第三章 傅里叶变换

P=a
2 0
1 2
n 1
an2 bn2
c02
1 2
cn2
n 1
n
Fn
2
；
3、一个特别的性质： e jn e jn
3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、波形对称分类：（1）、整周期对称，例如偶函数和奇函数，其可决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；（2）半 周期对称，例如奇谐函数，其可决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。 2、对称条件： （1）、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(-t),此时 f(t)是偶函数，偶函数的 Fn 为实数。在偶函 数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2）奇函数：若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t),此时 f(t)是奇函数，奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数 的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的 级数中仍然不会含有余弦项。 （3）寄谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形并不发生变化，即满足：
n2 1 2
) cos n1t
基波和偶次谐波频率分量。谐波幅度以 1 规律收敛。 n2
其中1
=
2 T1
；其频谱只包含直流、
3.2.5 周期全波余弦信号
1、周期全波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
2E
4E 3
cos(1t)
4E 15
cos(21t)
4E 35
cos(31t)
2E
4E
1n 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的；
3.1 周期信号的傅里叶级数分析
3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数
1、若
f(t)的周期为 T1 ，角频率为 1 =
2 T1
；频率为
f1
1 T1
，则傅里叶级数展开式为：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) ；式中 n 为正整数，各次谐波成分的幅度值按照如下 n 1
f (t) f (t T1 ) ,这样的函数或称为寄谐函数。在半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正 2
弦值和余弦值，而不会包含偶次谐波项。 3.1.4 傅里叶有限级数与最小均方差 1、选取有限项级数是一种近似的方法，所选项数越多，有限项级数越逼近原函数，也就说，其方差误差越小；
n
E T1
Sa( n1 )
n
2
e jn1t
3、结论：
（1）、周期矩形脉冲如同一般的周期信号那样，它的频谱时离散的，两谱线的间隔 1 (=
2 T1
),当脉冲重复周期越大，
谱线越靠近
（2）、直流分量、基波及各谐波分量的大小正比于脉幅 E 和脉宽 ，反比于周期 T1 。
（3）、周期矩形信号包含无穷多条谱线，但其主要能量集中在第一个零点以内。常常把 0 ~ 2 这段频率范围称
a0
1 T1
t0 T1 f (t) dt
t0
an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t )
cos(n1t )dt
bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin(n1t)dt
为了方便起见，通常积分区间 t0
~
t0
T1取为0~T1或-
T1 2
~
T1 2
。
2、不是所有的周期信号都能进行傅里叶级数展开。被展开的函数 f(t)需要满足“狄里赫利条件”，如下所示：
2、一些性质 （1）、傅里叶级数所取项数 n（=N）越多，相加后波形越逼近原信号 f(t)，两者的方均误差越小； （2）、当信号 f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部；所以，f(t) 的波形变化越剧烈，所包含的高频分量越丰富；变化越缓慢，所包含的低频分量越丰富； （3）、当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。 3：吉布斯现象：当所取的项数 N 很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的 9%，并从不连续点开始 以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。
3.2 典型周期信号的傅里叶级数
3.2.1 周期矩形脉冲信号
1、周期矩形信号的三角形傅里叶级数为：
f (t)
E T1
2E T1
n 1
Sa(
n T1
)
cos
n1t
或
f
(t)
E T1
E1
Sa( n1
n 1
2
) cos n1t
2、周期矩形信号的指数的傅里叶级数为：
f
(t)
Fne jn1t
为矩形信号的频带宽度，记作
B，于是 B
2
, Bf
1
；脉冲宽度 B 只与脉宽
有关，而且成反比关系。
3.2.2 周期锯齿脉冲信号
1、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数为: 的幅度以 1 的规律收敛；
n
f
(t)
E
n 1
n 1
(1)
1 n
sin(n1t)
;周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波
3.2.3 周期三角脉冲信号
（1）、在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应该是有限个；
（2）、在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
（3）、在一周期内，信号是绝对可积的，即
| t0 T1
t0
f (t)| dt 等于有限值（ T1 为周期）
3、把频率为 f1 的分量称为基波，频率为 2 f1 ，3 f1 ，…的分量分别称为二次谐波、三次谐波、… 4、周期信号的频谱只会出现在 0， 1 ，2 1 ，…离散频率点上，这种频谱称为离散谱，它是周期信号的主要特点。
1、周期三角脉冲信号的傅里叶级数为：
f
(t)
E 2
4E 2
n 1
1 n2
sin2 ( n 2
) cos n1t ；其频谱只包含直流、基波及奇次谐波
频率分量，谐波的幅度以 1 的规律收敛。 n2
3.2.4 周期半波余弦信号
1、周期半波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
E
2E
n 1
1
n
cos(
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
1、f(t)的指数形式的傅里叶级数为： f
(t)
n
F
n1 e jn1t
，其中
Fn
F
n1
1 T1
t0 T1 f t dt ，n 为从- 到 的整数。
t0
由于 Fn 一般为复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
2、周期信号
f（t）的平均功率与傅里叶系数的关系：
n 1
1 4n2
1
cos(
n 2
) cos 2n0t
其频谱包含直流分量及
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0
的基波和各次谐波分量，或着说，只包含直流分量及
0
的偶次谐波分量。谐波的幅度以
1 n2