趣味数学第10周分解

对这则散发代数气息的墓碑题，常 规的思路当然是简易方程，
解：不妨设丢番图活了x岁. 根据碑文可列方程： x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x， 解得x=84(岁).
11/19/2018
高斯的墓志铭
高斯（1777—1855），德国著名数学家。他 研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟 大的数学家之一，被誉为“数学王子”。 在高斯十岁时，老师考了那道著名的[从1加到 100]：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的 问题： 1+2+3+……+100=？ 这时，其他同学正在埋头苦算，10岁的高斯 却用下面的办法迅速算出正确答案： （1+100）+（2+99）+……+（50+51） =101×50=5050. 实际上解决了求等差数列前100项的和的问题
可奇怪的是，关于丢番图的生平，后人几 乎一无所知，仅有的资料是这位数学家的 墓碑上的一段谜一样的碑文，使我们可以 对他的一生有一个大略的了解。碑文如下：
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“过路的人啊!这儿埋着丢番图的骨灰。 下面的数字可以告诉您，他的寿命究竟有 多长。他生命的1/6是幸福的童年。再活了 一生的1/12，他长出了细细的胡须。其后 丢番图结了婚，可是还不曾有孩子，这样 又度过了一生的1/7。 再过5年，他得了一个儿子，感到很幸福， 可是命运给这个孩子在世界上的光辉灿烂 的生命只有他父亲的一半。儿子死后。这 个老人在深深的悲痛中又活了4年，结束了 尘世的生涯。请计算一下，丢番图活到到 11/19/2018 多少岁，才和死神相见?”
练习3
81
×91= 解：8×9=72 （百位） 8+9=17 （十位） 1×1=1 （个位） 17个10，是1个100和7个10，向前进1 81×91=7371
几十一乘几十一口诀：
头乘头为头，头加头为中， 尾乘尾为尾。 中为两位数时向前进位

阿基米德的墓志铭
11/19/2018

11/19/2018
丢番图的墓志铭
丢番图
11/19/2018
古希腊著名的数学家， 以解题技巧非常高超著称。 著作：《算术》是一本非常 有名的数学问题集，是一部 具有高度创造性的伟大著作， 全书共13卷，可惜没能完整 地保存下来，现仅存6卷。 这部著作完全避开了几 何的形式，第一次系统地使 用了代数符号，提出了各种 不定方程的巧妙解法，在数 学史上被称为代数的开山之 作，丢番图也因此被誉为 “代数学的鼻祖”。
相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一 顶纯金的王冠。但是在做好后，国王疑心 工匠做的金冠并非纯金，工匠私吞了黄金 。但又不能破坏王冠，而这顶金冠确又与 当初交给金匠的纯金一样重。这个问题难 倒了国王和诸位大臣。经一大臣建议，国 王请来阿基米德来检验皇冠。 阿基米德因此证明物体在液体中所受 浮力等于它所排开液体的重量，这一结果 后被称为阿基米德原理。
头×（头+1）做头,尾×尾做尾,个 位相乘不够两位要用0占位.
如：41×49末尾是1×9=9，头 是（4+1）×4=20结果为2009，不是 209
总结为：
头相同，尾互补(尾相加等于10)：
口诀：一个头加１后，头乘头， 尾乘尾。
例1
例：12×14=？ 解:
头：1×1=1 中： ２＋４＝６ 尾： ２×４＝８ 12×14=168

六、隐含数对法
如果我们发现某一行某一列或某个九 宫中有两个候选数只出现在两个格子中， 那么这两个格子必然正好是这两个数字， 那么这两格子中其他候选数可以删除，这 就是隐含数对法； 如下面例子，第A行中，只有格子A7, A8使用了数字6,8;所以这两个格子中其它 数字2,5,9都可以删除

十几乘十几口诀：
头乘头为头，尾加尾为中，
尾乘尾为尾。 中和尾为两位数时向前进位
几十一乘以几十一
21×41=
解：2×4=8
2+4=6 1×1=1 21×41=861

练习1
31×51=
解：3×5=15
3+5=8 1×1=1 31×41=1581

练习2
61
×71= 解：6×7=42 （百位） 6+7=13 （十位） 1×1=1 （个位） 13个10，是1个100和3个10，向前进1 61×71=4331
五、四链数法
如果我们发现某一行某一列或某个九 宫有四个格子只使用了四个候选数，那么 这四个格子必然正好是这四个数字，那么 在这个单元（行，列，或九宫）中，其它 格子不会出现这四个候选数，这就是四链 数法； 如下面例子中 上面中间的九宫中四个格子A5,B5,C4,C5 都只使用了数字1,2,3,4;所以另外4个格子A 4,A6,B4,C6中出现的数字1,2,3,4可以删除
数独技巧
一、唯一数法
如果我们发现某个格子中只有一 个可用候选数，那么这个格子必然是 这个数字，这就是唯一数法。 如下面例子，H5格子中只有唯一 候选数3

二、隐含唯一数法
如果我们发现某一行某一列或某 个九宫有一个候选数只出现在一个格 子里面，那么这个格子必然是这个数 字，这就是隐含唯一数法。 如下面例子，第3列候选数4只出 现在格子I3中

11/19/2018
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阿基米德(前287－前212)
总所周知阿基米德是物理学家！ 但他也是数学家，是 古希腊杰出的数学家， 也是举世公认的最伟大 的数学家之一. 他的贡献大大超越了 他所处的时代，在数学 史上占有重要的位置， 因此人们把他与牛顿、 高斯并来自百度文库为历史上三个 最伟大的数学家
统帅罗马大军的将军马塞拉斯得知阿 基米德被杀的消息后，为阿基米德举行了 隆重的葬礼，并在墓地上立了一块碑，上 面刻着一个“圆柱容球”的几何图形。 就是在圆柱体容器里放了一个球，这个球 要顶天立地，四周碰边。
那为什么要在墓碑上 刻下这么一个图形呢?
11/19/2018
原来，阿基米德一生中发现了许多 定理，而其中他本人最得意的就是有关 圆柱和球的体积定理：如果在圆柱内有 一个直径与圆柱体等高的内切球，则圆 柱的表面积和体积分别等于球的表面积 和体积的3/2. 这个定理的证明是阿基米德一生中 最引为自豪的，并希望在他死后，把这 个“球内切于圆柱”的图形刻在他的墓 碑上。所以罗马将军这样做，正是为了 表示对阿基米德的钦佩和尊敬。

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数独游戏
数独是一种运用纸、笔进行演算的逻 辑游戏。 玩家需要根据9×9盘面上的已知数字 ，推理出所有剩余空格的数字，并满足每 一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均 含1-9，不重复。


数独盘面是个九宫，每一宫又分为九 个小格。在这八十一格中给出一定的已知 数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其 他的空格上填入1-9的数字。使1-9每个数字 在每一行、每一列和每一宫中都只出现一 次，所以又称“九宫格”。
几个有趣的问题
两位数乘两位数简便运算
例：1.
25×25=
2.
36×34 =
简便运算： 1、先算5×5=25 再算（2+1）×2 =3 ×2=6 25×25=625 2、先算6×4=24 再算（3+1）×3=12 36×34 =1224
什么样的两位数能用这个 办法呢？
1.两个数十位上的数相等 2.两个数个位上的数的和为10
（百位） （十位） （个位）
例2
15×13 1×1=1 5+3=8 5×3=15（两位数怎么办？） 尾巴得数为个位，个位多于10
=？
进到十位80+15=95 15×13=195
例3
18×17= 1×1=1（百位） 5+7=15
（十位） 8×7=56（个位） 1 × 100+15 ×10+56 ×1 18×17=306
“不要动我的图!”
值得一提的是，阿基米德对数学的执 著赢得了全世界的尊重。 公元前212年，阿基米德在生命的最 后时刻，也就是叙拉古城失陷之时，他 还在潜心研究画在沙盘上的一个几何图 形。当罗马士兵闯入他的房间，举剑向 他刺去的一刹那，他还在喊：“不要动 我的图!”但罗马的士兵并不认识这位不起 眼的数学家，还是一剑刺了下去，伟大 的数学家便倒在了血泊里. 11/19/2018
11/19/2018
但是，他的墓碑上 刻的并不是地球人都知 道的等差数列求和公式， 也不是他独立给出四种 证明的代数基本定理， 而是一个在尺规作图领 域中被人津津乐道的漂 亮结果：尺规作出正十 七边形 高斯（1777—1855）
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尺规作出正十七边形
这个难题，两千年来悬 而未决； 高斯在他18岁时就解决 了， 他为此而特别高兴，并 决定一生研究数学。

三、数对法
如果某一行某一列或某个九宫有 两个格子只使用了两个候选数，那么 这两个格子必然正好是这两个数字， 那么在这个单元（行，列，或九宫） 中，其它格子不会出现这两个候选数 ，这就是数对法。 如下面例子，第一列中B1和G1的 候选数都是7,8;那么D1,H1中的候选数 7,8可以删除。

四、三链数法

如果我们发现某一行某一列或某个九 宫有三个格子只使用了三个候选数，那么 这三个格子必然正好是这三个数字，那么 在这个单元（行，列，或九宫）中，其它 格子不会出现这三个候选数，这就是三链 数法。 如下图，最下面中间的九宫中格子H4, H5,I5三个格子都只使用候选数2,8,6；所以 G4,G6,I6中出现的8,6都可以删除。