波利亚及其解题理论 (2)

问题的种类
• 按数学内容来分，可以分成几何、代数、数 论(算术)、组合数学等． • 按问题的结论来分，可以分为计算题、求解 题、证明题． • 从形式上分，有选择题、填充题、综合题． • 从与已有经验关系分，有固定模式、没有或 较少固定模式．
《合情推理》
• 合情推理的引入 • 合情推理的历史来源 • 合情推理的模式 • 合情推理的总结和应用
•
3、求证是什么？
• 答：是一个不等式
(2 a1)( 2 a2) (2 an) 3
n
• 其左边是n个因式的积，每一个因式有相同 的结构 (2 ai)；而右边 是个与 ai无关的常 数‚3"，其屮‚3‛是个特征数.
• 第二：，拟定计划 • 4、你以前见过它吗？你是否见过相同 的问题而形式稍有不同？ • • 以前没有见过.我们或者取n=2，3作 试探，或者回想起原高屮 统编教材见过一 道条件相同. 而结论不同的不等式证明題。 n (1 a1)(1 a 2) (1 a n) 2 ③ •
• 应用：
•
在社会生活中,医生诊断疾病,法官审判 案件,军事家指挥战争,人际交往等都应用合 情推理.贯彻任何科学发现的思维,也主要是 合情推理:量子力学方程是猜出来的;球体公 式是阿基米德"称"出来的;在对热在金属中 流动的观察研究中,傅立叶发明了级数;而现 代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰 出成果.
a
i
a
i
a
i
• 从而
(2 ai) 3
i 1
n
n
3
a1 a2 an 3
n
• 第三，实现计划（略）
• 第四、回顾 • 9.你能否用别的方法导出这些结论？ • 可以.因为这里是一个与自然数有关的命题， 所以我们会想到用 数学归纳法（此外，还有 其他办法，如柯西不等式、磨光变换等）. • (1)，n = l时，命题显然成立(取等号）， • (2)假设n=k时，命题成立.即 ai 0 ,且当 • ⑤ a1 a2 ak 1
归纳推理由某类事物的部分对象具有某些
• • • • •
类比推理由两类对象具有某些类似特性和
其中一类对象的某些已知特性，推出另一 类对象也具有这些特性的推理称为类比推 理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的 推理。 • 例如：乘法交换律和结合律 • 加法作为一种运算，具有交换律和结合律 ； • 乘法作为加法的一种简便运算，也应该具 有交换律和结合律
• 波利亚还是杰出的数学教育家，他对数学思 维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库 的特殊贡献。他的数学教育思想的核心问题： 数学教育的目的是什么？ --波利亚主张数 学教育的目的应当是提高学生的一般素养； 首先和主要的目标应当是教会青年思考。
波利亚(1887-1985)的生平
• 为了表彰波利亚对数学的杰出贡献，1963 年美国数学协会授予他以功勋奖,1968年美 国教育电影图书协会授予他以数学物理最 高荣誉奖。 • 晚年的波利亚视力极度下降，就借助于有 放大作用的阅读机继续坚持阅读并回答别 人的问题，甚至还想学习计算器．他不断 地向别人述说：「我的数学兴趣还没有 完！」
波利亚(1887-1985)的生平
• • • • 1940年移居美国，先在布朗大学任教。 1942年后一直在斯坦福大学任教。 1953年起，任该校退休教授。 波利亚在众多的数学分支中都颇有建树， 共发表200多篇著名论文，以他的名字命名 的波利亚计数定理则是近代组合数学的重 要工具。
波利亚(1887-1985)的生平
推理模式（归纳和类比）
特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征,或者由个别事实概栝出一般结论，（ 简称归纳）部分推出整体，个别推出一般 。 例如：哥德巴赫猜想 可以把77写成三个素数之和： 77=53+17+7； 可以把461写成三个素数之和： 461=449+7+5； …… 任何大于7的奇数都是三个素数之和。
• 首先，我们看到用二维平均不等式没有
2 ai 2
• • • •
2
ai
n
没有出现求证不等式所需要的特征数‚3‛ 其次，由 2 2 3使我们进步想到 (2 2 ) (2 1)(2 2) (2 n) 的最小值， 不是 它是一个比3更小的下界，这也就说明，用④ 式时缩小得过头了.事实上，式④不能取等号， n 否则 ai 2(i 1,2, , n), 有 a1 a 2 a n 2 1
执行计划
解题过程用术语,符号,图形,式子表述出来. 修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方 案. 解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
你能拟定其它解题方案吗? 你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用 它的方法吗? 你能找到什么方法检验你的结果吗?
相ห้องสมุดไป่ตู้例题
• 例：已知a1,a2,...,an是n个正数，满足a1a2...an=1,求 证(2+a1)(2+a2)...(2+an)>=3n。 • 讲解：我们来实践一下波利亚的解题表。 • 第一，你必须弄清问题 • 1、这是一个什么问题？ • 答：这是一个代数问题，一个条件不等式证 明题。 • 2、已知条件是什么？ • 共有俩个：（1）a1,a2...,an是n个正数； • (2) a1a2...an=1.
a
a
a
与已知矛盾。
• 这就从反面告诉我们，要考虑当 a1 a2 an 时， 求证式能取等号的条件，因而，基本不等式的应用，应 使 ai 1时取等号。 • 8、重新回到课本习题，再考虑你能利用它吗？你能利 用它的方 法吗？如果你不能直接利用它，那么你能不 能作适当的变通？为了出现特征常数‚3‛ ，为了使等 1 ，思维受到广 挑战，拆项的念头迟早会 号成立时 a i 产生 2 1 1 33
总结与应用
• •
总结 ：
类比推理和归纳推理的过程如下：从具 体问题出发——观察、猜想、比较、联想— —归纳、类比——提出猜想。 • 可见，归纳推理和类比推理都是根据已 有的事实，经过观察、猜想、比较、联想 ，再进行归纳、类比，然后提出猜想得推 理。我们把它们统称为合情推理。 • 合情推理是指‚合乎情理‛的推理。数 学研究中，得到一个新结论之前，合情推 理常常能为我们提供证明的思路和方向
• 时，有 (2 •
a )( 2 a ) (2 a ) 3
1 2 k
k
⑥
则当n=k + 1时，有
1
aa
ak 1 2
⑦
• 与⑤联立，得
1 ak 1
• 从而
(2 a1)(2 a2) (2 ak ) (2 a1)(2 a2) (2 ak )(2 1) 3 3 3
<怎样解题表>
变换,推广,类 比,作出新的 数学发现. 执 行 计 划 检 验 回 顾
弄 清 题 意
拟 定 计 划 （ 核 心 ）
概括方法论因 素,建立数学 模型.
弄清题意
已知、未知 题目要求干什么 可否画图形 能否数学化
拟定计划(核心)
结果 类似题目 有关定义、定理 已有题目可否利用 条件转化，建立等式或不等式 辅助元素 举一反三
• •
aa
1

2
ak

a

k 1
1
⑧
• 所以，不能由⑤与⑧联立得出，
a

k 1
1
• 此题到底能不能用数学归纳法？
• 回答是肯定的，对第二步作调整如下，其基 本想法是把⑦中某两 个ai的积看成⑤式中的 某一个ai . • 当n=k+1时，由 •
a a a a
1 2 k
1 k 1
• 知，其中必有
a 1且 a 1(1 i j k 1),不妨设 a 1, a 1 有(1 a )(1 a ) 0 得1 a a a a
i j 1 2 1 2 1 2 1 2
从而 (2 a1)(2 a2) 4 2 (a a2) a1 a2
下一节
引入
• 在日常生活中,合情推理几乎无处不在,
比如:
"它可能是……"(猜测) "做出来看一看"(实验), "由上所述可得……"(归纳), "将人心比自心"(类比), "可以想象"(联想), "实践是检验真理的唯一标准"(检测)等
历史来源
• 合情推理是波利亚的‚启发法‛的一个推理
模式波利亚多年深入研究数学问题解决过程得 出的理论成果.波利亚对启发法解释道:"现代启 发法力求了解问题解决过程,特别是问题解决过 程中典型有用的智力活动.……在这种研究中,我 们不应忽视任何一类问题,并且应当找出处理各 类问题所共有的特征来;我们的目的应当是找出 一般特征而与主题无关." • 启发法源于他对问题解决的研究,问题解决就 是"在没有现成的解题方法时寻找一条解题途 径,就是从困难中找到出路,就是寻求一条绕过 障碍的道路,由适当的方法达到所要去的而不能 立即达到的目的".
波利亚解题理论
波利亚(1887.12.13-1985.9.7)
波利亚(1887-1985)的生平
• 波利亚，美国著名数学家、教育家。出生 于匈牙利的布达佩斯。曾先后在布达佩斯、 维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物 理学和哲学。 • 1912年,在布达佩斯获约特沃斯·洛伦得大 学哲学博士学位。 • 1914年,在苏黎世瑞士联邦理工学院任 教,1928年任教授，1938年任数理学院院长。
• 有数学归纳法知，原等式不成立。
k
由于(a1 a2), a1 ,。。。， ak , ak 1 满足归纳假设，
• 12.抓住数学归纳法中的关键步骤
1 a1 a2 a1 a2
• 可以改 写成‚磨光变换‛的形式. • (1)当 1 2 n 1 时，显然 • • (2+a1)(2+a2)...(2+an)>=3n • 命题成立。
k 1 k
（由⑥式）
这表明n=k+1时命题成立.
由数学归纳法知，命题对一切自然数成立. 10、你能否检验这个论证？
冋顾第二步中⑤式与⑦式联立的推理，会 发现违反了同一律(偷 换概念），即第k号 命题中的ai与第k+1号命题中的ai虽然使用 了同一个宇母，但一般地字母所代替的数 值是不相同的，如果保持⑤ 式，那么⑦式 实际上是
1
4 2(1 a1 a2) a1 a2 3(2 a1 a2)
• 可得
(2 a1)(2 a2) (2 ak )(2 ak 1) 3(2 a1 a2)(2 a3) (2 ak )(2 ak 1) 有(2 a1 a2)(2 a3) (2 ak )(2 ak 1) 3 。
波利亚(1887-1985)的生平
• 波利亚的重要数学著作有： 《怎样解题》、《数学的发现》多卷、《数 学与猜想》多卷等。
《怎样解题》
内容简介： • ‚怎样解题表‛是一书的精华 • 它讨论的是数学中发现和发明的方法 和规律，但同时对在其他任何领域中怎样 进行正确思维都有明显的指导作用。 • 在本书的指导下，学会了怎样摒弃 不相干的东西，直捣问题的心脏。
n
• 6、实现你的求解计划，检验每一步骤.你 能否清楚看出这一步 是正确的.你能否证明 这一步骤是正确的？
• 其实，由8<9知 2 2 3,从而
(2 2 )
n
3
n
• 可见，形式套用有关作业题不能成功,缩小 过头了. • 7、尚未成功不等于彻底失败，你能找出没 有成功的原因吗？ (第五公设试证没有成功， 却诞生了更加伟大的非欧几何）
•
5 .你能不能利用它？
记得作业题的证明是，有
• 得
1 ai 2 ai
(1 a ) 2 a a ...a
n i 1 i 1 2 n n
2
n
• 若如法泡制，可由 • 2 ai 2 2 • 得
n i 1 i
a
i
④
n n 1 2 n
(2 a ) (2 2 ) a a a (2 2 ) 3
a a
a
(2)若a1,a2,...,an不全为一，则必有一个大于1， 也必有另一个小于1，不妨设
• a1>1,a2<1.