中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为

t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。

解：由定义，有：

)(2)0()0()}()({2)0()0()]}

()()][()({[2)]

([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D

（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马

尔可夫过程。

证明：我们要证明：

n t t t <<<≤∀Λ210，有

}

)()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P Λ

形式上我们有：

}

)()(,,)(,)({}

)()(,,)(,)(,)({}

)(,,)(,)({}

)(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=

======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ

因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2

,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。

由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j Λ时，增量)0()(X t X j -与

)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立，结果成立。

（3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，

且对每个0>t ，),(~2

t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？

解：任取n t t t <<<≤∀Λ210，则有：

n k W W W k

i t t t i i k ,,2,1][1

1Λ=-=∑=-

由平稳增量和独立增量性，可知))(,0(~121----i i t t t t N W W i i σ并且独立 因此),,,(1121---n n t t t t t W W W W W Λ是联合正态分布的，由

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1121

211110

011001n n n t t t t t t t t W W W W W W W W M ΛO ΛΛM 可知是正态过程。

（4） 设}{t B 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并

说明理由。

解：标准布朗运动的相关函数为：

},m in{),(2t s t s R B σ=

如果标准布朗运动是均方可微的，则),(/

t t R B 存在，但是：

20/0/),(),(lim ),(0

)

,(),(lim

),(σ=∆-∆+==∆-∆+=+→∆-+→∆+t

t t R t t t R t t R t

t t R t t t R t t R B

B t B B B t B

故),(/

t t R B 不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。

（5） 设t N ，0≥t 是零初值、强度0>λ的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均

方意义下，0,0

≥=

⎰t ds N Y t

s

t 是否存在，为什么？

解：泊松过程的转移率矩阵为：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛----=O ΛO ΛΛ

ΛΛΛΛλ

λ

λ

λ

λλ

λλ

00

000Q 其相关函数为：st t s t s R N 2

},min{),(λλ+=，由于在t ∀，),(t t R N 连续，故均

方积分存在。

（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0

表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.025.075.011100100

p p p p P

试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。

解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为)3/1,3/2(。

（7） 设齐次马氏链{}{

},4,3,2,1,0,=≥S n X n 一步转移概率矩阵如下： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=002/12/1002/12/12/12/1002/12/100P

（a ）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C －K 方程）； （b ）求n 步转移概率矩阵；

（c ）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？

解：（a ）略

（b ）⎩⎨

⎧====偶数

奇数

n P n P P n P n

2

)( （c ）此链不具遍历性

（8） 设0,)

1()()

(≥-=t X t Y t N ，其中}0);({≥t t N 为强度为0>λ的Poission 过程，随

机变量X 与此Poission 过程独立，且有如下分布：

0,2/1}0{,4/1}{}{>=====-=a X P a X P a X P

问：随机过程0),(≥t t Y 是否为平稳过程？请说明理由。

由于：0)}({=t Y E

{

}{}{

}

{

}{}

{}

1222)(220

)(1220

1212)()(2)()(2

)()()(22)

()(2)()(22122!)]([)1(2

})()({)()()1(2)

1(2)1(2)1()1(),(121212*********t t e a e a e n t t a n t N t N P n t N t N E a E a E a E X E X E t t R t t n t t n n

n t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N Y -===--==-=--=-=-=-=-⋅=---∞

=--∞=---+++∑∑τλλτ

λλ

故)}({t Y 是平稳过程。

（9） 设0,2≥+=t Yt X X t ，其中X 与Y 独立，都服从),0(2

σN

（a ）此过程是否是正态过程？说明理由。 （b ）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。

证明：（a ）任取 n t t t N n <<<≤∈Λ210,，则有：