第八章第八节抛物线

第八章第八节抛物线

课下练兵场

、选择题

1 .抛物线y= 4x2的准线方程为

1 D 1

A v=_ 一B. y=-

4 8

1 1 C. y=忆 D . y=-石

解析：由X2= 4y , p = g.

准线方程为y=—1"6.

答案：D

2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m, —2）到焦点的距离为4,

则m的值为（）

A . 4

B . —2

C . 4 或—4

D . 12 或—2

解析：设标准方程为x2= —2py（p>0）,

由定义知P到准线距离为4,

故》+ 2 = 4, . p = 4,

.方程为x2=—8y,代入P点坐标得m = ±L

答案：C

3•点M（5,3）到抛物线y= ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是（）

A . y= 12x2

B . y=—36x2

1丄

C . y= 12x2或y=—36x2

D . y= ^x2或y=—^x2

解析：分两类a>0, a<0可得

B. y2= 8x

C. y2= 6x

D. y2= 4x

A . y2= 12x

解析：如图，分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，由抛物线的定义知，|AM|+ |BN|=|AF| + |BF|=|AB|= 8,又四边形AMNB为直角梯形，故

AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4,而抛物线的准线的方程为

x= —p,所以有4 = 2+ 2? P= 4.

答案：B

5.抛物线y2= 4x的焦点为F，过F且倾斜角等于彳的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于

3

点A，则AF的长为

C. 6

解析：过点A作抛物线的准线x=—1的垂线，垂足为B,由抛物线定义，有|AB|=|AF|,

易知AB平行于x轴，/ AFx才，/ BAF =扌，三角形ABF是等边三角形，过F作FC

3 3

垂直于AB 于点C,则|CA|=|BC|= p = 2,故|AF|=|AB|= 4.

答案：B

uuu uuu

6 .［理］已知A、B是抛物线y2= 4x上两点，且OA QB = 0,则原点0到直线AB的最大距离为

解析：设直线AB的方程为x = my+ b，代入抛物线方程可得y2—4my —4b = 0，设A(x i,

uuu uuu

y1), B(X2, y2),由OA OB=x i x2+ y i y2= (my i + b)(my2+ b)+ y i y2= (m2+ 1)y i y2 + mb(y i + y2)+ b2=

即直线

4

AB的方程为％= my+ 4,原点到直线AB的距离为Li + m，当m= 0时,

d最大值=4.

答案：C

uuu ［文］如图，F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA + uuu uuu uuu

=0,则I FA |+1 FB | + |FC 等于uu

u

FB

uur

+ FC

y 1 .

O*

i 2i 2

y=讶,y=—看.

答案：D

4.直线I过抛物线『=2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是

8, AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是

uuu uuu uuu

解析：由F (I ,O )且FA + FB + FC = 0知F 为厶ABC 的重心,

•••设 A(x i , y i ), B (X 2, y 2), C (X 3, y 3), 二 X 1 + X 2 + X 3= 3.

uuu uuu uuu 3

又1 FA | +1 FB |+ | FC |= x i + X 2+ X 3+ ^p = 3+ 3= 6.

答案：A 、填空题

1 1

7. (2019洛阳模拟)过点M(1,0)作直线与抛物线

y 2= 4X 交于A 、B 两点，则——+ —

|AIVI | |BIVI |

解析：设直线方程为y = k (X — 1)，代入y 2= 4x ,得 k 2x 2— (2k 2 + 4)x + k 2= 0,

1 1 1 1

|AM|+ |BM| = X 1+ 1 +

X 2+ 1 X 1+ X 2+ 2 = =1.

X 1X 2 + X 1 + X 2+ 1 答案：1

&对于抛物线y 2= 2x 上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|> |a|,则a 的取值范围是 ________________ .

解析：设抛物线y 2 = 2x 上任意一点Q(y 2, y),点P(a,0)都满足|PQ|> |a|，若a < 0,显然

适合；若 a>0,点 P(a,0)都满足 |PQ|》|a|,即 a 2w (a —十)2+ y 2‘即 a w 丁 + 1,此时 0

的取值范围是(一R, 1]. 答案：a < 1

9•连结抛物线x 2 = 4y 的焦点F 与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点 A ,设点O 为坐标

原点，则△ OAM 的面积为 ________ .

x + y = 1

解析：线段FM 所在直线方程x + y = 1与抛物线交于 A(X 0, y °)，则2

? y °= 3

x 2= 4y

—2 .2或 y 0= 3+ 2-2(舍去). 1

3

• - OAM = 1 X 1 X (3 — 答案： 3 - 2 三、解答题

10. 根据下列条件求抛物线的标准方程.

设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),

2k 2 + 4

X 1 + X 2= ―Q —, X 1X 2= 1 ,