线性方程组的解法(课堂PPT)

x x
(0 1
(0 2
) )
0
0
0 0.8667
x(2) 0.9630 0.9644 0.9778
x(3) 0.9929 0.9935 0.9952
x(4) ········ 0.9987 0.9988 0.9991
准确解
x1*＝ 1.0000，x2*＝ 1.0000，x3*＝ 1.0000
可以看出，迭代每前进一步，结果就逼近准确解一步 迭代过程收敛
据此建立迭代公式
( k1)
x (7 x x )/ 9 1 (k1)
(k)
2
(k)
(k)
3
(k)
x2 (8 x1 x3 )/10
( k1)
x3
(k)
(13 x1
(k)
x2 )/15
取迭代初值x1(0) =0， x2(0) =0， x3(0) =0
3
x(0)
x(1)
0 0.7778
0 0.8000
即
(D+L)X(k+1) ＝ -UX(k)+b
如果 (D+L)－存在，则
X(k+1) ＝－(D+L)－ UX(k)+ (D+L)－ b
记
B＝(D+L)－， f＝ (D+L)－ b
则
X(k+1)= BX(k) + f ( k=0,1,2,···)
矩阵形式的高斯-塞德尔迭代公式。 B：迭代矩阵
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例
雅可比(Jacobi)迭代法
举例说明雅可比迭代法的基本思路
例4.1
9x1 x2 x3 7 x1 10x2 x3
8
x1 x2 15x3 13
特点:系数矩阵主 对角元均不为零
2
将方程改写成如下等价形式
x1 x2
(7 x2 x3)/ 9 (8 x1 x3)/10
x3 (13 x1 x2)/15
5
设有方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a2 2x2 a2n xn b2 an1x1 an2x2 annxn bn
n
aij x j bi
j1
(i = 1,2, ···,n)
将第i个方程的第i个变量xi分离出来，据此建立分量形式 的雅可比迭代公式
xi(k1)a 1 ii[biij 1 1aijx(jk)j n i1 aijx(jk)]
将A分解为：A＝U+D+L
其中
0 U 0
a12 0
a1n
a11
a2n
D
0
0
a22
0
a nn
L
0
a
21
a
n
1
0 an2
7
0
0
于是 (U+D+L)X = b
得
X＝ －D－ (U+L)X +D－b
据此得矩阵形式的雅可比迭代公式
X(k+1)＝－D－(U+L)X(k) +D－b
4
矩阵形式: x(k 1)B(k)x f
x x12((k k 1 1))1/01010/9 11//190x x12((k k))8 7//190 x3(k1) 1/151/15 0 x3(k) 13/15
以上这种迭代方法称雅可比(Jacobi)迭代法。 基本思想：将方程组的求解问题转化为重复 计算一组彼此独立的线性表达式。
线性方程组的解法
解线性方程组的迭代法
Iterative Methods for Linear Systems
Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代 迭代法的矩阵表示
Matrix form of the Iterative Methods
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线性方程组的解法在计算数学中占有极其 重要的地位。
线性方程组的解法大致分为迭代法与直接 法两大类
记
B＝－D－ (U+L)， f＝ D－b
有
X(k+1)= BX(k) + f ( k=0,1,2,······)
B：迭代矩阵
任取 X(0), 迭代计算产生向量序列:
X(1), X(2),······, X(k),·····若·
limx(k) x*
k
则迭代过程收敛。x* 是方程组 Ax = b 的解
9x1 x2 x3 7 x1 10x2 x3
8
x1 x2 15x3 13
x1 x2
(7 x2 x3)/ 9 (8 x1 x3)/10
x3 (13 x1 x2)/15
x 1 (k 1 )(7x 2 (k)x 3 (k))/9 x2 (k1)(8x1 (k)x3 (k))/10 x3 (k 1)(1 3 x 1 (k)x2 (k))/15
8
9
迭代法适用于解大型稀疏方程组 (万阶以上的方程组,系数矩阵中零元素占很 大比例,而非零元按某种模式分布) 背景: 电路分析、边值问题的数值解和数学物 理方程
问题: (1)如何构造迭代格式？
(2)迭代格式是否收敛？
(3)收敛速度如何？
(4)如何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行误差估计？
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高斯塞德尔Gauss-Seidel迭代法
(i = 1,2, ···,n; k=0,1,2, ···)
如果
lim
k
x(k) i
x
* i
迭
代收
敛
否则 迭代发散
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用矩阵形式来表示雅可比迭代公式
设有方程组: AX = b
其中A＝(aij)n为非奇异矩阵，X=(x1, x2, ···, xn)T, b=(b1, b2, ···, bn)T，唯一解为X*=(x1*, x2*, ···, xn*)T
xi(k+1) 时，已经计算出 x1(k+1),x2(k+1) , ···,xi-1(k+1) (i-1)
个分量，这些分量新值没用在计算xi(k+1)
上。将这
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将这些分量利用起来，有可能得到一个收敛更 快的迭代公式。 具体作法：将分量形式的雅可比迭代公式右端 前(i-1)个分量的上标为k换成k+1，即
n
aij x j bi (i = 1,2,…,n)
j1
xi(k 1)a 1 ii[b iij 1 1aijx(jk 1)j n i 1 aijx(jk)]
(i = 1,2,···,n; k =0,1,2,···)
分量形式的高斯-塞德尔迭代公式。
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用矩阵形式来表示高斯-塞德尔迭代公式
DX(k+1)＝b-LX(k+1) - UX(k)
Gauss-Seidel迭代法是通过对Jacobi迭代法稍加改 进得到的。 Jacobi迭代法的每一步迭代新值
x(k+1)=[x1(k+1),x2(k+1) , ···,xn(k+1)]T
都是用前一步的旧值
x(k)=[x1(k),x2(k) , ···,xn(k)]T 的全部分量计算出来的。那么在计算第i个分量