微分方程的例题分析及解法

微分方程的例题分析及解法

本单元的基本内容就是常微分方程的概念,一阶常微分方程的解法,二阶常微分方程的解法,微分方程的应用。

一、常微分方程的概念

本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念,要正确理解这些概念;要学会判别微分方程的类型,理解线性微分方程解的结构定理。

二、一阶常微分方程的解法

本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法:变量可分离型,齐次型,线性方程。 对于一阶微分方程,首先要瞧就是否可以经过恒等变形将它的变量分离;

对于一阶线性微分方程,先用分离变量法求解其相应的齐次方程,再用常数变易法求解非齐次方程;当然也可直接代下列通解公式:

()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程

)(x

y f y =' 令x

y u =,则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。 三、二阶微分方程的解法

1.特殊类型的二阶常微分方程

本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法:

(1))(x f y ='',直接积分;

(2)),(y x f y '='',令p y =',

(3)),(y y f y '='',令p y =',则p dy

dp y ='' 这三种方法都就是为了“降价”,即降成一阶方程。

2.二阶线性常系数微分方程

二阶线性常系数微分方程求解的关键就是:

(1)特征方程

对于相应的齐次方程,利用特征方程

02=++q p λλ

求通解:

(2)对于非齐次方程,根据下列形式自由项的特点

)()(x P e x f m x μ=

与 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~

cos )()(+= 设置特解*

y 的形式,然后使用待定系数法。

四、微分方程的应用

求解应用问题时,首先需要列微分方程,这可根据有关科学知识,分析所研究的变量应该遵循的规律,找出各量之间的等量关系,列出微分方程,然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解,还应注意,有的应用问题还含有初始条件。

一、疑难解析

(一)一阶微分方程

1.关于可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程就是一阶微分方程中的一种最简单的方程,形如

0)()()()(2211=+dy y g x f dx y g x f (1)

的微分方程称为变量可分离的微分方程,或称可分离变量的微分方程,若0)()(12≠y g x f ,则方程(1)可化为变量已分离的方程

dx x f x f dy y g y g )

()()()(2112-= 两端积分,即得(1)的通解:

C x F y G +=)()( (2)

(2)式就是方程(1)的通解(含有一个任意常数),但不就是全部解,用分离变量法可求出其通解为)sin(c x y +=,但显然1±=y 也就是该方程的解,却未包含在通解中,从这个例子也可以理解通解并不就是微分方程的全部解,本课程不要求求全部解。

有些瞧上去不能分离变量的微分方程,通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。如齐次型微分方程。

)(x y f y ='或)(x

y f dx dy = (3) 可用代换ux y =化为 x

dx u u f du =-)( 两端同时积分即可求解。

(2)关于一阶线性微分方程。

一阶线性微分方程就是指形如

)()(x q y x p y =+' (4)

的方程,其中)(x p 、)(x q 就是已知函数,其特点就是y ,y '都以一次幂的形式出现在方程中,求它的通解时,即可以用公式

))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +⎰⎰=⎰

- (5) 来求,也可以用常数变易法来求,即通过分离变量法先求出齐次线性方程

0)(=+'y x p y 的通解⎰=-dx x p Ce y )(,再令C 来未知函数)(x C ,将⎰=-dx x p e x C y )()(代入方

程(4),求出)(x C ,最后得到所求通解⎰=-dx x p e x C y )()(。

有的方程把x 瞧作未知函数,y 瞧作自变量时成为一阶线性微分方程,如方程

0)ln (ln =-+dy y x xdx y

可变形为关于)(y x x =的一阶线性非齐次方程

y

y y x dy dx 1ln =+ 如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样,有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程,如伯努利方程。

n y x q y x p y )()(=+',)1,0(≠n

用代换n y z -=1则化为)()1()()1(x q n z x p n z -=-+'

(二)关于常数变易法

所谓常数变易法就就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数C 变为待定函数)(x C ,然后代入线性非齐次微分方程中,求出)(x C ,从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。

常数变易法的关键就是如何确定)(x C ,由于0)(=+'y x p y 的通解为⎰

=-dx x p Ce y )((1),将常数C 用)(x C 代换,设⎰=-dx x p e x C y )()（为方程)()(x q y x p y =+'的通解,将其代入方程中,就得到关于待定函数)(x C 的导数)(x C '应满足的方程,即

)()()(x q e x C dx x p =⎰'- (*)

(*)式就是求)(x C 过程中重要的一步,应记住这个表达式,事实上,它的左端就是将通

解⎰=-dx x p e x C y )()(中的)(x C 换成)(x C ',右端就是原方程中右端顶(非齐次项)将(*)式变

形,再求积分就得到)(x C 。

D dx e x q x C dx x p +⎰=⎰-)()()(

例 求x

nx x y y 21-=-'的通解。