第三章 傅里叶变换
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
信号与系统第三章傅里叶变换
a0
F f t F
f t
0
t
2
2
f
(at)
1 |a|
F
a
F
2
2
f t
0
t
4
4
F
4
4
时域中压缩
频域中扩展，时域中扩展
频域中压缩
（实例：录音：慢录快放，时间短、频带宽
t
f
t
1
t T1
0 t T1
F
2T1 sincT1
f t sinWt F
t
f t W sin cWt
W /
/W
/W
0
F
j
1
0
W W
F
t
1 F j
-W 0 W ω
1 X1 j
F j ea t e j tdt
0
eat e j t dt e at e j t dt
0
1 1
a j a j
F
j
2a
a2 2
ea t
a
0F
a
2
2a
2
f
t
1
0
2
2 f t F j e j td
交换 t ,
2 f
F
jt e j t dt
1F 2 2
f (t) 1
信号与系统第三章：傅里叶变换
bn
n1
sin(n1t)
其中
an
,
bn
称为傅里叶系数，
1
2
T
。
16
傅里叶系数如何求得
Ci
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
t2
t1
i
2
(
t
)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
式中： Ki
t2
t1
i
2
(t
)dt
an
2 T
T
2 T
f (t) cos(n1t)dt
2
a0 2
,
1 T
0 T
2
(1)
cos(n1t
)dt
2 T
T
2 0
cos(n1t
)dt
23
0
T
1
n1
2 T
sin(n1t
)
T 2
2 T
1
n1
sin(n1t
)
2 0
1
2
T
an
0
n 0,1, 2,3,L
24
bn
2 T
T
2 T
f (t) sin(n1t)dt
2
2 T
0 T
2
(1)
sin(n1t
)dt
2 T
T
2 0
26
T
T
0
T/ 2
t
0
T/ 2
t
(a)基波
(b)基波+三次谐波
0
T/ 2
Tt
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
033第三章 傅里叶变换
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1
信号课件第三章傅里叶变换
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
信号分析与处理-傅里叶变换
第三章傅里叶变换本章提要：◆傅里叶级数（Fourier Series）◆非周期信号的傅里叶变换◆傅里叶变换的性质◆周期信号的傅里叶变换◆采样信号和采样定理J.B.J. 傅里叶（Fourier）◆1768年生于法国◆1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”，但其数学证明不很完善。
◆拉普拉斯赞成，但拉格朗日反对发表◆1822年首次发表在《热的分析理论》◆1829年狄里赫利第一个给出收敛条件周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示傅里叶分析方法的应用：（1）泊松（Possion）、高斯（Gauss）等将其应用于电学中；（2）在电力系统中，三角函数、指数函数及傅里叶分析等数学工具得到广泛的应用。
（3）20世纪以后，在通信与控制系统的理论研究与实际应用中开辟了广阔的前景。
（4）力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等得到广泛而普遍的应用。
§ 3.1 周期信号的傅立叶级数◆三角函数形式的傅里叶级数◆复指数形式的傅里叶级数◆几种典型周期信号的频谱◆吉伯斯现象一、三角函数形式的傅里叶级数∞Tianjin University Tianjin University二、复指数形式的傅里叶级数周期信号的复数频谱图三、几种典型周期信号的频谱+-1T t tjn ωTianjin UniversityTianjin University∞n A τωτ思考题：KHz T f T 100101011 26=⨯===-，πω2. 奇函数：f (t )= -f (-t)1tω只含正弦项n F =3.奇谐函数T四、吉伯斯现象)(t f有限项的N越大，误差越小例如: N=11§ 3.2 非周期信号的傅立叶变换∞从物理意义来讨论傅立叶变换(FT)Tianjin University Tianjin UniversityTianjin UniversityTianjin University )0>arctg -=)(t f时域中信号变化愈尖锐，其频域所包含的高频分量就愈丰富；反之，信号在时域中变化愈缓慢，其频域所包含的低频分量就愈多。
第三章傅里叶变换
则
f1 (t )
f
2
(t
)
F
1
2
F1() F2 ()
可见：频域中卷积信号的傅里叶变换等于信号傅里叶变 换的卷积并乘以 １／２π 。
对于一个线性非时变系统，若知系统的单位冲激响应为 h(t)
时，系统对于任何输入x(t) 的响应 y(t) 可以用卷积求出，即
y(t) x(t) h(t)
运用傅里叶变换的时域卷积定理，有
第三章 傅里叶变换
傅里叶生平
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表“热 的分析理论”
• 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
傅里叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可以表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和”——傅里 叶的第一个主要论点
假定线性时不变系统单位冲激响应为h(t)，系统频率响应为H()，即有
F [h(t)] H()
当输入为 x(t) e jk0t 时，系统输出的傅里叶变换为
Y () X ()H ()
输入信号 x(t) e jk0t 可以看成 e jk0t 与一个直流信号的乘积，根据傅里
叶变换的频移特性，有
1F 2 ()
2
Ω为模拟角频率，它与实际频率的关系：Ω=2πf
F(Ω )通常为复函数，可以写成：
F () F () e j ()
F(Ω)︱是F(Ω)的幅度函数，表示信号中各频率下谱密度的相对大小；
是F(Ω()的) 相位函数，表示信号中各频率成分的相位关系。在工程技
术中︱F(Ω)︱通常也称为幅度频谱， 为相(位)频谱，它们都是频率 Ω的连续函数。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法
傅里叶系数标号k ：0～N
数字频率ω：0～2π 模拟频率 f ：0～fs
0
N /2
0
0
fs /2
0
s /2
北京邮电大学信息与通信工程学院
N k (变换系数标号) 2 （弧度，数字频率） fs f （Hz，模拟频率） s （弧度/秒，模拟角频率）
24
DFS 定义：几点说明
频率成份
直流分量：
N 1
北京邮电大学信息与通信工程学院
11
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
1 W N 1 j 2 k(rm) N
e W 1W k0
N 1 k(rm)
离散傅里叶级数包含了 0 到 (N-1)fs/N 的频率，因而 N 个傅里叶级数的系 数位于从 0 直到接近取样频率的频率上。
N 1
当 k=0 时， X (0) x(n)WN 0n x(n) ，此时得到的傅里叶级数的系数
称为信号的直流分量（DnC0 Componenn0t）X，(0)/ N 是信号的平均值；
交流分量：
其它频率（k>0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为 信号的交流分量。
k=1 时的频率为信号的一次谐波，或基频，频率大小为 fs/N，时间为 NTs，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。
8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结：
形式
时间函数
频率函数
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
第三章 傅里叶变换
周期序列的离散傅立叶级数
X~(k)
N1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n))
W kn
NN
N 1
x(n)
W kn N
பைடு நூலகம்n0
n0
n0
~x (n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
上式中的
X (k) X~(k)RN (k)
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
两者比较可知：
n0
,0 k N 1
X (k) X (z)
j 2 k ze N
,
0 k N 1
x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。
X (k) X (e j ) 2 k , 0 k N 1 N
X(k) 为x(n)的傅立叶变换在区间【0，2π】上的N点等间隔采样。
结论：有限长序列的离散傅立叶变换X(k)正好是x(n)的周 期延拓序列x((n))N的离散傅立叶级数系数 X~(k) 的 主值序列。
3.2 离散傅立叶变换的基本性质
• 线性性质
若 y(n) ax1(n) bx2 (n)
则y(n)的N点（N ＝max(N1，N2)， N1，N2 为两序列的长度）DFT为：
则有
Y
(k
)
W km N
X
(k
)
3、频域循环移位定理（证明留作业）
证明 时域循环移位定理
Y (k) DFT [ y(n)]
N-1
N-1
x((n
m))N
RN
(n)WNkn
傅里叶变换
第三章 傅里叶变换一.周期信号的傅里叶级数知 识 要 点1、 周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。
(1)三角函数形式的傅里叶级数 0111()[cos()sin()]nn n f t a an t b n t ωω∞==++∑式中112T πω=，n 为正整数。
直流分量010011()t T t a f t dt T +=⎰ 余弦分量的幅度010112()cos()t T t a f t n t dt T ω+=⎰正弦分量的幅度01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()nn n f t c cn t ωϕ∞==++∑频谱：离散性、谐波性、收敛性或011()sin()nn n f t d dn t ωϑ∞==++∑以上几种表示形式中各个量之间的关系为000a c d ==n n c d ==cos sin n n n n n a c d ϕϑ== sin cos n n n n n b c d ϕϑ=-=tan nn n a b ϑ=tan nn na b ϕ=-(1,2,)n =,,n n n a c d 为1n ω的偶函数，,,n n n b ϕϑ为1n ω的奇函数。
（2）指数形式的傅里叶级数11()()jn tn f t F n eωω∞=-∞=∑式中，n 为从-∞到+∞的整数。
复数频谱0110111()()t T jn tn t F F n f t e dt T ωω+-==⎰n F 与其他系数之间的关系为 0000F c d a ===1()2n j n n n n F F c a jb ϕ==-1()2n j n n n n F F c a jb ϕ---==+1122n n n n F F c d -====n n n F F a -+=n n n F F c -+=()n n n b j F F -=-n F 是1n ω的偶函数。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
第三章 傅里叶变换 知识要点
可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。 （3）收敛性 各条谱线的高度，也即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而
逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅亦就无限趋小。
∞
但是，冲激函数序列δT (t) = ∑δ (t − nT1 ) 的频谱不满足收敛性。 n = −∞
(ω )⎤⎦
=
1 2π
∞ F (ω )e jωt dω
−∞
可简记为： f (t ) ←⎯FT→ F (ω )
（二）典型信号的傅里叶变换
1、δ (t ) ←⎯→1
2、δ ' (t ) ←⎯→ jω δ (n) (t ) ←⎯→ ( jω )n
3、1←⎯→ 2πδ (ω)
4、 u (t ) ←⎯→πδ (ω ) + 1
3、周期三角脉冲信号
∑ f
(t)
=
E 2
+
4E π2
∞ n=1
1 n2
sin 2
⎛ ⎜⎝
nπ 2
⎞ ⎟⎠
cos
(
nω1t
)
周期三角脉冲的频谱只包含直流、基波及奇次谐波频率分量，谐波的幅度以
1 的规律收敛。 n2
4、周期半波余弦信号
6
( ) ∑ f
(t
)
=
E π
−
2E π
∞ n=1
1 n2 −1
cos⎜⎛ ⎝
=
2π T1
这是因为它在区间 (t0 ,t0 + T1 )内满足：
⎧0
∫t0 +T1
t0
cos(mω1t
)cos(nω1t )dt
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P=a
2 0
1 2
n 1
an2 bn2
c02
1 2
cn2
n 1
n
Fn
2
；
3、一个特别的性质： e jn e jn
3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、波形对称分类：（1）、整周期对称，例如偶函数和奇函数，其可决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；（2）半 周期对称，例如奇谐函数，其可决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。 2、对称条件： （1）、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(-t),此时 f(t)是偶函数，偶函数的 Fn 为实数。在偶函 数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2）奇函数：若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t),此时 f(t)是奇函数，奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数 的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的 级数中仍然不会含有余弦项。 （3）寄谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形并不发生变化，即满足：
n2 1 2
) cos n1t
基波和偶次谐波频率分量。谐波幅度以 1 规律收敛。 n2
其中1
=
2 T1
；其频谱只包含直流、
3.2.5 周期全波余弦信号
1、周期全波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
2E
4E 3
cos(1t)
4E 15
cos(21t)
4E 35
cos(31t)
2E
4E
1n 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的；
3.1 周期信号的傅里叶级数分析
3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数
1、若
f(t)的周期为 T1 ，角频率为 1 =
2 T1
；频率为
f1
1 T1
，则傅里叶级数展开式为：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) ；式中 n 为正整数，各次谐波成分的幅度值按照如下 n 1
f (t) f (t T1 ) ,这样的函数或称为寄谐函数。在半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正 2
弦值和余弦值，而不会包含偶次谐波项。 3.1.4 傅里叶有限级数与最小均方差 1、选取有限项级数是一种近似的方法，所选项数越多，有限项级数越逼近原函数，也就说，其方差误差越小；
n
E T1
Sa( n1 )
n
2
e jn1t
3、结论：
（1）、周期矩形脉冲如同一般的周期信号那样，它的频谱时离散的，两谱线的间隔 1 (=
2 T1
),当脉冲重复周期越大，
谱线越靠近
（2）、直流分量、基波及各谐波分量的大小正比于脉幅 E 和脉宽 ，反比于周期 T1 。
（3）、周期矩形信号包含无穷多条谱线，但其主要能量集中在第一个零点以内。常常把 0 ~ 2 这段频率范围称
a0
1 T1
t0 T1 f (t) dt
t0
an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t )
cos(n1t )dt
bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin(n1t)dt
为了方便起见，通常积分区间 t0
~
t0
T1取为0~T1或-
T1 2
~
T1 2
。
2、不是所有的周期信号都能进行傅里叶级数展开。被展开的函数 f(t)需要满足“狄里赫利条件”，如下所示：
2、一些性质 （1）、傅里叶级数所取项数 n（=N）越多，相加后波形越逼近原信号 f(t)，两者的方均误差越小； （2）、当信号 f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部；所以，f(t) 的波形变化越剧烈，所包含的高频分量越丰富；变化越缓慢，所包含的低频分量越丰富； （3）、当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。 3：吉布斯现象：当所取的项数 N 很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的 9%，并从不连续点开始 以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。
3.2 典型周期信号的傅里叶级数
3.2.1 周期矩形脉冲信号
1、周期矩形信号的三角形傅里叶级数为：
f (t)
E T1
2E T1
n 1
Sa(
n T1
)
cos
n1t
或
f
(t)
E T1
E1
Sa( n1
n 1
2
) cos n1t
2、周期矩形信号的指数的傅里叶级数为：
f
(t)
Fne jn1t
为矩形信号的频带宽度，记作
B，于是 B
2
, Bf
1
；脉冲宽度 B 只与脉宽
有关，而且成反比关系。
3.2.2 周期锯齿脉冲信号
1、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数为: 的幅度以 1 的规律收敛；
n
f
(t)
E
n 1
n 1
(1)
1 n
sin(n1t)
;周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波
3.2.3 周期三角脉冲信号
（1）、在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应该是有限个；
（2）、在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
（3）、在一周期内，信号是绝对可积的，即
| t0 T1
t0
f (t)| dt 等于有限值（ T1 为周期）
3、把频率为 f1 的分量称为基波，频率为 2 f1 ，3 f1 ，…的分量分别称为二次谐波、三次谐波、… 4、周期信号的频谱只会出现在 0， 1 ，2 1 ，…离散频率点上，这种频谱称为离散谱，它是周期信号的主要特点。
1、周期三角脉冲信号的傅里叶级数为：
f
(t)
E 2
4E 2
n 1
1 n2
sin2 ( n 2
) cos n1t ；其频谱只包含直流、基波及奇次谐波
频率分量，谐波的幅度以 1 的规律收敛。 n2
3.2.4 周期半波余弦信号
1、周期半波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
E
2E
n 1
1
n
cos(
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
1、f(t)的指数形式的傅里叶级数为： f
(t)
n
F
n1 e jn1t
，其中
Fn
F
n1
1 T1
t0 T1 f t dt ，n 为从- 到 的整数。
t0
由于 Fn 一般为复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
2、周期信号
f（t）的平均功率与傅里叶系数的关系：
n 1
1 4n2
1
cos(
n 2
) cos 2n0t
其频谱包含直流分量及
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0
的基波和各次谐波分量，或着说，只包含直流分量及
0
的偶次谐波分量。谐波的幅度以
1 n2