连线上的投影相等，这就是速度投影定理。

Vcosa=vcosb
动力学质点动力学的基本方程
知识总结
1.牛顿三定律适用于惯性参考系。

质点具有惯性，以其质量度量；
作用于质点的力与其加速度成比例；
作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。

2.质点动力学的基本方程。

质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。

3.质点动力学可分为两类基本问题。

质点动力学可分为两类基本问题：
（1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力；
（2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。

求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。

质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。

动量定理
知识点总结
1.牛顿三定律适用于惯性参考系。

质点具有惯性，以其质量度量；
作用于质点的力与其加速度成比例；
作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。

2.质点动力学的基本方程。

质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。

3.质点动力学可分为两类基本问题。

质点动力学可分为两类基本问题：
（1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力；
（2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。

求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。

质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。

常见问题
问题一在动力学中质心意义重大。

质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。

问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。

动量矩定理
知识点总结
1.动量矩。

质点对点O 的动量矩是矢量。

质点系对点O 的动量矩是矢量。

若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为。

若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。

2.动量矩定理。

对于定点O 和定轴z 有
若 C 为质心，C z 轴通过质心，有
3.转动惯量。

若z C 与z 轴平行，有
4.刚体绕 z 轴转动的动量矩。

刚体绕z 轴转动的动量矩为
若z 轴为定轴或通过质心，有
5.刚体的平面运动微分方程。

常见问题
问题一要注意，计算动量矩时，仅仅计算对质心动量矩时，用静止坐标系或用随质心平移的坐标系都可以，两者的计算结果是相同的。

对一般的动点，两者计算结果不同，必须用静止坐标系计算，或用书中的公式计算。

问题二要注意，动量矩定理仅仅对定点或质心成立，对一般的动点通常是不成立的。

问题三要仔细体会在知识点例题中所提到的技巧及注意事项。

问题四求解运动学问题时，通常要补充运动学关系，一定注意正确的补充运动学关系。

动能定理
知识点总结
1.动能是物体机械运动的一种度量。

质点的动能
质点系的动能
平移刚体的动能
绕定轴转动刚体的动能
平面运动刚体的动能
2.力的功是力对物体作用的积累效应的度量。

重力的功
弹性力的功
定轴转动刚体上力的功
平面运动刚体上力系的功
3.动能定理。

微分形式
积分形式
理想约束条件下，只计算主动力的功，内力有时作功之和不为零。

4.功率是力在单位时间内所作的功。

5.功率方程。

功率方程
6.机械效率。

7.功与物体运动的起点和终点的位置关系。

有势力的功只与物体运动的起点和终点的位置有关，而与物体内各点轨迹的形状无关。

8.机械能守恒定律。

机械能＝动能＋势能＝T+V
机械能守恒定律：如质点或质点系只在有势力作用下运动，则机械能保持不变，即
T+V=常量
由于利用动能定理可以较方便的计算速度和角速度、加速度和角加速度，因此很多动力学题目都是优先选用动能定理。

利用动能定理的积分形式很容易求得速度及角速度。

如果这一积分形式的动能定理表达的是函数关系（即适用于任意时刻或者任意位置），那么将其两端对时间求导即可得到加速度及角速度（或利用动能定理的微分形式或功率方程也可直接求得加速度或角速度）。

进而再利用刚体平面运动微分方程（或动量定理、动量矩定理）就可以求得作用力。

常见问题
问题一正确计算功和动能，分析哪些力不作功，哪些力作功。

问题二在理想约束下只考虑主动力的功。

如果有摩擦，只需记入摩擦力的功。

问题三功是力与受力物体上力作用点位移的点积，不是力与力在空间位移的点积。

问题四作用于纯滚动圆盘与静止地面接触点的法向约束力和摩擦力（不含滚动摩阻）不作功。

问题五如果动能定理的积分形式用函数形式表示，则将其对时间求导即可求得加速度和角加速度，当然也可以用动能定理的微分形式或功率方程。

问题六多数动力学问题可优先考虑动能定理求得加速度和角加速度，然后再利用动量及动量矩定理求得力。

问题七对某些动力学问题，在求解时注意分析是否存在动量守恒和动量矩守恒。

问题八求解动力学问题，一般要补充运动学关系。

第三篇
第10章质点动力学的基本方程
1.牛顿第一定律：不受了作用（包括受到平衡力系作用）的质点，将保持静止或做匀速直
线运动。

又称惯性定律。

2.牛顿第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方
向与力的方向相同。

F =m a
3. 牛顿第三定律：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一直
线，同时分别作用在这两个物体上。

第11章 动力定理
1. 动量：等于质点的质量与其速度的乘积.
2. 质点系的动量定理:
① 微分形式:质点系的动量对时间的一阶导数等于作用在该质点系上所有外力的矢量和. ②
积分形式:质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间间隔内作用在该指点系上所有外力的冲凉的矢量和.(冲凉定理)
3. 质心运动守恒定律：如果所有作用于质心系的外力在x 轴上投影的代数和恒等于零，即
∑F=0，则Vcx=常量，这表明质心的横坐标xc 不变或质心沿x 轴的运动时均匀的。

第12章 动量矩定理
1. 质点和质点系的动量矩:
⑴指点对点O 的动量矩失在z 轴的投影,等于对z 轴的动量矩,即「Lo(mv)」=Lz(mv)
⑵质点系对固定点O 的动量矩等于各质点对同一点O 的动量矩的矢量和.即:Lo =∑Lo(mv) 2. 绕定轴转动刚体对于转轴的动量矩等于刚体对转轴的装动惯量与角速度的乘
积.(Lz=wJz)
3. 平行轴定理:刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴转动惯
量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
4. 动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点的力对同一点的
矩.
第13章 动能定理
1. 质点系动能的微分,等于作用在质点系上所有力所做元功的和,这就是质点系微分形式的
动能定理.(13-23)
2. 质点系积分形式的动能定理:质点系在某一运动过程中动能的改变量,等于作用在质点系
上所有力在这一过程中所做的功的和.(13-24,13-25)
3. 力的功率等于切向力与力作用点速度大小的乘积(13-28)
4. 作用在转动刚体上力的功率等于该力堆转轴的矩与角速度的乘积.(13-29)
5. 质点系动能对时间的一阶导数等于作用在指点系上所有力的功率的代数和(功率方程
13-30)
c
p mv。